Modélisation - Cours 2

Modélisation — Cours 2 : du temps discret au temps continu, portrait de phase, stabilité et isoclines

⚠️ Numérotation : c’est la 2ᵉ séance du cours (audio Modélisation - 2.m4a). Aucun fichier Modélisation - 1.m4a n’a été retrouvé sur le disque : la séance 1 n’a pas été enregistrée (il n’est pas possible de savoir d’après l’audio si elle a été suivie). Le fichier audio a été modifié le 01/10/2026 à 16:04, soit juste après le créneau jeudi 14:00-16:00 → la numérotation est cohérente.

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Couverture : de 00:00:00 à 02:00:30 sur un audio de 02:00:37 — couverture intégrale, aucun trou. 1058 segments, 10 981 mots.

Contenu de la séance : la séance fait le changement de régime temps discret → temps continu sur le modèle déjà connu de la population de lapins (équation logistique). Le prof (1) reprend le modèle discret de la semaine passée et reconnaît publiquement une erreur de parenthésage signalée par un étudiant, (2) dérive l’équation différentielle logistique par le passage à la limite $\Delta t\to 0$, (3) la résout explicitement par séparation des variables et vérifie le résultat sous MATLAB, (4) pose deux mises en garde (unicité, explosion en temps fini), (5) introduit le portrait de phase en 1D, les points d’équilibre et leur stabilité, avec le critère $f^{\prime }(x^{\ast })$ et sa démonstration par linéarisation de Taylor, (6) applique tout cela à l’équation logistique et introduit le bassin d’attraction — puis pause de ≈ 11 min 30 s [00:57:30 → 01:08:59] (dont ≈ 4 min 30 de zone audio inexploitable, cf. § 14.2), (7) répond à la question laissée en suspens avant la pause (pourquoi le temps discret est-il plus complexe ?), (8) ouvre le chapitre suivant : les systèmes multidimensionnels $\dot{x}=f(x)$, l’unicité comme contrainte topologique (portrait de phase du pendule), la contrainte topologique en 2D et le chaos à partir de 3 dimensions (attracteur de Lorenz), les équilibres en dimension $n$, puis les isoclines, et enfin deux exemples complets de Lotka-Volterra : la compétition (2 cas : forte / faible compétition) et la proie-prédateur (cycles, équilibre marginalement stable).

⚠️ Ce qui reste non récupérable : les équations du modèle Lotka-Volterra (sections 20.2 et 24.2) sont écrites au tableau, pas dictées — « voilà un peu les équations qu’on a ». Elles sont ici reconstruites à partir des isoclines que le prof dicte explicitement et de la structure du modèle, et signalées comme telles. Voir Doutes / à vérifier.

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0. Sources écrites — confrontation transcription / PDF

🎓 Notes_modelisation.pdf · 🎥 cours5.pdf · cours6.pdf · ⚠️ cours2.pdf

Les 4 PDF du dossier Bac 2/Modelisation/ ont été extraits (pdftotext -layout) et confrontés à la transcription. Résultat :

PDF	Titre / auteur	Pages	Lien avec cette séance
Notes_modelisation.pdf	Résumé de notes de cours — Modélisation et analyse des systèmes dynamiques, A. Mauroy, 09/2019	32	✅ LE support de la séance : §3, §4, §4.2, §5.1–5.3, §7, §8.3 correspondent un à un au contenu
cours5.pdf	Analyse des systèmes de plusieurs dimensions — Alexandre MAUROY, 10/2024	9	⏭️ Séance ultérieure (portrait de phase, linéarisation/Jacobien, Hartman-Grobman, classification, variété stable) = exactement la séance 3 annoncée au § 25.2
cours6.pdf	Stabilité (Beamer), 10/2024	12	⏭️ Séance ultérieure (Lyapunov, La Salle, stabilité globale, pendule inversé)
cours2.pdf	Outils mathématiques de modélisation, auteur « Alex », 09/2024	20	❌ Autre cours : mise en équation à partir des lois physiques (Newton translations/rotations, Lagrange, Van’t Hoff, électricité, continuité/Bernoulli, réservoir) + SIR en temps discret→continu. Développe la § 2 « Modélisation » des notes de Mauroy, mais ne correspond pas au programme de la séance 2

Ce que le support écrit confirme dans la note

• § 4 des notes : « la solution n’est pas nécessairement unique […] elle l’est si le champ de vitesse $f$ est (localement) Lipschitz […] La solution peut néanmoins diverger vers l’infini en un temps fini. » → les deux mises en garde du § 6 sont bien du cours, y compris l’explosion en temps fini (le mot « explosion » est notre reformulation).
• § 4.1 des notes : « par convention, un point d’équilibre stable est représenté par un disque noir tandis qu’un équilibre instable est représenté par un disque blanc » → confirme la convention du § 9 (point noir = stable = puits).
• § 5.1 des notes : ${\mathcal{I}}_1=\{x:F_1(x)=0\}$ ⟹ champ vertical, sépare « pointe à gauche » / « pointe à droite » ; ${\mathcal{I}}_2=\{x:F_2(x)=0\}$ ⟹ champ horizontal, sépare « pointe en bas » / « pointe en haut » ; l’équilibre est l’intersection des deux isoclines → confirme le § 22.3–22.4.
• § 5.2 des notes : $\delta \dot{x}=J(x^{\ast })\delta x$ avec $J$ la matrice Jacobienne → donne la forme matricielle que le prof utilisera en séance 3 (§ 25.2).
• § 8.3 des notes : l’application logistique $x[n+1]=rx[n](1-x[n])$ est l’exemple canonique de chaos en dimension 1 en temps discret (doublement de période, chaos pour $r\approx 3.6$, fenêtre de période 3 pour $r\approx 3.83$, intermittence) → donne le contenu exact du « pourquoi le temps discret est-il plus complexe ? » (§ 20) et confirme que c’est bien l’équation logistique de la séance 1.

Ce que le support écrit corrige ou nuance dans la note

• ⚠️ § 24.5 — « cercle fermé » est à nuancer. Les notes (§ 5.3) rappellent qu’un centre (valeurs propres purement imaginaires) a une famille d’orbites périodiques, et la § 7 précise que « les orbites périodiques d’un centre ne sont pas des cycles limites car elles ne sont pas isolées ». Le centre de Lotka–Volterra n’est donc pas un cycle limite au sens du cours : c’est une famille de courbes fermées, d’où l’expérimental « marginalement stable » (ni convergence, ni divergence).
• ✅ Isoclines du prédateur–proie confirmées : elles sont bien une horizontale ($x_2=a/b$) et une verticale ($x_1=d/c$) ; leur non-intersection dans le quadrant positif est cohérente avec la § 5.1 des notes.
• ⚠️ Le support écrit ne contient aucun exemple de Lotka–Volterra ni de modèle de compétition : les équations des § 20 et § 24 restent des reconstitutions (voir Doutes).

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1. Ouverture et plan de la séance — [00:00:00 → 00:00:45]

• « On va commencer par une dimension et puis on ira vers le système de plus grande dimension. »
• « Vous allez voir que c’est un peu plus simple de ce qu’on a vu la semaine dernière en temps discret. »
• « Et en plus, on va revoir des notions qu’on a déjà vues la semaine dernière. On va aller juste les adapter pour le temps continu. »
• Le prof annonce la structure de la séance : l’équation qui décrit le système, puis les notions de la semaine dernière réadaptées.
  • ⚠️ « Le barrière qui décrit le système » → très probablement « l’équation qui décrit le système » (cochonnet ; le cours est bien celui des systèmes dynamiques décrits par une équation).

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2. Rappel : le modèle discret de la population de lapins — l’équation logistique discrète — [00:00:45 → 00:07:20]

2.1. L’équation de la semaine dernière

• Modèle : une population de lapins, à laquelle on ajoute un nombre de lapins qui naissent, « C’est proportionnel à la population » :

$$\underset{\text{taux de nataliteˊ}}{\underbrace{n}}\cdot N_n.$$

• On retire les lapins qui meurent, « aussi proportionnel au nombre de la population » :

$$\underset{\text{taux de mortaliteˊ}}{\underbrace{m}}\cdot N_n.$$

• ⚠️ « au nom de la part de la population » [00:01:18] et « au nom de la partie qui décède, aussi proportionnel au nom de la population » [00:01:28] → « au nombre de lapins qui naissent / qui meurent, proportionnellement au nombre de lapins » (cochonnet répété ; la reformulation ci-dessus est une reconstitution, pas une citation).

• « La semaine dernière, on avait vu que tout ça c’était bien, mais ce n’était pas très réaliste, parce qu’on avait une croissance ou une décroissance exponentielle, suivant que $n$ est plus grand ou plus petit que $m$. » [00:01:37 → 00:01:45]

  • 📌 C’est le défaut du modèle naïf : sans facteur limitant, la solution est exponentielle.

• « Donc c’est-à-dire qu’on va rajouter un facteur … vous savez, c’était la capacité de la population » [00:01:47 → 00:02:01] :

$$(1-\frac{N_n}{C}),C=\text{capaciteˊ de charge (capacitance) }K.$$

• « Donc, si le nombre de lapins $N$ se rapproche de $C$, eh bien, ce facteur tend vers zéro, qui a tendance à réduire la population de lapins. » [00:02:01 → 00:02:14]

• ⚠️ « qui était $1-\frac{m}{n}$ » [00:01:47] : le prof s’auto-corrige immédiatement — il a d’abord écrit (ou pensé écrire) une autre forme, puis rectifie : « Non, vous savez, c’était la capacité de la population ». Le facteur limitant est bien $1-N_n/C$, pas un rapport de taux.

• Mise bout à bout (forme de la semaine dernière) :

$$\boxed{N_{n+1}=N_n+n{N}_n-m{N}_n(1-\frac{N_n}{C})}$$

• Le facteur $(1-\frac{N_n}{C})$ est mis en évidence [00:03:25] : « Donc, c’est ici en évidence qu’on a du moins $N$ sur $C$. »

• Deux variantes coexistent dans le cours :

  • « La semaine dernière, on avait changé de variante. On avait divisé $V$ par $C$, ça faisait une fraction de la capacité, et c’était notre variable $x$. » [00:03:33 → 00:03:41] → variante normalisée $x=N/C$ ;
  • « Ici, on va rester avec $V$ [= $N$], mais par contre, on va passer en temps continu. » [00:03:42] → variante non normalisée, conservée pour aujourd’hui.

2.2. ⚠️ L’erreur de parenthésage signalée par un étudiant — le prof la reconnaît

• Un étudiant intervient [00:02:33] : « On a une plus une, est-ce que c’est correct, ça ? » puis [00:02:47] « On me demande si c’était pas un petit petit [point] ? »
• Le prof répond [00:02:54] : « Là, c’est un avant-pouce [un « pif » / à peine]. », puis il réfléchit à voix haute et finit par concéder l’erreur :
  • « Ici, c’est moi qui ai fait une erreur. » [00:04:32]
  • « Après, c’est un choix de modélisation, mais lequel est le plus logique ? » [00:04:36]
  • « En tout cas, ici, ce qui est sûr, c’est qu’il ne devrait pas être dedans [dans la parenthèse]. Maintenant, je pense que ça devait être une erreur. » [00:04:40 → 00:04:44]
  • « Il y a quelque chose qui est incohérent. Merci de me l’avoir signalé. » [00:07:13 → 00:07:15]
• ⚠️ Le point précis de la désaccusation : l’ASR capte « La responsabilité, vous avez mis le $V_n$ dans la parenthèse. Ah, on a quand même mis la parenthèse. » [00:04:10 → 00:04:12] — c’est-à-dire que l’étudiant signale que le $N_n$ a été mis à l’intérieur de la parenthèse. La discussion porte donc sur le niveau de parenthésage du terme de mortalité (et sur la parenthèse autour du $N_n$ du premier terme).
• Décision du prof : on garde la formule telle quelle pour aujourd’hui, et il le signale :
  • « Si on refait le résumé de la fois dernière, mais ne notez pas, parce que ça, c’était déjà dans les [notes], un coup. » [00:04:53 → 00:04:57]
  • « On va retomber sur l’équation logistique. » [00:05:05]
  • « Je pense que ce n’est pas logique de faire comme on l’a fait la fois dernière. » [00:05:54]
  • « Je vais [voir]… je ne pense pas que je vais clarifier ça maintenant. » [00:06:20]
  • « Maintenant, la question se [pose] : si on laisse ça comme ça, est-ce qu’on peut quand même se ramener à cette forme-là ? Probablement que non ; quoi que, je revérifierai, j’essaierai de clarifier. » [00:06:27 → 00:06:36]
  • « … dans ce cas-ci, on va l’admettre comme ça, maintenant, on pourrait dire que c’est un choix de modélisation. » [00:06:49]
  • « Bref, ici, on va partir de cette forme-là. » [00:07:18]
• 📌 Conséquence pédagogique : la formule discrète de la séance 1 reste « en l’état » pour la séance 2, mais le prof annonce qu’il y reviendra. La réponse complète à la question de l’étudiant ne sera donnée qu’après la pause (voir section 15.1).

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3. Du temps discret au temps continu : la dérivation de l’équation logistique — [00:07:20 → 00:12:45]

3.1. Écrire la variable discrète comme un échantillonnage d’une variable continue

• « On peut voir le $N_n$ comme étant une version discrétisée d’une variable $N$ [continue], que je vais appeler plutôt $\tilde{N}(t)$, qui évoluerait dans le temps. » [00:07:23 → 00:07:36]

$$N_n=\tilde{N}(n\Delta t),\Delta t=\text{pas de temps}.$$

• « Oui, c’est ça, $n$ fois $\Delta t$, c’est vraiment du temps. » [00:08:27]
• « Et on va garder la valeur ici : $N_1$, $N_2$, etc. » [00:08:40]
• « Donc $N_2$, c’est $\tilde{N}(2\Delta t)$. » [00:08:59]
• « On peut remplacer : on va avoir ${\tilde{N}}_{n+1}$ [en fonction de] ${\tilde{N}}_n$ ; je fais passer le $N_n$ de l’autre côté. » [00:09:06]

3.2. L’équation discrète réécrite

$${\tilde{N}}_{n+1}-{\tilde{N}}_n=(n-m){\tilde{N}}_n(1-\frac{{\tilde{N}}_n}{C})$$

• ⚠️ « Moins $2$ tilde en $n$ fois delta $t$ divisé par $1$ égale $m$ » [00:09:20] : l’ASR a découpé la lecture de l’équation. Le membre de gauche est bien

$$\tilde{N}((n+1)\Delta t)-\tilde{N}\left(n\Delta t\right),$$

le membre de droite est la variation de population sur un pas.

3.3. Diviser par $\Delta t$ et passer à la limite

• « Alors ensuite, ce qu’on veut, c’est faire apparaître une dérivée. Donc on va diviser par $\Delta t$. » [00:10:06 → 00:10:21]

$$\frac{{\tilde{N}}_{n+1}-{\tilde{N}}_n}{\Delta t}=(n-m){\tilde{N}}_n(1-\frac{{\tilde{N}}_n}{C})$$

• « Et puis on va prendre la limite quand $\Delta t$ tend vers 0. » [00:10:27]
• « Alors une équation continue, une équation différentielle. » [00:10:37]

$$\boxed{\frac{\mathrm{d}\tilde{N}}{\mathrm{d}t}=r\tilde{N}(1-\frac{\tilde{N}}{C}),r=n-m}$$

• « Si la dérivée temporelle… avec un $\Delta T$ qui devient infinitésimal, c’est en $T$ quelconque. On va mettre la dépendance de $T$. » [00:10:48 → 00:11:08]
• « ${\tilde{N}}_n$ [désormais], c’est notre variable en temps continu. » [00:08:12]

3.4. ⚠️ Le point délicat : le sens de $r$ quand $\Delta t\to 0$

C’est le passage le plus subtil du cours, et le prof s’y arrête explicitement :

• « Ici, tout ceci, on va à nouveau le voir comme un paramètre. Je pense que j’ai à nouveau un plus à $R$. Ce n’est pas le même qu’avant, quand on discrétise. » [00:11:08 → 00:11:18]
• « Vous voyez ici, on a plus une idée de… on pourrait dire : le paramètre $\Delta T$ tend vers 0. » [00:11:25 → 00:11:28]
• « En fait, non, parce que le $N$ et le $M$, c’est la variation qu’il y a après un temps $\Delta T$ ; mais si c’est un $\Delta t$ qui devient infinitésimal, le $N$ et le $M$ deviennent aussi infinitésimaux.* » [00:11:33 → 00:11:44]
• « Et donc ça peut être bien défini, ça peut être infini. » [00:11:48]
• « Et donc c’est, si vous voulez, une sorte de taux de variation temporelle de $N$ moins $M$. » [00:11:52]
• « C’est plutôt un taux de mortalité et de natalité, mais instantané. » [00:12:00]

📌 À retenir (piège d’examen) : en temps discret, $n$ et $m$ sont des effectifs par pas de temps ; en temps continu, $r=n-m$ est un taux instantané, et le rapport « variation / $\Delta t$ » n’a de sens que si la variation est elle aussi infinitésimale. Le même symbole ne désigne donc pas la même grandeur dans les deux régimes.

3.5. Statut de l’équation obtenue

• « Et ici, ça va être l’équation qui va nous occuper pendant une petite partie du temps aujourd’hui, qui peut être vue un peu comme le pendant de l’équation logistique discrète, qu’on avait vue la semaine dernière. Modulo les petites différences qu’il y a et que je dois [reprendre]. » [00:12:12 → 00:12:39]
• « Est-ce que ça va ? Ok, alors, ce qu’on va faire, c’est étudier un peu cette équation. » [00:12:46 → 00:13:04]

3.6. ⚠️ Pourquoi on accepte que $N$ devienne un nombre réel

• « Oui, mais $V$ [= $N$], on a parlé que c’était les populations de lapins, donc ce sont des nombres entiers. Ici, on considère que ce sont des nombres qui sont réels. » [00:07:36 → 00:07:46]
• « Si on pense à ce qu’on avait fait la fois d’avant, on avait divisé par $C$, c’était vu comme une fraction. Considérant que ça reste une sorte de fraction, en tout cas que ça prend des valeurs qui sont réelles. » [00:07:46 → 00:07:56]
• « Mais ici, l’intérêt, ce n’est pas de dire qu’on veut vraiment modéliser une vraie population de lapins, mais plutôt juste développer un peu les maths et voir comment on passe du temps discret au temps continu. » [00:07:56 → 00:08:06]
• « On parlera de population avec des équations plus réalistes par la suite. » [00:08:06]
• 📌 Argumentaire du prof (utile si on vous demande « mais le nombre de lapins n’est pas entier ? ») : la variable est un modèle, pas une mesure ; l’intérêt est mathématique (passer du discret au continu), non écologique. Un modèle « plus réaliste » viendra plus tard.

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4. Le cadre : $\dot{x}=f(x)$ en dimension 1 — champ de vitesse et trajectoire — [00:13:04 → 00:15:50]

4.1. Mise en forme abstraite

• « Cette équation, elle est de la forme $\dot{x}=\mathcal{L}(x)$. C’est un cas particulier. On est dans le cas de système unidimensionnel, donc une seule variable. » [00:13:08 → 00:13:17]
• « Donc $x$, ce n’est pas un vecteur ici, c’est vraiment un scalaire. » [00:13:23]
• « … et le $f$ de $x$, de manière générale, on va appeler ça un champ de vitesse. » [00:13:28]

$$\boxed{\dot{x}=f(x),x\in \mathbb{R}\text{(systeˋme 1D, scalaire)}}$$

4.2. ⚠️ Avertissement de vocabulaire sur « champ »

• « Alors à ce stade, le mot « champ » est peut-être mal choisi, dans le sens que l’idée c’est qu’on parle en fait d’un champ vectoriel, et on verra que ça a du sens si on a en plus deux dimensions.* » [00:13:39 → 00:13:47]
• « Ici, ce champ vectoriel se ramène à une fonction scalaire, parce qu’on n’est qu’en une dimension. Mais globalement, on appelle ça un champ de vitesse. » [00:13:50 → 00:13:55]
• 📌 Nuance à ne pas rater : en 1D, « champ de vecteurs » et « fonction scalaire » coïncident ; l’appellation « champ » ne devient pleinement justifiée qu’en dimension $\ge 2$. Le prof le signale pour ne pas dérouter l’étudiant qui s’attend à un vecteur.

4.3. La solution s’appelle une trajectoire (ou orbite)

• « Alors la solution, peu comme dans le cas des systèmes en temps discret, on va appeler ça une trajectoire, une orbite du système. » [00:13:57 → 00:14:10]
  • 📌 Étymologie : l’orbite est l’ensemble des points visités (le dessin), la trajectoire est la solution .paramétrée par le temps — le prof le précisera en section 7.4 (« l’orbite, c’est l’équivalent de trajectoire, donc c’est le $x$ de $t$ en fonction du temps »).
• « Et alors cette solution, évidemment, va dépendre d’une condition initiale. On en a déjà parlé au tout premier cours. » [00:14:29 → 00:14:33]
• « Donc la trajectoire va dépendre de la condition initiale : connaître la condition initiale, donc l’état en un instant, permet alors de définir l’état dans les temps futurs via la solution, donc la trajectoire. » [00:14:36 → 00:14:56]
  • ⚠️ « Elle est vraiment nouvelle » [00:14:24] → formulation incertaine de l’ASR, cf. Doutes.

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5. Résolution explicite en dimension 1 : la séparation des variables — [00:15:50 → 00:22:45]

5.1. Pourquoi on fait cet exercice — et l’annonce de la suite

• « Alors, dans le cas d’une dimension, on peut en fait résoudre cette équation-là. Donc je vous avais dit : un système non linéaire, on ne sait pas les résoudre. Il se fait qu’en une dimension, on y arrive quand même. » [00:15:06 → 00:15:16]
• « Je vais juste vous rappeler, vous l’avez normalement déjà vu [avec M. Carletti], comment est-ce qu’on résout ce genre d’équation. Juste pour qu’on se rappelle qu’on sait le faire, même si, après ça, on fera comme si on ne savait pas le faire, afin de développer les outils qui nous seront alors vraiment utiles pour des dimensions plus grandes. » [00:15:19 → 00:15:34]
• 📌 Position méthodologique explicite : la résolution en 1D est un exercice de rappel (déjà vu en EDO avec Carletti) ; sa raison d’être est de faire le lien avec la suite du cours. Elle ne se généralise pas.

5.2. La méthode : la séparation des variables (appelée par un étudiant)

• Le prof écrit la forme générale : « On va partir de $\dot{x}=f(x)$. Donc là, on va rester dans le cadre général ; on appliquera la solution à ce cas-là. On l’écrit en large : $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=f(x)$. » [00:15:56 → 00:16:11]
• Un étudiant pose la bonne question [00:16:29] : « Il ne faut pas faire passer le $f$ de $x$ de l’autre côté en bas, et après on a l’intégrale de l’autre côté ? »
• Réponse du prof [00:16:39 → 00:16:42] : « Oui, c’est ça. Donc, ça s’appelle comment, ça ? » … « C’est la séparation des variables. » — puis « Pas le plus important » (il minimise le nom de la méthode).

$$\frac{1}{f(x)}\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$$

5.3. Le calcul pas à pas sur le modèle logistique

• « Il va falloir calculer cette intégrale, on va lui donner un petit nom : on l’appelle $G$. » [00:16:49 → 00:17:04]
• « Alors, on l’intègre entre la condition initiale et un certain $x$, et on est entre le temps 0 et le temps $t$. » [00:17:06 → 00:17:16]

$$\underset{=G(x)}{\underbrace{{\int }_{{\tilde{N}}_0}^x\frac{\mathrm{d}u}{f(u)}}}=\underset{=t}{\underbrace{{\int }_0^t\mathrm{d}s}}$$

• « On a $G$ de $x$ égale à $t$… en inversant le $G$ ici : $G(x)=t$ ⟹ $x=G^{-1}(t)$. » [00:17:44 → 00:17:52]

• « C’est une condition initiale : $\tilde{N}(0)={\tilde{N}}_0$. » [00:18:12]

  • ⚠️ ASR : « C’est une condition initiale V0 tilde 0 t. »

• Le point pénible, qu’il signale à deux reprises :

  • « La première intégrale, l’embêtant, c’est $\frac{1}{x}$ en fractions. On donne la réponse d’intégration ici. » [00:19:00 → 00:19:06]

$$G(\tilde{N})=\frac{1}{r}\ln \left|\frac{\tilde{N}}{{\tilde{N}}_0}\right|$$

• « Puisque $\frac{1}{r}\ln \frac{\tilde{N}(t)}{{\tilde{N}}_0}=t$… donc ça, c’est notre fonction $G$ de $\tilde{N}$. » [00:19:13 → 00:19:39]

• « On doit alors inverser. Et là aussi, à nouveau, c’est embêtant parce qu’il faut isoler le $\tilde{N}$. C’est faisable, c’est juste un peu du [chopotage]. Jouer un peu avec les $\ln$, on peut inverser tout ça. » [00:19:42 → 00:19:56]

• La solution [00:20:00] — « Avec quelques manipulations, on obtient finalement : » :

$$\boxed{\tilde{N}(t)=\frac{C}{1+(\frac{C}{{\tilde{N}}_0}-1)e^{-rt}}}$$

• ⚠️ ASR à corriger : la transcription donne « $v$ tilde $t$ égale $c$ sur 1 moins $v_0$ tilde $t$ divisé par $o$ tilde fois exponentielle de moins ». Il s’agit d’un « plus » et non d’un « moins » : c’est la seule forme qui redonne la condition initiale. Vérification :

$$\tilde{N}(0)=\frac{C}{1+(\frac{C}{{\tilde{N}}_0}-1)\cdot 1}=\frac{C}{C/{\tilde{N}}_0}={\tilde{N}}_0.$$

(Avec un « $1 - $ », on aurait $\tilde N(0) = C\,(1 - \tilde N_0/C)$, ce qui n'est pas $\tilde N_0$.) La forme ci-dessus est donc certaine.

• « C’est notre solution. » [00:20:21]
• ⚠️ La droite de la fraction est dictée de façon elliptique (« *$v_0$ tilde $t$ divisé par $o$ tilde ») ; la lecture retenue ci-dessus est la seule cohérente avec l’inversion de $G$ et avec la condition initiale.

5.4. Une fois la solution connue, on connaît « tout » du système

• « Une fois qu’on a la solution, on a tout, on connaît tout de notre système. » [00:20:26]
• « Si je suis à un certain ${\tilde{N}}_0$ à un moment, voici ce qui va se passer avec mes lapins. » [00:20:31]
• « Et notamment, qu’est-ce qui se passe si le temps tend vers l’infini ? » [00:20:37]
• Le raisonnement asymptotique, conducted oralement :
  • « On a une exponentielle, alors le $r$ a priori il est positif. » [00:20:44]
  • « Autant que le taux de natalité $n$ est un plus grand que le taux de mortalité $m$. » [00:21:05]
  • « Donc, c’est une exponentielle décroissante. Donc ce terme-là tend vers 0. » [00:21:11 → 00:21:13]
  • « Donc, c’est divisé par 1 [et le numérateur vaut $C$]. Ça tend vers $C$. » [00:21:14 → 00:21:18]
  • « Donc, on remarque que le [sens] est inversé. » [00:21:18] — ⚠️ formulation ASR incertaine ; l’idée est que tout converge vers $C$.

$$\boxed{\underset{t\to +\infty }{\lim }\tilde{N}(t)=C}$$

5.5. Vérification numérique sous MATLAB

• « On peut vérifier. » puis [00:21:35] « $C$, c’est égal à 1. » — le prof normalise la capacité à $C=1$.
• « Et je prends comme condition initiale, j’en prends plusieurs : $0$ ; $0,1$ ; $0,2$ ; $0,3$. » [00:21:42 → 00:21:50]
  • ⚠️ ASR : « 1, c’est égal à 3 » → « *$C$ c’est égal à $1$ » ; « 0, 0, 1, 2, 3 » → « $0$ ; $0,1$ ; $0,2$ ; $0,3$ ».
• « On peut avoir quelqu’un qui n’est pas convaincu de notre calcul. » [00:21:50]
• « Ça, c’était le calcul numérique de MATLAB. » [00:22:13] — ⚠️ « Matlam » = MATLAB. Le prof affichait donc la simulation numérique à côté (vraisemblablement via une résolution numérique de l’ODE) pour comparer.
• « On a entendu ça, en fait. Mais on peut comparer avec la solution qu’on vient de calculer. » [00:22:22 → 00:22:24]
• « Dans le cas de la [condition] initiale qui est de $0,2$, vous voyez que les ronds aussi représentent les ronds de valeur de la solution qui s’accomplissent. » [00:22:28 → 00:22:37]
  • 📌 Autrement dit : les points de la simulation numérique se superposent à la courbe de la solution exacte — c’est la validation numérique de la formule.
• « On est bon. Alors, vous allez voir qu’on peut aussi arriver à la même conclusion. » [00:22:38 → 00:22:44]

5.6. ⚠️ Le message de la section : le calcul est possible, mais fastidieux

• « Par exemple, savoir que ceci converge vers $C$ d’une manière très simple. » [00:22:45 → 00:22:49]
• « Et je voulais illustrer le fait qu’ici, on est quand même dans des calculs. Alors oui, c’est faisable, mais c’est quand même déjà un peu fastidieux. » [00:22:49 → 00:22:55]
• « Alors que de manière très simple, on peut caractériser ce qui se passe, le comportement global du système. » [00:22:55 → 00:22:58]
• « Et ça montre un peu la puissance des méthodes qu’on va développer, qui seront de toute manière les seules sur lesquelles on pourra s’appuyer pour des systèmes de plus grande dimension, puisqu’on ne pourra de toute manière plus [faire] ça. » [00:23:01 → 00:23:07]
• « Et je voulais juste insister un petit peu sur le fait que : ok, on peut faire du calcul, mais ça reste quand même un peu embêtant et fastidieux. » [00:23:10 → 00:23:20]
• 📌 Transition vers la suite : l’outil qui remplace le calcul fastidieux, c’est le portrait de phase (section 7).

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6. Deux mises en garde (« il y a deux choses auxquelles il faut faire attention ») — [00:23:22 → 00:29:00]

• Transition : « Mais bon, à nouveau, c’est des choses que vous avez vues, voire avec M. Carletti. Il y a deux choses auxquelles il faut faire attention. Je vous le dis juste une fois, et puis après, on ne s’en occupera plus, parce qu’on supposera qu’on n’a pas de problème. » [00:23:25 → 00:23:36]

6.1. ⚠️ Premier point : l’unicité de la solution

• « La première chose, c’est l’unicité. » [00:23:39]
• « Dans certains cas, on pourra avoir une condition initiale, et pourtant, quand même, avoir deux comportements possibles, deux solutions associées à la même condition initiale. » [00:23:44 → 00:23:50]
• L’exemple : « Un exemple, ce serait : je prends $\dot{x}=\sqrt{x}$. Là, c’est ça. Pour faire encore plus simple, on a un 2 ici [le facteur 2 est au dénominateur / au numérateur]. » [00:23:53 → 00:24:04]
• « Alors, si on fait la séparation des variables, etc., on a comme solution $x$ de $t$ qui vaut $t$ au carré. » [00:24:05 → 00:24:09]
  • ⚠️ ASR : « on intègre, ici, c’est racine carré égale à $x$ » [00:24:27] (lecture de l’équation). Le facteur « $2$ » est mal capté ; selon sa position, la solution est $x=t^2$ ou $x=t^2/4$. Le phénomène pedagogical est lui certain : il existe une solution non nulle en plus de la solution identiquement nulle.
• « Alors, x₀, ce que je n’ai pas précisé, ça vaut 0. » [00:24:47] — donc condition initiale $x(0)=0$.
• Le calcul :

$$\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}}=\mathrm{d}t⟹2\sqrt{x}=t⟹x(t)=t^2$$

(forme retenue, cohérente avec « $x$ de $t$ qui vaut $t$ carré »).

• « Alors, est-ce qu’il n’y aurait pas une autre solution à ce truc-là ? Zéro tout le temps — ça, ça [marche] aussi. » [00:25:13 → 00:25:24]
• 📌 Les deux solutions pour la même condition initiale $x(0)=0$ :

$$\boxed{x(t)\equiv 0\text{et}x(t)=t^2}$$

• « Donc, on n’a pas l’unicité de solution. » [00:25:40]

6.2. L’interprétation physique : le réservoir qui se remplit

• « Une façon, dans ce cas-ci, vraiment très intuitive de comprendre, ce serait de voir qu’en fait, ce système dynamique-là, c’est un réservoir qui se vide. » [00:25:47 → 00:26:01]
  • « Donc, si vous vous rappelez, il y a deux semaines, on avait vu un peu les équations d’un réservoir qui se vide, et on [y] trouvait bien la racine carrée qui apparaît — sauf qu’il y a un signe [de] moins. » [00:26:03 → 00:26:11]
• « Donc, ici, ce serait comme si on rebobinait un film, d’un réservoir qui s’est vidé : donc il est au début vide et puis hop il se remplit. Ce serait un peu le film [comédie]. » [00:26:13 → 00:26:17]
• « Mais on comprend qu’il y a deux solutions possibles : soit que le réservoir s’est vraiment vidé et puis en rebobinant le film, on voit un réservoir qui se remplit ; ou alors on filme juste en sens inverse un réservoir qui a toujours été vide. Physiquement, on comprend que c’est possible. » [00:26:22 → 00:26:32]

6.3. La condition manquante : la lipschitzianité locale

• « Alors, est-ce que vous vous souvenez de la condition qui n’est pas vérifiée ici, qui aurait pu nous permettre d’avoir l’unicité ? » [00:26:32 → 00:26:40]
• « Il faut que le $f$ de $x$ soit localement Lipschitz , et dans ce cas-là, alors on a l’existence d’une solution sur un certain intervalle de temps autour de la condition initiale, autour de $0$.* » [00:26:47 → 00:26:56]
  • « Je ne vais pas vous réécrire les résultats, ça c’est plus le cours de M. Carletti. » [00:27:01 → 00:27:05]
  • ⚠️ ASR : « autour de $0$ et $100$ » → « autour de $0$ » (l’intervalle est centré sur l’instant initial $t=0$) ; la lecture « $0$ et $1,00$ » est également possible, cf. Doutes.
• Vérification de la non-lipschitzianité : pour $f(x)=\sqrt{x}$ (ou $2\sqrt{x}$),

$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\underset{x\to 0^{+}}{\to }+\infty$$

⟹ $f$ n’est pas lipschitzienne en $0$.

• La convention adoptée pour tout le reste du cours :
  • « Dans la suite, on supposera toujours que le champ de vecteur est Lipschitz, comme ça on a une solution unique ; mais sinon, on aurait, pour une même condition initiale, potentiellement deux trajectoires différentes. » [00:27:05 → 00:27:22]
• 📌 C’est exactement la liaison avec le cours d’EDO (Carletti) : existence + unicité sous hypothèse de Lipschitz. Voir EDO - Cours 2 et EDO - Cours 3.

6.4. ⚠️ Second point : l’existence n’est que locale — l’explosion en temps fini

• « Et avant de passer vraiment à la suite, juste un autre panneau d’attention : mais si maintenant je prends le cas d’une fonction qui est quand même localement Lipschitz [donc on dégage l’unicité] ,… si on résout, on va obtenir [une solution en] tangente de $t$ , et là on a un souci : c’est qu’en $\pi /2$ ça explose, donc on a une solution qui tend vers l’infini en un temps futur.* » [00:27:22 → 00:27:57]
  • ⚠️ ASR très dégradé sur l’équation : « on va obtenir une tangente de $t$ égale tangente de $t$ ». Les lectures plausibles sont $\dot{x}=\tan t$ ou $\dot{x}=\frac{1}{\tan t}=\cot t$. Le point mathématique, lui, est parfaitement clair : l’ASR dit bien « ça explose », « $\pi /2$ », « tend vers l’infini en un temps futur », « pourtant c’était quand même fini ». Voir Doutes pour les deux lectures.
• « Donc l’existence de la solution seulement sur un certain intervalle : il faut quand même faire attention. » [00:28:03]
• « … à nouveau c’est quelque chose auquel on ne sera pas trop confronté, mais ça pourra arriver. » [00:28:37]
• « … que les solutions s’en aillent à l’infini en un temps [donné], malgré le fait que c’est [fini] et que la solution est nulle ; donc ça, c’était [pour montrer] qu’on va en fait pas [faire] de la suite du cours. » [00:28:42 → 00:28:48]
• « Mais juste pour montrer que voilà, on peut quand même le faire ; mais vous allez voir maintenant qu’on peut faire des choses bien plus simples. » [00:29:03 → 00:29:09]

📌 Contenu théorique : l’existence d’une solution n’est garantie que localement, jusqu’à un temps maximal d’existence $T_{\max }$. Les solutions peuvent exploser ($|x(t)|\to +\infty$) en temps fini. Le profassume que ce phénomène n’apparaîtra pas dans les exercices.

• ✅ Confirmé par le support écrit — Notes_modelisation.pdf § 4 : « On remarquera finalement que la solution de (4) n’est pas nécessairement unique. Mais elle l’est si le champ de vitesse $f$ est (localement) Lipschitz. […] La solution peut néanmoins diverger vers l’infini en un temps fini. » → le mécanisme décrit par le prof est bien celui des notes ; le mot « explosion » est notre reformulation, les notes disent « diverger vers l’infini en un temps fini ».
  • 🔎 Sur la lecture « tangente » : l’ASR prononce « en $\pi /2$ ça explose », ce qui correspond à $\dot{x}=\tan t$ (solution $x=-\ln \cos t$, qui diverge en $\pi /2$) et non à $\dot{x}=\cot t$ (qui diverge en $0$ et en $\pi$). C’est donc $\tan t$ qui est le plus probable — mais le support écrit ne traite pas cet exemple, la lecture reste une inférence.

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7. Le portrait de phase en dimension 1 — [00:29:09 → 00:36:00]

7.1. Le principe : ne pas tracer $x$ en fonction du temps

• « Ce qu’on va faire, c’est ce qu’on appelle le portrait de phase. On en a un petit peu parlé. » [00:29:09 → 00:29:23]
• « Le premier [principe] consiste à s’intéresser seulement aux variables d’état, en [oubliant] / en [alignant] , sans regarder nécessairement l’évolution temporelle. » [00:29:26 → 00:29:40]
• « Donc ne pas faire un graphique comme on l’a vu à l’écran, donc comment le $x$ varie en fonction du temps. Et je vous encourage à éviter de faire ça en général » [00:29:42 → 00:29:51]
  • ⚠️ « en allemagne » [00:29:37] → probablement « en [oubliant le temps], en [gagnant] / en [prenant] » ; la phrase est mal captée mais l’idée est limpide.
• « … mais plutôt de juste regarder une trajectoire, donc comment le $x$ va évoluer. » [00:29:51 → 00:29:56]
• « Alors en deux dimensions — pardon, en une dimension — on a juste une droite, on va avoir notre… » [00:29:56 → 00:30:06]
  • ⚠️ Le prof se reprend (« en deux dimensions, pardon, en une dimension ») : en 1D, l’espace d’état est une droite, mais on trace un graphique à deux axes (voir ci-dessous).

7.2. Le graphique à construire

• « Et comme au tableau, on a deux dimensions, on peut mettre de l’information en plus ici, pour l’axe des ordonnées. » [00:30:14 → 00:30:20]
• « Et quelle information on a en fonction de $\tilde{N}$, à votre avis ? » [00:30:24]
• « Si vous regardez l’équation, elle nous informe : si je vous dis [ce qu’est] le $\tilde{N}$, on a sa dérivée temporelle. Donc, on va mettre le $\dot{\tilde{N}}$. » [00:30:28 → 00:30:39]
• « Et donc, avec ces axes-là, on peut tracer le graphe de la fonction : » [00:30:44 → 00:30:50]

$$f(\tilde{N})=r\tilde{N}(1-\frac{\tilde{N}}{C})$$

• Abscisse : $\tilde{N}$ (variable d’état) — Ordonnée : $\dot{\tilde{N}}=f(\tilde{N})$ (la vitesse).
• « L’axe des abscisses en $0$, et aussi en $C$ : en $0$ c’est nul à cause de ce facteur-ci, et en $C$ c’est nul à cause de ce facteur-ci. » [00:31:04]

$$\underset{=0\text{ou}C}{\underbrace{\tilde{N}}}\underset{=0\text{en}C}{\underbrace{(1-\frac{\tilde{N}}{C})}}$$

• ⚠️ « O c’est nul à cause de ce facteur-ci » [00:31:04] : les deux facteurs.
• La fonction tracée est un parabole renversée, de valeur maximale $rC/4$ en $\tilde{N}=C/2$, positive sur $(0,C)$ et négative en dehors.

7.3. Le lien avec le diagramme « Cobweb » de la semaine dernière

• « Et au fait, ce qu’on fait là, c’est un peu l’équivalent de ce qu’on a fait la semaine dernière avec le diagramme Cobweb. » [00:31:28]
• « On avait la variable d’état $x_n$ et la variable d’état $x_{n+1}$. Ici, au lieu de regarder ce qui se passe d’une étape à l’autre, on veut qu’on ait des temps infinitésimaux ; en temps continu, on garde la dérivée, la variation instantanée de la variable d’état. » [00:31:33 → 00:31:48]
• « On n’a plus besoin de tracer de bissectrice dans ce cas-ci, parce qu’il n’y a pas d’utilité. » [00:31:48]
• 📌 Correspondance des deux représentations :

  	Temps discret (Cobweb)	Temps continu (portrait de phase)
  Abscisse	$x_n$	$x$
  Ordonnée	$x_{n+1}$	$\dot{x}$
  Pas	un cran $n\to n+1$	$\mathrm{d}t$ infinitésimal
  Bissectrice	nécessaire (itérer)	inutile

7.4. Lecture du portrait et convergence vers $C$

• « Et rien qu’avec ça, on sait déjà ce qui va se passer. » [00:31:56]
• « Parce que, à votre avis, si je suis ici, par exemple, un ${\tilde{N}}_0$, qu’est-ce que je peux dire ? » [00:32:00]
• « Moi, quand je regarde dans l’échelle, je regarde cette valeur, ça me dit quoi ? Ça me dit que $\tilde{N}$ [a une dérivée temporelle] positive, donc ça va augmenter. » [00:32:09 → 00:32:22]
  • 📌 Règle de lecture : le signe de l’ordonnée donne le sens de déplacement le long de la droite des états ; la hauteur donne la vitesse (rapidité du déplacement).
• « Donc si je suis ici, je vais aller par là. Et quand je suis ici, c’est toujours positif, donc je continue, je continue. » [00:32:35 → 00:32:39]
• « Vous voyez que plus je m’approche d’ici [de $C$], plus la vitesse, la variation temporelle, diminue ; finalement elle s’annule. Donc, je n’ai pas d’autre choix que d’aller jusque-là et de m’y arrêter. » [00:32:44 → 00:32:52]
• « Maintenant, je suis ici [à gauche de $C$]. Là, vous voyez par contre la variation temporelle, le $\dot{N}$ [est] négative, donc je vais avoir tendance à [l’]éliminer. Et à nouveau, la vitesse $\dot{N}$ va diminuer de plus en plus au fur et à mesure que je me rapproche de $C$. Et puis, finalement, en $C$, elle sera nulle. » [00:32:57 → 00:33:17]
• « Et donc, là, directement, ce dessin, sans faire tous ces calculs un peu compliqués, on voit directement que, quoi qu’il arrive, je converge vers $C$. Et c’est bien ce qu’on a vérifié numériquement. » [00:33:21 → 00:33:33]

$$\boxed{\text{Quel que soit }{\tilde{N}}_0\in \mathbb{R}\setminus \{0,C\}:\underset{t\to +\infty }{\lim }\tilde{N}(t)=C}$$

• « Donc, juste pour passer la fonction [$R$ ?], on constate que, pourtant, vers $C$, on est dans la même [situation]… » [00:33:37 → 00:34:08] — ⚠️ passage très elliptique (ASR : « juste pour passer la fonction R »), cf. Doutes.

7.5. Les cas particuliers : $\tilde{N}=0$ et $\tilde{N}=C$ restent fixés

• « Alors, si on est en zéro, qu’est-ce qui se passe, à notre avis ? On reste en zéro, parce que la raison, elle est [venue] du [terme] [n times N]. » [00:34:18 → 00:34:33]
• « Et de même, si on est en $C$, on va aussi y rester. » [00:34:33]
• « Donc comment est-ce qu’on va appeler ça, $0$ et $C$, si on fait le parallèle à ce qu’on a fait la semaine dernière ? L’orbite, c’est l’équivalent de trajectoire — donc c’est le $x$ de $t$ en fonction du [temps]. Voilà, c’est le point d’équilibre ou le point fixe. Donc ici, $0$ et $C$ sont des points. » [00:34:38 → 00:35:01]
  • ⚠️ « le point affixe » [00:34:55] → « le point fixe » (cochonnet ; c’est bien la terminologie usuelle en systèmes dynamiques, et le prof dit bien « point d’équilibre » juste avant).

7.6. $0$ instable, $C$ stable

• « On appelle aussi l’équilibre stable et instable. J’anticipe, on va revoir ça en détail. » [00:35:01 → 00:35:25]
• Autour de $0$ : « Si je bouge un petit peu à côté de $0$… je vais avoir tendance à [m’éloigner], à aller vers [l’autre], donc il est instable. » [00:35:25 → 00:35:28]
  • « Il n’y a que celui-ci : si je bouge un petit peu à droite, la vitesse va être [positive]… si je bouge un peu à gauche, la vitesse est [négative], donc je vais [m’éloigner]. » [00:35:32 → 00:35:42]
  • ⚠️ L’ASR donne ici « la vitesse va être négative, donc je vais reculer » pour le côté droit, ce qui est incohérent avec $f>0$ sur $(0,C)$ et avec la conclusion « instable ». La lecture cohérente est bien positif à droite / négatif à gauche ⟹ éloignement des deux côtés ⟹ instable.
• « Donc là, ce sera un équilibre [stable]. » [00:35:42] — ⚠️ ASR : « un équilibre scalaire » ; c’est bien l’autre point qui est stable.
• « Et ça, c’était pour l’exemple. Je vous [donnerai] le cas un peu général. » [00:35:53 → 00:36:00]

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8. Portrait de phase : généralités et conventions — [00:36:00 → 00:41:00]

8.1. On repasse à la forme générale $\dot{x}=f(x)$

• « Maintenant, on va [passer] à $f$ [quelconque] ici. » [00:36:02] — ⚠️ ASR : « on va exposer I, I, on passe F ici ».
• « Les équilibres, comme on l’a dit, ça va être tous les points où la vitesse s’annule. Donc $\dot{x}=0$, comme on dit : ce sont les points d’intersection entre le graphe de $f$ et l’axe des abscisses. » [00:36:31 → 00:36:38]

$$\boxed{\text{Eˊquilibre}⟺f(x^{\ast })=0}$$

• « On a déjà fait [le cas] où $F$ en $x^{\ast }$ — cette fois-ci, $n$‘est pas égale à $x^{\ast }$, mais égale à $0$. » [00:36:55 → 00:37:22]
• « Comme on l’a vu, c’est le cas de $\tilde{N}$ qui est égale à $0$ et $\tilde{N}$ qui est égale à $C$. » [00:37:26]
• 📌 Différence à ne jamais confondre : en temps discret, l’équilibre vérifie $F(x^{\ast })=x^{\ast }$ (un point fixe de l’application $F$) ; en temps continu, il vérifie $f(x^{\ast })=0$ (une racine de $f$). Voir section 9.1.

8.2. Stabilité : la convention graphique

• « Ensuite, on peut aussi regarder — tant qu’on est à la stabilité — [pour savoir] si [le point est] stable ou instable, puisque si [c’était] positif, j’aurais pu [avoir] d’abord [fait] négatif » [00:37:45 → 00:38:11] — ⚠️ phrase ASR dégradée ; l’idée est la lecture des flèches de part et d’autre.
• « Voilà, on est positif, là il est instable. Donc on va, au niveau des couleurs, [ça] est toujours un peu compliqué ; on le représente habituellement par un point blanc. » [00:38:11 → 00:38:26]
• « Alors, je ne sais jamais si du coup moi, à la craie, je dois le remplir ou pas, parce qu’il est considéré blanc ou pas ; et donc ici je ne le remplis pas, on va dire que c’est blanc. » [00:38:35 → 00:38:46]
• « Alors ici, par contre, on va être stable : vous voyez, on se rapproche des deux côtés, donc c’est un point noir. C’est juste une convention. » [00:38:48 → 00:38:54]
• « Ici par contre, on sera instable, en blanc, et ici stable. » [00:38:54 → 00:39:01]
• « Instable, [c’est] [ce qui] concerne la stabilité. [L’instabilité,] je vais mettre un point comme ça, rempli [en] noir. » [00:39:01 → 00:39:59] — ⚠️ la fin de cette phrase est contradictoire dans l’ASR ; la règle énoncée deux fois est sans ambiguïté :

📌 Convention du cours : ● point noir / plein = équilibre stable · ○ point blanc / creux = équilibre instable

• « On appellera aussi, de temps à autre, des [équilibres] qui [sont tels qu’il y a] des trajectoires qui ont tendance à aller vers lui. Il agit comme un puits qui absorbe les trajectoires, si vous voulez ; tandis que le point blanc part de lui. » [00:40:04 → 00:40:19]
  • « Je suis ici, une trajectoire qui est juste à côté, mais qui est issue de lui, en quelque sorte, et qui s’en va. » [00:40:46]
  • ⚠️ « Il s’agit comme une soupe. Juste la terminologie. » [00:40:54 → 00:41:00] → « il s’agit [d’]une source » (cochonnet sur « soupe »).

📌 Vocabulaire : un équilibre stable est un puits (sink / attractor) ; un équilibre instable est une source (source / repeller).

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9. Le critère de stabilité — [00:41:00 → 00:46:00]

9.1. Rappel du critère en temps discret (pour le contraste)

• « Ce qui est plus intéressant, c’est le critère de stabilité. Vous vous rappelez, quel était le critère de stabilité en temps discret ? $x_{n+1}=f$ de $x_n$. C’était un critère qui dépendait de $f$. Quel était ce critère ? » [00:41:00 → 00:41:29]
• Réponse des étudiants : « 1 » puis le prof précise : « En valeur absolue. Et c’était en valeur absolue. Donc, si on parle de stabilité, il fallait que la valeur absolue de la dérivée de $f$ au point d’équilibre [soit] inférieure à 1 » [00:41:30 → 00:41:56]

$$\text{discret}:|F^{\prime }(x^{\ast })|<1⟹\text{stable},|F^{\prime }(x^{\ast })|>1⟹\text{instable}.$$

9.2. En temps continu : ce n’est PAS un critère en valeur absolue

• « Alors, est-ce que c’est le même critère ici, à votre avis ? Regardez un petit peu : la valeur de la dérivée, plus ou moins grande par rapport à $1$, a [de l’]importance ? Comme ça, ça change. Ce n’est pas évident, mais vous allez voir, ça aurait changé. La [hauteur de la] vitesse sera relative à droite. Ce n’est pas le même critère, manifestement. » [00:41:56 → 00:42:40]
• « Alors, à votre avis, c’est quoi le critère ici ? » puis « Il est assez [simple]. Vous voyez, c’était déjà la pente aussi la semaine dernière, mais plus concrètement, il sera toujours basé sur la dérivée de $f$. » [00:42:42 → 00:42:50]
• « Ici, c’est simplement croissance-décroissance. » [00:42:57]

$$\boxed{\text{Temps continu}:\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x^{\ast })<0& ⟹\text{stable}\text{(deˊcroissance de la perturbation)}\\ f^{\prime }(x^{\ast })>0& ⟹\text{instable}\text{(croissance de la perturbation)}\end{array}}$$

• « Et là, faites bien attention à ne jamais confondre temps discret et temps continu. C’est quelque chose que je n’aime pas voir sur les copies.bbscaptivé. » [00:43:01 → 00:43:37]

  • ⚠️ Fin d’ASR dégradée (« Malheureusement, on le voit ») — l’avertissement est explicite et merits d’être retenu tel quel.

• Le tableau de contraste à mémoriser :

  	Temps discret ($x_{n+1}=F(x_n)$)	Temps continu ($\dot{x}=f(x)$)
  Condition d’équilibre	$F(x^{\ast })=x^{\ast }$	$f(x^{\ast })=0$
  Critère de stabilité	$|F^{\prime }(x^{\ast })|<1$	$f^{\prime }(x^{\ast })<0$
  Instabilité	$|F^{\prime }(x^{\ast })|>1$	$f^{\prime }(x^{\ast })>0$
  Cas limite	$|F^{\prime }(x^{\ast })|=1$ : on ne peut rien dire	$f^{\prime }(x^{\ast })=0$ : on ne peut rien dire
  Nature de la grandeur	module (croissance et décroissance)	signe

• ✅ Confirmé par le support écrit — Notes_modelisation.pdf § 4.1 donne exactement ces deux critères, dans ces termes :

  « Si $f^{\prime }(x^{\ast })<0$, l’équilibre $x^{\ast }$ est stable ; si $f^{\prime }(x^{\ast })>0$, l’équilibre $x^{\ast }$ est instable ; si $f^{\prime }(x^{\ast })=0$, l’équilibre $x^{\ast }$ est soit stable soit instable (on ne peut rien conclure). » et, pour le temps discret (§ 3.1) : « Si $|f^{\prime }(x^{\ast })|<1$, l’équilibre est stable ; si $|f^{\prime }(x^{\ast })|>1$, il est instable ; si $|f^{\prime }(x^{\ast })|=1$, on ne peut rien conclure. » → le tableau ci-dessus est fidèle au cours écrit, y compris les deux cas limites « on ne peut rien dire ». La même § 4.1 confirme aussi la convention graphique : « un point d’équilibre stable est représenté par un disque noir tandis qu’un équilibre instable est représenté par un disque blanc », et insiste : « Il est important de bien noter les différences entre les critères de stabilité en temps discret et en temps continu » — ce qui recoupe mot pour mot l’avertissement « ne jamais confondre temps discret et temps continu ».

9.3. Le cas limite $f^{\prime }(x^{\ast })=0$ : trois comportements possibles

• « Ok, alors, qu’est-ce qu’on peut dire de plus ? Ah oui, le cas égal à $0$, à votre avis ? » [00:43:58 → 00:44:08]
• « C’est comme le cas où la valeur absolue est égale à $1$ en temps discret : on ne peut rien dire. Ici, on ne peut rien dire non plus. » [00:44:11 → 00:44:17]
• « Je vais vous mettre trois exemples où vous allez avoir trois comportements différents. » [00:44:19]
  • Exemple 1 [00:44:38] : « Ici, stable. »
  • Exemple 2 [00:44:57 → 00:45:08] : « Ici, c’est un peu l’inverse. » … « Stable. » — ⚠️ l’ASR se contredit ; cf. Doutes. L’exemple est présenté comme « l’inverse » du précédent, donc instable.
  • Exemple 3 [00:45:08 → 00:45:46] : « Là, il est marrant ; on aurait aussi pu trouver un comme ça en temps discret, ce n’est pas juste dans le cas du temps continu. Vous voyez que la vitesse est toujours positive. Donc, il est ni stable ni instable, dans le sens que si on vient par la gauche, on va converger vers le point d’équilibre, et si on est à droite, à des valeurs plus grandes, on va diverger. »
    • « Donc, on peut le représenter avec un demi-disque plein et un demi-disque vide. » [00:45:34]
    • « Ni stable ni instable. » [00:45:46]
  • « Attention à ne pas conclure si jamais vous avez la dérivée qui est [nulle]. » [00:45:55] — ⚠️ « pile-nique » = « pile nulle » = « exactement nulle ».

📌 Vocabulaire de l’exemple 3 : un tel équilibre est parfois appelé semi-stable (semi-stable) ou semi-attracteur. Le prof ne le nomme pas — il se contente de dire « ni stable ni instable ».

9.4. « On peut faire le même raisonnement qu’en temps discret »

• « Comme on l’a fait en temps discret, on peut aussi vite faire le raisonnement pour le temps continu. » [00:46:00]
• « L’idée, c’est de regarder l’effet d’une petite perturbation autour de l’équilibre. » [00:46:31]
• 📌 Transition vers la démonstration (section 10).

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10. Démonstration : la linéarisation par développement de Taylor — [00:46:31 → 00:50:45]

10.1. Perturbation de l’équilibre

• « On va dire que $x$ est $t$ [=] l’équilibre $x^{\ast }$ plus $\delta x$ est $t$ : $x(t)=x^{\ast }+\delta x(t)$. » [00:46:35 → 00:46:43]
• « La question, c’est de caractériser $\delta \dot{x}$, la variation temporelle de la perturbation. » [00:46:43 → 00:46:55]

10.2. Calcul de $\delta \dot{x}$

• « $\delta \dot{x}$, qu’est-ce que c’est ? En fait, c’est $\dot{x}$ [puisque $x^{\ast }$ est constante]. » [00:46:59 → 00:47:06]

$$\delta \dot{x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(x^{\ast }+\delta x)=\frac{\mathrm{d}{x}^{\ast }}{\mathrm{d}t}+\frac{\mathrm{d}\delta x}{\mathrm{d}t}=0+\delta \dot{x}$$

• « Si on dérive $x$, là on a une constante, donc ça s’annule, et on a bien la dérivée de $\delta x$. » [00:47:01 → 00:07]
• « Et $\dot{x}$, on connaît, c’est $f$ de $x$ : $f(x)=f(x^{\ast }+\delta x)$. » [00:47:10 → 00:47:13]
• « À nouveau, on peut développer en série de Taylor nos premiers ordres. » [00:47:20]

$$f(x^{\ast }+\delta x)=f(x^{\ast })+f^{\prime }(x^{\ast })\delta x+O\left(\delta x^2\right)$$

• « D’abord, [il y a] des termes d’ordre supérieur. On va négliger. » [00:47:40 → 00:47:44]
• « Et $f(x^{\ast })$ est égal à $0$ — à l’équilibre, la vitesse s’annule. » [00:47:54 → 00:48:03]
• « En temps discret, ce qu’on avait, c’est que $f$ de $x^{\ast }$ est égale à $x^{\ast }$, qui apparaissait là et au sein du jeu aussi. C’est un peu différent : le $x^{\ast }$ n’apparaît pas [dans la dérivée], mais là, à droite, [il n’y a rien]. » [00:48:05 → 00:48:15]

$$\boxed{\delta \dot{x}=f^{\prime }(x^{\ast })\delta x}$$

10.3. Résolution de l’équation linéarisée

• « Du coup, on se retrouve avec une équation linéaire, $\delta \dot{x}=$ [coefficient] $\times \delta x$, en ayant négligé les termes d’ordre supérieur. » [00:48:15 → 00:48:36]
• « Ça, c’est une équation dont vous connaissez normalement la solution [à ceux qui ont suivi le cours de M. Carletti] : une fonction dérivée égale une constante fois elle-même. » [00:48:36 → 00:49:27]
  • « C’est plus simple : à moins de mettre $0$ là, ou une constante, à part ça… la fonction, c’est [l’exponentielle] de la dérivée, c’est elle-même [multipliée par] une constante . Voilà, ce serait l’exponentielle.* » [00:49:27 → 00:49:39]
• « Jusqu’à l’alpha ici, donc ce sera l’exponentielle de $\alpha t$. Donc ça va être une certaine constante qui est en fait la perturbation initiale, $\delta x_0$ fois l’exponentielle de $\alpha t$, donc l’alpha ici, c’est $f^{\prime }$. » [00:49:41 → 00:50:02]

$$\boxed{\delta x(t)=\delta x(0)e^{f^{\prime }(x^{\ast })t}=\delta x_0{e}^{\alpha t},\alpha =f^{\prime }(x^{\ast })}$$

10.4. Lecture du signe de $\alpha$ — la démonstration du critère

• « Vous avez une exponentielle croissante si $f^{\prime }$ est positive, ça [tend] vers l’infini ; ça [tend] vers zéro, ça converge, si $f^{\prime }$ est [strictement] négative. C’est exactement négatif. » [00:50:02 → 00:50:31]
• « Donc là [au point avec $\alpha >0$], ce sera instable ; là [avec $\alpha <0$], ce sera stable. » [00:50:31]
• 📌 Démonstration complète du critère de la section 9.2 : l’exposant de l’exponentielle est la dérivée ; $e^{\alpha t}$ avec $\alpha <0$ décroît, avec $\alpha >0$ explose.

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11. Application : la stabilité de l’équation logistique — [00:50:45 → 00:55:30]

11.1. Le calcul de la dérivée

• « Si on revient à notre exemple, on va faire ça [pour] voir que le critère s’implique bien au cas de population [de lapins]. » [00:50:45]
• « On va voir la dérivée de ce truc-là : » [00:51:16 → 00:51:45]

$$f(\tilde{N})=r\tilde{N}-\frac{r}{C}{\tilde{N}}^2⟹\boxed{f^{\prime }(\tilde{N})=r\left(1-\frac{2\tilde{N}}{C}\right)}$$

• ⚠️ Le calcul est dicté très vite et l’ASR ne le restitue pas ; la dérivée ci-dessus est uniquement déduite de $f(\tilde{N})=r\tilde{N}(1-\tilde{N}/C)$ que le prof a dictée explicitement en section 2.1. Le prof dit lui-même : « à nouveau ici on n’a pas calculé grand-chose à part juste la dérivée de $F$ » [01:53:11 → 01:53:28].

11.2. Les deux équilibres et leur stabilité

• Équilibre ${\tilde{N}}^{\ast }=0$ : « et $C$ où on peut être égal à $0$ [et] $A$ [où $f^{\prime }$ est positif]… il est instable. » [00:51:58 → 00:52:43]

$$f^{\prime }(0)=r\{\begin{array}{ll}>0& \text{si }r>0\\ <0& \text{si }r<0\end{array}$$

• « Bien vu qu’en effet l’origine est instable. Tant mieux pour les lapins. » [00:52:43 → 00:52:51]
  • 📌 À noter : si l’origine (population nulle) est instable, une petite population résiduelle explose — c’est une bonne nouvelle pour les lapins.
• Équilibre ${\tilde{N}}^{\ast }=C$ : « et vers l’autre équilibre, en $C$, c’est égal à [moins] $r$ [qui] s’annule… » [00:52:52 → 00:53:11]

$$f^{\prime }(C)=-r<0(\text{pour }r>0)$$

⟹ stable.

• « Vous voyez qu’à nouveau ici, on n’a pas calculé grand-chose à part juste la dérivée de $F$. Ça, ça peut se faire d’une manière assez systématique, c’est pas trop calculé, et on peut directement caractériser la stabilité des équilibres [qui] peuvent aussi être facilement calculés, vu qu’on doit juste vérifier ceci [= $f=0$] pour trouver la racine de $F$… et tout ça sans résoudre l’équation.* » [00:53:11 → 00:53:49]
• 📌 La recette, en deux étapes et sans integration : (1) résoudre $f(x)=0$ pour trouver les équilibres ; (2) évaluer $f^{\prime }$ en ces points et regarder le signe.

11.3. ⚠️ Remarque : le cas $r<0$ — et les limites du modèle

• « Alors, petite remarque : si on avait eu un $R$ qui était [négatif]… si on avait eu un $R$ qui était positif — pardon, $R$ négatif — le comportement [serait] inverse, puisque du coup ici ce serait stable et là ce serait instable. » [00:53:49 → 00:54:16]

$$r<0⟹f^{\prime }(0)=r<0(\text{stable}),f^{\prime }(C)=-r>0(\text{instable}).$$

• « Donc là, on aurait un point fixe stable et là un point fixe instable, et ça s’explique par le fait que si $R$ est négatif, on n’a plus les [lapins] — mais en gros, c’est le taux de mortalité qui est plus grand que le taux de natalité. » [00:54:17 → 00:54:28]
• Le défaut du modèle : « Mais est-ce que dans ce cas-là, vous ne trouvez pas qu’il y a un truc bizarre avec ce comportement ? Si la condition initiale est plus grande que $C$, on va aller vers l’infini. » [00:54:32 → 00:54:52]

$${\tilde{N}}_0>C⟹(1-\frac{{\tilde{N}}_0}{C})<0⟹f({\tilde{N}}_0)=\underset{<0}{\underbrace{r}}\cdot \underset{>0}{\underbrace{{\tilde{N}}_0}}\cdot \underset{<0}{\underbrace{(1-\frac{{\tilde{N}}_0}{C})}}>0⟹\tilde{N}\text{ croıˆt}⟹\tilde{N}\to +\infty$$

• « Alors, là il y a un souci, parce qu’on est dans le cas déjà où la population a un taux de mortalité plus grand que le taux de natalité, et on est au-delà de la capacité maximale, et donc on voit que ça n’a aucun sens. » [00:54:52 → 00:55:03]
• « Et donc ça, c’est juste pour illustrer un peu les limites du modèle. Il y a déjà un modèle vraiment basique, ce n’est pas le but de faire des choses précises, mais juste pour vous montrer que dans certains cas [où] le $R$ change de sens, il semblerait qu’ici en fait c’est vraiment pas réaliste et on sort du cadre du modèle. » [00:55:03 → 00:55:21]
• « Et c’est aussi pour vous rappeler que nos [modèles] ont leur limite. » [00:55:23 → 00:55:27]
• 📌 Leçon de modélisation : le modèle logistique « naïf » (une seule espèce) a un domaine de validité restreint ; il ne sait pas décrire une population en compétition (ce qui viendra en section 20).

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12. Le bassin d’attraction (introduction) — [00:55:27 → 00:56:25]

• « Ok, on est en train de faire la pause, mais peut-être juste une toute dernière chose pour vous introduire une notion qu’on reverra de manière un peu plus importante la semaine prochaine, et encore dans deux semaines : c’est la notion de bassin d’attraction. » [00:55:27 → 00:55:42]
• « Vous voyez qu’ici, on peut identifier l’ensemble de toutes les conditions initiales qui vont donner des trajectoires qui convergent vers l’équilibre. C’est toutes les conditions initiales qui sont comprises entre ici et ici — elles sont comprises entre les deux équilibres instables. » [00:55:42 → 00:55:56]
• « Et ça, c’est ce qu’on va appeler le bassin d’attraction de cet équilibre : l’ensemble de toutes les conditions initiales telles que $x$ de $t$ [tend vers] l’équilibre. » [00:55:56 → 00:56:06]
• « Par exemple, ici, le bassin d’attraction, il va de ici jusqu’à l’infini [= depuis $C$]. Toutes ces conditions initiales vont converger vers [zéro]. » [00:56:06 → 00:56:16]
• Les deux bassins de l’équation logistique ($r>0$) :

$$\boxed{\mathcal{B}(C)=(0,C),\mathcal{B}(0)=(C,+\infty )}$$

• « C’est juste pour vous introduire la notion, mais on en reparlera. » [00:56:21]

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13. Question posée avant la pause : pourquoi le continu est-il plus simple que le discret ? — [00:56:27 → 00:57:30]

• « Ok, est-ce que vous avez des questions ? » [00:56:27]
• « C’est [la] fin sur la partie unidimensionnelle. » [00:56:33] — ⚠️ ASR : « Ceci prend sur la partie unidimensionnelle ».
• « On remarquera que, peut-être, juste avant de faire la pause, que les comportements ici sont beaucoup plus simples. » [00:56:37]
• « La population de lapins, on peut changer le paramètre $R$. Tant que $R$ est positif, vous l’avez vu, le critère ne change pas. Cet équilibre va toujours être stable. » [00:56:43 → 00:56:52]
• « Rappelez-vous, en temps discret, quand on augmentait un peu $R$, ça devenait instable, on commençait à avoir des orbites [dégénérées]. » [00:56:54 → 00:56:57]
  • ⚠️ ASR : « orbit es régénérées » → très probablement « orbites dégénérées » (le passage à la bifurcation du logistic discret) ; le terme exact est en Doutes.
• « Alors, à votre avis, pourquoi est-ce que quand on est en temps continu, on a des comportements globalement plus simples pour un même nombre de dimensions ? » [00:56:59]
• « Ici, en dimension 1, ça pouvait être extrêmement compliqué en temps discret, [jusque] chaotique. Tandis qu’ici, on n’aura rien d’autre que des équilibres qui sont stable et instable. » [00:57:10 → 00:57:16]
• « Et intuitivement, est-ce que vous voyez pourquoi ? » [00:57:20]
• « Et la pause, je vous laisse réfléchir comme ça, et on en reparle à 10 [heures]. » [00:57:30]
  • 📌 La pause dure de 00:57:30 à 01:08:59 (11 min 29 s). Le chapitre suivant (systèmes multidimensionnels) commence à 01:12:02.

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14. La pause — [00:57:30 → 01:08:59]

14.1. Échanges sur l’exercice de la dernière fois (dérivée de $F$)

• [00:58:17] « Juste pour la dernière, je pense que c’est pas… » … « Non, la dernière, elle se termine [à] huit heures. »
  • ⚠️ Les passages [00:58:17]–[01:01:05] sont un dialogue d’étudiants (et non du cours) : recherche du devoir de la « dernière fois », disputes sur les créneaux (mardi 16h–18h vs. le lendemain 10h–midi), un TP « pour les gens qui marchent sur les [mains] », et un moment où « Il y a quelqu’un qui s’ennuie là-dedans » / « Si je pouvais assister, je pourrais ».
• [00:58:53] Un étudiant : « J’ai dérivé ce terme-là : j’ai $R$ fois l’autre, puis je laisse ce terme-là $RB$, pour la dérivée de ça, moins $1$ sur $C$. »
• [00:59:17] Un autre : « Moi, j’ai développé l’expression… »
• Réponse du prof [00:59:22 → 00:59:32] : « Oui, parce qu’en fait, ce qui se passe, c’est que quand vous distribuez, les deux $-RB$ ça donne $-2RB$ avec un $R$ dedans. Et c’est la même expression que quand on [factorise] et quand on distribue, ce n’est [rien de] plus. »
• « Ce qui était intéressant de garder [la forme factorisée], c’est qu’on voit directement ces cas-là » [00:59:47 → 00:59:57] — c’est-à-dire les zéros de $f$ (les équilibres $0$ et $C$) et le signe de $f$, visibles immédiatement dans $r\tilde{N}(1-\tilde{N}/C)$.

📌 Note de méthode : la forme factorisée $f(x)=rx(1-x/C)$ est bien plus utile que la forme développée $rx-\frac{r}{C}{x}^2$, car elle donne directement les racines et le signe.

14.2. La zone de silence

• [01:02:29] → [01:07:00] : aucun contenu de cours. L’ASR indique « En fait, il n’y a pas la solution », « Personne n’a réagi », deux passages « Sous-titrage ST’ 501 » (artefacts du modèle de transcription), puis [01:03:45] « Il ne faisait que des rappels de ce qui l’intéressait et de ce qui était prévu en avance. »
• ⚠️ Contenu non identifié : aucune trace du contenu pédagogique de cette séquence ; à ne pas reconstruire.

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15. Réponses à la question d’avant la pause — [01:08:59 → 01:12:02]

15.1. Retour sur la question de « Marine » : les deux logarithmiques discrétes

• Un étudiant prend la parole [01:08:59 → 01:09:23] : « J’ai un peu regardé par rapport à la question de Marine : il y a bel et bien une différence… je ne sais pas si j’avais omis, ou si c’est la première fois qu’on le voit, mais ce n’est pas possible, de ce que j’ai essayé de faire, de garder la même équation, la même modélisation, et d’arriver aux mêmes équations finales. Il faut juste le prendre à ce stade comme deux façons de modéliser un peu différentes, sachant que de toute manière c’est quand même pas très réaliste à ce stade. »
• Le prof ne tranche pas : il valide laremarke (« voilà, est-ce que vous avez d’autres questions… » [01:09:25 → 01:09:29]).
• 📌 Ce qui est établi : les deux discrétisations possibles de l’équation logistique — avant (« left hand side ») et après (« right hand side ») l’évaluation du taux de natalité — ne sont pas équivalentes et conduisent à des dynamiques discrètes différentes (« on ne peut pas garder la même équation et arriver aux mêmes équations finales »). Elles représentent deux choix de modélisation distincts, tous deux peu réalistes. Voir Doutes.

15.2. ⚠️ La réponse : pourquoi le temps continu est-il « plus simple » ?

• « [Par rapport à] ces systèmes 1 dimension, temps continu : est-ce que vous avez des idées de pourquoi c’est plus compliqué en temps discret qu’en temps continu ? » [01:09:32 → 01:09:41]
• Réponse d’un étudiant [01:09:44] : « On regarde des moments précis. » puis [01:10:26] « Pourquoi est-ce qu’il y a plus de liberté, plus de comportements possibles en temps discret ? »
• La réponse du prof [01:10:26 → 01:11:41] :
  • « Finalement, vous voyez que le portrait de phase, quand on va à droite, quand on va à gauche, finalement on peut juste converger vers un équilibre. Alors, pourquoi est-ce que c’était plus compliqué que ça en temps discret ? »
  • « En temps discret, si on est là, qu’est-ce qui va se passer après ? On continue ; si on est ici, on va juste aller par là. » [01:10:51 → 01:11:02]
  • « En temps discret, on va aller n’importe où : l’application peut être quelconque, et de là on peut sauter la barre. » [01:11:02 → 01:11:16]
  • « C’est le fait qu’on peut faire des sauts, et qu’il n’y a pas de contraintes topologiques. Là, en temps continu, on est obligé de continuer de rester le long d’une droite, sans faire de [sauts]. Donc si à un moment il y a un point d’équilibre, on bloque » [01:11:16 → 01:11:35]
  • « C’est très intuitif, mais c’est quand même ça qui fait qu’on a beaucoup plus de complexité, même en une dimension, tandis que quand on est [en] continu, le fait que ce soit en une dimension ça contraint énormément les choses. » [01:11:35 → 01:11:47]

📌 L’idée-clé : en temps discret, l’application $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ est quelconque : rien n’interdit à la trajectoire de sauter d’un point à un autre arbitrairement loin. Il n’existe donc aucune contrainte topologique. En temps continu, une solution est une courbe dérivable : le déplacement est local, et sur une droite, cela contraint tout.

• La règle de dimensionnalité du chaos [01:11:47 → 01:11:55] :
  • « En deux dimensions, ça contraindra encore un peu les choses, mais moins, et ce ne sera pas encore chaotique. Il faudra seulement trois dimensions pour arriver à des comportements chaotiques aussi complexes que le temps discret, mais en une seule dimension. »

$$\boxed{\text{continu}:\text{1D et 2D}\text{simples}|\text{chaos aˋ partir de }3\text{D},\text{ alors qu’en }1\text{D}\text{ le chaos est deˊjaˋ atteignable en temps discret.}}$$

• ✅ Confirmé par le support écrit — Notes_modelisation.pdf § 8.3 (« Comportements complexes en temps discret ») formule exactement cette asymmetry, avec l’exemple canonique de l’équation logistique :

  « Les systèmes dynamiques en temps discret exhibent également des comportements chaotiques. C’est le cas par exemple de systèmes simples, même de dimension 1, tels que l’application logistique $x[n+1]=rx[n](1-x[n])$. […] la période de l’orbite double successivement lorsque $r$ augmente. Il s’agit de bifurcations “flip” […] Vers des valeurs $r\approx 3.6$, l’orbite devient apériodique et correspond à un comportement chaotique. […] on retrouve des fenêtres périodiques (par exemple, orbite de période 3 pour $r\approx 3.83$). Le retour au chaos s’effectue […] par phénomène d’intermittence. » → la « règle » énoncée oralement est donc le contenu réel du cours écrit, et l’équation logistique est bien celle de la séance 1. En miroir, la § 7 (« Cycles limites ») justifie la partie continue : « pour autant qu’ils aient une dimension supérieure ou égale à 2 ».

  • 🔎 La même § 8.3 mentionne l’exposant de Lyapunov comme outil de détection du chaos, et des « frontières des bassins d’attraction […] fractales » pour les systèmes à plusieurs équilibres stables — utile pour la séance 3.

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16. Passage aux systèmes multidimensionnels — [01:12:02 → 01:16:42]

16.1. Le programme de la suite

• « Ok, alors, on va commencer le chapitre suivant, qu’on continuera la semaine prochaine. » [01:12:02]
• « Il s’agit, c’est pas tout, des systèmes [c’est-à-dire] multidimensionnels, deux dimensions en plus. » [01:12:08]
• « On va traiter temps discret et temps continu maintenant, parce qu’on va tout doucement commencer à jongler entre les deux, même si aujourd’hui, on va rester dans le temps continu. Mais la semaine prochaine, on reparlera de stabilité, et là, on fera une paire de cours : stabilité, temps discret et temps continu. » [01:12:27 → 01:12:50]

16.2. La forme générale : $\dot{x}=f(x)$ avec $x\in {\mathbb{R}}^n$

• « Alors, dans ce cas-ci, on va traiter maintenant des systèmes $\dot{x}=f(x)$. » [01:12:50]
• « Ici, juste pour rappeler, je mets des flèches : donc on travaille avec des vecteurs ici, puisque $x$ va être maintenant un vecteur d’état. » [01:13:01 → 01:13:06]
• « On va avoir $n$ états différents, typiquement donc $n$ plus grand. » [01:13:11]
• « Et le $f$, là, il prend vraiment son sens comme étant le champ de vecteurs. Il s’agit vraiment d’un champ vectoriel, ou champ de vitesse plutôt, quand on dit un peu les deux. Donc il va de ${\mathbb{R}}^n$ vers ${\mathbb{R}}^n$. » [01:13:19 → 01:13:37]
• « On va travailler sur des variétés aussi, mais ici, on va rester dans la simplicité de ${\mathbb{R}}^n$. » [01:13:42]

$$\boxed{\dot{x}=f(x),x\in {\mathbb{R}}^n,f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n,f\text{Lipschitzien}}$$

16.3. Trajectoires et espace d’état

• « Alors, comme toujours, on va avoir $x$ en fonction du temps, on va se définir une trajectoire, une orbite, et on va pouvoir représenter cette trajectoire dans l’espace d’état : le portrait de phase. » [01:13:51 → 01:14:08]
• « Donc, si je suis en 3 dimensions, avec une condition initiale, je vais avoir un temps $t$, je serai en $x$ de $t$, qui se trouve quelque part dans cet espace de phase. » [01:14:15 → 01:14:47]
• « On parle d’espace de phase, d’espace d’état, portrait de phase : tout ça, c’est un peu des synonymes. Peut-être que « portrait », c’est plutôt en deux dimensions, donc avec seulement deux variables, mais tout ça veut un peu dire la même chose. » [01:14:49 → 01:15:03]

16.4. Interprétation géométrique : le champ de vecteurs est une vitesse

• « Alors, à votre avis, le champ de vecteurs, si on l’évalue ici en $x$ de $t$, comment est-ce qu’il va être ? La valeur de $f$, c’est un vecteur ; comment est-ce qu’il va se positionner sur le dessin ? » [01:15:03 → 01:15:26]
• Réponse d’un étudiant [01:15:46 → 01:15:54] : « Pour [une] trajectoire, et ma trajectoire elle est décrite par cette équation-là, donc $\dot{x}=f$ de $x$ ; la dérivée temporelle de $x$… c’est le tangent à cette courbe. »
• « Voilà, c’est le tangent à cette courbe, puisque finalement, c’est la vitesse. Par exemple, si $x$ a défini une position en 3D, là, clairement, on parle de la vitesse, et donc [du] tangent. » [01:15:50 → 01:16:00]
• « Donc, le résultat de cette équation-là, ça reviendrait à trouver la courbe qui part de là et qui est sans cesse tangente [au champ de vecteurs]. » [01:16:07 → 01:16:17]

  📌 Définition géométrique : la solution de $\dot{x}=f(x)$ est l’intégrale curviligne du champ de vecteurs $f$, c’est-à-dire la courbe dont le vecteur tangent en chaque point est le champ de vecteurs lui-même. Voir aussi EDO - Cours 2.

16.5. ⚠️ La résolution reste généralement impossible

• « Ça a l’air simple, mais en fait, on ne peut pas trouver, dans le cas de solutions analytiques, de manière générale, même à partir de $n$ égalé 2. » [01:16:17 → 01:16:24]
• « Alors, cette représentation dans l’espace de phase est vraiment importante. Plutôt que de faire une représentation où on mettrait $X_1$, $X_2$, $X_3$ en fonction du temps — essayez vraiment d’éviter, et je vous avais déjà illustré deux situations… » [01:16:24 → 01:16:42]
  • ⚠️ ASR : « est vraiment importante et vigile » → probablement « est vraiment importante et [riche] ».

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17. Le pendule : le portrait de phase en dimension 2 — [01:16:42 → 01:21:14]

17.1. Le dispositif

• « [Puisque] je vous avais déjà illustré deux situations, je vais vous les remontrer. [D’abord] le pendule : on est en deux dimensions, donc là, c’est vraiment le portrait de phase en deux dimensions. Vous avez l’angle du pendule et la vitesse angulaire du pendule, avec différentes conditions initiales. » [01:16:42 → 01:17:03]

$$\text{eˊtat}=(\theta ,\dot{\theta })\in {\mathbb{R}}^2\text{(angle + vitesse angulaire)}$$

17.2. Ce que le portrait de phase montre (et pas le graphe $t\mapsto x$)

• « Là on part de la verticale vers le bas avec des vitesses différentes, et vous voyez que l’on obtient ce portrait de phase qui a l’air [d’être] assez géométriquement compréhensible, comparé au fait qu’on mettrait toutes les trajectoires en fonction du temps. » [01:17:03 → 01:17:16]
• « Ici, vous pouvez peut-être remarquer quelque chose par rapport à ces [points] : qu’est-ce que vous pouvez dire qu’ils ont de particulier, ces [points] ? » [01:17:16 → 01:24]

17.3. ⚠️ L’observation clé : les trajectoires ne s’intersectent jamais

• « [Ils] s’enroulent tout ensemble — je ne parle pas de leur comportement individuel, mais quand on les regarde tous ensemble » [01:17:31 → 01:17:35] — ⚠️ L’ASR n’a rien restitué de clair sur cette phrase ; l’idée est que les trajectoires s’enroulent les unes autour des autres.
• « Là, ce sera le fait que l’on va voir des [équilibres] stables, instables… J’avais dessiné des trajectoires, mais [avec] n’importe quoi : il n’y aura jamais d’intersection des trajectoires. » [01:17:35 → 01:18:22]
• Question d’un étudiant [01:18:22] : « En tout cas, ça voudrait dire que si deux trajectoires s’intersectent, la solution n’est [pas] unique, c’est ce que tu veux dire ? »
• « On n’est peut-être pas très loin de… Est-ce que ça a à voir avec l’unicité, en tout cas ? Peut-être que je n’ai pas bien compris. »
• Réponse du prof [01:18:55 → 01:19:49] :
  • « Mais clairement, c’est l’unicité. Parce qu’à partir du moment où on note les choses, les trajectoires n’ont pas d’intersection. »
  • « Une trajectoire qui s’intersecte, ça veut dire que si je reprends ce point-là comme une condition initiale, ça voudrait dire qu’on a deux solutions possibles. À partir du moment où le champ de vecteurs est Lipschitzien, ce n’est pas possible, car on a l’unicité des solutions. »

$$\boxed{\text{uniciteˊ (Lipschitz)}⟹\text{les trajectoires ne se coupent jamais}}$$

📌 L’hypothèse lipschitzienne (rappelée en section 6.3) est donc exactement ce qui garantit la « non-intersection » des trajectoires. Tout le chapitre repose dessus.

17.4. La contrainte topologique en dimension 2

• « Et du coup, en deux dimensions encore, ce serait une contrainte topologique assez forte, ce qui fait que les trajectoires ne vont pas pouvoir faire des choses trop folles. Parce qu’une trajectoire qui commence à tourner autour d’un équilibre, elle va encercler les autres trajectoires, qui seront obligées de rester à l’intérieur, parce qu’elles ne peuvent pas sortir. » [01:19:49 → 01:20:05]

  📌 Le « tout ou rien » de la dimension 2 : en 2D, une courbe fermée (un cycle) sépare le plan en deux régions (théorème de Jordan) ; toute trajectoire qui y est piégée ne peut pas en sortir. Ce n’est pas possible en dimension ≥ 3, où l’on peut « passer au-dessus ».

• « Donc en deux dimensions, les comportements restent encore raisonnables, même si on verra qu’on va observer aussi d’autres choses que juste des équilibres. » [01:20:05 → 01:20:13]

• « Je vous laisse encore un peu le suspense. Mais par contre, pas de comportement chaotique. Et les comportements chaotiques, c’est seulement à partir d’une troisième dimension, où là les trajectoires sont beaucoup plus libres, parce qu’avec une courbe toute seule, on ne peut pas commencer à enfermer une autre en trois dimensions. En deux dimensions, c’est possible, mais pas en trois dimensions. » [01:20:17 → 01:20:33]

• « Et du coup, c’est seulement en trois dimensions qu’on verra ce fameux attracteur étrange, avec les ailes du papillon, pour le modèle de Lorenz. » [01:20:33 → 01:20:43]

  • ⚠️ ASR : « le modèle de l’orange » → « le modèle de Lorenz » (confirmé par « les ailes du papillon », i.e. l’attracteur de Lorenz).

17.5. Un second exemple : une trajectoire qui ne s’intersecte pas elle-même

• « Là, vous voyez quelque chose d’un peu bizarre qui se passe : à nouveau, la trajectoire ici ne s’intersecte jamais, même avec elle-même évidemment, ni avec les autres, mais ça peut caractériser des choses un peu plus compliquées » [01:20:43 → 01:20:58] — ⚠️ fin d’ASR dégradée (« que l’orgé de l’orange ») ; cf. Doutes.
• « Ceci, c’est aussi pour vous donner une histoire de boucle à portrait de phase, et ça a juste [servi] à comprendre le composant. » [01:20:58 → 01:21:14]

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18. Les équilibres en dimension $n$ — [01:21:14 → 01:22:45]

• « Ça c’était pour le portrait de phase. Alors, si maintenant on parle un peu des équilibres : les équilibres, ça va être la même chose, on va s’accompagner — on va avoir une dérivée nulle » [01:21:14 → 01:21:31] — ⚠️ « s’accompagner » est un artefact ASR ; la phrase utile est « on va avoir une dérivée nulle » (voir § 6.1 et § 18).
• « Et donc, ça va être le point qui est un vecteur $x^{\ast }$ tel que $f$ de $x^{\ast }$ est égal à $0$. Autrement dit, $f_j$ de $x^{\ast }$ est égal à $0$, où $j$ entre $1$ et $n$ : donc c’est composante par composante. Je dois annuler toutes les composantes du champ de vecteurs. » [01:21:31 → 01:22:12]

$$\boxed{\text{Eˊquilibre en dimension }n⟺f(x^{\ast })=0⟺\{\begin{array}{l}{f}_1(x^{\ast })=0\\ f_2(x^{\ast })=0\\ ⋮\\ f_n(x^{\ast })=0\end{array}}$$

• « C’est $n$ équations, pas une seule. » — 📌 point à retenir : en dimension $n$,Finding les équilibres est un système de $n$ équations algébriques.
• « La stabilité, ce sera pour la semaine prochaine, on ne va pas encore trop se préoccuper de ça. Mais à ce stade, on s’est déjà [dit] qu’il suffit juste de [calculer] un équilibre, il suffit juste de résoudre cette équation. Donc une équation algébrique. Alors si c’est des polynômes, ça peut être un peu compliqué, ou des fonctions encore plus compliquées, ce sera encore plus compliqué. Mais il y a moyen de le faire par ordinateur, ou dans la plupart des cas, on le fera aussi manuellement. » [01:22:12 → 01:22:41]

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19. Les isoclines — [01:22:41 → 01:26:05]

19.1. Définition

• « Voilà, et aujourd’hui, on va terminer, pour la bonne demi-heure qui nous reste, à considérer une notion qui va nous être utile, principalement en deux dimensions. Il y a deux variables, c’est la notion d’isocline. » [01:22:41 → 01:23:06]
  • ⚠️ ASR : « isoply » / « isoply » → « isocline » (le mot est systématiquement mal capté par l’ASR).
• « [On] considère les isoclines. Pourquoi on va [s’intéresser] aux isoclines ? Ce sont les courbes sur lesquelles on a une des composantes du champ de vecteurs qui s’annule, qui est égale à $0$. » [01:23:06 → 01:23:24]
• « Pour le dire plus mathématiquement, on va définir un ensemble, je l’ai appelé $J$ : c’est une seule variable d’état qui aura une dérivée [nulle]. C’est l’ensemble des $x$ tels que $f_j(x)=0$. » [01:23:24 → 01:24:03]
  • ⚠️ « une seule délarée d’état qui aura une dérivée » → « une seule coordonnée d’état qui aura une dérivée nulle ».

$$\boxed{{\mathcal{I}}_j=\{x\in {\mathbb{R}}^n:f_j(x)=0\}}$$

19.2. Construction et utilité

• « Tracer ces courbes, ce n’est pas trop compliqué, c’est juste tracer les courbes qui sont définies par cette équation. Et ça va nous permettre d’avoir une idée du comportement global du système. » [01:24:03 → 01:24:17]
• « En particulier, si on considère l’intersection des isoclines, qu’est-ce que ça va donner, à votre avis ? » [01:24:17 → 01:24:50]
• « Si c’est l’intersection de toutes les isoclines, du coup on a les $f_j$ qui s’annulent, mais pour tous les $j$ possibles. » [01:24:50 → 01:25:03]
• « [C’est] vraiment les points où on a tous les $f_j$ qui s’annulent en même temps, et donc c’est bien tous les $f_j$. » [01:25:11 → 01:25:17]

$$\boxed{\bigcap _{j=1}^n{\mathcal{I}}_j=\{x^{\ast }:f_j(x^{\ast })=0\forall j=1,\dots ,n\}=\text{ensemble des eˊquilibres}}$$

19.3. ⚠️ Mise en garde de notation

• « Par contre, je me rends compte que ça pourrait porter à confusion que je mette des indices comme ça : on pourrait croire que ça va être composante d’un $x$ et de l’autre. Je vais peut-être écrire ça autrement : $x$ à l’étoile, [et] $x$ à l’étoile, etc. » [01:25:31 → 01:25:48]
  • 📌 Le prof abandonne la notation $f_1(x_1)=0$, $f_2(x_2)=0$ (qui ferait croire à des équations séparées, découplées) au profit de la notation par vecteur $f(x^{\ast })=0$. C’est un avertissement pédagogique : ne pas découpler abusivement un système couplé.
• « Ça va pour cette notion ; on va l’appliquer à un exemple. » [01:25:48 → 01:26:05]

📌 Les 4 outils du chapitre « portrait de phase », dans l’ordre d’utilisation :

1. Tracer le champ de vecteurs / le graphe de $f$ (1D) ou les isoclines (2D+) ;
2. Lire le signe de chaque composante pour obtenir le sens de déplacement ;
3. Repérer les équilibres (racines communes / intersection des isoclines) ;
4. Conclure à la stabilité par le signe de la dérivée (1D) — la multidimensionnelle est pour la semaine prochaine.---

20. Du cas 1D à 2D : le modèle de Lotka–Volterra — [01:26:05 → 01:29:52]

20.1. Présentation du modèle

• « Ce que je vous propose, c’est de considérer un modèle relativement réaliste, un modèle bien connu en théorie des systèmes dynamiques : c’est le modèle de Lotka–Volterra. Il y a deux personnes qui l’ont fait de manière un peu indépendante. » [01:26:05 → 01:26:38]
• « Et alors, on a deux versions de ce modèle-là. C’est un modèle qui parle d’espèces animales qui sont soit en compétition pour une même source de nourriture, ou alors il y a une version d’espèces animales avec une proie et un prédateur. On va commencer par regarder le modèle de compétition. » [01:26:40 → 01:27:00]
  • ⚠️ ASR « de L’Oscar Volterra » / « L’Oscar » / « vodka Voltaire » [01:52:06] → Lotka–Volterra.
• « Ce sont des modèles qui, encore à l’heure actuelle, sont utilisés en écologie pour caractériser le comportement de différentes espèces, que ce soient des plantes qui sont dans une même zone et qui ont une compétition entre elles, ou que ce soient des animaux. » [01:27:00 → 01:27:18]
• L’anecdote historique [01:27:18 → 01:27:37] : « Initialement, je ne sais plus lequel des deux, mais c’était pour étudier dans des zones un peu [artificielles]… la co-existence… ah non, c’est le pré-prédateur… pour le pré-prédateur c’était des lapins et des renards, je pense, mais on le fera plus tard. »
• « Donc, ici, on a deux espèces en compétition. On va avoir comme variables d’état le nombre d’individus dans les deux populations, donc $x_1$ et $x_2$. » [01:27:37 → 01:27:58]

20.2. Les équations du modèle de compétition

• « Bon, je ne vous disais pas si réaliste que ça, mais finalement c’est celui-là qui est utilisé. C’est un peu la version de tout à l’heure » [01:28:25 → 01:28:29] — c’est-à-dire le modèle logistique de la partie 1D.
• « … sauf que là, c’est la population qui est toute seule qui vit sa vie toute seule, sauf qu’ici malheureusement elle est en compétition avec une autre population. Donc il y a une influence négative de l’autre population, avec un moins, et cette influence va dépendre du nombre d’individus dans la population considérée, mais fois le nombre d’individus dans l’autre population. Donc, si vous voulez, le $b$ fois $x_2$ ici… » [01:28:32 → 01:29:00]
• « … ce serait vu comme un taux de mortalité supplémentaire par rapport au taux de mortalité naturel, qui vient multiplier le nombre d’animaux de la population. C’est proportionnel à $x_1$, parce que plus il y a d’animaux dans la population, plus ils vont s[adoucir] — « s’[affamer] » : ils vont s’affamer, mais ça dépend aussi du nombre de l’autre population. » [01:29:03 → 01:29:24]
• « Et alors, pour l’autre population, c’est exactement la même équation, mais avec des paramètres différents. Donc on va avoir un $c$ fois $x_2$ fois $1$ moins $x_2$ moins $z$ fois $x_1$. » [01:29:24 → 01:29:36]

$$\boxed{\begin{array}{rl}{\dot{x}}_1& =a{x}_1(1-x_1)-b{x}_1{x}_2\\ {\dot{x}}_2& =c{x}_2(1-x_2)-d{x}_1{x}_2\end{array}}$$

• ⚠️ Correction importante à apporter : l’ASR donne « *$c$ fois $x_2$ fois $1$ moins $x_2$ moins $z$ fois $x_1$ ». Le coefficient de couplage est un $d$, pas un $z$ — preuve : à [01:32:49] le prof dit « On divise tout par $x_2$, on va avoir $c$ fois $1$ moins $x_2$, moins $d$ fois $x_1$ », et à [01:33:09] il discusses de cette droite. Le « $z$ » est un artefact ASR du « $d$ ».
• ⚠️ Convention d’échelle : la forme logistique s’écrit ici $a{x}_1(1-x_1)$ et non $a{x}_1(1-x_1/K)$ : la capacité maximale a été normalisée à $K=1$. Les $x_i$ sont donc des fractions de capacité (dans $[0,1]$), ce qui explique que les isoclines ait une ordonnée à l’intersection $<1$ (« ici je suis en $\frac{1}{b}$, qui est plus petit que $1$ » [01:40:02]) et que « l’autre isocline va se trouver ici » sur l’axe $x_2=1$.
  • ℹ️ Statut : le support écrit ne contient aucun exemple de Lotka–Volterra ni de compétition (vérifié sur Notes_modelisation.pdf, cours5.pdf, cours6.pdf) : cette normalisation $K=1$ reste donc une lecture de l’ASR + des valeurs dictées, non confirmée par un document. Cf. Doutes.

20.3. Lecture du modèle : la structure du terme de couplage

$$\underset{\text{croissance logistique seule}}{\underbrace{a{x}_1(1-x_1)}}-\underset{\begin{array}{c}\text{mortaliteˊ suppleˊmentaire}\\ \text{due aˋ la preˊsence de l’autre espeˋce}\end{array}}{\underbrace{b{x}_1{x}_2}}$$

Terme	Sens physique	Lecture
$a{x}_1(1-x_1)$	croissance naturelle de $x_1$ (natalité moins mortalité, capacité $1$)	« seule »
$b{x}_1{x}_2$	effet négatif de $x_2$ sur $x_1$	« taux de mortalité supplémentaire »

• 📌 Deux digressions de modélisation :
  • « Je ne[m] demande même pas qu’on prédise » [01:34:32] — le modèle n’est pas destiné à prédire quantitativement, mais à caractériser qualitativement les qualitatives des interactions.
  • « On peut dire, oui, mais ces termes sont grands, ça a tendance à diminuer la population ; mais si une population diminue, elle va avoir moins d’effet sur l’autre, et donc il y a parfois un peu des effets de couplage et de boucle de rétroaction, quelque sorte. Donc, ce n’est pas toujours si évident. » [01:35:03 → 01:35:22]

    📌 Rétroaction : c’est précisément ce couplage croisé qui interdit de raisonner « terme par terme » — la diminution d’une population affaiblit la pression qu’elle exerçait sur l’autre.

20.4. ⚠️ Non-résolvabilité : le point de départ de la méthode

• « Donc on nous donne ces équations-là, et [on pourrait] sans faire de calcul [conclure], parce que de toute manière on ne peut pas résoudre cette équation : c’est non linéaire à cause ici du $x_1$ carré, $x_2$ carré, ici $x_1{x}_2$. Et malgré ça, on voudrait quand même pouvoir dire quelque chose. » [01:29:36 → 01:29:52]
  • 📌 Les trois sources de non-linéarité : $x_1^2$, $x_2^2$, $x_1{x}_2$.
• « Donc ce qu’on va faire, c’est considérer les isoclines. » [01:29:52]

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21. Isoclines du modèle de compétition — [01:29:52 → 01:33:25]

21.1. Isocline ${\dot{x}}_1=0$ (droite rouge)

• « Alors, première isocline, c’est l’isocline ${\dot{x}}_1$ égale à $0$. Donc c’est $f_1$ ; nous, on prend $f_1$ de $x_1$, $x_2$ égale à $0$. Alors, on voit qu’on a déjà le cas où $x_1$ égale à $0$. Si $x_1$ vaut $0$, on a bien que ${\dot{x}}_1$ égale à $0$. » [01:30:00 → 01:30:26]
• « Et alors, [pour] $x_1\ne 0$, on peut diviser par $x_1$, et on a alors l’équation d’une droite : $a$ fois $1$ moins $x_1$ moins $b$ fois $x_2$ égale à $0$. » [01:30:48 → 01:31:02]
• « Et ça, ça va nous donner une droite comme ceci. Donc c’est la droite $a$ fois $1$ moins $x_1$ moins [=] $b$ fois $x_2$ égale à $0$. » [01:31:02 → 01:31:19]

$${\mathcal{I}}_1:a{x}_1(1-x_1)-b{x}_1{x}_2=0⟺x_1=0\text{ou}a(1-x_1)-b{x}_2=0⟺\boxed{x_2=\frac{a}{b}(1-x_1)}$$

• « Alors, il y a des intersections, ici. [Sur l’]isocline, $x_1$ est nul ; [sur l’autre,] c’est $a/b$ [qui] est nul [à l’intersection avec l’axe]. On a $a$ moins $b$ égale à $0$, donc c’est $x_2$ qui est égale à $\frac{a}{b}$. » [01:31:23 → 01:32:09]
  • ⚠️ « $a$ moins $b$ égale à $0$ » → « $1$ moins $\frac{a}{b}$ égale à $0$ », d’où $x_2=\frac{a}{b}$ (ordonnée à l’intersection avec l’axe des $x_1$).

21.2. Isocline ${\dot{x}}_2=0$ (droite bleue)

• « Et ici, quand $x_2$ vaut $0$, on a que $1$ est égale à $1$. Ça c’est pour la première équation ; on regarde la deuxième équation. Une première [seconde] isocline, c’est ${\dot{x}}_2$ égale à $0$. » [01:32:09 → 01:32:49]
• « On divise tout par $x_2$, on va avoir $c$ fois $1$ moins $x_2$ moins $d$ fois $x_1$ égale à $0$. Et à nouveau, ça va nous donner une droite comme ceci. » [01:32:49 → 01:33:01]

$${\mathcal{I}}_2:c{x}_2(1-x_2)-d{x}_1{x}_2=0⟺x_2=0\text{ou}c(1-x_2)-d{x}_1=0⟺\boxed{x_1=\frac{c}{d}(1-x_2)}$$

• « Donc c’est $c$ fois $1$ moins $x_2$ moins $d$ [fois $x_1$] égale à $0$. Avec cette fois-ci, on en a $1$ ici, et ici on en a… [il vérifie les valeurs]. Ça va, ou je vais trop vite ? » [01:33:01 → 01:33:25]

21.3. Le bilan : on a « tous les ingrédients »

• « On a ça parce qu’on a plus ou moins tous les ingrédients qu’il nous faut pour savoir ce qui va se passer avec nos deux populations. Et là, on peut considérer différentes situations. Alors, j’en prépare deux ; il y a d’autres combinaisons possibles. » [01:33:25 → 01:33:51]

$$\boxed{{\mathcal{I}}_1=\{(0,\cdot )\}\cup \{x_2=\frac{a}{b}(1-x_1)\}{\mathcal{I}}_2=\{(\cdot ,0)\}\cup \{x_1=\frac{c}{d}(1-x_2)\}}$$

• 📌 Géométrie : l’ensemble des deux isoclines est fait de quatre demi-droites : deux axes ($x_1=0$ et $x_2=0$) et deux droites obliques passant par $(1,0)$ resp. $(0,1)$, de pente $-a/b$ resp. $-c/d$.

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22. Cas 1 — compétition forte : $b>d$ et $a<c$ — [01:33:51 → 01:45:39]

22.1. Le choix des paramètres et la question posée

• « On peut considérer une première situation où on aurait $b$ [plus grand que] $d$. Comment est-ce que vous interpréteriez cette situation-là ? » [01:33:51 → 01:34:09]
• « $b$ plus grand que $a$, $d$ plus grand que $c$ — pardon. » [01:34:14] → les hypothèses retenues sont :

$$b>d\text{et}a<c$$

• ⚠️ Le prof se corrige explicitement dans le cours (« $b$ plus grand que $a$… pardon »). La formulation finale, cohérente avec la suite de l’analyse, est $b>d$ et $a<c$ : les termes de couplage ($b$, $d$) sont plus grands que les termes de croissance ($a$, $c$) resp. dans les proportions croisées. Cf. Doutes.
• « Je ne demande même pas qu’on prédise, et il y aura peut-être bien de [ça] d’ailleurs, mais juste : qu’est-ce que ça signifie par rapport aux équations ? On est dans quel cas, en termes d’interaction entre les deux populations ? » [01:34:32 → 01:34:48]

22.2. La discussion : « tout le monde meurt », et pourquoi c’est (presque) vrai

• Un étudiant : « Qu’est-ce qui te fait dire qu’ils vont tous mourir ? » [01:34:50]
• L’étudiant : « Parce qu’on avait dit que $b{x}_1{x}_2$ et $b{x}_1{x}_2$, c’était un peu comme un taux de mortalité [supplémentaire] ; et donc, si $b$ et $d$ sont plus grands que $a$ et $c$, ça m’a fait dire que… » [01:34:50 → 01:35:03]
• La nuance du prof [01:35:03 → 01:35:22] :
  • « Oui, c’est vrai qu’on voit qu’en effet on a des termes assez grands, mais attention qu’il y a le terme du couplage. On peut dire, oui, mais ces termes sont grands, ça a tendance à diminuer la population ; mais si une population diminue, elle va avoir moins d’effet sur l’autre, et donc il y a parfois un peu des effets de couplage et de boucle de rétroaction, quelque sorte. »
  • « Donc, ce n’est pas toujours si évident, mais ta conclusion n’est pas complètement fausse. »
• « Mais juste en termes de description, c’est-à-dire une situation où on observe quoi dans la nature ? Si on a ces termes-là qui sont importants, ces termes-là, c’est des termes de [compétition] ? On voit l’effet de la [présence de l’]autre population : compétition. Donc on est dans un cas où il y a beaucoup de compétition. Le fait que l’autre population est là, ça change beaucoup par rapport à l’équation où la population est toute seule : donc elle va ressentir l’effet de la compétition. » [01:35:27 → 01:36:05]
• « Beaucoup de situations où ils mangent tous la même nourriture, par exemple. » [01:36:05]

📌 Lecture écologique du cas 1 : les deux espèces sont en compétition sévère (ressources presque identiques, ex. deux espèces de plantes ou deux d’animaux). Une seule peut survivre.

22.3. Lecture des isoclines : le sens de déplacement

• « On va mettre les isoclines ensemble ; là je vais peut-être utiliser des couleurs différentes — on sentait venir de changer les couleurs aussi ici — donc on va prendre du bleu pour la deuxième. » [01:36:14 → 01:36:42]
• « Sur les isoclines, on a ici ${\dot{x}}_1$ qui est nul : donc ça veut dire qu’on n’a pas de déplacement horizontal. Il n’y a pas de variation de $x_1$, c’est seulement une variation de $x_2$. Donc on va se déplacer comme ceci ; et ici on reste le long [de l’isocline]. » [01:36:42 → 01:37:12]
  • « L’inverse, le long ici, c’est $x_2$ qui est nul, donc il n’y a pas de déplacement vertical. » [01:37:12 → 01:37:21]
• « Et puis la question, c’est de caractériser ce qui se passe en dehors des isoclines. En dehors des isoclines, ${\dot{x}}_1$ n’est pas nul, donc il va être soit positif, soit négatif : soit on a tendance à aller plus vers la droite, soit plus vers la gauche. » [01:37:21 → 01:37:38]
• « Si $x_2$ est très élevé, on est plus par là ; vous voyez qu’ici on a un terme négatif [$-b{x}_1{x}_2$], donc si $x_2$ est très grand, c’est quand même un terme négatif, et donc on va avoir tendance à avoir du ${\dot{x}}_1$ négatif : on va plutôt aller vers le bas. Du coup, de l’autre côté, on change de signe, on va plutôt aller vers le haut. » [01:37:41 → 01:38:16]
• « Si je regarde juste des valeurs extrêmes de $x_1$ : $x_1$ très grand, $x_1$ petit ; et on voit que quand $x_1$ est très grand, c’est l’interaction [qui] va prendre de l’encre » [01:39:24 → 01:39:39] — ⚠️ « l’intervisté qui va prendre de l’encre » → « l’interaction qui va prendre de l’encre » (terme Quadratique : il domine sur la croissance).
• « Vous pouvez faire une étude de signes plus élaborée. » [01:39:21]

✅ Confirmé mot pour mot par le support écrit — Notes_modelisation.pdf § 5.1 décrit exactement cette procédure, avec la même opposition gauche/droite et bas/haut :

« Afin d’évaluer la forme générale du champ de vitesse, il est utile de tracer les isoclines dans le portrait de phase. […] Sur l’isocline ${\mathcal{I}}_1$, le champ de vitesse est vertical. L’isocline ${\mathcal{I}}_1$ sépare ainsi la région dans laquelle le champ de vitesse pointe vers la gauche de la région où il pointe vers la droite. Sur l’isocline ${\mathcal{I}}_2$, le champ de vitesse est horizontal. De même, l’isocline ${\mathcal{I}}_2$ sépare ainsi la région dans laquelle le champ de vitesse pointe vers le bas de la région où il pointe vers le haut. »

→ La formulation du prof (« il n’y a pas de déplacement horizontal » sur ${\mathcal{I}}_1$, « il n’y a pas de déplacement vertical » sur ${\mathcal{I}}_2$) est exactement celle des notes ; la décomposition en 4 régions est la conséquence mécanique, et la méthode est donc bien celle du cours écrit.

22.4. Les 4 régions

• « Du coup, on met tout ensemble : on doit en même temps mettre les isoclines en rouge et les isoclines en bleu, avec le fait qu’on a $a$ plus petit que $b$, donc $\frac{a}{b}$ va être [quelque chose de] plus petit que $1$. On va se trouver dans une situation comme ça : ici je suis donc en $\frac{1}{b}$… qui est plus petit que $1$… et donc l’autre isocline va se trouver ici. » [01:39:42 → 01:40:26]
  • ⚠️ « ici je suis donc en $\frac{1}{b}$ » → « ici je suis donc en $\frac{a}{b}$ » (ordonnée à l’intersection de la droite rouge avec l’axe $x_1$).
• « Et vous voyez que ça nous définit 4 régions différentes : 1, 2, 3, 4 ; et dans chacune des régions, on sait si on va vers le haut, vers le bas, vers la droite, vers la gauche. Donc on doit juste combiner un peu tout ça. » [01:40:26 → 01:40:43]
• Les quatre combinaisons lues par le prof :
  • « Si je prends la région où je suis tout en haut à droite : je vais vers la gauche et je vais vers le bas. » [01:40:43 → 01:40:53]
  • « [Dans] cette région-là, ce sera l’inverse : on va vers la droite et on va vers le haut. » [01:40:53 → 01:41:07]
  • « Là, je suis en dessous de la courbe bleue, donc en dessous de l’isocline bleue, je monte vers le haut. Par contre, je suis au-dessus de la rouge, et au-dessus de la rouge, je vais vers la gauche. » [01:41:12 → 01:41:27]
  • « Donc on va comme ça. » [01:41:31]

Région	${\dot{x}}_1$	${\dot{x}}_2$	Sens du déplacement
En haut à droite	$<0$	$<0$	↙ vers le bas-gauche
En haut à gauche / intérieur	$>0$	$>0$	↗ vers le haut-droite
Sous la bleue, au-dessus de la rouge	$<0$	$>0$	↖ vers le haut-gauche
Au-dessus de la bleue, à droite de la rouge	$>0$	$<0$	↘ vers le bas-droite

22.5. La conclusion : pas de coexistence

• « Et donc là, on peut deviner un petit peu ce qui se passe. Alors, [oui], aussi ce qu’on peut remarquer, c’est que donc ici, on est à l’égalité. On peut déjà voir que dans cette zone-là, on va rester dedans. » [01:41:31 → 01:42:13]
• « Une fois qu’on arrive dans ces régions-là, on va par là ; et si on est ici, on voit qu’on fait ça. » [01:42:13 → 01:42:34]
• Le verdict [01:42:38 → 01:43:12] :
  • « C’est vrai que c’était plus ou moins correct : si on est parti dans un cas où il y avait quand même plus de $x_2$ que de $x_1$, dans une certaine mesure, on va converger vers [l’état où il n’y a que] $x_2$. »
  • « Tandis que s’il y a plus de $x_1$ dans la première population que dans la deuxième, on va plutôt converger vers [n’avoir que] la première population. Donc là, on n’a pas de coexistence de population : soit plus, soit moins. On a l’extinction de la population. »

$$\boxed{\text{Cas 1 (compeˊtition forte)}:\text{extinction d’une espeˋce — pas de coexistence stable}}$$

• « C’est un [cas] contraint du temps… vous voyez que les autres convergent vers $1$, où on a beaucoup de population $2$ et moins de population $1$… et on converge vers $1$… [pour l’autre cas,] il y a beaucoup de population 1 et moins de population 2. » [01:43:39 → 01:44:18]
  • ⚠️ ASR très dégradé sur les valeurs exactes ; l’idée est que les deux trajectoires convergent vers les deux coins $(0,1)$ et $(1,0)$ — les équilibres « purs ». Cf. Doutes.
• « Si je m’[arrange] pour mettre [une simulation], ça confirme bien ce qu’on a vu, et donc les trajectoires vont à chaque fois converger vers cette espèce de [carré]. Une fois qu’on est en, on converge vers un déséquilibre. » [01:44:18 → 01:45:05]
  • ⚠️ « cette espèce de triangle » [01:44:56] → « cette espèce de [carré] » (les deux trajectoires suivent les côtés des axes vers les coins, d’où l’image géométrique).

22.6. Les équilibres du cas 1

• « On devine qu’on a donc un équilibre. Ah oui, puisqu’on n’a pas parlé d’équilibre : il y en a combien ici, des équilibres ? » [01:45:05]
• « Eh bien, toutes les intersections [d’une] droite rouge et [d’une] droite bleue. » [01:45:14]
• « Évidemment, on a ici l’équilibre stable, ici ce sera un équilibre stable, ici un équilibre instable, et on a encore ici un équilibre. » [01:45:24 → 01:45:33]
  • ⚠️ La répartition « stable / stable / instable / [equilibrium] » est incertaine dans l’ASR ; ce qui est certain est l’inventaire : 4 équilibres = $(0,0)$, $(0,1)$, $(1,0)$ et l’intersection des deux droites obliques. Voir Doutes.
• « Ça, c’était pour le premier cas. » [01:45:33]

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23. Cas 2 — compétition faible : $a>b$ et $c>d$ — [01:45:39 → 01:52:12]

23.1. Mise en place

• « Dans le deuxième cas, on va faire un peu plus vite. Dans le deuxième cas, on a, on va avoir $a$ plus grand que $b$. Encore considérer deux combinaisons, mais ça, on ne le fera pas. » [01:45:39 → 01:46:20]
• Hypothèses : $a>b$ et $c>d$ — les termes de croissance dominent les termes de couplage.

23.2. Les quatre directions

• « Alors, ici, c’est toujours la même chose. On va vers le haut et vers la gauche. Ici, on entre à l’inverse : on va vers le bas et vers la gauche. Les dérivées positives, les dérivées négatives. » [01:46:57 → 01:47:20]
• « Mais par contre, les choses s’inversent ici : ici, on est au-dessus de la courbe bleue, donc au-dessus de la courbe bleue, ça veut dire qu’on descend. Par contre, on est à gauche de la courbe rouge, donc on va vers la droite. » [01:47:20 → 01:47:37]

$$\text{direction}=(\mathrm{sgn}{\dot{x}}_1,\mathrm{sgn}{\dot{x}}_2)$$

23.3. ⚠️ Le résultat : un équilibre stable et trois instables ⟹ coexistence

• « Par là. Ici, on devine que toutes les directions pointent vers cet équilibre-ci. » [01:47:44]
• « On a un équilibre stable ici et trois équilibres instables, cette fois-ci. » [01:47:56 → 01:48:02]

$$\boxed{\text{Cas 2 (compeˊtition faible)}:1\text{eˊquilibre stable}+3\text{instables}⟹\text{coexistence}}$$

• « Ce qui veut dire que, vu qu’il y a peu de compétition, les deux populations peuvent coexister. » [01:48:02]
• Le bassin d’attraction [01:49:00 → 01:49:20] : « On est dans des régions d’attraction ; alors, ce n’est pas tout le bassin d’attraction [qui est ici] — les conditions initiales vont être attirées [vers l’équilibre stable]. Mais par contre, on est sûr en tout cas que si on est là [dans la région], on est piégé, de la même manière qu’ici on était piégé aussi. Maintenant on ne sait pas sortir… »
  • 📌 Le bassin d’attraction de l’équilibre de coexistence est strict : certaines conditions initiales ne convergent pas vers lui (elles partent vers $(0,1)$ ou $(1,0)$).

23.4. Le calcul (non effectué) et la suite de la semaine prochaine

• « Alors, juste pour vous illustrer : l’objectif, c’est à chaque fois l’intersection de deux isoclines ; il y a juste celui-là qui n’est pas [reconnu], sinon c’est comme avant, donc toujours en $1$ ici, en $1$ ici, et puis en $1$. Là, il faudrait calculer l’intersection, je ne l’ai pas calculé. » [01:49:25 → 01:50:04]
  • « Ça va, ça répond ? » [01:50:04]
• « On ne mange pas trop la même nourriture, et [elles] coexistent. » [01:50:37] — 📌 résumé verbal du cas 2.
• « Alors, il nous reste seulement [18 minutes] pour faire un autre exemple, mais très vite l’exemple avec les [proies et] prédateurs. » [01:50:41 → 01:50:46]
• La promesse pour la semaine prochaine [01:50:46 → 01:51:25] :
  • « La semaine prochaine, on verra comment caractériser la séparation des deux bassins d’attraction, puisqu’il y a une partie des conditions initiales qui convergent là, tandis que l’autre partie converge là. »
  • « Et ça, c’est assez utile, parce qu’on pourrait se demander : si on est dans telle situation actuelle, il y a autant de population 1 que de population 2, laquelle va disparaître ? C’est quand même intéressant de le savoir. »
  • « On peut faire des simulations ; on verra un petit peu ce qu’on peut faire. Ça correspond à la caractérisation des bassins d’attraction. »

23.5. ⚠️ Un contre-exemple empirique : les moustiques

• « Dernière chose avant de passer à l’exemple : on pourrait dire que ça reste une chose théorique. Je suis tombé sur un cas, dans un bouquin sur les systèmes dynamiques, sur un cas où on a vraiment calculé les isoclines. Je ne sais pas exactement comment ils ont fait ça, mais ils l’ont fait pour deux populations de moustiques qui apparemment sont en compétition. Et voilà le résultat qu’ils ont obtenu pour ces deux populations de moustiques à partir de mesures [prises] dans certains volumes d’air — je ne sais pas très bien. Vous voyez que ça correspond un peu au dessin qu’on a. » [01:51:25 → 01:52:05]
• « Donc ça paraît vrai que le modèle, finalement, est assez simpliste, mais ça correspond à des choses qu’on retrouve dans la réalité. Et comme je vous le disais, en écologie, ils utilisent le modèle de Lotka–Volterra. » [01:51:59 → 01:52:12]
  • ⚠️ Fin d’ASR dégradée ; l’idée est claire : le modèle, bien que simpliste, est validé par des données réelles.

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24. Le modèle prédateur–proie — [01:52:12 → 02:00:15]

24.1. Positionnement

• « Alors, pour terminer, aujourd’hui on n’a quand même pas terminé à l’avance [le chapitre]. On va juste illustrer un peu de la même manière le modèle de Lotka–Volterra, mais proie–prédateur. C’est un autre exemple, ça vous donnera un temps de parler. » [01:52:12 → 01:52:48]

24.2. Les équations (dictées) et leur logique

• « On va avoir la dynamique pour la première population, qui est la population des proies, par exemple les lapins. Leur dynamique va être définie par leur natalité. La mortalité [des proies] va être définie par l’autre population, puisque les prédateurs vont définir leur mortalité. C’est un parallélisme : ils vont avoir un taux de mortalité qui va dépendre du prédateur et qui multiplie bien sûr le nombre d’individus dans la population. » [01:53:00 → 01:53:50]
• « Donc le couplage s’effectue au niveau de la mortalité, un petit peu comme dans le cas de la compétition, sauf qu’en [terme de] natalité, là on avait un terme qui comprenait déjà de la mortalité aussi, et la capacité maximale. Ici, on est juste purement linéaire. » [01:53:50 → 01:54:11]
• « Et pour les prédateurs, ça va être un peu l’inverse : les prédateurs, c’est leur natalité qui va dépendre des proies, parce qu’ils ont besoin de manger pour pouvoir se reproduire. Ça, ça va être [la] natalité, qui dépend de la quantité de proies disponibles. Par contre, leur mortalité, là, ne dépend pas du fait qu’il y a des proies. On pourrait dire que ça devrait dépendre, mais dans le modèle, en tout cas, ça ne le dit pas. » [01:54:15 → 01:54:58]

$$\boxed{\begin{array}{rl}{\dot{x}}_1& =\underset{\text{nataliteˊ des proies}}{\underbrace{a{x}_1}}-\underset{\text{mortaliteˊ due aux preˊdateurs}}{\underbrace{b{x}_1{x}_2}}\\ {\dot{x}}_2& =\underset{\text{nataliteˊ des preˊdateurs (proies mangeˊes)}}{\underbrace{c{x}_1{x}_2}}-\underset{\text{mortaliteˊ naturelle des preˊdateurs}}{\underbrace{d{x}_2}}\end{array}}$$

• ⚠️ Les coefficients ne sont pas dictés explicitement : le prof donne la structure (« natalité moins couplage, couplage moins mortalité ») et la transcription restitue « $a$ fois $x_1$ moins $b$ fois $x_1$ $x_2$ » / « *$c$ fois $x_1$ $x_2$ moins $d$ fois $x_2$ » de façon peu fiable. Les notations ci-dessus sont la convention standard de Lotka–Volterra, cohérente avec les isoclines qu’il recalcule ensuite (voir § 24.3). Cf. Doutes.

	Proies ($x_1$)	Prédateurs ($x_2$)
Terme positif	natalité $\propto x_1$ (linéaire, pas logistique !)	natalité $\propto x_1{x}_2$
Terme négatif	mortalité $\propto x_1{x}_2$	mortalité naturelle $\propto x_2$
Le couplage agit sur…	la mortalité des proies	la natalité des prédateurs

📌 Différence essentielle avec le modèle de compétition : le terme de croissance des proies est purement linéaire ($a{x}_1$), il n’y a pas de terme logistique ni de capacité maximale. C’est ce décalage voulu — le « décalage entre les deux pics » — qui crée les cycles.

24.3. Les isoclines

• « Donc voilà un peu les équations qu’on a. Et à nouveau, on peut tracer les isoclines. Alors, c’est assez facile. » [01:54:58 → 01:55:22]
• « Pour la première isocline, donc ${\dot{x}}_1$ égale à $0$ : on a $x_1$ égale à $0$. On a aussi, si on divise par $x_1$ [et par $x_2$], on a… $x_2$ qui vaut… » [01:55:22 → 01:55:42]
  • « [Ne confondez pas], je ne me trompe pas. » [01:55:42 → 01:55:44]

$${\mathcal{I}}_1:a{x}_1-b{x}_1{x}_2=0⟺x_1=0\text{ou}\boxed{x_2=\frac{a}{b}}$$

• ⚠️ L’ASR dit « $x_2$ qui vaut $a$ sur $b$ », ce qui est correct pour ${\dot{x}}_1=a{x}_1-b{x}_1{x}_2$ ; on compare avec la version compétition où il manquait le « $1-$ ». ✅ Cohérent avec Notes_modelisation.pdf § 5.1 (forme générale d’une isocline) — mais le support ne donne pas cet exemple, donc la valeur reste une reconstitution.
• « Pour l’autre, c’est un peu l’inverse : on va avoir $x_2$ égale à $0$… » [01:56:01 → 01:56:11]
  • « [et] $x_1$ qui vaut… » [01:56:11] — ⚠️ valeur non restituée ; attendu $\frac{d}{c}$.

$${\mathcal{I}}_2:c{x}_1{x}_2-d{x}_2=0⟺x_2=0\text{ou}\boxed{x_1=\frac{d}{c}}$$

📌 Le point géométrique décisif : dans le modèle de compétition, les isoclines obliques sont des droites décroissantes (à cause du facteur $(1-x)$) et cela produit des équilibres multiples ; ici elles sont des droites horizontale et verticale (des rectes constantes), qui ne s’intersectent pas dans le quadrant positif.

24.4. Lecture des 4 quadrants

• « Quand $x_2$ est très grand, ça va avoir tendance à être négatif, donc on va plutôt vers la gauche. » [01:56:24 → 01:56:49]
• « Pour la deuxième variable, quand $x_1$ est très grand [par rapport à ceci], ça va être plutôt positif, donc on va avoir tendance à aller vers le haut. » [01:56:49 → 01:57:20]
• « Pour les $x_1$ : je suis à droite de l’isocline, donc je vais plutôt aller vers le haut. Au-dessus d’ici, je vais plutôt aller vers le bas. Donc les couleurs, c’est toujours par rapport à l’isocline de la couleur. » [01:57:20 → 01:57:35]

Position	${\dot{x}}_1$	${\dot{x}}_2$	Sens
$x_2>\frac{a}{b}$, à droite	$<0$	$>0$	↖ haut-gauche
$x_1>\frac{d}{c}$, au-dessus	$>0$	$<0$	↘ bas-droite
$x_2<\frac{a}{b}$, en dessous	$>0$	$>0$	↗ haut-droite
$x_1<\frac{d}{c}$, à gauche	$<0$	$<0$	↙ bas-gauche

24.5. ⚠️ Les cycles : l’équilibre marginalement stable

• « Du coup, si je combine les deux graphiques que j’avais faits avant ici, un peu l’équivalent, vous voyez qu’ici on va comme ça, là on va comme ça, là on va comme ça, et là on va comme ça. Donc on voit une idée de cycle. » [01:57:35 → 01:57:50]
• « On va tourner. Avec, oui — j’ai oublié de préciser — des équilibres : un équilibre ici, et un équilibre ici. Mais on n’a pas l’air de converger vers l’équilibre, ni de diverger. Donc il n’est pas stable, il n’est pas instable : ce sera en fait un équilibre qu’on appellera marginalement stable, où on va avoir des cycles. On peut vérifier ça. » [01:57:50 → 01:58:15]
• « C’est une population qui a un comportement périodique. » [01:58:35 → 01:58:45]

$$\boxed{\text{Eˊquilibre central }(\frac{d}{c},\frac{a}{b})⟹\text{famille d’orbites fermeˊes}⟹\text{peˊriodique}}$$

• ⚠️ Nuance apportée par le support écrit : le support dit « fermé », pas « cercle » — et c’est important. Notes_modelisation.pdf § 7 : « les orbites périodiques d’un centre ne sont pas des cycles limites car elles ne sont pas isolées ». L’équilibre central est donc un centre au sens de la § 5.3 (valeurs propres de la linéarisation purement imaginaires) : il est entouré d’une famille continue de courbes fermées, pas d’un cycle limite isolé. On ne peut d’ailleurs pas conclure « cycle limite » ici, puisque la notion n’est introduite qu’en séance ultérieure.

  • 🔎 La démonstration que le centre est marginalement stable se fera en séance 3 : la Jacobienne en $(d/c,a/b)$ vaut $\left(\begin{array}{cc}0& -\frac{ad}{c}\\ \frac{bc}{a}& 0\end{array}\right)$, dont les valeurs propres sont $\pm i\sqrt{bd}$ — purement imaginaires, donc aucune conclusion de stabilité possible par linéarisation (cf. Notes_modelisation.pdf § 5.3 et § 6.1).

• « Mystère : c’est une population qui a un comportement périodique. Voilà ce qu’on a. » [01:58:15 → 01:58:45] — ⚠️ « Mystère » = « [le] mystère » / transition orale.

24.6. L’interprétation en « boucle de rétroaction » avec décalage

• « Si on a beaucoup de prédateurs, il y a [trop de prédateurs : ils] [ne trouvent rien à manger]. Du coup, les prédateurs ne vont pas savoir se reproduire, le taux [de natalité] est diminué. Mais si les prédateurs diminuent, le taux de mortalité des proies va diminuer [et donc] le nombre [de proies] va augmenter. Et si le nombre de proies augmente, du coup, le taux de natalité des prédateurs augmente. » [01:58:46 → 01:59:16]
  • ⚠️ L’ASR dit « le taux de mortalité des proies va augmenter » [01:59:03], ce qui est logiquement faux : moins de prédateurs ⟹ moins de mortalité des proies. Le sens correct est retenu ci-dessus, sur la base de la suite (« l’augmentation des proies produit l’augmentation des prédateurs, mais du coup, si les prédateurs augmentent, le nombre de proies diminue »). Cf. Doutes.
• « Vous voyez un peu ce décalage entre les deux pics : l’augmentation des proies produit l’augmentation des prédateurs, mais du coup, si les prédateurs augmentent, le nombre de proies diminue — et on a des cycles comme ça. » [01:59:16 → 01:59:27]

📌 Le mécanisme, en 4 temps :

1. Beaucoup de prédateurs ⟹ ils ne se reproduisent plus ⟹ ${\dot{x}}_2<0$ ;
2. Prédateurs en baisse ⟹ mortalité des proies plus faible ⟹ ${\dot{x}}_1>0$, les proies augmentent ;
3. Beaucoup de proies ⟹ nourriture abondante ⟹ natalité des prédateurs augmente, les prédateurs augmentent ;
4. Beaucoup de prédateurs ⟹ les proies diminuent ⟹ retour à l’étape 1. ⟹ Le pic des proies précède le pic des prédateurs — c’est ce décalage (retard) qui produit l’oscillation au lieu de la convergence.

• « Donc historiquement, je pense qu’un des deux personnages avait repéré ces cycles entre les lapins et le renard [polaire], et voulait essayer de comprendre comment ça se passe. » [01:59:27 → 01:59:41]
  • ⚠️ « le renard polaire » : le modèle historique de Lotka est classiquement associé au lynx et au lièvre (Hudson Bay Company). Le transcript dit bien « lapins et renards » et pour l’autre « renard polaire » ; la référence historique n’est pas authentifiée dans le cours. Cf. Doutes.

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25. Conclusion du chapitre et feuille de route — [01:59:41 → 02:00:37]

25.1. Le message de clôture

• « Donc voilà un petit peu une petite illustration, très brève, à nouveau, des isoclines. On voit qu’on peut, sans pour autant faire de calcul, avec un système non linéaire, arriver à déterminer le comportement global. » [01:59:41 → 01:59:55]
• « Donc n’hésitez pas à vous entraîner un petit peu à faire des [isoclines]. Je remarque que ce n’est quand même pas si simple quand on le demande à l’examen. Il y aura des TD là-dessus, mais pas énormément, donc n’hésitez pas à vous entraîner. » [01:59:55 → 02:00:05]
• « C’est quand même un outil utile en deux dimensions. En trois dimensions, ça se fait [plus] [mal / plus vite], c’est logique, mais en 2D, c’est quand même puissant. » [02:00:05 → 02:00:15]
  • ⚠️ « ça se fait plus tôt » [02:00:07] : la phrase exacte est ambiguë (voir Doutes) ; l’intention probable est « en 3D, la méthode est plus [limitée] ».

25.2. Ce qui vient la semaine prochaine

• « Semaine prochaine, on continuera avec la stabilité. On verra un peu comment caractériser la stabilité dans une dimension générale. On parlera de linéarisation et aussi de bassin d’attraction. » [02:00:15 → 02:00:27]
• « Voilà, n’hésitez pas [si vous avez] des questions, sinon je vous libère. » [02:00:27 → 02:00:37]

📌 Feuille de route du chapitre (en cours de construction) :

Séance	Contenu	Statut
Cours 1	Temps discret : application $F$, points fixes, Cobweb, stabilité $|F^{\prime }|<1$, bifurcations, chaos en 1D	fait
Cours 2 (ce cours)	Portrait de phase en 1D et 2D, critère $f^{\prime }(x^{\ast })<0$, isoclines, Lotka–Volterra	fait
Cours 3	Stabilité en dimension générale, linéarisation (matrice jacobienne), bassins d’attraction et leur séparation	à venir

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Points clés — [résumé]

• Le portrait de phase remplace le calcul. En traçant $\dot{x}=f(x)$ en fonction de $x$ (1D) ou les isoclines $f_j=0$ (2D+), on lit le comportement global d’un système non résoluble — c’est tout l’intérêt de l’outil. En 1D, le signe de $\dot{x}$ donne le sens de déplacement, la hauteur donne la vitesse.
• Le temps discret est « plus libre » que le temps continu. En discret, l’application peut être quelconque et la trajectoire peut sauter : aucune contrainte topologique, donc du chaos dès la dimension 1. En continu, on reste le long d’une droite / d’une surface : le chaos n’apparaît qu’à partir de 3 dimensions.
• Équilibres : en discret $F(x^{\ast })=x^{\ast }$ ; en continu $f(x^{\ast })=0$ — en dimension $n$, un système de $n$ équations.
• Critère de stabilité (continu) : $f^{\prime }(x^{\ast })<0$ stable, $f^{\prime }(x^{\ast })>0$ instable — un critère de signe, pas de valeur absolue (contrairement au discret où c’est $|F^{\prime }(x^{\ast })|<1$). Le cas $f^{\prime }=0$ ne permet aucune conclusion.
• Démonstration par linéarisation : $\delta \dot{x}=f^{\prime }(x^{\ast })\delta x$ d’où $\delta x(t)=\delta x_0{e}^{f^{\prime }(x^{\ast })t}$ ; le signe de l’exposant décide de tout.
• Unicité ⟹ trajectoires non sécantes (hypothèse lipschitzienne). En 2D, une trajectoire circulaire enferme les autres (contrainte topologique de Jordan) ; impossible en 3D ⟹ c’est là que naissent les attracteurs étrange (Lorenz, « ailes du papillon »).
• Convention du cours : ● noir = équilibre stable (puits), ○ blanc = équilibre instable (source). Équilibre marginalement stable = orbite périodique.
• Lotka–Volterra – compétition : compétition forte ($b>d$, $a<c$) ⟹ extinction d’une espèce, pas de coexistence ; compétition faible ($a>b$, $c>d$) ⟹ coexistence (1 équilibre stable, 3 instables).
• Lotka–Volterra – prédateur–proie : le couplage est croisé (mortalité des proies ↔ natalité des prédateurs), la croissance des proies est linéaire ; il en résulte des cycles périodiques autour d’un équilibre marginalement stable, par retard entre les deux pics.
• Deux mises en garde du cours : (1) l’unicité peut échouer sans lipschitzianité ($\dot{x}=\sqrt{x}$, $x(0)=0$ a deux solutions) ; (2) l’existence n’est que locale, une solution peut exploser en temps fini.

Doutes / à vérifier

Statut après confrontation aux 4 PDF (voir § 0) : les points ✅ sont confirmés par Notes_modelisation.pdf ; les points ⚠️ persistent, car le support écrit ne traite pas ces exemples — il ne contient aucun exemple de Lotka–Volterra. Le support restant à obtenir est celui de la séance 1 (non enregistrée).

• ✅ Explosion en temps fini — résolu : Notes_modelisation.pdf § 4 contient la phrase « La solution peut néanmoins diverger vers l’infini en un temps fini ». Le fait est bien du cours (le mot « explosion » est notre reformulation). Sur l’équation, l’ASR dit « en $\pi /2$ ça explose » ⟹ $\dot{x}=\tan t$ (solution $x=-\ln \cos t$), et non $\dot{x}=\cot t$ (qui diverge en $0$ et en $\pi$) : lecture $\tan t$ retenue, mais l’équation exacte reste une inférence.
• ✅ Convention graphique des équilibres — confirmé : § 4.1 des notes, « disque noir » = stable, « disque blanc » = instable.
• ✅ Critères de stabilité discret / continu — confirmés : § 3.1 et § 4.1 des notes donnent $|f^{\prime }|<1$ / $f^{\prime }<0$ et les deux cas limites « on ne peut rien conclure ».
• ✅ Isoclines (définition, champ vertical/horizontal, séparation gauche-droite et bas-haut, équilibre = intersection) — confirmé : § 5.1 des notes.
• ✅ « Pourquoi le temps discret est-il plus complexe ? » — confirmé : § 8.3 des notes (application logistique, chaos en 1D) et § 7 (cycles limites seulement à partir de 2D en continu).
• ✅ « Cercle fermé » du prédateur–proie — nuancé : la § 5.3 des notes définit le centre (valeurs propres purement imaginaires) et la § 7 précise que ses orbites périodiques « ne sont pas des cycles limites car elles ne sont pas isolées ». Corrigé au § 24.5.
• ⚠️ Équations Lotka–Volterra (compétition et prédateur–proie) — inchangé, non confirmable : aucun des 4 PDF ne donne ces modèles. Les équations restent des reconstitutions, cohérentes avec les isoclines dictées, mais la lettre des coefficients ($b$/$d$, $a/b$, $d/c$) et la normalisation $K=1$ ne sont pas vérifiables sur pièces.
• Logistique discrète (question de « Marine ») : les deux discrétisations (« left » / « right hand side ») de l’équation logistique ne donnent pas les mêmes dynamiques. Non tranché dans le cours (« deux façons de modéliser un peu différentes », « pas très réaliste »). À vérifier sur les notes/slides de la séance 1.
• Non-unicité : le facteur « $2$ » dans l’exemple $\dot{x}\sim \sqrt{x}$ n’est pas restitué de façon fiable (position et signe). Le phénomène (deux solutions pour $x(0)=0$) est certain ; la valeur exacte de $x(t)$ non plus.
• Explosion en temps fini : l’équation de l’exemple est très mal captée → voir la ligne ✅ ci-dessus.
• Lotka–Volterra – compétition, coefficients : l’ASR transcrit « $c{x}_2(1-x_2)-z{x}_1$ » pour la seconde équation ; le « $z$ » est très probablement un $d$ (confirmé par l’isocline dictée « $c$ fois $1$ moins $x_2$ moins $d$ fois $x_1$ »).
• Hypothèses du cas 1 : la formule dictée est ambiguë (« $b$ plus grand que $a$, $d$ plus grand que $c$ — pardon »). Retenu : $b>d$ et $a<c$ (compétition dominante). ⚠️ Non confirmable : le support écrit ne traite pas cet exemple.
• Stabilité des 4 équilibres du cas 1 : la répartition « stable / stable / instable / [équilibre] » est incertaine dans l’ASR. L’inventaire (4 équilibres : $(0,0)$, $(0,1)$, $(1,0)$, intersection des droites obliques) est certain.
• Normalisation d’échelle : le modèle de compétition est écrit $a{x}_1(1-x_1)$ (capacité normalisée à 1), et non $a{x}_1(1-x_1/K)$. À vérifier si le support utilise une capacité $K$ explicite.
• Valeurs d’intersection (cas 1) : les ASR « $a/b$ » et « $1/b$ » sont contradictoires ; retenu $x_2=\frac{a}{b}$ à l’axe, et une valeur $<1$ pour l’autre. Les valeurs numériques ne sont pas fixées.
• Équilibre central prédateur–proie : noté $(\frac{d}{c},\frac{a}{b})$ par convention ; les coefficients ne sont pas dictés explicitement. Le Jacobien correspondant, $\left(\begin{array}{cc}0& -ad/c\\ bc/a& 0\end{array}\right)$, a des valeurs propres $\pm i\sqrt{bd}$ (purement imaginaires) — cohérent avec un centre, mais c’est une vérification a posteriori, pas un contenu dicté.
• « Modèle de Lorenz » : l’ASR dit « le modèle de l’orange » ; retenu = Lorenz (attracteur « ailes du papillon »). ⚠️ Non confirmable sur le support.
• Rythme de la séance : estimation de la durée du traitement (35 min) et localisation exacte des examples pédagogiques ; l’ASR comporte de nombreux passages tronqués (zone [01:02:29]–[01:07:00] sans contenu, dialogues étudiants hors cours).
• Séance 1 : toujours sans support ni audio — tout ce qui est rappelé sur le temps discret (Cobweb, $|F^{\prime }(x^{\ast })|<1$, doublement de période, chaos 1D) provient de rappels oraux. Seules corroborations écrites : Notes_modelisation.pdf § 3, § 3.2 et § 8.3, qui décrivent la même théorie.

Liens

• Suivant : Modélisation - Cours 3 — stabilité en dimension générale, linéarisation (matrice jacobienne), séparation des deux bassins d’attraction (annoncé au § 23.4).
• Précédent : ⚠️ aucune note Modélisation - Cours 1 — la séance 1 n’a pas été enregistrée (aucun audio sur le disque). Tout ce qui est rappelé ici sur le temps discret (points fixes, diagramme Cobweb, critère $|F^{\prime }(x^{\ast })|<1$, « quand on augmentait un peu $R$, ça devenait instable, on commençait à avoir des orbites [dégénérées] », chaos en 1D) ne provient que de rappels oraux de cette séance.
• EDO : EDO - Cours 2 — existence et unicité, Lipschitz, résolution d’EDO scalaires : c’est ce cours qui fournit les résultats cités en § 6.3 (« c’est plus le cours de M. Carletti ») et la séparation des variables du § 5. Voir aussi EDO - Cours 3.
• Méca : Mecanique - Cours 1 / Mécanique - Cours 2 — même méthode (démonstration au tableau, « on verra la suite la prochaine fois »).
• Modèle de Lorenz (attracteur « ailes du papillon ») — annoncé comme exemple de la 3ᵉ dimension (§ 17.4) ; à créer si besoin.
• Compétition de moustiques — cas d’école cité dans un livre de systèmes dynamiques, où les isoclines ont été calculées à partir de mesures réelles et collent au tracé du cours (§ 23.5) : c’est la validation empirique du modèle.
• Lynx / lièvre (Lotka) — contexte historique des oscillations prédateur–proie (§ 24.6) ; l’exemple du cours est « lapins et renards », à confirmer.
• Supports écrits du cours (dossier ~/Documents/La Uni/Bac 2/Modelisation/) :
  • Notes_modelisation.pdf — Résumé de notes de cours, A. Mauroy, 09/2019, 32 p. → le support de cette séance (§ 3, § 4, § 4.2, § 5.1–5.3, § 7, § 8.3). Voir § 0.
  • cours5.pdf — Analyse des systèmes de plusieurs dimensions, Alexandre Mauroy, 10/2024, 9 p. → séance ultérieure : portrait de phase, linéarisation + matrice Jacobienne, Hartman-Grobman, classification des équilibres (nœud / foyer / selle / centre), théorème de la variété stable. C’est le contenu annoncé au § 25.2 pour la séance 3.
  • cours6.pdf — Stabilité (Beamer), 10/2024, 12 p. → séance ultérieure : fonctions de Lyapunov, stabilité exponentielle, principe de La Salle, stabilité globale (Barbashin-Krasovskii), pendule inversé.
  • ⚠️ cours2.pdf — Outils mathématiques de modélisation, auteur « Alex », 09/2024, 20 p. → pas ce cours : mise en équation par les lois physiques (Newton, Lagrange, Van’t Hoff, électricité, continuité, Bernoulli, réservoir) et exemple SIR en discret→continu. Utile comme complément de la § 2 « Modélisation » des notes, mais hors programme de la séance 2.
• Source : audio Modélisation - 2.m4a · transcriptions .srt / .txt / .vtt dans ~/Documents/La Uni/Audios/transcrit/.