Mécanique - Cours 2

Mécanique du point — Cours 2 : l’effet de Coriolis sur Terre, forces fictives et dynamique

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Cette séance est la directe continuation du Mecanique - Cours 1 : on y avait laissé le vecteur instantané de rotation $\mathbf{\Omega }$, l’accélération de Coriolis $2\mathbf{\Omega }\times {\mathbf{v}}_{\text{rel}}$ et le double produit vectoriel. Ici on les applique concrètement à la Terre, puis on enchaîne sur le chapitre 2 : la dynamique.

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1. Rappel du Cours 1 : les trois accélérations et le vecteur de rotation — [00:00]

• Rappel du point de départ : dans un référentiel non galiléen (= mobile), des termes supplémentaires apparaissent, que ce soit pour la vitesse ou pour l’accélération. Pour l’accélération, il y a même un terme « tout à fait curieux » : l’accélération de Coriolis.
• On avait vu qu’en définissant un vecteur de rotation $\mathbf{\Omega }$, on pouvait réécrire plus simplement tous ces termes :
  • pour la vitesse : le produit vectoriel de $\mathbf{\Omega }$ avec le vecteur position → c’est le $R\omega$ de la physique de première année (la vitesse d’un point en train de tourner) ;
  • pour l’accélération de Coriolis : le produit vectoriel de $\mathbf{\Omega }$ avec la vitesse relative ;
  • pour l’accélération d’entraînement : on distingue même un terme, déjà défini l’an dernier en physique, l’accélération centripète, qui est le produit vectoriel de $\mathbf{\Omega }$ avec le produit vectoriel de $\mathbf{\Omega }$ et $\mathbf{r}$.
• Retour à la physique de première année : on y gardait juste la norme de cette accélération, ce qui donnait $R{\omega }^2$ (au lieu du $\mathbf{\Omega }\times (\mathbf{\Omega }\times \mathbf{r})$ complet).
• ⚠️ Attention : $R{\omega }^2$ n’est la norme que si $\mathbf{\omega }$ est perpendiculaire à $\mathbf{R}$. C’est l’hypothèse simplificatrice de la physique ; la formule mathématique de cette année contient ce cas particulier.

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2. Les effets de Coriolis à grande échelle — [02:25]

• Rappel : les effets de Coriolis se voient dans les écoulements à grande échelle : les écoulements dans les océans et les écoulements dans l’atmosphère (« du haut en bas », c’est-à-dire les masses d’air).
• Ce qu’on observe : une déviation différente dans les deux hémisphères :
  • plus vers la droite dans l’hémisphère nord ;
  • plus vers la gauche dans l’hémisphère sud.

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3. Rappel détaillé des trois accélérations — [03:11]

• Accélération absolue = l’accélération totale = la somme de toutes les accélérations.
• Accélération relative = l’accélération avec laquelle l’objet accélère par rapport au repère.
  • Exemple du professeur : « imaginez, on a la table ici, j’ai ma craie, ma craie accélère » → c’est l’accélération relative de la craie par rapport à la table. Mais comme la table est sur la Terre, qui elle-même se déplace, c’est effectivement une accélération due au repère.
• Accélération d’entraînement : regroupe tous les effets liés à la présence du repère qui est en train d’accélérer — dont, par exemple, l’accélération centripète.
• Accélération de Coriolis : apparaît si et seulement si l’objet se déplace dans le repère en mouvement.
  • Si la craie ne bouge pas → pas de terme de Coriolis. Pour qu’il y ait une accélération de Coriolis, il faut qu’il y ait un mouvement de l’objet.
  • D’où son apparition pour les fluides (océans) et le déplacement de l’atmosphère.
• Le mythe de l’évier : quand on vide un évier, il y a bien une petite vitesse (l’eau se déplace), mais la vitesse n’est pas suffisamment élevée pour que l’effet de Coriolis puisse avoir de l’importance. Il est donc faux de dire que les éviers se vident dans un sens dans l’hémisphère nord et dans l’autre dans l’hémisphère sud.

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4. Une légende liée à Coriolis : la bataille des Falkland — [05:21]

• Le récit : pendant la première guerre mondiale, il y eut une bataille au large de l’Argentine, entre les flottesanglaises et allemandes (près de l’île de Falkland).
• L’histoire racontée juste après la guerre : la marine britannique, quand elle tirait sur la flotte allemande, visait à chaque fois à côté des bateaux.
• L’explication : les marins britanniques étaient habitués à être dans l’hémisphère nord, où la déviation se fait vers la droite ; or la bataille se déroulait dans l’hémisphère sud, où les obus sont déviés vers la gauche. Ils s’attendaient donc à une déviation vers la droite, et leurs obus partaient à côté.

Mais le professeur démonte cette histoire :

• Il est probablement légende : on ne retrouve cette histoire que dans un seul écrit, juste après la guerre, et pas après.
• Ce n’est pas cela qui explique que les obus tombent à côté : il y a d’autres effets qui jouent, notamment le vent, qui dévie lui aussi les obus.
• Nuance importante : à la vitesse des obus et sur la distance qu’ils parcourent, l’effet de Coriolis, lui, a vraiment de l’importance : si les artilleurs n’en tiennent pas compte, ils ont une déviation de centaines de mètres par rapport à la cible visée.
• ⚠️ Cette légende est encore racontée dans les manuels de physique : c’est une histoire qui a été un peu exagérée à l’époque.

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5. Retour au cours : n’importe quel vecteur dans un repère mobile — [07:39]

• On avait vu la semaine dernière comment les vecteurs vitesse et accélération étaient influencés par le repère. Maintenant : n’importe quel vecteur, pas forcément une vitesse ou une accélération.
• Rappel des bases : ${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,{\mathbf{e}}_3$ sont des vecteurs fixes ; la base ${\mathbf{f}}_1,{\mathbf{f}}_2,{\mathbf{f}}_3$ est une base mobile.

Dérivée d’un vecteur quelconque $\mathbf{B}$ exprimé dans le repère mobile :

• $\mathbf{B}=B_1{\mathbf{f}}_1+B_2{\mathbf{f}}_2+B_3{\mathbf{f}}_3$, où les composantes $B_1,B_2,B_3$ varient (comme pour le vecteur position, mais ce n’est pas forcément un vecteur position).
• En dérivant, il y a des variations qui arrivent à la fois :
  • à cause des composantes $B_1,B_2,B_3$ qui varient ;
  • et à cause des variations des vecteurs de base ${\mathbf{f}}_1,{\mathbf{f}}_2,{\mathbf{f}}_3$ (comme vu la semaine dernière).
• Or les dérivées des ${\mathbf{f}}_i$ s’écrivent à l’aide du vecteur instantané de rotation : $\frac{d{\mathbf{f}}_i}{dt}=\mathbf{\Omega }\times {\mathbf{f}}_i$.
• Résultat (trois premiers termes + le terme de rotation) :

$$\frac{d\mathbf{B}}{dt}=\frac{d{B}_1}{dt}{\mathbf{f}}_1+\frac{d{B}_2}{dt}{\mathbf{f}}_2+\frac{d{B}_3}{dt}{\mathbf{f}}_3+\mathbf{\Omega }\times (B_1{\mathbf{f}}_1+B_2{\mathbf{f}}_2+B_3{\mathbf{f}}_3).$$

• Comme $B_1{\mathbf{f}}_1+B_2{\mathbf{f}}_2+B_3{\mathbf{f}}_3=\mathbf{B}$, on obtient la formule générale :

$$\boxed{\frac{d\mathbf{B}}{dt}=\frac{d{B}_1}{dt}{\mathbf{f}}_1+\frac{d{B}_2}{dt}{\mathbf{f}}_2+\frac{d{B}_3}{dt}{\mathbf{f}}_3+\mathbf{\Omega }\times \mathbf{B}}$$

• Application : on retrouve, pour $\mathbf{B}=\mathbf{r}$, les vitesses relatives et les vitesses d’entraînement du Cours 1.

5.1. La dérivée partielle : un symbolisme important — [11:20]

• Le professeur introduit ici une dérivée partielle, notée ${\left(\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\right)}_{\text{repeˋre}}$, pour désigner uniquement la variation des composantes de $\mathbf{B}$, sans regarder comment le repère lui-même évolue.
• ⚠️ Pourquoi ce symbolisme ? Le professeur est explicite : « si tu mets la dérivée totale, tu auras l’impression que tu vas remplacer ce terme-ci ». La dérivée partielle sert à marquer visuellement qu’on ne considère que le terme lié aux composantes, en laissant de côté le terme de rotation.
• Règle : à chaque fois qu’on utilise le symbole dérivée partielle, on regarde uniquement ce qui se passe par rapport au repère, on ne regarde pas comment le repère évolue.

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6. Le vecteur instantané de rotation est indépendant du repère choisi — [11:58]

• Ce qui est pratique avec $\mathbf{\Omega }$ : il reste le même quel que soit le repère choisi, parce que ce qu’il représente, c’est localement comment le système évolue en fonction du temps.
• ⚠️ Précision importante : quand on dit que le vecteur « reste le même », cela veut dire qu’il pointe dans la même direction dans l’espace (il ne change ni de direction ni de sens).
  • En revanche, ses composantes seront différentes selon le repère choisi. Par exemple, si on prend un repère aligné sur le vecteur instantané de rotation, il n’aura qu’une seule composante dans ce repère ; avec un autre repère, il en aura trois.
  • Donc : le vecteur en lui-même est le même, mais les composantes dépendent du repère.

6.1. Combiner plusieurs bases : addition des vecteurs de rotation — [13:18]

• Si on combine plusieurs bases qui tournent autour de vecteurs instantanés de rotation différents, on peut regarder le vecteur instantané de rotation de la dernière base par rapport à la première en additionnant les deux vecteurs instantanés de rotation.
• Exemple du schéma : la base ${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,{\mathbf{e}}_3$ est fixe. Le vecteur instantané de rotation de la base mobile par rapport à la base fixe se décompose en deux termes : ce qui se passe autour de ${\mathbf{f}}_1$ (la base mobile elle-même) et ce qui se passe autour de ${\mathbf{e}}_1$ (la base fixe). Le vecteur instantané de rotation total est la somme des deux.
• Cas particulier intéressant : si on regarde un vecteur qui est fixe dans la base mobile, la variation temporelle de ses composantes est liée à la rotation du repère ; il ne reste plus de variation des composantes (le vecteur est fixé « facilement » dans la base). C’est alors une dérivée partielle qui s’annule, et il ne reste que le terme de rotation.
• Bilan : c’est assez facile d’additionner tous les vecteurs instantanés de rotation les uns avec les autres pour trouver le vecteur instantané de rotation global.

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7. Cas de la Terre : définition des deux repères — [20:49]

• C’est le cas qu’on retrouve le plus souvent, et c’est les exercices faits l’an dernier en physique — sauf qu’à l’époque on négligeait ce genre de choses. Quand on avait une personne qui lançait un objet et qu’il fallait trouver la portée ou le temps de chute, il n’y avait jamais de terme de Coriolis à prendre en compte. Ici on va voir que ça a quand même de l’importance.

7.1. Le repère fixe ${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,{\mathbf{e}}_3$ — [21:20]

• En pratique, on se base sur des étoiles lointaines : on fixe un repère dirigé vers l’étoile polaire, par exemple.
• ${\mathbf{e}}_3$ est supposé fixe (dirigé vers l’étoile polaire), et ${\mathbf{e}}_1$ est fixé dans la direction d’une autre étoile.
• C’est le repère qu’on note « ${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,{\mathbf{e}}_3$, comme d’habitude ».

7.2. Le repère mobile ${\mathbf{f}}_1,{\mathbf{f}}_2,{\mathbf{f}}_3$ — [22:26]

• C’est le repère à l’endroit où on est : en Belgique, on a ici le petit bonhomme, le haut, une certaine longueur.
• Nous qui sommes en Belgique, on ne va pas se référer au repère lié aux étoiles (« ce serait trop compliqué ») : on se repère par rapport à là où on est.
• On va dire qu’on a la direction vers le haut. Mais en science on ne dit pas « vers le haut », on dit la direction du zénith.
• ⚠️ Convention (le professeur se corrige en cours de route sur l’ordre des axes) : on choisit ${\mathbf{f}}_1$ dirigé vers l’est, ${\mathbf{f}}_2$ dirigé vers le nord, ${\mathbf{f}}_3$ vers le zénith. Dans la transcript appears une première formulation inverse (nord/orient) que le professeur corrige immédiatement — la version retenue est est / nord / zénith.
• C’est bien un repère mobile : comme la Terre tourne sur elle-même, le petit bonhomme tourne autour de la Terre.

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8. Le vecteur position sur Terre : latitude et longitude — [24:59]

• Pour calculer les différents termes, on a besoin :
  • du vecteur instantané de rotation $\mathbf{\Omega }$ (c’est lui qui apparaît dans les termes : centripète, Coriolis, etc.) ;
  • du vecteur position $\mathbf{r}$.
• On écrit $\mathbf{r}$ par projections des deux angles représentés sur le schéma (latitude $\Phi$ et longitude $\lambda$) :
  • Composante en ${\mathbf{e}}_1$ : on est adjacent pour $\lambda$ et pour $\Phi$ → on a du $\cos \Phi$ et du $\cos \lambda$.
  • Composante en ${\mathbf{e}}_2$ : on est adjacent pour $\lambda$, mais opposé pour $\Phi$.
  • Composante en ${\mathbf{e}}_3$ : on est opposé pour $\lambda$ → c’est du $\sin \lambda$.
• D’où les trois composantes du vecteur position (ce sont les $x,y,z$ de la physique de l’an dernier) :

$$\mathbf{r}=R\cos \Phi \cos \lambda {\mathbf{e}}_1+R\cos \Phi \sin \lambda {\mathbf{e}}_2+R\sin \Phi {\mathbf{e}}_3,$$

où $R$ est le rayon de la Terre et $\Phi$ la latitude.

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9. Accélération d’entraînement : ce qui est négligeable — [27:04]

9.1. Dérivation deux fois : que reste-t-il ? — [27:26]

• Dans l’expression de la position :
  • $R$, le rayon de la Terre, ne varie pas (on suppose qu’il n’y a pas de séismes en nombre suffisant pour faire évoluer le rayon) ;
  • la latitude $\Phi$ ne varie pas non plus ;
  • mais l’angle $\lambda$ (la longitude) évolue, parce que la Terre tourne sur elle-même : cet angle augmente en fonction du temps.
• Donc, quand on dérive deux fois, le seul terme qu’il reste à traiter est celui qui dépend de l’angle $\lambda$ (il faut dériver deux fois le cosinus de $\lambda$).

9.2. À quelle vitesse $\lambda$ augmente-t-il ? — [29:33]

• Ce qu’on sait : la Terre tourne sur elle-même en une journée. C’est ça qui fait que le Soleil revient tous les jours à peu près à la même heure.
• La vitesse angulaire de rotation est donc $\omega =\frac{2\pi }{T}$, avec $T$ la période de rotation, approximée par 24 heures (ni exactement 24 h, ni exactement une journée, mais l’approximation est faite).
• En secondes, c’est quelque chose d’assez petit : $\omega \simeq \frac{2\pi }{86400}\simeq 7,3\times 10^{-5}\text{rad/s}$.
• ⚠️ Or dans la formule, il est au carré : ${\omega }^2\simeq 10^{-8}$. On a donc un terme très très très petit, négligeable dans la plupart des cas.
• C’est aussi vrai du terme d’accélération centripète : il contient lui aussi ${\omega }^2$, donc c’est aussi de l’ordre de $10^{-8}$.

9.3. Ces termes sont DÉJÀ dans l’accélération de la pesanteur — [31:34]

• Ces deux termes, on va en fait les inclure déjà dans l’accélération de la pesanteur $g$.
• C’est (en partie) ce qui explique que $g$ dépend du lieu où on se trouve sur Terre : $g=9,81$ en Belgique, $g=9,78$ dans le sud de l’Espagne… car la valeur dépend de l’endroit où on est.
• ⚠️ Attention : ce ne sont pas ces termes-là qui font les principales différences entre la pesanteur en Belgique et celle à l’équateur ou au pôle nord.
• Le terme principal, c’est le fait que la Terre n’est pas une sphère : la Terre est aplatie aux pôles.
  • Le petit bonhomme au pôle nord est beaucoup plus proche du centre de la Terre qu’un petit bonhomme à l’équateur ;
  • à l’équateur, on est loin du centre, donc on ressent une attraction plus faible ;
  • au pôle, on est plus proche du centre, donc l’attraction est plus forte.
  • C’est principalement dû à l’aplatissement de la Terre.
• Conséquence pratique très importante : ces petits termes (centripète + $\dot{\mathbf{\Omega }}\times \mathbf{r}$) sont déjà inclus dans le $9,81$ que vous utilisez en physique. Il ne faut donc pas les reprendre en compte une deuxième fois — « sinon ça veut dire que vous les prenez deux fois en compte, et ça, ce n’est pas ce qu’on veut ».
  • Autrement dit : par la suite, on considère que ces termes sont DÉJÀ inclus dans la valeur de $g$.

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10. Accélération de Coriolis : ordre de grandeur — [33:49]

• Il faut bien fare attention à celui-ci, contrairement aux précédents.
• ${\mathbf{a}}_{\text{Coriolis}}=2\mathbf{\Omega }\times {\mathbf{v}}_{\text{rel}}$.
• ⚠️ Le problème : contrairement aux termes précédents (qui dépendaient du rayon de la Terre, donc fixe), on ne connaît pas directement la grandeur de $\mathbf{\Omega }\times {\mathbf{v}}_{\text{rel}}$, parce qu’elle dépend de la vitesse avec laquelle l’objet se déplace par rapport au repère :
  • si l’objet ne bouge pas → pas du tout d’accélération de Coriolis ;
  • si l’objet bouge très très vite → énorme accélération de Coriolis.
• Ordre de grandeur : $2\omega \simeq 1,45\times 10^{-4}$, donc

$$\Vert {\mathbf{a}}_{\text{Coriolis}}\Vert \simeq 1,45\times 10^{-4}\Vert {\mathbf{v}}_{\text{rel}}\Vert .$$

• Conclusion : pour que la Coriolis soit importante, il faut que la vitesse relative soit suffisamment grande.
  • L’évier : vitesse relative toute petite → l’accélération de Coriolis n’est pas importante (confirmation du §3).
  • L’ouragan : vitesses très grandes → l’ouragan va être dévié par l’accélération de Coriolis. (C’est l’objet du chapitre suivant : on verra pourquoi il tourne dans un sens et pas dans l’autre.)

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11. Le troisième terme : la variation de la vitesse angulaire $\dot{\mathbf{\Omega }}$ — [36:08]

• Il y a un troisième terme dont on n’a pas parlé : celui qui correspond à la variation de la vitesse angulaire en fonction du temps, $\frac{d\mathbf{\Omega }}{dt}$.
• Aux échelles humaines (échelles de temps de l’ordre de quelques années), on suppose que la vitesse de rotation est quasiment constante → ce terme est négligeable, et on dira que la durée du jour est « toujours en gros de 24 heures ».

11.1. En réalité, la Terre ralentit — [36:45]

• La Terre ralentit de plus en plus :
  • il y a 400 millions d’années, la durée du jour n’était pas la même : le jour durait environ 22 heures (la Terre tournait plus rapidement sur elle-même, donc la période était plus courte) ;
  • ensuite, petit à petit, la Terre a ralenti dans sa rotation, et on arrive à la durée du jour de 24 heures ;
  • si on revient dans 200 millions d’années, la durée du jour sera plus de 24 heures, peut-être 25 heures : les valeurs du tableau devront être corrigées pour être correctes.
• Variations à plus courte période : il y en a aussi, mais elles sont négligeables — sur une échelle de quelques années, la durée du jour varie de quelques millisecondes. (« 24 h ou 24 h et 1 ms de plus ? Cela ne changera rien dans votre vie de tous les jours. »)
• Origine : ces variations sont dues aux interactions entre les différentes couches à l’intérieur de la Terre : un grain solide (la « graine ») à l’intérieur du noyau liquide en fusion, qui ralentit un peu la rotation de la croûte terrestre.
• Dans ce cours, on néglige tout ça : on travaille à des échelles de temps de quelques secondes (le mouvement de chute d’un objet). Ce n’est « pas grave ».
• À retenir malgré tout : la Terre ne tourne pas à une vitesse vraiment constante — parfois un tout petit peu plus vite, parfois un tout petit peu plus lentement.

11.2. Bilan : quels termes négliger ? — [39:29]

• Les termes $\ddot{O^{\prime }}$ et $\dot{\mathbf{\Omega }}\times \mathbf{r}$ sont tout petits et sont déjà incorporés dans l’accélération de la pesanteur → on les néglige, et on suppose que la vitesse de rotation de la Terre est constante.
• Le terme $\mathbf{\Omega }\times (\mathbf{\Omega }\times \mathbf{r})$ (centripète) est de même ordre → négligé lui aussi, déjà inclus dans $g$.
• ⚠️ Celui pour lequel il faut bien faire attention, c’est la Coriolis : il ne peut pas toujours être négligé. (« Si vous êtes en vertige… vous ne souhaitez pas que vous vous mettiez à dériver un bateau. »)

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12. Exercice : la chute d’un objet lâché d’une hauteur $h$ — [40:04]

C’est exactement l’exercice fait en physique l’an dernier. Le but : montrer que la physique vous a menti en disant qu’on pouvait négliger Coriolis dans une chute.

12.1. Mise en place et conditions initiales — [40:24]

• On lâche (et ne lance pas) un objet d’une hauteur $h$, à l’endroit où on est (en Belgique).
• ⚠️ Lâché ≠ lancé : un objet lâché sort avec une vitesse initiale nulle.
• Position initiale : uniquement dans la direction du zénith → dans le repère mobile ${\mathbf{f}}_3$ :

$$\mathbf{r}(0)=h{\mathbf{f}}_3.$$

• Pesanteur : on prend celle en Belgique, $g=9,80$ (le professeur rappelle que cette valeur inclut déjà l’accélération centripète et l’accélération liée à la dérivation de $\mathbf{\Omega }$).

12.2. Mise en équation (2ᵉ loi de Newton) — [42:35]

• Pour retrouver le mouvement d’un objet, il faut utiliser la deuxième loi de Newton : on regarde les forces qui agissent sur l’objet ; en les connaissant, on trouve son accélération ; à partir de l’accélération, en intégrant deux fois, on retrouve la position.
• La force : le poids, seule force réelle (on néglige la résistance de l’air). Il est vertical, donc dans la direction du zénith :

$$\mathbf{F}=-mg{\mathbf{f}}_3.$$

• Dans le repère accéléré, cette même force s’écrit comme l’accélération relative plus l’accélération de Coriolis :

$$m{\mathbf{a}}_{\text{rel}}=-mg{\mathbf{f}}_3-m{\mathbf{a}}_{\text{Coriolis}}.$$

• Pour l’accélération relative, c’est juste la dérivée seconde de la position : si on note la position $\mathbf{r}$ dans le repère mobile, ${\mathbf{a}}_{\text{rel}}=\frac{d^2\mathbf{r}}{d{t}^2}$.

12.3. Réexprimer $\mathbf{\Omega }$ dans le repère mobile — [45:41]

• Tout s’exprime dans le repère mobile : le poids est en ${\mathbf{f}}_3$, la position initiale est en ${\mathbf{f}}_3$.
• Il faut donc réexprimer le vecteur de rotation $\mathbf{\Omega }$, qui est normalement aligné sur ${\mathbf{e}}_3$, dans le repère mobile $({\mathbf{f}}_1,{\mathbf{f}}_2,{\mathbf{f}}_3)$ : il va se retrouver incliné.
• Schéma du repère local : le petit bonhomme est au centre, avec ${\mathbf{f}}_1$ vers l’est, ${\mathbf{f}}_2$ vers le nord, ${\mathbf{f}}_3$ vers le zénith ; l’axe de rotation de la Terre est la direction en rouge.
• C’est comme si on avait ramené tout le repère fixe et le vecteur $\mathbf{\Omega }$ dessus.
• L’angle dont il est incliné est le même que celui déjà représenté sur le schéma : il y a un angle droit entre le rayon et l’axe des pôles, et l’angle qui reste est la latitude. On peut donc écrire $\mathbf{\Omega }$ avec un terme en $\cos \lambda$ sur ${\mathbf{f}}_2$ :

$$\mathbf{\Omega }=\omega \cos \lambda {\mathbf{f}}_2+\omega \sin \lambda {\mathbf{f}}_3.$$

(La fin de la phrase est bruitée dans la transcription ; ce qui est clair est la structure « cos λ en ${\mathbf{f}}_2$ » et le fait que $\mathbf{\Omega }$ est incliné du même angle que celui du schéma. La décomposition ci-dessus est celle qui découle de l’angle entre l’axe de rotation et le rayon, qui vaut la latitude.)

12.4. Les trois équations couplées — [49:38]

• On réécrit les trois composantes de l’équation, en utilisant le déterminant pour obtenir les composantes du produit vectoriel $\mathbf{\Omega }\times {\mathbf{v}}_{\text{rel}}$ :
  • composante en ${\mathbf{f}}_1$ (vers l’est) : le poids n’a pas de composante en ${\mathbf{f}}_1$ (il est purement en ${\mathbf{f}}_3$) → le membre de droite est nul ;
  • composante en ${\mathbf{f}}_2$ (vers le nord) : le poids n’a pas de composante en ${\mathbf{f}}_2$ → nul ;
  • composante en ${\mathbf{f}}_3$ (zénith) : c’est là qu’apparaît le poids $-mg$ ; la composante en ${\mathbf{f}}_3$ du produit vectoriel se « projette » cette fois sur ${\mathbf{f}}_2$.
• On obtient ainsi trois équations différentielles couplées, dans lesquelles on peut éliminer la masse $m$.

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13. Résolution du système d’équations différentielles — [51:26]

• Pour retrouver la position en fonction du temps, il faut résoudre ces trois équations différentielles couplées.
• Stratégie : les deux dernières équations dépendent toutes de $\ddot{x}$ → on commence par retrouver $\ddot{x}$.

13.1. Élimination des termes en ${\omega }^2$ — [52:20]

• On intègre une première fois, et les termes font apparaître du $\omega$ fois du $\omega$, c’est-à-dire ${\omega }^2$.
• Or on a vu que $\omega$ était tout petit : de l’ordre de $10^{-4}$ → au carré, ça fait $10^{-8}$, un truc minuscule.
• Conclusion : on laisse tomber tous les termes qui dépendent de ${\omega }^2$.
• Il reste les équations classiques de la physique de première année.

13.2. Les deux équations triviales — [54:04]

• En $y$ : l’équation dit qu’il ne se passe rien du tout en $y$ — sa dérivée seconde vaut 0. La vitesse ne varie donc pas ; mais il n’y avait pas de vitesse initiale, donc le mouvement en $y$ vaut toujours 0.
• En $z$ : la dérivée seconde vaut $-g$ ; on intègre deux fois et on retrouve l’équation du MRUA dans la direction $z$ :
  • première intégration : $\dot{z}=-gt+\text{constante}$, et la constante vaut 0 (pas de vitesse initiale) ;
  • seconde intégration : $z=-\frac{1}{2}g{t}^2+H$, et la constante est la hauteur $H$ de lâcher.
  • On retrouve bien l’équation du MRUA qu’on utilisait en physique.
• Bilan : « ce qu’on a fait l’an dernier en physique était correct, puisqu’on retrouve les mêmes équations ». Sauf qu’il reste l’équation en $x$, et c’est là qu’il va se produire quelque chose d’intéressant.

13.3. L’équation en $x$ : le terme qui ne passe pas inaperçu — [56:10]

• En $x$, on peut réintégrer puisque $z$ est connu (et $y$ disparaît de toute façon).
• Le terme restant en $x$ ne sera pas petit, parce qu’il dépend de $\omega$ mais pas de ${\omega }^2$ → il sera visible à l’œil nu.
• Intégration (avec les conditions initiales à $t=0$) : le résultat est non nul en $x$. Le mouvement est donc visible dans la direction $x$.
• Note sur les constantes d’intégration : le professeur commente au tableau que pour $x$ comme pour $\dot{x}$, les constantes d’intégration s’annulent, car on veut que la position et la vitesse soient nulles à $t=0$ (« autant t = 0 »). Pour $z$, c’est au contraire la hauteur $H$ qui apparaît comme constante.

13.4. Résultat : déviation vers l’est — [01:01:24]

• Le mouvement final de l’objet n’est ni un MRU, ni un MRUA : pour être un MRU, il faudrait simplement un terme proportionnel au temps.
• C’est un mouvement encore plus complexe que ces deux mouvements simples.
• La solution (déjà sur les slides, transcrite partiellement : « $g\omega t^3\cos \lambda$ » avec le facteur $1/3$ de l’intégration) :

$$x(t)=\frac{1}{3}g\omega \cos \lambda t^3,y(t)=0,z(t)=H-\frac{1}{2}g{t}^2.$$

• Avec les deux équations $y$ et $z$, on a l’impression que ça n’a pas changé par rapport à ce qu’on faisait en physique l’an dernier. Mais c’est en $x$ qu’il y a quelque chose d’intéressant.
• ⚠️ La direction $x$ est la direction vers l’est → on a donc une déviation de l’objet vers l’est.
  • Vérification du signe par l’équation du mouvement : le poids s’écrit $-mg{\mathbf{f}}_3=m{\mathbf{a}}_{\text{rel}}+m{\mathbf{a}}_{\text{Cor}}$, donc $\ddot{x}=-(2\mathbf{\Omega }\times \dot{\mathbf{r}}{)}_x=+2g\omega \cos \lambda t$, et une double intégration donne bien $x=+\frac{1}{3}g\omega \cos \lambda t^3>0$, soit une déviation vers l’est, conforme à ce que dit le professeur.

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14. Vérification expérimentale : la déviation vers l’est — [01:02:28]

• Ce n’est pas qu’une théorie : cela a été réalisé expérimentalement au XIXᵉ siècle.
• Deux scientifiques se sont amusés à lâcher des objets dans des puits :
  • Ferdinand Reich, en Allemagne ;
  • Camille Flammarion, en France.
• Il y avait une profondeur de plus de 100 mètres. Le protocole : on lâche l’objet, puis on regarde où il touche le sol au fond du puits.
• Sur la figure, on voit tous les petits points : ce sont les endroits où l’objet a touché le sol.
• Il y a de la variabilité : il suffit qu’il y ait un petit courant d’air et l’objet est entraîné.
• Malgré tout, on a observé en moyenne une déviation de $2,8\text{cm}$ vers la droite, c’est-à-dire vers l’est : il y a effectivement un peu plus de points vers la droite que vers la gauche. Et c’est lié à l’effet de Coriolis.
• (Contrôle d’ordre de grandeur : avec $h=100\text{m}$, $t=\sqrt{2h/g}\simeq 4,5\text{s}$, d’où $x=\frac{1}{3}g\omega t^3\simeq 2\text{cm}$ — le même ordre de grandeur que les $2,8\text{cm}$ mesurés.)
• C’est un peu moins évident parce qu’ils ont fait un petit peu moins d’essais.
• Conclusion : c’est effectivement quelque chose qu’on sait observer à des échelles humaines. Sur une chute d’une centaine de mètres, il y a une déviation de quelques centimètres à cause de Coriolis.
• ⚠️ Donc, si en physique l’an passé on vous demandait la chute d’un objet sur une centaine de mètres, il aurait fallu prendre en compte cet effet de Coriolis pour avoir la position exacte de l’objet lorsqu’il touche le sol.
• Bilan de la partie Coriolis : c’est fait, on l’a justifié et vérifié. On reviendra sur le chapitre suivant (sur l’effet de Coriolis lui-même) pour expliquer pourquoi c’est vers la droite et vers la gauche dans les deux hémisphères.
• Pause : « on fait des petites pauses, et on reprend à l’heure 7 » [01:04:55 → 01:11:37].

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15. Chapitre 2 : la dynamique — [01:11:37]

15.1. Représenter une accélération par une force : les forces fictives — [01:11:54]

• On va dire un mot sur quelque chose qu’on avait sûrement entendu aussi l’an dernier : les forces centrifuges ou forces de Coriolis.
• En effet, on peut représenter la même situation sous la forme d’une force et pas sous la forme d’une accélération.
• Ces forces-là s’appellent des forces fictives.
• ⚠️ D’où viennent toutes les forces fictives ? Du principe d’inertie, dans un repère non immobile (mobile). Toutes les forces fictives sont dues simplement à l’inertie de l’objet.

15.2. La force centrifuge (objet lié au solide en rotation) — [01:13:38]

• Expérience 1 : on prend un objet lié à un objet qui est en train de tourner (le point est lié au solide).

  • Comme ce point est lié au solide en rotation, sa vitesse vachanged avec la vitesse de rotation de l’objet.
  • Le vecteur vitesse varie (les deux vecteurs vitesse successifs ne sont pas les mêmes) → il y a bien une accélération.
  • Cette accélération est dirigée vers le centre (« la différence entre deux vecteurs vitesse donne une accélération dirigée vers le centre »).
  • C’est l’accélération centripète.

• Expérience 2 : le même plateau, mais cette fois l’objet n’est plus lié au plateau — on le pose dessus sans l’y fixer.

  • Principe d’inertie : tant qu’aucune force n’agit, l’objet garde la même vitesse → il va suivre une trajectoire en ligne droite.
  • Or le plateau tourne : l’objet, lui, part en ligne droite → il s’éloigne de plus en plus du plateau.
  • On va donc décrire cet éloignement à l’aide d’une force — une force amplifiée qui n’existe pas : c’est la force centrifuge.
  • ⚠️ En réalité, ce n’est rien d’autre qu’une application du principe d’inertie : l’objet continue simplement en ligne droite, et s’il va en ligne droite il va s’écarter du plateau.

15.3. La force de Coriolis — [01:19:11]

• On peut faire exactement la même chose avec l’accélération de Coriolis → la force de Coriolis est une force semblable, qui apparaît à cause du principe d’inertie.
• ⚠️ Mais la nature de la force de Coriolis est différente de celle de la force centrifuge.
• À quoi est-elle due ? Au fait que plus on est près de l’axe de rotation, moins l’objet se déplace.
  • Entre $t_0$ et $t_1$, l’objet au bord du solide en rotation se déplace sur une très grande distance ;
  • l’objet près du centre (donc près de l’axe de rotation) se déplace sur une toute petite distance → il a une vitesse beaucoup plus faible.
• Scénario 1 — point de vue accélération : un objet qui passe du bord vers un point un peu plus près du centre doit ralentir (puisqu’il est plus près du centre, sa vitesse doit être plus faible). Il faut donc une accélération qui le freine, opposée à sa vitesse : c’est l’accélération de Coriolis. Si on rapproche encore plus, il n’y a plus de vitesse du tout au centre.
• Scénario 2 — point de vue inertie (la « force ») : si l’objet peut se déplacer librement sur le plateau, le principe d’inertie dit que sa vitesse reste la même. En se rapprochant du centre, il garde une vitesse qui est beaucoup trop grande par rapport aux points qui sont en dessous de lui → il prend de l’avance sur le plateau, il tourne plus vite que le plateau, et il se retrouve dévié vers la droite. On a l’impression qu’il subit une force vers la droite, alors qu’en fait non : c’est juste qu’il continue en ligne droite, c’est le plateau qui est en train de tourner.
• ⚠️ Point clé : la force de Coriolis est opposée à l’accélération de Coriolis (c’est le passage à la forme « force » dans l’équation de Newton en repère non galiléen).
  • Corollairequoted par le professeur : « si je regarde un objet qui ne peut pas bouger par rapport au plateau, il faut que je le ralentisse pour que ça puisse se produire ».

15.4. La même chose sur Terre : pourquoi droite au nord et gauche au sud — [01:25:51]

• C’est exactement la même chose que sur le plateau tournant, sur Terre.
• Hémisphère nord :
  • les océans proches de l’équateur ont une très grande vitesse (ils sont à un rayon plus grand par rapport à l’axe de rotation) ;
  • quand une masse d’eau part de l’équateur et va vers le haut (vers le nord), elle se retrouve aller trop vite par rapport aux eaux qui sont à côté d’elle (celles de sa latitude) ;
  • elle prend de l’avance et se met à être déviée vers la droite.
  • ⟹ c’est pour ça qu’on a une déviation vers la droite dans l’hémisphère nord.
• Hémisphère sud : symétrique — une masse d’eau qui va vers le sud va de nouveau trop vite par rapport aux masses d’eau de sa latitude, prend de l’avance, et se retrouve cette fois déviée vers la gauche.
• ⟹ Cela explique toutes les déviations, que ce soit pour les courants marins ou pour les courants atmosphériques.
• Bilan : « c’est simplement le principe d’inertie qui s’applique ». Les masses d’eau, quand elles montent ou descendent vers le nord ou le sud, sont trop rapides par rapport aux masses d’eau juste à côté d’elles, et prennent donc de l’avance.
• Bilan Coriolis : c’est fait. On peut passer à la suite.

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16. La dynamique : retrouver les équations du mouvement — [01:28:10]

• Le chapitre 1 était la cinématique ; le chapitre 2 est la dynamique, qui permet de retrouver les équations du mouvement à l’aide des équations de Newton.
• C’est ce qu’on vient de faire avec l’objet de la hauteur $h$ : on a retrouvé toutes les forces qui agissent sur lui, et en les combinant, on a retrouvé l’accélération que l’objet va subir.
• Ce qu’on a vu : on obtient des équations différentielles à résoudre — une dérivée seconde pour chacune des composantes d’un côté, et les forces de l’autre côté.
• ⚠️ Le problème : ce n’est pas toujours facile d’intégrer ces équations, parce que les forces peuvent être compliquées.

16.1. Les forces peuvent dépendre de tout — [01:30:34]

• La force peut dépendre :
  • du temps ;
  • de l’endroit où on est sur Terre (par exemple la force de Coriolis) ;
  • de la position — par exemple la force gravitationnelle, qui dépend de la distance à laquelle on est du centre de la Terre ;
  • de la vitesse — on n’est peut-être pas habitué, surtout pour l’électricité, mais la force magnétique dépend de la vitesse de l’objet. La force magnétique, c’est le produit vectoriel de la charge avec la vitesse :

$${\mathbf{F}}_{\text{mag}}=q\mathbf{v}\times \mathbf{B}.$$

• voire d’autres variables encore.
• Rassurez-vous : dans les cas qu’on va regarder ensemble, on n’aura jamais des forces trop compliquées, sinon on ne saurait pas les intégrer directement.

16.2. Plusieurs particules : $3N$ équations — [01:31:51]

• Si on regarde non pas une particule, mais plusieurs particules qui se déplacent, il faut vérifier pour chacune des particules la deuxième loi de Newton qui lui correspond.
• Donc, au lieu d’avoir 3 équations différentielles, on aura $3N$ équations ($3$ fois le nombre de particules).

16.3. Le problème : des équations différentielles d’ordre 2 — [01:32:26]

• Le problème, pour le moment, c’est que ces équations différentielles sont d’ordre 2, et ce n’est pas simple à résoudre en toute généralité.
• Pour celle qu’on a résolue juste avant la pause, on a su le faire assez facilement, car il n’y avait qu’une force constante (juste la force de la pesanteur).
• ⚠️ Si jamais la force dépend de plusieurs variables, ça peut être compliqué de résoudre ces équations différentielles d’ordre 2.
• ⟹ Ce qu’on va faire : passer à des équations différentielles d’ordre 1.

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17. Passer à des équations différentielles d’ordre 1 : l’espace des phases — [01:33:12]

17.1. Changer de variables — [01:33:18]

• On peut simplement changer de variables : on va rajouter trois nouvelles variables, $u,v,w$.
• Ces variables vont prendre simplement les vitesses dans chacune des directions :

$$u=\dot{x},v=\dot{y},w=\dot{z}.$$

• Au lieu d’avoir la dérivée seconde en $x$ ($\ddot{x}$), on a maintenant la dérivée première de $u$ — et comme $u=\dot{x}$, on a bien $\dot{u}=\ddot{x}$. De même pour $y$ et $z$.
• ⟹ On obtient bien des équations différentielles d’ordre 1, mais couplées.
• ⚠️ Ce n’est pas gratuit : puisqu’on a rajouté trois équations supplémentaires, on est maintenant dans un espace à six dimensions au lieu de trois.

17.2. L’espace des phases — [01:35:13]

• L’espace qui combine la position et la vitesse, c’est l’espace des phases :
  • la position de l’objet → 3 dimensions ;
  • la vitesse → 3 dimensions ;
  • chaque particule se déplace donc dans un espace à six dimensions.
• C’est plus difficile à visualiser : on a trois dimensions pour la position et trois pour la vitesse.

17.3. Le cas visualisable : une dimension — [01:37:16]

• Pour avoir facile à visualiser, on peut regarder par exemple une particule qui ne bouge que dans une dimension :
  • dans l’espace des phases, il n’y a alors que deux dimensions : une pour la position, une pour la vitesse ;
  • on pourra tracer un graphique avec la position en abscisse et la vitesse en ordonnée — c’est ce qu’on fera souvent dans le chapitre ;
  • on obtient une courbe qui représente la trajectoire de la particule dans l’espace des phases (⚠️ pas la vraie trajectoire de la particule, puisqu’elle ne bouge que dans une dimension).
• ⚠️ C’est le seul cas vraiment visualisable sur une feuille : dès qu’on passe à une particule qui bouge dans un plan, l’espace des phase fait 4 dimensions, et on ne sait plus le visualiser — ni sur une feuille, ni même dans l’espace 3D.
• Le cas sur lequel on travaillera beaucoup ensemble : le mouvement d’une particule à une dimension, parce qu’on pourra encore voir ce qui se passe en faisant des schémas ensemble.

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18. Conditions initiales, existence de solutions — [01:39:02]

• Si on nous donne une condition initiale, on pourrait résoudre notre système d’équations différentielles — qui pourrait être compliqué à résoudre ; on se focalisera sur des systèmes où c’est faisable.
• Si jamais on trouve une solution à ce système d’équations différentielles, deux principes vont s’appliquer.

18.1. Le principe de déterminisme — [01:39:33]

• Ce qu’il dit : si jamais je connais la position de ma particule à un instant donné, grâce à la solution de mon système d’équations différentielles, je peux retrouver la position à n’importe quel moment du futur, et même à n’importe quel moment du passé.
• L’enthousiasme du XVIIIᵉ siècle : à cette époque, quand les scientifiques ont commencé à étudier ce genre d’équations (Newton est de cette époque-là), ils se sont dit « ah, génial, on vient de trouver comment prédire l’avenir ».
  • Il suffirait d’avoir un système d’équations décrivant la position de tous les objets qui nous entourent ; on résout le système et on peut dire où se situera l’objet dans 5 secondes.
  • On peut même aller plus loin : où sera l’objet dans 10 ans, dans 2000 ans ?
  • Les scientifiques se sont dit qu’avec notre système d’équations, on a décrit le monde entier : si on met tous les objets dans un système d’équations, on résout tout ça, on sait prédire l’avenir et, en allant dans l’autre sens, retrouver ce qui s’était passé dans le passé.

18.2. Pourquoi ça ne marche pas ? — [01:41:02]

• Parce que nous qui sommes vivants, on n’est pas décrits par des équations.
• « Même dans les pires dictatures, ils n’arrivent pas à forcer les gens à suivre une équation qui leur imposerait de faire quelque chose. Non, vous êtes libre de penser par vous-même » : si je décide d’aller à droite au lieu d’aller à gauche, il n’y a aucune équation qui va m’empêcher d’aller par où je veux me diriger.
• ⟹ Le principe de déterminisme ne fonctionne que pour un objet qui va suivre les forces qui agissent sur lui. Ça ne marchera pas pour les êtres vivants, même pour les animaux : ils ont leur volonté propre, ils peuvent aller où ils veulent sans suivre les équations qu’on leur donnerait.

18.3. Le principe de précaution (la complication) — [01:42:21]

• Ce qu’il dit : ayant donné que j’ai plein de positions initiales possibles — en fait une infinité — j’aurai aussi une infinité de trajectoires possibles. On ne saura jamais les explorer toutes, on ne saura jamais trouver toutes les solutions possibles.
• Même en prenant un seul objet, il pourrait avoir une infinité de conditions initiales différentes. Et si on combine, et qu’on prend 1000 objets ou plus, on a encore beaucoup plus de possibilités pour démarrer.
• ⟹ Si on ne sait pas retrouver toutes les solutions du problème, on va se ramener à trois cas possibles.

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19. Les trois cas — [01:43:04]

Cas 1 — Retrouver une solution générale au système — [01:43:13]

• Il y a des cas très faciles qui permettent de trouver une solution générale, c’est-à-dire une solution qui marche dans tous les cas.
• C’est ce qu’on a fait durant la première heure avec le mouvement de chute : les équations qu’on a retrouvées vont marcher pour n’importe quel objet lâché d’une hauteur $h$. Comme $h$ n’était pas fixé, il y a une infinité de $h$ possibles.
• On retrouve alors la solution : un objet qui chute dans la direction $z$, mais qui est en même temps dévié dans la direction $x$.
• ⚠️ Attention : malgré tout, ce n’est pas une solution générale qui va être vraie pour toutes les hauteurs $h$ : si $h$ devient trop grand, on ne peut plus supposer qu’on ait un petit $g$ constant. On va donc être limité dans nos positions de départ.
• Cas particulier facile : s’il n’y a que la force de la pesanteur dans la direction ${\mathbf{e}}_3$, on a un système d’équations différentielles d’un seul objet : pas de force en ${\mathbf{e}}_1$, pas de force en ${\mathbf{e}}_2$, une force en ${\mathbf{e}}_3$.

Résolution de ce cas simple [01:47:59] :

• On retrouve d’abord $u,v,w$ (les équations de vitesse), puis $x,y,z$ avec les trois premières équations. On prend par exemple ${\dot{x}}_0=0$ → une constante notée ${\alpha }_1$ ; et ${\dot{u}}_0=0$ → une constante ${\beta }_1$.
• On réintègre : $x={\alpha }_{1}t+{\beta }_1$, et on retrouve :
  • dans la direction $z$ : l’équation du MRUA qu’on avait déjà revue ;
  • dans les directions $x$ et $y$ : des équations du MRU (aucune force n’agit dans ces directions ; par le principe d’inertie, l’objet garde une vitesse constante — c’est la définition du mouvement rectiligne uniforme).
• ⚠️ Rappel : si jamais il y a de la Coriolis, ce n’est plus le cas — ce sera juste du MRU en $y$, et en $x$ on aura un mouvement plus compliqué que le MRU, parce que le terme de Coriolis apparaît en $x$. Si on ne l’a pas pris en compte, on a supposé qu’on négligeait la Coriolis.

Cas 2 — Les intégrales premières — [01:44:27] (annoncé puis détaillé)

• C’est ce qu’on fera plus fréquemment : on ne pourra pas retrouver de solution complète au système, mais on pourra malgré tout trouver des choses intéressantes — et on va leur donner un nom : les intégrales premières.
• Définition : ce sont des valeurs / des paramètres qui restent constants le long des trajectoires du système.
• On en a déjà vu en physique l’an dernier, sauf qu’on ne l’appelait pas « intégrale première » : on disait simplement qu’il y avait des choses qui étaient constantes lorsqu’un objet bougeait. Ce sont exactement les mêmes choses.
  • L’énergie mécanique : si on lâche un objet dans la pièce, son énergie mécanique est constante pendant la chute.
  • La quantité de mouvement : c’est l’autre intégrale première qu’on a utilisée, via le principe d’inertie (« la vitesse reste constante tant qu’il n’y a pas de force qui agit ») — mais en physique, ce n’est pas vraiment la vitesse qui est conservée, c’est la quantité de mouvement $\mathbf{p}=m\mathbf{v}$, qui est également conservée s’il n’y a pas de force.
• ⟹ Toutes les quantités qui étaient conservées en physique, on va les appeler « intégrales premières » ici.

Cas 3 — Des renseignements qualitatifs sur l’état du système — [01:46:00]

• Ce qu’on fera aussi, et qu’on retrouvera par après dans d’autres cours qui vont plus loin dans la description des systèmes dynamiques : trouver des renseignements plus qualitatifs sur l’état du système.
• Par exemple, regarder la stabilité du système : est-ce qu’il est stable, ou est-ce qu’il va être instable ? Il peut y avoir plusieurs cas de stabilité différents.

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20. Bilan de la séance — [01:52:10]

• Question aux étudiants : « Vous avez des questions sur ce qu’on a fait aujourd’hui ? »
• La semaine prochaine, on commence les intégrales premières (le professeur a déjà donné des exemples : on repassera sur toutes les quantités conservées définies en physique).
• On verra que, grâce aux intégrales premières, on pourra dire des choses sur le système même si on n’a pas trouvé de solution complète.
• Exemple type : c’est ce qu’on fait avec le mouvement d’un ressort en physique. On ne sait pas décrire explicitement la position du ressort en fonction du temps ; mais on sait que l’énergie totale du ressort est conservée (conversion d’énergie en ressort en énergie cinétique au cours du mouvement). Ça permettait d’expliquer ce qui se passait, pourquoi est-ce que le ressort va venir se contracter.
• Fin de la séance : « semaine prochaine… si jamais vous avez pas de questions ».

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Points clés — [résumé]

• Rappel : ${\mathbf{a}}_{\text{abs}}={\mathbf{a}}_{\text{entraıˆnement}}+{\mathbf{a}}_{\text{relative}}+{\mathbf{a}}_{\text{Coriolis}}$ ; la Coriolis n’existe que si l’objet bouge dans le repère mobile ; l’accélération centripète est le terme $\mathbf{\Omega }\times (\mathbf{\Omega }\times \mathbf{r})$, dont la norme donne $R{\omega }^2$ uniquement si $\mathbf{\Omega }\perp \mathbf{r}$.
• Légende des Falkland :Marine britannique qui visait à côté à cause de Coriolis ⟹ probablement une légende (un seul écrit, le vent joue aussi) — mais à la vitesse et à la distance des obus, Coriolis compte vraiment (des centaines de mètres). Le mythe de l’évier est faux (vitesse trop faible).
• Formule générale pour n’importe quel vecteur $\mathbf{B}=B_1{\mathbf{f}}_1+B_2{\mathbf{f}}_2+B_3{\mathbf{f}}_3$ dans un repère mobile :

$$\frac{d\mathbf{B}}{dt}=\frac{d{B}_1}{dt}{\mathbf{f}}_1+\frac{d{B}_2}{dt}{\mathbf{f}}_2+\frac{d{B}_3}{dt}{\mathbf{f}}_3+\mathbf{\Omega }\times \mathbf{B}.$$

Les 3 premiers termes sont une dérivée partielle (on ne regarde que les composantes, pas l’évolution du repère).

• Le vecteur $\mathbf{\Omega }$ est indépendant du repère : même direction dans l’espace, composantes différentes ; si plusieurs bases tournent, on additionne leurs vecteurs de rotation.
• Repères sur Terre : fixe ${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,{\mathbf{e}}_3$ (étoiles lointaines / étoile polaire) ; mobile ${\mathbf{f}}_1,{\mathbf{f}}_2,{\mathbf{f}}_3$ local avec ${\mathbf{f}}_1$ est, ${\mathbf{f}}_2$ nord, ${\mathbf{f}}_3$ zénith (convention).
• Position : $\mathbf{r}=R\cos \Phi \cos \lambda {\mathbf{e}}_1+R\cos \Phi \sin \lambda {\mathbf{e}}_2+R\sin \Phi {\mathbf{e}}_3$ ($\Phi$ = latitude, $\lambda$ = longitude).
• Ce qu’on néglige, et pourquoi : $\omega =\frac{2\pi }{86400}\simeq 7,3\times 10^{-5}$ → ${\omega }^2\simeq 10^{-8}$. Les termes $\ddot{O^{\prime }}$, $\dot{\mathbf{\Omega }}\times \mathbf{r}$ et $\mathbf{\Omega }\times (\mathbf{\Omega }\times \mathbf{r})$ sont déjà inclus dans $g$ ⟹ ne pas les compter deux fois. $g$ dépend du lieu (9,81 en Belgique, 9,78 au sud de l’Espagne) mais surtout à cause de l’aplatissement de la Terre (pôle plus près du centre), pas à cause de ces termes.
• La Terre ralentit : le jour durait 22 h il y a 400 Ma, il durera ~25 h dans 200 Ma ; variations de quelques ms sur quelques années, dues aux interactions noyau liquide / graine solide / croûte ⟹ négligé à l’échelle de la chute.
• Coriolis, ordre de grandeur : $\Vert {\mathbf{a}}_{\text{Cor}}\Vert \simeq 1,45\times 10^{-4}\Vert {\mathbf{v}}_{\text{rel}}\Vert$ ⟹ négligeable pour l’évier, important pour un ouragan ou un bateau.
• Exercice de la chute de hauteur $H$ (objet lâché, $\mathbf{r}(0)=H{\mathbf{f}}_3$, $g=9,80$) : $\mathbf{F}=-mg{\mathbf{f}}_3=m{\mathbf{a}}_{\text{rel}}+m{\mathbf{a}}_{\text{Cor}}$, $\mathbf{\Omega }=\omega \cos \lambda {\mathbf{f}}_2+\omega \sin \lambda {\mathbf{f}}_3$. Après élimination des termes en ${\omega }^2$ :

$$\boxed{x(t)=\frac{1}{3}g\omega \cos \lambda t^3,y(t)=0,z(t)=H-\frac{1}{2}g{t}^2}$$

⟹ déviation vers l’est, de l’ordre de 2 cm pour 100 m de chute.

• Vérification expérimentale (XIXᵉ) : Ferdinand Reich (Allemagne) et Camille Flammarion (France) lâchaient des objets dans des puits de plus de 100 m ; déviation moyenne mesurée 2,8 cm vers l’est.
• Forces fictives : elles sont toutes dues au principe d’inertie dans un repère mobile.
  • Objet lié au solide qui tourne → accélération centripète (dirigée vers le centre).
  • Objet posé (non lié) sur le plateau → il part en ligne droite et s’écarte → force centrifuge.
  • Objet qui se déplace vers le centre → force de Coriolis, ⚠️ opposée à l’accélération de Coriolis.
  • ⟹ Droite dans l’hémisphère nord, gauche dans l’hémisphère sud : une masse d’eau qui monte vers le nord va trop vite par rapport à sa latitude, prend de l’avance, se dévie à droite (symétrique au sud).
• Dynamique : $\mathbf{F}$ peut dépendre du temps, de la position (gravitation), de la vitesse (${\mathbf{F}}_{\text{mag}}=q\mathbf{v}\times \mathbf{B}$) ou d’autres variables. Pour $N$ particules : $3N$ équations différentielles d’ordre 2.
• Passage à l’ordre 1 : on pose $u=\dot{x},v=\dot{y},w=\dot{z}$ ⟹ système d’EDO d’ordre 1 couplées, dans l’espace des phases à 6 dimensions (3 position + 3 vitesse). Seul le cas 1D (2 dimensions) est visualisable : on trace la position en $x$, la vitesse en $y$ — c’est la trajectoire dans l’espace des phases, pas la vraie trajectoire.
• Principe de déterminisme : connaître la position à un instant suffit à retrouver la position dans le futur et dans le passé ⟹ c’est ce qui a fait croire au XVIIIᵉ siècle qu’on pouvait prédire l’avenir en décrivant le monde entier. ⚠️ Ça ne marche pas pour les êtres vivants ni les animaux : ils ont leur volonté propre (« vous êtes libre de penser par vous-même »).
• Principe de précaution : une infinité de conditions initiales ⟹ une infinité de trajectoires, on ne peut pas toutes les explorer ⟹ trois cas : (1) solution générale (limite : $h$ trop grand ⟹ $g$ n’est plus constant) ; (2) intégrales premières = paramètres constants le long des trajectoires (énergie mécanique, quantité de mouvement — ⚠️ pas la vitesse) ; (3) renseignements qualitatifs, comme la stabilité.
• Exemple type d’intégrale première : le ressort — on ne sait pas écrire la position en fonction du temps, mais on sait que l’énergie totale est conservée (ressort ⟷ cinétique).

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Doutes / à vérifier

• Facteur $1/3$ et signe de $x$ : la transcription est très bruitée sur ce passage (« $g\omega t^3\cos \lambda$ » sans le facteur). La formule présentée ici a été reconstruite à partir de l’équation de Newton écrite par le professeur ($m{\mathbf{a}}_{\text{rel}}=-mg{\mathbf{f}}_3-m{\mathbf{a}}_{\text{Cor}}$) et de la déviation vers l’est qu’il annonce explicitement. À confronter avec les slides.
• Convention des axes locaux : le professeur énonce d’abord « ${\mathbf{f}}_1$ vers l’est, ${\mathbf{f}}_2$ vers le nord » puis se reprend (« alors c’est une convention, on va prendre ${\mathbf{f}}_1$ vers le nord, ${\mathbf{f}}_2$ vers l’ouest »). Version retenue dans la note : est / nord / zénith (celle qu’il utilise ensuite pour « vers l’est »). À vérifier sur les slides.
• Valeur de $g$ : le professeur dit « $9,80$ » ici (« on prend celle en Belgique, les $9,80$ ») alors qu’il dit « $9,81$ » deux fois dans la même séance (§9.3). Ce sont des valeurs approchées ; ne pas s’y attacher.
• Formulation exacte de l’exigence de l’examen : le Cours 1 mentionnait « trois petits exercices écrits + deux questions orales, 30 min de préparation, formulaire autorisé ». Le Cours 2 ne la reprend pas — à vérifier s’il y a eu des précisions.

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Transcrit via whisper-cpp (modèle ggml-large-v3-q5_0 avec VAD silero + anti-boucles), puis structuré et annoté. La source audio reste dans Documents/La Uni/Bac 2/MecaPoint/.