EDO - Cours 3

EDO — Cours 3 : fin de la démonstration de Picard, régularité des solutions et méthodes de résolution

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Numeración : c’est la 3ᵉ séance du cours (audio EDO - 3.m4a). La séance 1 n’a pas été suivie (pas d’audio) ; la séance 2 est EDO - Cours 2 (audio EDO - 2.m4a).

Couverture : de 00:00:00 à 01:46:56 sur un audio de 01:47:19 — couverture intégrale, aucun trou. 1103 segments, 11 129 mots. Transcription brute : .srt / .txt / .vtt dans ~/Documents/La Uni/Audios/transcrit/EDO - 3.* (aucun artefact CJK/cirílico, aucun bouclé d’hallucination).

Contenu de la séance : la séance termine la démonstration du théorème de Picard annoncée comme feuille de route à la fin de la séance 2. Le prof vérifie une à une les trois propriétés du schéma abstrait : (i) $X=\{v\in C(I,\mathbb{R}):\Vert v-u_0{\Vert }_{\infty }\le R_2\}$ est un espace métrique complet pour la norme du sup (question posée à l’oral d’Analyse I), (ii) la fonctionnelle $\Phi$ est continue et envoie $X$ dans lui-même, (iii) $\Phi$ n’est pas une contraction mais ${\Phi }^{[m]}$ en est une pour un $m$ bien choisi — démonstration par le développement $\frac{L^k{L}_0^k}{k!}$ dont il abandonne la preuve formelle à un exercice et à la récurrence. Il enchaîne sur une question nouvelle : que gagne-t-on en régularité ($f\in C^k\Rightarrow u\in C^{k+1}$ par récurrence, $C^{\infty }$, et la frontière entre $C^{\infty }$ et analytique, illustrée par le contre-exemple $e^{-1/x^2}$). Enfin il ouvre le chapitre des méthodes de résolution effective : l’itération de Picard sur $u^{\prime }=Au$ redonne $e^{A(t-t_0)}{u}_0$, la variation des constantes, et les variables séparables.

⚠️ Zone audio contaminée — 00:50:21 → 00:59:08 : pause annoncée (« je vais chercher mon chargeur ») pendant laquelle l’enregistrement capte une rediffusion télévisuelle (« Sous-titrage ST’ 501 », même chaîne de sous-titrage RTBF qu’à la séance précédente). Aucun contenu mathématique n’y est perdu : la question d’un étudiant qui suit est intacte et transcrite. Voir section 27.

📝 Convention de littéralité : les paroles du prof sont entre « » et telles que l’ASR les a rendues. Quand l’ASR a manifestement massacré un terme mathématique, la forme littérale est suivie de [sic: …] donnant le terme correct — c’est la convention décidée pour EDO - Cours 2 (voir son fichier PENDIENTE). Les reconstructions de formules non dictables sont signalées par ⚠️ dans Doutes / à vérifier.

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1. Ouverture : rappel de la proposition du point fixe — [00:00:00 → 00:00:45]

• « Donc, c’est ce qu’il disait, que si vous avez une fonction qui est continue, et s’il a itéré M fois cette fonction — c’est une M fois cette fonction, une contraction — alors il existe un point fixe pour la fonction du départ, qui est continue. »
• Le prof relit l’énoncé de la proposition 20 du cours précédent (§20 de EDO - Cours 2) : l’idée maîtresse de la séance est de vérifier que la fonction qu’on manipule really est bien de ce type-là.
• « Est-ce qu’il y a des questions, comment faire les choses qui ne sont pas claires pour ce que nous avons vu hier ? » — question ouverte à la salle, sans réponse transcrite.

2. Rappel : l’équivalence EDO ⟺ équation intégrale et la fonctionnelle Φ — [00:00:45 → 00:02:22]

Rappelchainé de l’étape 1 de la démonstration (séance 2, §13-14) :

• « Oui, ce qu’on a fait, c’est qu’on a fait un écho de chiffre [= « un schéma »]… et on a démontré que c’est là, c’est équivalent, l’équivalent à l’équation intégrale $u$ égale plus $u_0$ plus l’intégrale de séparité $f(s,s)$ avec une fonction continue, sur un certain intervalle. L’équivalence. »
• « On avait montré l’équivalence et on avait défini par la suite la fonction $f$ qui prend les fonctions continues de l’intervalle $I$ à partir d’un $f$ dans les fonctions continues… $v$ a toute fonction continue $v$, à ceci, c’est intégral, et donc on avait dit que résoudre cette équation intégrale, c’est équivalent à trouver une unique fonction $u$ continue dans l’ensemble $I$ avec $V$, telle que quand vous appliquez la fonction $f$ à $u$, vous trouvez la fonction $u$ à $u$. »

$$\boxed{\Phi :C(I,\mathbb{R})⟶C(I,\mathbb{R}),\Phi (v)=[t⟼u_0+{\int }_{t_0}^{t}f(s,v(s))\mathrm{d}s]}$$

• « Et donc, l’objectif qu’on s’est donné, c’est de trouver les solutions de cette équation, qu’on appelle l’équation point fixe. »

3. Le schéma général à vérifier — [00:02:22 → 00:03:25]

Le prof reproduit au tableau le « schéma » générique (celui de la proposition 20) qu’il a dans son document, avant de specializing :

• « Donc, on a donné un [= « schéma »] tout à fait général, qui est ici dans le tableau, qui dit que c’est $X$, un espace metric [= « métrique »] en $t$ [= « endowed »], avec une distance $d$, qui donne déjà la version qui nous intéresse. »
• « Et si $f$ est une application qui envoie $X$ dans $X$, et s’il existe un entier $m$ tel que $f$, qui est $m$ fois — c’est-à-dire $f^{[m]}$ — est une contraction, alors il existe un point, que j’ai appelé $\hat{x}$, dans mon ensemble $X$, tel que $f(\hat{x})=\hat{x}$. »

$$\text{(S) }X\text{ meˊtrique complet},\Phi :X\to X\text{ continue},\exists m\ge 1\text{ tel que }{\Phi }^{[m]}\text{ est une contraction}⟹\exists !\bar{u}\in X:\Phi (\bar{u})=\bar{u}.$$

4. La feuille de route de la séance : les trois vérifications — [00:03:25 → 00:04:30]

• « Et donc, ce qu’il faut faire maintenant, c’est vérifier que cette fonction $\Phi$ — donc l’intégrale, finalement — satisfait ces propriétés-là. »
• « C’est-à-dire que l’espace du départ, c’est la fonction continue : est-ce un espace métrique complet ? Donc on peut mesurer la distance entre les fonctions continues, et avec cette notion de métrique, c’est un objet qui est complet. »
• « Il faut montrer que la fonction $\Phi$ envoie $X$ dans lui-même, et qu’il existe cet entier $m$ tel que quand vous faites $\Phi$, $\Phi$, $\Phi$ ce nombre de fois, vous tombez sur une fonction qui est une contraction. »
• « Si cela est fait, on a l’existence d’un élément de l’espace $X$ — qui va être ma fonction solution $u$ —, qui satisfait l’équation. C’est clair ? Très bien. »

✅ Cette section réalise exactement la feuille de route annoncée à la fin de la séance 2 (§21) : les trois points 1-2-3 y étaient listés dans le même ordre.

5. Le cadre géométrique : le rectangle A, les intervalles R₁ et R₂ — [00:04:30 → 00:06:15]

Rappel du cadre (séance 2, §7) que le prof redessine :

• « Alors, si vous souvenez les hypothèses, dites-le-moi. Donc on va se placer en dimension 1, comme ça c’est facile de faire le dessin. »
• « On avait un point $t_0$, un point $u_0$. Est-ce qu’il y a un ensemble $A$ ? Ça, c’est $A$ qui est l’ouvert de ${\mathbb{R}}^2$ à l’intérieur duquel $f$ est définie. Et donc là-dedans, vous avez les points $(t_0,u_0)$ qui [= « qui »] appartiennent à notre condition initiale. »
• « Et vous verrez, on avait trouvé deux réels positifs $R_1$ et $R_2$. Donc on a des rectangles ici : $I$, c’est l’ensemble des $[t_0-R_1,t_0+R_1]$, et $I$ c’est l’ensemble $[u_0-R_2,u_0+R_2]$, compris dans l’ensemble $A$. »
• « Compte tenu d’un ensemble $A$, et donc on avait les propriétés de $f$ : toutes les hypothèses qui étaient valables dans ce rectangle [= « toutes les chutes … dans cet électron »]. » ⚠️ Point important : les hypothèses de l’EDO (continuité de $f$ et Lipschitz en $u$) sont vérifiées sur tout le rectangle $I\times J\subset A$, pas seulement au point $(t_0,u_0)$.
• « Et donc, comme ensemble $X$, on peut prendre : $X$ ce sont les fonctions continues définies dans l’intervalle $I$, qui est l’ensemble $[t_0-R_1,t_0+R_1]$. En fait, en réalité, on verra qu’il faut restreindre cet ensemble — vous l’avez peut-être vu dans les [= « autres »] cours de la vie. »

$$A\subset {\mathbb{R}}^2\text{ ouvert},(t_0,u_0)\in A,R_1>0\text{ tel que }[t_0-R_1,t_0+R_1]\times [u_0-R_2,u_0+R_2]\subset A$$ $$I:=[t_0-R_1,t_0+R_1],X:=C(I,\mathbb{R}).$$

6. Question 1 : l’espace des fonctions continues est-il un espace métrique ? — [00:06:15 → 00:06:50]

• « Alors, première question : est-ce que l’espace des fonctions continues dans un intervalle donné est un espace métrique ? Ou si vous voulez, est-ce que vous connaissez une notion de distance entre les fonctions continues ? »
• « Je pense que vous l’avez vu chez moi en Analyse I, quand vous avez fait la suite des convergences des fonctions continues. »

7. La convergence uniforme et la norme du sup — [00:06:50 → 00:08:40]

• « Donc vous avez une suite de fonctions, elle peut converger soit point par point — donc vous fixez un point, vous avez une suite de nombres, et la suite converge. Mais il y a une autre convergence possible qu’on appelle la convergence uniforme. Donc [= « à fait »] elle converge sur l’intervalle entier. »
• « Et donc, vous vous souvenez de la convergence uniforme ? L’écart ? Tu veux dire quoi ? Non, je n’ai pas compris. » (petite digression, l’étudiant ne saisit pas la question)
• « Donc la convergence uniforme disait que $u_n$, qui est une suite de fonctions continues, par exemple dans mon espace les fonctions continues, converge vers $u$ uniformément : ici, j’ai écrit ${\sup }_{n\to \infty }|u_n-u|=0$. »
• « Et c’est quoi cet objet ? Ici, donc en général $\Vert u-v{\Vert }_{\infty }$, par définition, c’est le $\sup$ sur le $t$ dans l’intervalle qui m’intéresse, de la valeur absolue de $u(t)-v(t)$. Donc on appelle ça la norme du sup, et donc la convergence qu’on obtient, on l’appelle uniforme, parce que le $\epsilon$ que j’ai caché là-dedans ne dépend pas du point $x$ dans lequel j’ai caché la convergence. C’est uniforme, c’est-à-dire pour tous les $x$. »

$$\Vert u-v{\Vert }_{\infty }:=\underset{t\in I}{\sup }|u(t)-v(t)|,u_n\stackrel{\text{unif}}{\to }u⟺\underset{t\in I}{\sup }|u_n(t)-u(t)|\underset{n\to \infty }{⟶}0.$$

• « Et donc ici, on voit que si j’ai défini l’objet $d$ qui, à tout couple de fonctions continues $u,v$ de $C(I,\mathbb{R})$, associe $d(u,v)$ qui est la norme définie de $u-v$, c’est une distance. »

$$d:C(I,\mathbb{R})\times C(I,\mathbb{R})\to {\mathbb{R}}_{+}^{\ast },d(u,v):=\Vert u-v{\Vert }_{\infty }.$$

8. Les trois propriétés de la distance, vérifiées une à une — [00:08:40 → 00:11:29]

• « Positivité. Elle est positive, donc $d(u,v)$ est positive, quel que soit $u$ et $v$ de mon ensemble ; $d(u,v)=0$ si et seulement si $u=v$. »
  • Argument donné : « Cet objet, c’est la définition, le sup sur l’ensemble de l’intervalle $I$ de la différence de valeur absolue entre $u(t)$ et $v(t)$. Ça révèle quoi ? Que les fonctions continues sont différentes. Ça révèle qu’il existe un point $\hat{t}$ dans mon intervalle $I$ tel que $u(\hat{t})\ne v(\hat{t})$. »
  • « Les fonctions sont différentes si elles diffèrent au moins dans un point. Mais les fonctions sont continues, donc si elles sont différentes dans un point, sur tout un intervalle de points elles sont différentes : il existe un voisinage du point $\hat{t}$ tel que, quel que soit $s$ dans ce voisinage, $u(s)$ est différente de $v(s)$, ce qui veut dire que la valeur absolue de $u(s)-v(s)$ est plus ou moins positive, au moins dans ce petit voisinage, ce qui implique qu’elle est strictement positive. »
  • ⚠️ Point d’attention signalé en séance 2 (§9) : ce raisonnement suppose que le supremum d’une fonction continue sur un intervalle fermé et borné est atteint. Ici $I$ est compact, donc c’est légitime — mais le prof ne le dit pas à l’oral.
• « Symétrie. On avait que la distance entre $u$ et $v$ est égale à la distance entre $v$ et $u$, et cela c’est vrai parce que quand on fait la valeur absolue de $u-v$ [= « moins v »], c’est la valeur absolue de $v-u$, ça c’est trivial. »
• « Inégalité triangulaire. On avait vu que la distance entre $u$ et $v$ est plus petite que la distance entre $u$ et $w$ plus la distance entre $w$ et $v$. Cela est vrai, puisque la valeur absolue satisfait cette inégalité. »

$$d(u,w)=\Vert u-w{\Vert }_{\infty }\le \Vert u-v{\Vert }_{\infty }+\Vert v-w{\Vert }_{\infty }=d(u,v)+d(v,w).$$

• « Donc cet objet ici est bien une distance dans l’espace des fonctions continues $C(I,\mathbb{R})$, c’est bien. »

9. Question 2 : l’espace $(C(I,\mathbb{R}),\Vert \cdot {\Vert }_{\infty })$ est-il complet ? — [00:11:29 → 00:13:07]

• « Mais est-ce que l’espace $X$, construit avec la distance du sup — la norme du sup — est-ce qu’un espace complet ? Qu’est-ce que ça voudrait dire ? Ça voudrait dire qu’une suite de Cauchy de fonctions continues, qui converge avec la norme du sup, converge vers une fonction continue. »
• « Est-ce que cela est vrai ou pas ? Je répète : une suite de fonctions continues qui converge avec la norme du sup — la limite est-elle une fonction continue, ou pas ? Ça, je pense que c’est un terrain que vous avez dû voir. Et la réponse est ? »
• « *C’est un conservateur [sic: « un complet » — la réponse est OUI, c’est bien un espace complet]. Quoi ? C’est un conservateur. C’est vrai. Donc on a fait tout de suite [= « demonstrated »] : une suite de fonctions continues qui converge dans la norme du sup converge vers une limite continue. »
• « *Donc, c’est vrai que l’espace $X$, avec cette distance-ci, est métrique complet [sic: ASR : « métrique continue »]. C’est bien. »
• « On a déjà une première partie [= « fait »] : on a que les hypothèses sur l’espace sont satisfaites. »

✅ L’argument complet (théorème du point fixe de Banach) n’est pas refait à l’oral : le prof renvoie à l’Analyse I. C’est un point à connaître par écrit pour l’examen — voir Doutes / à vérifier.

10. Restriction de X à la boule fermée autour de la constante u₀ — [00:13:07 → 00:14:15]

• « Maintenant, si on revient à notre figure du départ : je vous avais dit que les fonctions que je cherche, la solution potentielle, elle ne prend pas tout l’espace possible, mais elle prend des valeurs de $u$ proches de $u_0$ à $u_0+R_2$. »
• « En fait, je vais restreindre mon ensemble, et je vais définir l’ensemble $X$ : les fonctions continues telles que la distance de $v$ à la fonction constante $u_0$ — $\sup \Vert u-v{\Vert }_{\infty }$ plus petit égale $R_2$. Je répète : j’avais mes fonctions continues, je prends un sous-ensemble des fonctions continues, qui sont toutes celles qui ont une distance $\le R_2$ à la fonction constante $u_0$. Comme ça je suis sûr que je reste dans la bande — j’ai tracé la bande. »

$$X:=\{v\in C(I,\mathbb{R})|\underset{t\in I}{\sup }|v(t)-u_0|\le R_2\}=\overline{B}(u_0,R_2)\text{(boule fermeˊe, pour }\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }\text{)}.$$

11. Question 3 : ce sous-ensemble est-il encore complet ? — [00:14:15 → 00:15:25]

• « Donc question : est-ce que cet ensemble $X$, qui est contenu dans le précédent, reste un espace métrique complet ? Est-ce qu’on peut mesurer les choses dans l’espace $X$ avec cette [= « connexion »] supplémentaire ? »
• « Oui, parce que vous avez un ensemble qui est métrique ; les [= « plein de »] sous-ensembles d’un ensemble métrique restent métriques.[sic: ASR : « plein de sous-ensembles »]. »
• « Question plus compliquée, donc : est-ce qu’il est complet ? Est-il vrai que toutes les fonctions $v_n$ continues, qui satisfont les deux propriétés — celle-là et celle-là — quand elles convergent, convergent vers une fonction continue qui satisfait la même propriété ? »
• « On peut les voir de deux façons, soit de façon [= « rhétorique »], soit de façon plus géométrique. »
• « D’un point [de vue] géométrique, oui, parce que ça, c’est une égalité de petits [= « boules »]. Ça, c’est un fermé. Et donc, il contient, par exemple, tous les points d’accumulation. »
• « D’un point de vue analytique : si vous avez une suite $v_n$ qui converge vers $\bar{u}$, à partir de ce moment vous avez une suite $v_n$ qui appartient à cet ensemble-ci. Toutes les $v_n$ se rapprochent de $\bar{u}$ à plus $R_2$. Mais si $\bar{v}$ est la limite de $v_n$, $\bar{v}$ se rapproche — $\epsilon$ se rapproche de $v_n$ et donc $\bar{v}$ se rapproche de $\bar{u}$ aussi. »
• « Donc c’est vrai que cet espace est métrique complet. Donc nous avons un autre espace métrique complet, qui est celui-là. »

Les deux arguments sont corrects : $X$ est une boule fermée, donc fermée ; un espace métrique complet est complet dans tout ses sous-espaces fermés. (Argument par l’absurde : si la limite sortait de la boule, la suite n’y convergerait pas.)

12. Propriété 1 : Φ est continue — [00:15:25 → 00:17:17]

• « Et maintenant il reste à vérifier les propriétés sur $\Phi$ : est-ce que $\Phi$ est continue et envoie $X$ dans lui-même ? C’est ici, propriété 1. »
• « $f$ envoie les fonctions [= « de »] $X$ — pour le moment, je ne sais pas encore où. »
• « Est-ce que $\Phi$ est continue ? Ça veut dire quoi, que la fonctionnelle $\Phi$ est continue ? Ça veut dire que j’ai deux [= « points »] $u$, $v$ d’un ensemble $X$, et je dois montrer que quel que soit $\epsilon >0$ il existe un $\delta >0$ tel que, quand je prends un point — donc une fonction qui est proche du point dans lequel je dois calculer la continuité —, quand la fonction est proche, alors la valeur de la fonction est proche. »
• « Je dois dire que la fonction $\Phi$ est continue en un point $v$ de $X$ : on fait quelque chose sur $v$ de $X$, vous savez qu’il y a un $\delta$ tel que tous les points $w$ proches de $v$ [satisfont] — et [= « sans »] calculer la fonction, evaluée en $f$ [= « en $\Phi$ »] et la [= « proche »] fonction évaluée en $v$. Sauf que ces trois points ne sont pas des points, mais des fonctions. »
• « Et donc, quand je mesure la distance, je dois la mesurer avec la norme du sup. Alors, est-ce que cela est fait ? On va calculer cet objet-ci. »

$$\text{Continuiteˊ de }\Phi \text{ en }v\in X:\forall \epsilon >0\exists \delta >0\text{ tel que }d(v,w)<\delta \Rightarrow \Vert \Phi (v)-\Phi (w){\Vert }_{\infty }<\epsilon .$$

13. Le calcul : $|\Phi (v)(t)-\Phi (w)(t)|\le L|t-t_0|\Vert v-w{\Vert }_{\infty }$ — [00:17:17 → 00:19:12]

• « Alors, cela est égal à quoi ? Je prends la définition qu’on a là. [= « … »] plus $u_0$ plus l’intégrale en $t_0$ et $t$ de $f(s,v(s))$ $\mathrm{d}s$, moins $u_0$, moins l’intégrale en $t_0$ et $t$ de $f(s,w(s))$ $\mathrm{d}s$. »
• « Après, avec la définition de la fonction $\Phi$, j’efface $u_0$, et puisque les deux intégrales ont les mêmes extrémités, je fais une seule intégrale de la différence. »
• « Je prends la valeur absolue de cette réponse. La valeur absolue de l’intégrale est plus petite que l’intégrale de la valeur absolue. »
• « Je majore l’intégrale avec un 1 au-dessus [= « par $L$ »]. C’est bien. »

$$|\Phi (v)(t)-\Phi (w)(t)|=\left|{\int }_{t_0}^t\right[f(s,v(s))-f(s,w(s))\left]\mathrm{d}s\right|\le {\int }_{t_0}^t|f(s,v(s))-f(s,w(s))|\mathrm{d}s.$$

14. La condition de Lipschitz et le choix de δ = ε/(LR₁) — [00:19:12 → 00:23:30]

• « Maintenant, la fonction $f$ est lipschitzienne [ASR : « l’hipschite »] par rapport à la deuxième variable. Ça, ça veut dire qu’il existe une constante $L>0$ telle que l’objet dans l’intégrale est plus petit que $L$ fois la distance entre $v$ et [= « $w$ »], ce qui est l’intégrale entre $t_0$ et $t$ de $|v(s)-w(s)|$ $\mathrm{d}s$. »
• « On a fixé la même composante $s$, et on dit que la différence de $f$ évaluée en $v$ et en $w$ est plus petite que $L$ fois la différence. Si j’écris, vous voyez ? Je vais laisser ça toujours au centre. »

$$|f(s,v(s))-f(s,w(s))|\le L|v(s)-w(s)|\text{(lipschitzienne en la 2ᵉ variable, }s\text{ fixeˊ)}$$

• « Donc, $j$‘utilise les [= « estimations »] : j’ai [= « $L$ »] fois l’intégrale, c’est-à-dire $L{\int }_{t_0}^t|v(s)-w(s)|\mathrm{d}s$. Or, il est évident que pour toute $s$, la [= « valeur »] de l’intégrale est [= « majorée »] par [= « le sup de »] $|v(s)-w(s)|$. L’intégrale est la même chose [= « que le sup »]. »
• « C’est la fonction sur un point, et si on pratique [= « projette »] la fonction, on trouve tout l’ensemble. Donc ça, c’est la définition, c’est la distance entre $v$ et $w$. »
• « Donc, quand j’ai [= « le sup de »] l’intégrale, les normes ressortent. Donc j’ai $L{\int }_{t_0}^t|v(s)-w(s)|\le L\Vert v-w{\Vert }_{\infty }$. »
• « Et ce qui reste, c’est ${\int }_{t_0}^{t}1\mathrm{d}s$, qui est donc $t-t_0$. Mais je sais que $|t-t_0|\le R_1$, et donc finalement tout ça est plus petit que $L$ fois $R_1$ fois $\Vert v-w{\Vert }_{\infty }$, la norme inf [= « norme infinie »]. »

$$|\Phi (v)(t)-\Phi (w)(t)|\le L\underset{\le \Vert v-w{\Vert }_{\infty }|t-t_0|}{\underbrace{{\int }_{t_0}^t|v(s)-w(s)|\mathrm{d}s}}\le L|t-t_0|\Vert v-w{\Vert }_{\infty }\le L{R}_1\Vert v-w{\Vert }_{\infty }.$$

• « Et donc qu’est-ce que je dois démontrer ? Je dois démontrer que pour tout $\epsilon$, il existe un $\delta$ — et le $\delta$ que j’ai choisi, c’est le $\delta$ qui fait $\delta =\epsilon /(R_{1}L)$ — tel que chaque fois que la distance entre $v$ et $w$ est plus petite que $\delta$, donc chaque fois que cette distance est plus petite que $\delta$, alors $\Phi (v)(t)$ et $\Phi (w)(t)$ sont proches. Car $L{R}_1\delta =L{R}_1\cdot \frac{\epsilon }{R_{1}L}=\epsilon$. »

Ce qui précède est ponctuel en $t$ : c’est la conclusion de la continuité de $\Phi$ évaluée en un point $t$ fixé. C’est précisément ce qui autorise le passage au $\sup$ de la section suivante.

$$\boxed{\delta :=\frac{\epsilon }{R_{1}L}⟹\Vert \Phi (v)-\Phi (w){\Vert }_{\infty }\le L{R}_1\Vert v-w{\Vert }_{\infty }<L{R}_1\delta =\epsilon }$$

• « Ici, je vais te le faire ici en bas : donc j’ai l’intégrale entre $t_0$ et $t$, c’est $\mathrm{d}s$, parce que tout le reste, c’est de l’intégrale. Cette intégrale ici, par définition, c’est $t-t_0$. Mais je ne sais pas si $t$ est plus ou moins plus petit que $t_0$, parce qu’il vit dans tout l’intervalle. Donc pour être sûr de ne pas dire que c’est plus petit qu’un nombre négatif, je mets la valeur absolue. »

15. Retour au sup : la continuité de la fonctionnelle Φ est démontrée — [00:23:30 → 00:24:10]

• « Je n’ai pas encore fini parce que ici je n’ai pas la distance : il suffit que je prenne le sup sur tout le $t$ de ça. Donc si je prends maintenant le sup sur tout le $t$ dans l’intervalle de l’objet que je viens de calculer, ce sup est plus petit que ça, parce que c’est un objet qui ne dépend pas du $t$. Mais ce sup-là, c’est la distance entre $\Phi (v)$ et $\Phi (w)$. »
• « Donc j’ai montré qu’on a continuité dans la mesure qui m’intéresse, et donc on a démontré que la fonction $\Phi$ — attention, ce n’est pas la fonction $f$ — est bien une fonction continue, qui à toute fonction de $X$ associe [= « une »] — on ne sait pas encore quoi —, mais on sait qu’elle est continue, parce qu’on avait [= « vu »] l’intervalle [= « fermé »], c’est comme ça. »
• « Donc ce qu’on a fait, on a montré la continuité avec les options [= « options »] $\epsilon$-$\delta$, sauf que cette fois, on mesure la distance par une valeur absolue, mais avec la norme du sup, parce qu’on a décidé d’utiliser [= « une »] forme de distance. »
• ⚠️ Attention à ne pas confondre : c’est la fonctionnelle $\Phi$ (l’application de l’espace des fonctions dans lui-même) qui est continue, pas la fonction $f(t,u)$ — qui l’est déjà par hypothèse.

16. Propriété 2 : Φ envoie X dans lui-même — [00:24:10 → 00:25:42]

• « Maintenant il faut démontrer que $\Phi$ — c’est-à-dire ${\Phi }^{[1]}$ — envoie $X$ en lui-même, et pas $X$ dans l’espace des fonctions continues [= « tout entier »]. »
• « Donc j’ai $\Phi :X\to X$. En quoi ? Je le prends : n’importe quelle fonction $v$ qui appartient à $X$ — donc qui est continue et qui est $R_2$-proche de $u_0$ —, et [je dois] montrer que $\Phi (v)$ appartient au même ensemble. »
• « Je vais calculer combien vaut $\Phi (v)$, et je sais déjà que c’est une fonction continue. Je vais calculer sa distance à la fonction constante $u_0$. »

$$\text{Objectif : }\forall v\in X,\underset{t\in I}{\sup }|\Phi (v)(t)-u_0|\le R_2.$$

17. Le calcul de $d(\Phi (v),u_0)$ et la bornitude de f — [00:25:42 → 00:28:14]

• « Donc, par définition, je vais l’effacer [= « … »], mais toujours là-haut, plus $u_0$, moins $u_0$, ça, c’est l’intégrale entre $t_0$ et $t$ de $f(s,v(s))$ $\mathrm{d}s$. Je prends la valeur absolue, et je dis encore une fois que la valeur absolue de l’intégrale est plus petite que l’intégrale de la valeur absolue. »
• « Mais la fonction $f$ est bornée ! Donc il existe une constante $M$ [= « majuscule »] telle que ça est plus petit que $M$ fois l’intégrale entre $t_0$ et $t$ de $|v(s)|$ $\mathrm{d}s$ — parce que $M$ est la borne de $f$ sur $A$. »

$$\underset{t\in I}{\sup }|\Phi (v)(t)-u_0|=\underset{t\in I}{\sup }|{\int }_{t_0}^{t}f(s,v(s))\mathrm{d}s|\le {\int }_{t_0}^t|f(s,v(s))|\mathrm{d}s\le M|t-t_0|\le M{R}_1.$$

• « Mais, à plus petite [= «.metadata »] [sic : « à un mètre près »], $|t-t_0|\le R_1$, donc $|t-t_0|\le M{R}_1$. »
• « Alors, ici on a montré qu’on sait majorer l’image de $v$ par rapport à $u$ [= « par rapport à $u_0$ »] par une constante $M{R}_1$. »

18. La réduction de R₁ en L₀ : le point qui manquait — [00:28:14 → 00:30:12]

C’est le point délicat de la démonstration — celui que l’oral d’un examinateur surveille :

• « Mais nous, on veut que cette constante soit plus petite que $R_2$, parce que nous, on veut un certain espace. Et donc, en général, on ne sait pas si $M{R}_1$ est plus petite que $R_2$ ou pas — on n’a aucune idée. »
• « Mais il est sûr qu’on peut montrer qu’il existe un certain $L_0>0$ tel que, si je prends $L_0$ plus petite ou égale à $R_1$, ou de $R_2/M$… je vais prendre $L_0$ plus petit égal à $R_1$, tel que ce soit le plus petit entre $R_2$ et $R_2$ sur $M$. Ça je vais le dire [= « je vais le dire »]. »
• « Je peux réduire $R_1$ : donc les $R$ [= « rayon »] suffisamment [= « petit »]. Je vais prendre $L_0$ tel que $M{L}_0$ soit plus petit que $R_2$. Je peux réduire l’intervalle $I$ jusqu’à un certain $L_0$ plus petit que $R_1$, tel que quand je fais ça, $M$ fois $L_0$ soit plus petit que $R_2$. »
• « Parce qu’une fois que j’ai fait ça, je dois remplacer ici $R_1$ par $L_0$, parce que maintenant mon intervalle est petit, et donc cet objet est par définition plus petit que $R_2$. »

$$\text{On choisit }{L}_0>0\text{ tel que }{L}_0\le R_1\text{ et}M{L}_0\le R_2,\text{et on remplace}I:=[t_0-R_1,t_0+R_1]\text{par}{I}^{\prime }:=[t_0-L_0,t_0+L_0].$$

• « Donc ça, ça veut dire que dans mon schéma du départ, je n’ai pas $R_1$, mais un petit intervalle qui est $[t_0-L_0,t_0+L_0]$, et donc je vais démontrer l’existence dans un petit voisinage du point $(t_0,u_0)$ : quitte à réduire cet intervalle ici, je peux toujours m’assurer que $\Phi (v)$ est $R_2$-proche de $u_0$. »
• « Et donc, quand je prends le sup, cela reste fait. Donc, je fais le [= « t »] dans l’intervalle $I$ : ${\sup }_t|\Phi (v)(t)-u_0|\le R_2$, ça c’est [= « par »] la définition de la distance entre $\Phi (v)$ et $u_0$. »
• « Donc j’ai démontré que la fonction $\Phi (v)$ est une fonction continue, à distance [= « petite »] ou égale à $R_2$. Donc c’est la même fonction qui appartient à l’espace $X$. Donc j’ai démontré que toute fonction continue de là-dedans, une fois qu’on l’applique une fois à mon intégrale, va me donner une nouvelle fonction du même espace. »

⚠️ Point de rigueur à signaler : le prof pose l’égalité $M{L}_0\le R_2$ et dit « je peux réduire $R_1$ », mais il ne explicite pas que cela suppose de rechoisir le rectangle $[t_0-L_0,t_0+L_0]\times [u_0-R_2,u_0+R_2]\subset A$ (ce qui est possible car $A$ est ouvert). C’est implicite mais nécessaire. Voir Doutes / à vérifier.

19. Question 4 : la dernière propriété — l’existence d’un m tel que Φ^[m] soit une contraction — [00:30:12 → 00:31:30]

• « Il reste à démontrer la dernière chose : l’existence d’un entier $M$ tel que quand on [= « itère »] suffisamment des fois la fonction $\Phi$, on obtient une contraction. »
• « Alors, j’ai vu qu’il y a quelque chose, mais je n’ai pas l’impression que c’est fait [= « tout à fait »]. »
• « Donc qu’est-ce qu’il faut démontrer ? Il faut démontrer qu’il existe un entier $m$ tel que, quand j’ai fait ${\Phi }^{[m]}$ d’une fonction $v$, moins ${\Phi }^{[m]}$ d’une fonction $w$, cet objet — une norme inf[ini]e — est plus petit que $\alpha$ fois la distance $d(v,w)$, une norme infinie, pour un certain $\alpha <1$. »
• « Il faut que la fonction ${\Phi }^{[m]}$ soit une contraction : elle réduit les distances entre $v$ et $w$, mais distance mesurée avec la norme qu’on a choisi. »
• « Ça serait ${\Phi }^{[m]}$, quel que soit $v$ dans mon ensemble $X$. C’est une fonction continue $R_2$-proche de la constante. »

$$\boxed{\exists m\ge 1,\exists \alpha \in ]0,1[:\Vert {\Phi }^{[m]}(v)-{\Phi }^{[m]}(w){\Vert }_{\infty }\le \alpha \Vert v-w{\Vert }_{\infty }\forall v,w\in X}$$

20. Le cas m = 1 : pourquoi la Lipschitz ne suffit pas — [00:31:30 → 00:34:55]

• « On a déjà fait les calculs [qu’on a montrés] tout à l’heure. Je vais calculer combien vaut $\Phi (v)$ : ça va être la constante $u_0$ plus l’intégrale entre $t_0$ et $t$ de $f(s,v(s))$ $\mathrm{d}s$ — ça c’est les calculs qu’on a faits tantôt quand on a montré la continuité : j’ai pris des fonctions $v$ et $w$, j’ai calculé la distance entre $\Phi (v)(t)$ et $\Phi (w)(t)$ avec la majoration de l’intégrale avec la valeur absolue dedans, on arrive à obtenir ça. C’est exactement la même chose. »
• « Et celui-là, j’utilise à nouveau les [= « estimations »] : $|\Phi (v)(t)-\Phi (w)(t)|\le L$ fois la distance entre $v$ et $w$, une norme infinie, fois $|t-t_0|$. C’est exactement le même calcul. »
• « Donc, si je prends $m$ égale à 1, et que je calcule la différence entre $\Phi (w)$ et $\Phi (v)$, j’obtiens un objet qui est $L$ fois $|t-t_0|$ fois la distance initiale des fonctions. »
• « Et pour avoir une contraction, il faudrait que cet objet ici — il faudrait que $L|t-t_0|$ soit, en certains cas, plus petit que 1. »

$$m=1:\Vert \Phi (v)-\Phi (w){\Vert }_{\infty }\le L{L}_0\Vert v-w{\Vert }_{\infty }\text{et il faudrait }L{L}_0<1.$$

• « Mais cela, ce n’est pas toujours le cas, parce que je ne connais pas $L$ — je ne connais pas combien vaut la constante de Lipschitz de ma fonction. Et donc, je pourrais imposer ça, mais là, je vais avoir un lien entre les domaines dans lesquels la solution existe et la vitesse avec laquelle [la dérivée] augmente. »
• « Donc cela, peut-être que ce n’est pas vrai, mais ce n’est pas grave : on peut intégrer ça une autre fois. »

💡 Remarque du prof (à retenir): l’hypothèse « $L{L}_0<1$ » n’est pas nécessaire au théorème de Picard ; elle ne ferait que fixer un domaine d’existence a priori. C’est tout l’intérêt de l’astuce ${\Phi }^{[m]}$ : contourner cette contrainte.

21. Le cas m = 2 : deux intégrations enchaînées — [00:34:55 → 00:40:40]

• « Donc, je vais calculer $m$ égale à 2. »
• « Je vais calculer ${\Phi }^{[2]}(v)-{\Phi }^{[2]}(w)$. Alors, je peux appeler pour un moment $\Phi (v)$ : je l’appelle $v_1$, et $\Phi (w)$ : je l’appelle $w_1$. »
• « Et donc, j’utilise pour $\Phi (w_1)-\Phi (v_1)$ l’estimation que je viens de donner. Et donc j’obtiens que cela est plus petit que $L$ fois l’intégrale entre $t_0$ et $t$ de $|v_1(s)-w_1(s)|$ $\mathrm{d}s$ — mais plutôt que $|v(s)-w(s)|$, j’ai dû y mettre $|v_1(s)-w_1(s)|$, ça c’est plus pratique. »
• « Et donc, je répète : j’appelle cette fonction-là $v_1$, cette fonction-là $w_1$, donc je dois maintenant estimer $\Phi (v_1)-\Phi (w_1)$. C’est ce que j’ai fait à l’étape précédente, sauf que je n’ai pas ici $v-w$, mais j’ai $v_1-w_1$. »
• « Et donc ça va être plus petit que $L$ fois l’intégrale entre $t_0$ et $t$ — et donc $v_1$ c’est quoi ? C’est $\Phi (v)$, donc $v_1(s)=\Phi (v)(s)$, c’est la définition de $v_1$ et tout ça. »
• « Là maintenant j’utilise à nouveau l’estimation que j’ai donnée avant, sauf que attention : avant je l’avais donnée avec la variable $t$, et maintenant je l’ai avec la variable $s$. Donc ça veut dire quoi ? Vous savez que cette intégrale est plus petite que $L$ [qui est déjà là] et l’objet qui est ici, donc qui est l’intégrale entre $t_0$ et $t$ de $|v_1(s)-w_1(s)|$ $\mathrm{d}s$… »
• « ** digression du prof, à assimiler ** : Et donc, c’est pour ça que ici je n’ai pas $t-t_0$, mais $s-t_0$. C’est d’accord ? Oui ? Non ? Vous pouvez répéter si ce n’est pas clair ? Ça va ? Si vous ne dites rien, je ne sais pas si c’est oui ou non. »
  • « À l’étape 1, j’ai pris deux fonctions [= « $v$ et $w$ »] et j’ai donné la différence de $\Phi$ évaluée en $v$ et en $\Phi$ évaluée en $w$, avec une série de majorations comme une constante fois la distance $\Phi$ et $w$ fois $t$ moins $t_0$, parce que c’était une fonction du temps. C’est une fonction qui dépend du temps, et donc, plus $t$ est proche ou loin de $t_0$, plus cette distance est grande. »

$$\begin{array}{rl}|{\Phi }^{[2]}(v)(t)-{\Phi }^{[2]}(w)(t)|& \le L{\int }_{t_0}^t|\Phi (v)(s)-\Phi (w)(s)|\mathrm{d}s\\ & \le L^2{\int }_{t_0}^t{\int }_{t_0}^s|v(\tau )-w(\tau )|\mathrm{d}\tau \mathrm{d}s\\ & =L^2\underset{\frac{(t-t_0{)}^2}{2}}{\underbrace{{\int }_{t_0}^t(s-t_0)\mathrm{d}s}}\Vert v-w{\Vert }_{\infty }.\end{array}$$

• « Et maintenant, l’intégrale ici, on se la fait : vous avez que $L$, $L$, ça fait du $L$ au carré, on a $v-w$ norme infinie, et l’intégrale de $s-t_0$ en $s$, c’est simplement l’intégrale de $s-t_0$ au carré sur 2, évaluée entre $t_0$ et $t$. »
• « Donc cet objet vaut $\frac{L^2}{2}\Vert v-w{\Vert }_{\infty }|t-t_0{|}^2$. Donc petite démarche : on avait pris $m$ égale à 1, on avait dit que $\Phi (v)-\Phi (w)$ est plus petit qu’un objet qui est $L$ fois $|t-t_0|$ ; là, on a pris $m$ égale à 2, et on va montrer que ${\Phi }^{[2]}(v)-{\Phi }^{[2]}(w)$ est plus petit qu’un objet qui va comme le carré de $|t-t_0|$, divisé par 2. »

22. Le cas m = 3, et l’éclosion du facteur k! — [00:40:40 → 00:43:38]

• « Alors, on peut faire une étape en plus, je vais la faire juste avec les couleurs [= « couleurs »] dans le tableau, sans [= « tout »] les faire. »
• « Supposons qu’on veuille étudier cela trois fois. On veut itérer $\Phi$ [= « FD »], donc on va étudier le cas $M$ égale à 3. C’est la même idée. »
• « Je vais prendre ça qui est ${\Phi }^{[2]}(v)$ et je vais l’appeler $v_1$. Celui-là qui va être ${\Phi }^{[2]}(w)$ et je vais l’appeler $w_1$. Et donc, pour $\Phi$ appliqué à $v_1$ moins $\Phi$ appliqué à $w_1$, j’utilise la première estimation. »
• « Et donc, j’obtiens que cela est plus petit que $L$ fois l’intégrale entre $t_0$ et $t$ de $|{\Phi }^{[2]}(v)(s)-{\Phi }^{[2]}(w)(s)|\mathrm{d}s$. Donc, à l’étape 1, j’ai fait quoi ? Je dois mettre $L$, l’intégrale, la fonction qui est dedans : $L$ fois l’intégrale de $|v_1(s)-w_1(s)|$ $\mathrm{d}s$. Et donc j’ai utilisé $v_1(s)$ et $w_1(s)$, c’est $\Phi$ deux fois sur $v$. »
• « Et donc ici, ça, c’est une chose qui dit $L$ fois l’intégrale entre $t_0$ et $t$ de $|{\Phi }^{[2]}(v)(s)-{\Phi }^{[2]}(w)(s)|$ $\mathrm{d}s$. Et c’est donc : j’ai remplacé la définition de $v_1$ et de $w_1$. Mais l’estimation de ${\Phi }^{[2]}(v)$ et ${\Phi }^{[2]}(w)$, je viens de la voir, c’est ici — et donc je l’ai remplacée par « plus petit que $Q$ ». »
• « Alors, il y a un $L$ qui est ici, il y a un $L$ au carré qui vient de là. Il y avait un 2 à diviser, il y a la norme qui ne change pas. Donc ce qui reste, l’intégrale, c’est $(s-t_0{)}^2\mathrm{d}s$. C’est la même chose chaque fois. »
• « Je dois faire cet intégrale [= « cette »] ici, mais cet intégrale, c’est rien d’autre que $L$ au cube de $\Vert v-w{\Vert }_{\infty }$ [= « . Ça c’est l’intégrale : c’est $(s-t_0{)}^3$ sur 3 »]. »

$${\int }_{t_0}^t(s-t_0{)}^2\mathrm{d}s=\frac{(t-t_0{)}^3}{3}⟹|{\Phi }^{[3]}(v)(t)-{\Phi }^{[3]}(w)(t)|\le \frac{L^3}{6}\Vert v-w{\Vert }_{\infty }|t-t_0{|}^3.$$

• « Quand vous l’évaluez en $t$ et en $t_0$, ça va vous donner $(t-t_0{)}^3$ sur 3, et je vais mettre le 3 ici [= « dans le dénominateur »]. »

23. L’exercice laissé et l’inégalité générale par récurrence — [00:43:38 → 00:46:46]

• « Je vous laisse un petit exercice à faire avec la référence :/prouvez que, quel que soit $k\ge 1$, quand vous calculez la différence ${\Phi }^{[k]}(v)(t)-{\Phi }^{[k]}(w)(t)$, cet objet est plus petit que [= « 3 »] mais voilà, vous avez un 3 où on a $L$ au cube — donc c’est $L$ puissance $k$. Et ici on voit que chaque fois il y a un entier qui descend, ça va faire le facteur $L^k\times \Vert v-w{\Vert }_{\infty }\times |t-t_0{|}^k$ sur $k$. C’est l’exercice, mais c’est vraiment l’idée que j’utilise ici. »

$$\text{(Exercice) }\forall k\ge 1:|{\Phi }^{[k]}(v)(t)-{\Phi }^{[k]}(w)(t)|\le \frac{L^k}{k!}\Vert v-w{\Vert }_{\infty }|t-t_0{|}^k.$$

• « L’inégalité est vraie jusqu’à $k$ : je vais vous la démontrer à l’étape suivante en appliquant une nouvelle fois [= « l’intégrale et l’intégrale »] [= « la récurrence »]. »
• « OK, donc supposons que cela est [= « vrai »] — alors cette partie-ci on peut [= « Noël »] dire que $|{\Phi }^{[k]}(v)(t)-{\Phi }^{[k]}(w)(t)|$ est plus petit que $L$ puissance $k$ sur $k$ factoriel, $L_0$ puissance $k$, parce que $|t-t_0|\le L_0$ [sic: le prof dit « au plus $L_0$ » ; la notation $L_0$ est celle qu’il vient d’introduire en §18]. »
• « Et quand on obtient cela, c’est parce que [= « c’est récolté »] $t$ est dans mon intervalle $I$, qui est centré en $t_0$ et de demi-largeur $L_0$ — donc $|t-t_0|$ est au plus $L_0$. » ⚠️ C’est là toute la justification : l’inégalité $|t-t_0|\le L_0$ vient de la géométrie de l’intervalle réduit ($I:=[t_0-L_0,t_0+L_0]$, §18), et c’est ce qui rend la majoration indépendante de $t$.
• « Cette estimation maintenant ne dépend plus de $t$. Et quand on prend le sup à gauche, ce qu’on obtient, c’est la distance entre ${\Phi }^{[k]}(v)$ et ${\Phi }^{[k]}(w)$, la plus petite : c’est $L$ puissance $k$, $L_0$ puissance $k$, $k$ factoriel, $v$ moins $w$, et on finit. »

$$\Vert {\Phi }^{[k]}(v)-{\Phi }^{[k]}(w){\Vert }_{\infty }\le \underset{a_k}{\underbrace{\frac{(L{L}_0{)}^k}{k!}}}\Vert v-w{\Vert }_{\infty }.$$

• « Je vous rappelle : on va démontrer qu’il existe un $m$ entier et un $\alpha$ plus petit que 1 tel que cette distance est au plus $\alpha$ fois la distance ici. Est-ce que l’estimation que j’ai obtenue ici est suffisante pour conclure ? »

24. L’allure de aₖ = (L L₀)ᵏ / k! : la factorielle l’emporte sur toute puissance — [00:46:46 → 00:48:59]

C’est le cœur de l’astuce : montrer que $a_k<1$ pour un $k$ assez grand.

• « En fait, c’est ça, c’est l’objet qui doit devenir $\alpha$, ce que je m’en dis. Est-ce que c’est vrai que cet objet peut être plus petit que 1, quel que soit, je dirais, $r_0$ [sic : « quel que soit $L{L}_0$ »] ? Quelle est l’allure de cette suite ? Il faut que j’aille fixer $L$ et $L_0$ en fonction des cas. »
• « Vous avez $a_k=L^k$, $L_0^k$, sur $k$ factoriel. Qu’est-ce que fait $a_k$ comme $k$ ? On sait — vous avez vu en Analyse [I]. »
• « Si $L$ fois $L_0$ est plus petit que 1, tout ça, ça va [= « à »] 0, pas de souci. »
• « Mais qu’est-ce qui se passe si $L$ fois $R_0$ [sic : « $L{L}_0$ »] est plus grand que 1 ? Vous avez au niveau du terme un objet qui diverge, vous avez des [= « ∞/∞ »] sur l’infini, mais est-ce que c’est une limite qu’on peut calculer finalement ? Autrement dit : qui va plus vite à l’infini, la puissance ou la factorielle ? »
• « Hum, c’est curieux, parce que la factorielle, c’est comme une puissance [= « de puissance »] et puissance. [= « La puissance… »] Donc cet objet tend vers zéro, quel que soit $L$, $R_0$, zéro. »
• « Et donc ça veut dire que si je prends $k$ suffisamment grand, cet objet sera plus petit que [= « rien »]. Parce que cette suite, c’est une suite qui est en fonction de $k$ [= « des croissances », c’est $(L{L}_0{)}^k/k!$ ]. »
• « Et donc, si je place la barre [à 1], il existe un $m$ tel que pour tous les $m$ [= « … »] il existe un $k$ [= « $k$ chapeau »] tel que pour tous les $m$ qui sont [= « égaux ou supérieurs à »] $k$ chapeau, $a_k$ est égal ou plus petit qu’un certain $\alpha$, plus petit que 1. »
• « Et donc, je peux conclure que l’estimation là-bas est satisfaite pour un certain $m$ : je ne sais pas lequel — peut-être 10, 1 million, 1 milliard, peu importe — mais je sais qu’il existe un $\alpha$ plus petit que 1 tel que cet objet est plus petit que 1, et donc c’est bien une contraction. »

$$\frac{(L{L}_0{)}^k}{k!}\underset{k\to +\infty }{⟶}0\text{(la factorielle croıˆt plus vite que toute puissance fixe)}⟹\exists m,\exists \alpha <1:\Vert {\Phi }^{[m]}(v)-{\Phi }^{[m]}(w){\Vert }_{\infty }\le \alpha \Vert v-w{\Vert }_{\infty }.$$

💡 À retenir pour l’oral : le prof ne donne pas de majoration explicite de $k!$ (onshowing par exemple $k!\ge (k/2{)}^{k/2}$). Il se contente de l’intuition « la factorielle croît comme une puissance ». Une démonstration rigoureuse : $k!\ge \lfloor k/2{\rfloor }^{k/2}$, donc $\frac{x^k}{k!}\le \frac{x^k}{\lfloor k/2{\rfloor }^{k/2}}\to 0$. Voir Doutes / à vérifier.

25. Conclusion : les trois propriétés sont vérifiées — [00:48:59 → 00:49:27]

• « Et donc, on a démontré les trois propriétés du théorème des contractions, qui permettent donc de dire qu’il existe une et unique solution de l’équation intégrale — et donc du théorème de Picard. »
• « Alors, la démonstration est longue, assez longue, très longue — mais c’est une question qui vient souvent à l’oral. »

$$\boxed{\text{EDO }{u}^{\prime }=f(t,u),u(t_0)=u_0\text{ sur }I⟹\exists !u\in C(I,\mathbb{R})\text{ veˊrifiant l’eˊquation ET la condition initiale.}}$$

26. Ce que le prof attend réellement à l’oral — [00:49:27 → 00:50:21]

Le prof débalie explicitement le contrat d’examen — c’est peut-être l’information la plus utile de la séance :

• « Et donc, ce que j’attendais de vous à l’oral, c’est que vous écriviez l’équation intégrale. Vous démontrez ou pas, ça dépend de vous, l’équivalence entre les deux. »
• « Vous montrez que l’équation intégrale est une équation en point fixe. Et on va voir quelles sont les conditions sous [= « pour »] cette fonction $\Phi$. Il y a trois conditions — j’ai le devoir [= « le tableau »] — qui permettent d’appliquer l’équation en point fixe. »
• « Je ne vous demande pas de démontrer le théorème des contractions, la proposition qu’on a vue. Je ne vous demande pas, juste que vous sachiez que ça existe. »
• « Je ne vous demande pas de faire tous les calculs ici, ça prend beaucoup de temps, mais que vous sachiez à quel point les hypothèses sont là. »
• « *Par exemple, *l’hypchite [sic : « la lipschitzienne »], on l’a utilisée ici plusieurs fois. L’hypchite, on l’a utilisée au départ pour démontrer que la fonction était continue [= « que $\Phi$ était continue »]. La borne sur $M$, on l’avait utilisée quand on disait qu’il y avait $\Phi$ de $X$ en lui-même. »
• « Voilà, c’est ça les choses que je savais : pas exactement tous les calculs. »

✅ Contrat d’examen, à mémoriser : (1) écrire l’équation intégrale, (2) la lire comme équation en point fixe, (3) énumérer et vérifier les 3 conditions, (4) citer le théorème des contractions sans le redémontrer. La démonstration complète (§§12-25 de cette note) est une fortune pédagogique, pas une exigence de l’oral.

27. Pause, et zone audio contaminée — [00:50:21 → 00:59:08]

• « OK, on fait une pause, je vais chercher mon chargeur. Qu’est-ce que l’on a dit en fait ? Pas d’idées. »
• ⚠️ Zone contaminée : à partir de 00:53:36, l’enregistrement capte « Sous-titrage ST’ 501 » — rediffusion d’une chaîne de sous-titrage (même incident qu’à la séance 2, §15) — puis, à 00:55:49, « Merci à vous. » (probable générique de fin d’émission). Ces 8 min 47 s (00:50:21 → 00:59:08) ne contiennent que ces deux cues : aucune parole du prof. La pause est donc vide de tout contenu mathématique, et le cours reprend normalement ensuite : aucun contenu n’est perdu.

28. Question d’un étudiant sur le choix de R₀ — [00:59:08 → 01:04:02]

Un étudiant interrompt pour une question de notation (le prof y répond longuement — c’est une digne preuve de compréhension :

📌 Convention de notation : le prof a choisi $L_0$ pour la demi-largeur de l’intervalle de travail (§18–§19) ; l’étudiant, lui, l’appelle $R_0$ — voir la question ci-dessous. C’est le même objet : la correction de la majoration (§19) impose de remplacer $R_1$ par ce nouveau rayon, d’où le nom de « petit intervalle ».

• Question de l’étudiant : « on prend $R_0$ : donc en fait quand tu fais ça, tu as $|t-t_0|$ qui n’est pas plus petit que $R_1$ mais plus petit que $R_0$… »
• Réponse du prof : « parce que $t$ vit dans l’intervalle qui est centré en $t_0$ et qui a au début une largeur $R_1$, et [= « et il dit »] attention, je veux une largeur plus petite que j’appelle $R_0$, donc qui vit dans l’intervalle $[t_0+R_0-?,t_0+R_0]$ [sic : la borne inférieure est inaudible, cf. Doutes] — donc $|t-t_0|$ est au plus $R_0$. »
• « Et maintenant $R_0$ est plus petit que $R_1$, mais aussi il est plus petit que $R_2$ sur $M$. Donc je peux toujours trouver un des deux, et quand ça se fait, tu as cette [= « majoration »]. Donc en fait on définit un $R_0$ plus petit que $R_1$ et plus petit que $R_2$ sur $M$. »

$$\exists R_0>0:R_0\le R_1\text{et}{R}_0\le \frac{R_2}{M}\left(\text{eˊquivalent aˋ }M{R}_0\le R_2\right)$$

29. Bilan : récapitulatif de la démonstration du théorème de Picard — [01:04:02 → 01:04:53]

Le prof clôt le chapitre 2 en résumant ce qui vient d’être démontré au tableau :

• « D’accord. Donc voilà ce que nous avons démontré, nous avons démontré le théorème de Picard : c’est-à-dire qu’on a un EDO avec une équation et la condition initiale. On a démontré que si $u$ [= « vu »] $v$ est une solution $C^1$, c’est aussi une solution de l’équation intégrale. On définit en espace $X$ les fonctions continues qui ont une distance [= « dans l’infini »] $R_2$ [= « plus petite que $R_2$ »] à la constante $u_0$. Et donc on a montré que cette fonction $\Phi$ est définie comme ça, qui envoie les fonctions continues de $X$ dans les fonctions continues, et on a montré que $X$, l’espace métrique complet, $\Phi$ de $X$ dans lui-même, et il existe un entier positif pour lequel ${\Phi }^{[m]}$ est une contraction — et donc il existe [= « un point fixe »] une et unique [solution]. »
• « Donc, là, c’est la démonstration pour l’intérêt [= « pour l’EDO » ; ASR incertain — le prof clôt la démonstration et passe à autre chose]. »

30. Ouverture d’un nouveau sujet : que gagne-t-on en régularité ? — [01:04:53 → 01:07:12]

• « Alors, quelques compétences supplémentaires. »
• « Donc, on sait que si la fonction $\Phi$ [= « $f$ »] est continue [et lipschitzienne], alors par définition, la solution $u$ est une solution dérivable — c’est-à-dire une fonction dérivable. »
• « La question qu’on peut se poser est : qu’est-ce qui se passe si la fonction $f$ est plus régulière dans un certain intervalle $I$ où $f$ [= « est définie »] ? »
• « Supposons que $f$ soit dérivable une fois, toujours dans un certain intervalle où $f$ [= « est définie »]. Je n’ai plus besoin d’imposer que $f$ soit lipschitzienne, parce qu’on a vu [= « l’heure »] dernière que si $f$ est $C^1$, [ce] n’est [pas] peut-être pas automatiquement lipschitzienne [sic : la phrase est incertaine à l’oral] — donc si $f$ est $C^k$, laissez-moi $C^1$ et donc laissez-moi aussi la lipschitzienne. »
• « Si je prends $k$plans [sic : « le plan »] égale à 1, je vais poser la question : quelle est la régularité de $u$, est-ce qu’elle va être $C^{k+1}$ ? Plus la fonction $f$ est régulière, plus la solution est régulière. La réponse est oui, et on peut démontrer ça par récurrence sur l’indice $k$. »
• « Donc, je vais appeler $P_k$ cette propriété-ci : $P_k$ est la propriété « $f\in C^k$ sur $I$ positif, et il est [= « vrai »] que la fonction $f$ est $C^k$, alors la solution est $C^{k+1}$ ». »

$${\text{(P}}_k\text{)}f\in C^k⟹u\in C^{k+1}\text{(sur l’intervalle }I\text{ ouˋ l’EDO est poseˊe)}$$

31. Le cas de base : k = 1 — [01:07:12 → 01:09:38]

• « Et donc, la première équivalence commence par la base. Donc on va démontrer ça pour, par exemple, $k$ égale à 1. »
• « Et donc, $k$ égale 1, c’est de ce mot-là, l’hypothèse qu’on a fait, on ne l’a pas passée [= « passée sous les yeux »]. Parce que $k$ égale 1, ça veut dire que $u^{\prime }(t)=f(t,u(t))$. »
• « Et donc, vous avez que la fonction $f$ est une fonction de classe 1. La fonction $u$ qui vient de cette équation est aussi de classe 1, parce que sa dérivée existe, c’est $f\circ u$. »
• « Et donc, la fonction $f\circ (t\mapsto u)$ est une fonction qui est aussi de classe 1, parce que c’est une composition de fonctions $C^1$. »
• « Mais ici, vous vous rappelez : la solution $u$ est aussi de la forme $u(t)=u_0+{\int }_{t_0}^{t}f(s,u(s))\mathrm{d}s$. Et donc, puisque la fonction de l’intégrale est de classe $C^1$, son intégrale est de classe $C^2$. »
• « Et donc, $u$ est une constante plus [= « une »] classe $C^2$, donc $u$ est $C^2$. Et donc, pour $k$ égale 1, la propriété $P_1$ est faite. »

$$\underset{\text{donc }u\in C^2}{\underbrace{u^{\prime }=f\circ u\in C^1}}\text{et, aˋ l’identique,}u=u_0+\underset{\in C^2}{\underbrace{{\int }_{t_0}^t(\text{fonction }{C}^1)}}\in C^2.$$

32. L’hypothèse de récurrence et le passage de P_k à P_{k+1} — [01:09:38 → 01:11:59]

• « Donc on suppose qu’elle soit vraie pour un certain $k$ — hypothèse — tel cas, existe $k$ tel que $P_k$ est vraie, et $P_m$ est vraie pour tout $m\le k$. Et donc je suppose que toutes les propriétés sont vraies de $m$ égale 1, 2, 3, jusqu’à un certain $k$. Et donc je dois démontrer que la propriété $P_{k+1}$ est faite. »
• « Donc, ça, c’est l’idée de la récurrence ou de l’induction. Vous démontrez que la propriété est faite au début — c’est ce qu’on vient de faire. Vous supposez qu’elle soit faite pour tous les entiers qui vont de 1 à $k$, jusqu’à un certain $k$ fixé — c’est l’hypothèse. Et vous démontrez qu’elle est faite pour le suivant. Une fois que c’est fait ça, elle est faite toujours. »
• « Donc qu’est-ce que ça veut dire ici ? Ça veut dire que si $f$ est une fonction de classe $C^m$, alors $u$ est de classe $C^{m+1}$, pour tous les $m$ qui vont de 1 [= « à $k$ »]. Ça, c’est l’hypothèse. »
• « On doit maintenant démontrer la thèse — et donc on doit faire la même idée. $f$ est une fonction de classe $k+1$, donc je me concentre au $k+1$, donc j’ai $f$ est une fonction de classe $k+1$. Mais si elle est $C^{k+1}$, elle est aussi $C^k$ — c’est toute fonction qui admet $k+1$ dérivées admet $k$ dérivées. »
• « Mais si elle est de classe $C^k$, on rentre dans l’hypothèse de la récurrence, parce que c’est l’équivalence [= « applicable »], ce qui implique qu’il y a eu une fonction $C^{k+1}$ — ça, c’est l’hypothèse de la récurrence. »
• « Très bien. Mais en réalité, $f$ est de classe $C^{k+1}$. Donc, quand je fais la fonction $t\mapsto f(t,u(t))$, c’est une fonction qui est $C^{k+1}$ parce que $u$ est [= « l’hypothèse »] $C^{k+1}$, et $f$ est $C^{k+1}$, donc composition, ça garde la régularité. »
• « Bien, mais on sait aussi que $u$ est égale à la constante plus l’intégrale. La fonction de l’intégrale est $C^{k+1}$. Si vous faites l’intégrale, ça [= « dérive »] $C^{k+2}$ — parce que intégrer une fois fait gagner une dérivée. Et vous avez une constante, donc $u$, qui automatiquement [= « gagne »] ça. »
• « Et donc, on a démontré que la propriété $P_{k+1}$ est vraie, en utilisant que l’intégrale est [= « up to »] [= « l’hypothèse »]. Et donc, on a démontré qu’elle est tout le temps vraie. »

$$\underset{\Rightarrow f\in C^k\stackrel{H(P_k)}{\to }u\in C^{k+1}}{\underbrace{f\in C^{k+1}}}⟹\underset{u^{\prime }\in C^{k+1}}{\underbrace{f\circ u\in C^{k+1}}}⟹u=u_0+\int f\in C^{k+2}■$$

33. Le passage à la limite : de C^k à C^∞ — [01:11:59 → 01:12:27]

• « C’est vrai que si vous avez une fonction $f$ qui est 3 fois dérivable, alors la solution est 4 fois dérivable, ainsi de suite. »
• « Alors on peut pousser cela à la limite et dire que si $f$ — la fonction — est $C^{\infty }$, alors la solution $u$ est aussi $C^{\infty }$. Parce que quand vous prenez $k$ qui va vers l’infini, $k+1$ aussi va vers l’infinity [sic : « vers l’infini »]. »
• « Donc sur une fonction qui est très très dérivable, donc avec toutes les dérivées possibles, alors la fonction solution a aussi pu se déduire[= « se dériver »]. »

$$\boxed{f\in C^{\infty }⟹u\in C^{\infty }}$$

34. Fonctions analytiques : la frontière avec C^∞ — [01:12:27 → 01:14:41]

• « Alors, en Analyse, vous avez vu deux autres fonctions qu’on appelle les fonctions analytiques : les fonctions qui admettent la série de Taylor convergente. Je ne sais pas comment vous avez noté ; moi j’ai les notes avec un $\Sigma$, je ne sais pas de quelle façon vous avez utilisé [= « écrit »] ça. »
• « Pour moi, c’est les fonctions telles qu’en un certain point, à un moment donné, tel que $f(t_0)={\sum }_{k\ge 0}\frac{f^{(k)}(t_0)}{k!}(t-t_0{)}^k$. Donc, ce sont les fonctions telles que la série de Taylor converge, par exemple dans un voisinage d’un point $t_0$. »
• « Donc, c’est sûr que toutes les fonctions qui admettent cette série convergente, elles doivent avoir toutes les dérivées qui existent, sinon on ne peut pas les [= « écrire »]. C’est clair que toutes les fonctions analytiques sont sous-ensembles des fonctions $C^{\infty }$ ? »
• « Si vous devez écrire cet objet — une série de Taylor qui converge — il faut d’abord l’écrire. Toutes les dérivées existent. C’est clair que les fonctions analytiques sont [= « dans »] les fonctions $C^{\infty }$. »
• « Est-ce que vous savez si c’est vrai ou le contraire ? Est-ce que les deux sont égaux ? Est-ce que toutes les fonctions $C^{\infty }$ sont aussi analytiques ? Ou est-ce qu’il existe une ou deux fonctions qui permettent [= « admettent »] toutes les dérivées, mais dont la série de Taylor ne converge pas [= « ne donne pas la fonction »] ? »
• « La question : on a les analytiques, les $C^{\infty }$, c’est sûr que les analytiques sont dedans. Est-ce qu’elles sont égales, ou est-ce qu’elles sont strictement [= « incluses »] ? Est-ce que la série de Taylor redonne toujours [= « la fonction »] ? »
• « La réponse est non, c’est une inclusion stricte. Donc il existe des fonctions qui sont $C^{\infty }$ mais pas analytiques. »

$$\underset{\text{inclusion stricte : }{C}^{\infty }\text{ n’est pas contenu dans }\mathcal{A}}{\underbrace{\mathcal{A}⊊C^{\infty }}}$$

35. Le contre-exemple : g(x) = e^{-1/x²}, prolongée par 0 — [01:14:41 → 01:19:36]

Le prof construit l’exemple canonique et en vérifie les étapes à l’oral :

• « L’exemple type, c’est la fonction — je vais l’appeler un peu $g$ — $g$ de $x$. C’est la fonction exponentielle, par exemple $e^{-1/x^2}$ : $g(x)=e^{-1/x^2}$ si $x\ne 0$, et $g(x)=0$ si $x=0$. »

$$g:\mathbb{R}\to \mathbb{R},g(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-1/x^2}& \text{si }x\ne 0,\\ 0& \text{si }x=0.\end{array}$$

• Continuité en 0 : « Cette fonction est continue en 0. Oui, parce que quand je fais la limite de gauche et de droite, l’objet, ça fait $1/0=+\infty$ — exponentielle [= « moins l’infini »], et $0$. »
• Dérivabilité en 0 : « Est-ce que cette fonction est dérivable ? On va vérifier. La dérivée sur l’ouvert — où j’enlève le point 0 —, elle vaut combien ? Pour la dérivée de celle-là [= « de $e^{-1/x^2}$ »], c’est donc la même chose, $e^{-1/x^2}$ fois la dérivée de l’exposant, qui est donc $\frac{1}{x^3}$… donc $\frac{2}{x^3}$ [ASR : « moins 2 x cube »]. »
• « À quelle valeur est-ce que je pourrais mettre à cette fonction quand $x$ vaut 0, pour avoir une fonction continue ? Combien vaut la limite de cet objet quand $x$ vaut 0 ? Donc ça fait $0/0$, c’est une forme indéterminée. Mais est-ce qu’on peut résoudre l’indétermination ? Autrement dit : qui va plus rapidement à 0, l’exponentielle ou la puissance ? L’exponentielle, et donc cette limite est égale à 0. »
• « Donc si j’ai défini $g^{\prime }(0)=0$, cette fonction [= « $g^{\prime }$ »] est continue, parce que la dérivée existe et est continue. Voilà, je peux continuer. »
• Dérivées d’ordre 2 : « Je peux définir la dérivée seconde comme la dérivée de cet objet-ci ; ça va être un peu compliqué, mais ça va être exponentielle de $-1/x^2$ fois $\frac{4}{x^6}$, et la dérivée de cet objet-ci est donc [= « un terme en »] $\frac{4}{x^6}-\frac{6}{x^4}$, en $x$ et en $0$, qui est la valeur que je dois mettre à cette fonction en 0 afin que la fonction soit continue : c’est 0, parce que ça c’est toujours une exponentielle vis-à-vis d’une puissance. »
• « Donc en fait, si je définis une fonction qui est tout le temps la dérivée qu’il faut quand $x$ est non nulle, et 0 quand $x$ est 0, cette fonction est $C^{\infty }$. »

$$g^{\prime }(x)=\frac{2}{x^3}{e}^{-1/x^2}(x\ne 0),g^{\prime \prime }(x)=(\frac{4}{x^6}-\frac{6}{x^4})e^{-1/x^2}(x\ne 0),g^{(n)}(0)=0.$$

• « Donc cette fonction ici, cette fonction $g$, est une fonction $C^{\infty }$. Elle admet toutes les dérivées, et toutes les dérivées en 0 valent 0 par construction. »
• « Et donc, ça, ça veut dire que si c’est faux [= « la série de Taylor »] converge, ça veut dire que $g(x)$ est égale à ${\sum }_{k\ge 0}\frac{g^{(k)}(0)}{k!}{x}^k$. Toutes ces dérivées valent 0, et donc cette somme va [= « vaut »] 0. »
• « [= « Ça se dérèverait »] la série de Taylor devrait donc donner $g(x)$ quel que soit $x$ dans un voisinage de l’origine. »
• « Et donc, ça veut dire que si la série de Taylor converge, alors la fonction $g$ serait tout le temps égale à 0 dans un voisinage — ce qui n’est pas le cas, parce que [= « déjà »] hors du zéro, c’est quelque chose[= « autre chose »]. »

$$\sum _{k\ge 0}\frac{g^{(k)}(0)}{k!}{x}^k=\sum _{k\ge 0}0=0\ne g(x)=e^{-1/x^2}\text{pour }x\ne 0\text{ arbitrairement proche de }0.$$

• « Donc ça, c’est une fonction qui admet toutes les dérivées, mais dont la série de Taylor ne converge pas — c’est-à-dire ne donne pas la fonction. C’est une fonction qui n’est pas analytique, mais qui se laisse seulement [= « dériver »] à l’infini. »
• « On peut montrer — pas avec la même démonstration, mais [= « par »] [= « la même »] — que si $f$ est une fonction analytique, alors la solution est aussi une fonction analytique. Si la fonction $f$ du problème de Cauchy admet toutes les dérivées et sa série de Taylor est convergente, alors la solution qu’on évoque [= « trouve »] aussi est [= « analytique »]. Tout est dérivé, et [= « là »], c’est écrit en [= « le »] syllabus. »
• « Je ne vous demande pas de démonstration de ça — ce qui [= « il »] est au syllabus. D’ailleurs, il y a trois démonstrations du même théorème, mais je vous demande [= « c’est »] ma seule [= « démonstration »] que j’ai montré au tableau. Sachez qu’il y a cette propriété de dérivabilité qu’on peut pousser jusqu’aux fonctions $C^{\infty }$. »

36. Nouveau chapitre : le théorème ne dit pas comment calculer la solution — [01:19:36 → 01:21:17]

• « Alors, les théorèmes que l’on vient de faire, c’est un beau théorème, mais qui ne dit pas comment on calcule la solution. Quand je vous donne une EDO — par exemple celle que l’on a vue l’heure passée, avec l’exponentielle — le théorème ne dit nullement comment on trouve la solution ; vous savez juste qu’elle existe. »
• « Donc ce que je vais faire maintenant, c’est vous donner une série d’exemples dans lesquels les solutions peuvent être trouvées avec des méthodes, avec des recettes de cuisine. Et après, vous verrez un TD, et après vous pourrez donc vousowałreflectionner [sic : ASR ; probablement « vous appliquer vous-même »] dans la suite. »
• « Le premier exemple d’EDO qu’on fait ensemble, c’est donc $u^{\prime }=Au$, où $A$ est une matrice, par exemple $n\times n$. Et donc $u$ est une fonction vectorielle, qui va dans l’intervalle $I$ ; $A:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$. »
• « Ça, c’est presque l’exemple le plus simple possible, donc linéaire. C’est vectoriel — on préfère scalaire, mais ça ne change pas beaucoup. Et donc on se donne une condition initiale $u(t_0)=u_0$, un certain vecteur de ${\mathbb{R}}^n$. »

$$\{\begin{array}{ll}{u}^{\prime }(t)=Au(t)& t\in I,\\ u(t_0)=u_0\in {\mathbb{R}}^n,A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})\text{ fixe.}& \end{array}$$

37. L’itération de Picard appliquée à cet exemple — [01:21:17 → 01:22:37]

• « Alors, si on s’appelle le théorème — comme je l’ai montré —, qu’est-ce qu’il disait, le théorème ? La contraction : vous prenez un point quelconque de l’ensemble, et vous appliquez $\Phi$, $\Phi$, $\Phi$, l’itérer tout ça. »
• « Et quel est le point le plus simple ? La condition initiale. J’ai défini une fonction $v_0$, $v(t)$, qui est la constante — je vais l’appeler $x_0$, comme ça c’est comme dans la démonstration du théorème. Et après j’ai construit la nouvelle itérée comme $x_1$, avec sa définition : j’ai noté $\Phi (x_0)$. »
• « Et $\Phi$, c’est quoi ? C’était la constante $u_0$ plus l’intégrale entre $t_0$ et $t$ de la fonction $f$ évaluée en $s$ fois $x_0(s)$ $\mathrm{d}s$. Donc c’était la fonction qui était $\Phi$. C’est bien, mais ici, $\Phi$ c’est $A$. »
• « Et donc, dans cette intégrale, vous avez $u_0$ plus l’intégrale entre $t_0$ et $t$ de $A$ fois la fonction $x_0$ — mais $x_0$ c’est la constante $u_0$. Donc j’ai $A$ fois la constante $u_0$ $\mathrm{d}s$. »

38. Le calcul de x₁, x₂ et x₃ — [01:22:37 → 01:26:21]

• « Donc cette intégrale, c’est l’intégrale triviale qui va me donner $x_1=u_0+A{u}_0(t-t_0)$. Donc la fonction $x_1$, c’est la constante plus $A$ fois la constante fois $(t-t_0)$. »
• « Maintenant, je vais construire $x_2$. $x_2$ c’est quoi ? C’est $\Phi$ appliqué à $x_1$. Et donc c’est $u_0$ plus l’intégrale entre $t_0$ et $t$ de $f(s,x_1(s))$ $\mathrm{d}s$. Mais $f$ c’est $A$ fois $x_1$. Donc ça égale $u_0$ plus l’intégrale entre $t_0$ et $t$ de $A$ fois [= « u1 »] — et $u_1$, je viens de le calculer, c’est celui-là. Donc [= « c’est »] $u_0+A{u}_0(s-t_0)$ $\mathrm{d}s$. »

$$\begin{array}{rl}{x}_0(t)& =u_0,\\ x_1(t)& =u_0+{\int }_{t_0}^{t}A{u}_0\mathrm{d}s=u_0+A{u}_0(t-t_0),\\ x_2(t)& =u_0+{\int }_{t_0}^{t}A{x}_1(s)\mathrm{d}s=u_0+{\int }_{t_0}^t(A{u}_0+A^2{u}_0(s-t_0))\mathrm{d}s\\ & =u_0+A{u}_0(t-t_0)+A^2{u}_0{\int }_{t_0}^t(s-t_0)\mathrm{d}s=u_0+A{u}_0(t-t_0)+\frac{A^2{u}_0}{2}(t-t_0{)}^2.\end{array}$$

• « Et l’intégrale de $A$ fois $A$ fois $u_0$ fois $s-t_0$, ça va me donner $A$ au carré $u_0$ fois $\int (s-t_0)$, qui va me donner $\frac{(t-t_0{)}^2}{2}$. »
• « Là, on peut faire un passage [= « on saute une étape »], mais on voit déjà vers quoi on va. Si j’évalue la fonction $x_3$, elle n’a pas de définition $\Phi$ calculée sur $x_2$. Ça, c’est quoi ? $u_0$ plus l’intégrale entre $t_0$ et $t$ de $f(s,x_2(s))$ $\mathrm{d}s$ — donc ça va être $u_0$ plus l’intégrale entre $t_0$ et $t$ de $A$ fois $x_2$ que je viens de calculer. »
• « Donc ça va être $u_0+A{u}_0(t-t_0)+\frac{A^2{u}_0(s-t_0{)}^2}{2}$ $\mathrm{d}s$. Je vais vous expliquer ce qu’il s’est fait : je termine les intégrales sur ceci. La première, c’est la constante $u_0$. Ici, c’est l’intégrale de $A$ fois $u_0$, qui est donc $A{u}_0(t-t_0)$. Ici, on a $A$ fois $A$ fois $u_0$ fois l’intégrale de $s-t_0$, qui va me donner $A^2{u}_0\frac{(t-t_0{)}^2}{2}$. Et ici, vous avez $A$ fois $A^2$ fois $u_0$ fois l’intégrale de $(s-t_0{)}^2/2$, qui va me donner $A^3{u}_0\frac{(t-t_0{)}^3}{3}$[sic : le prof dit « sur 3 » ; le dénominateur correct est $3!=6$, cf. §38 et Doutes / à vérifier]. »

$$x_3(t)=u_0+A{u}_0(t-t_0)+\frac{A^2{u}_0}{2}(t-t_0{)}^2+\frac{A^3{u}_0}{6}(t-t_0{)}^3.$$

39. La formule générale et l’exponentielle de matrice — [01:26:21 → 01:28:36]

• « *Et donc, petit exercice : $k$, $\mathrm{d}t$, et par définition, et par récurrence directe, [prouvez] que cet objet [= « $x_k$ »] est la somme ${\sum }_{\ell =0}^k\frac{A^{\ell }{u}_0}{\ell !}(t-t_0{)}^{\ell }$. Et vous démontrez pour $k+1$, une prime [= « récurrence »], cet objet en le mettant dans la définition de la suivante. »
• « *Alors, c’est là qu’on peut les réécrire [= « réécrire »], c’est là qu’on peut les réécrire dans le sens suivant : ça, c’est la somme des $\ell$ qui va de 0 à $k$, des $A$ puissance $\ell$, fois les vecteurs [= « $u_0$ »], fois $(t-t_0)$ puissance $\ell$, sur $\ell$ factoriel. »

$$\boxed{x_k(t)=\sum _{\ell =0}^k\frac{A^{\ell }}{\ell !}{u}_0(t-t_0{)}^{\ell }\underset{k\to +\infty }{\to }{e}^{A(t-t_0)}{u}_0}$$

• « Parce qu’en fait, la puissance 0 de $A$, c’est l’identité — et donc je les trouve comme ça les premières. Et $\ell$ égale 1, deuxième, c’est [= « le premier »] dessus, et donc cet objet devrait vous rappeler quelque chose. »
• « C’est un peu comme l’exponentiel, sauf que plutôt qu’un réel, vous avez une matrice, et ce n’est pas grave : on définit ça comme l’exponentiel de la matrice $A$, $e^{A(t-t_0)}$, appliqué au vecteur $u_0$. »
• « On verra d’ici une fois ou deux que cette propriété d’exponentiel, ce n’est pas comme on pense : un objet croissant de croissant [= « l’exponentiel réel croît »] — ça pourrait aussi osciller dans le temps, parce que ce sont des objets qui ne sont pas dans le sens réel du [= « temps »]. Mais donc on définit cet objet par la [= « limite »]ité de la série, et donc là c’est un des seuls cas où l’application directe du théorème de Picard permet de trouver la solution spécifique de l’équation. Dans d’autres cas, ce n’est pas possible. »

$$u(t)=e^{A(t-t_0)}{u}_0=\sum _{\ell =0}^{\infty }\frac{A^{\ell }}{\ell !}(t-t_0{)}^{\ell }{u}_0\text{(deˊfinition par la seˊrie, valable sans hypotheˋse de diagonalisabiliteˊ).}$$

40. Exemple 2 : la méthode de la variation des constantes — [01:28:36 → 01:32:22]

• « Alors, on va donc voir maintenant d’autres cas qui sont quand même intéressants. On va commencer par un exemple qu’on appelle la variation des constantes — donc au-delà de l’exemple 3 [sic : le prof numérote ici « l’exemple 3 », alors que cette note le numérote comme exemple 2 ; ASR incertain sur la numérotation], c’est un exemple pour la méthode. »
• « Cette méthode peut être utilisée dans plein d’autres cas, ce qui est bizarre, parce que, comme on nous le dit, pour varier des constantes, il faut que ce soit… des constantes. »
• « J’ai voulu passer ici en dimension 1, donc dans le scalaire, et donc je dois descendre l’équation : la dérivée de $y$ par $x$ — donc je vais appeler $x$ comme la variable temps, comme ça on change en paramétrisation — et cela est égal à une fonction $a$ de $x$ fois $y$ de $x$, plus une fonction $b$ de $x$. »

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=a(x)y(x)+b(x)$$

• « Donc ne faites pas attention à la régularité des fonctions $a$ et $b$, c’est juste des fonctions de la variable. Donc ça, c’est une équation non autonome, parce que vous avez la dépendance explicite à travers $x$ — lariable $x$ — par lequel vous [= « dérivez »]. Très bien. »
• « On va faire d’abord un cas plus simple, où la fonction $b$, en fait, n’est jamais là : elle est tout le temps zéro. Et donc je dois étudier $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=a(x)y(x)$. Donc ça, c’est le cas particulier de ce que j’ai fait : plutôt que $n$, on a $n$ égale à 1. »
• « Et donc, on aurait envie d’écrire [= « la solution »] : $y(x)=e^{a(x)}\cdot [\text{quelque chose de type }{y}_0\text{ en }x-x_0]$ [ASR très dégradé ; la formule visée est $y(x)=e^{a(x-x_0)}{y}_0$, cf. §40]. »

41. Le cas b ≡ 0 : e^{a(x)} n’est PAS la solution — [01:32:22 → 01:34:07]

C’est le piège classique que le prof démonte pas à pas :

• « Donc qu’est-ce que j’ai fait tantôt ? J’ai pris ma matrice ici, non scalaire, et je l’ai mis dans l’exponentielle fois le temps, divisé par la condition initiale. Mais cela n’est pas une solution, on le voit tout de suite, parce que si on prend cet objet, on l’injecte là-dedans, on devrait avoir gauche égale droite. »
• « Mais si vous allez le faire — si vous calculez la dérivée, c’est la dérivée de l’exponentielle de l’exponentielle même par la constante, plus la dérivée de l’exponentielle par la dérivée de l’exposant. »

$$y(x)=e^{a(x)(x-x_0)}⟹y^{\prime }(x)=a(x)e^{a(x)(x-x_0)}+e^{a(x)(x-x_0)}(a^{\prime }(x)(x-x_0)+a(x)).$$

• « La dérivée de l’exposant, c’est quoi ? C’est $a^{\prime }(x)(x-x_0)+a(x)$ [ASR : « a’ de x, x moins x c’est 0, plus a de x »]. Et donc tout cet objet, c’est quoi ? Si vous prenez celui-là, vous obtenez $a\times y$, mais il y a un petit terme de plus qui reste. »
• « Donc ce n’est pas vrai que la dérivée de cette fonction est égale à $a$ fois la fonction. Il y a un terme en plus qui s’annule seulement si $a^{\prime }$ est 0. »
• « En fait, cette formule est vraie seulement si $a$ est une constante. Si $a$ n’est pas une constante, comme c’est le cas général ici, ça n’est pas la solution. »

$$\boxed{\text{La bonne solution est }y(x)=\exp ({\int }_{x_0}^{x}a(s)\mathrm{d}s)\cdot y_0}$$

• « Pourquoi c’est la solution ? Parce que maintenant, si vous dérivez, on obtient bien la fonction. Si vous dérivez cette fonction, c’est la dérivée de l’exponentielle [= « de l’intégrale »] fois la fonction elle-même : $e^{{\int }_{x_0}^{x}a}\times$ la dérivée de l’exposant — mais ce n’est pas la dérivée de l’intégrale, c’est la fonction qui est dedans — donc $a(x)$. »
• « Et donc, tout ça, vous le connaissez : $a(x)y(x)$. Et donc, on a bien montré que la fonction exponentielle de l’intégrale est bien la solution de l’équation. »
• « Et si $a$ est constante, si $a(x)$ est une constante [= « $a$ »], alors la solution $y(x)$ est $\exp (\int a)$, qui vaut donc $a$ fois $(x-x_0)$, fois $y_0$. Donc on retrouve la solution qu’on avait calculée tantôt avec la construction[c’est-à-dire l’exponentielle de matrice, §38]. »
• « Donc, faites attention que si vous avez des EDO avec ici une fonction de $x$ [= « non temps »], la solution n’est pas l’exponentielle, mais l’exponentielle de l’intégrale. »

$$\underset{\text{valable seulement si }a\text{ est constante}}{\underbrace{y(x)=e^{a(x-x_0)}{y}_0}}\text{vs.}\underset{\text{cas geˊneˊral}}{\underbrace{y(x)=e^{{\int }_{x_0}^{x}a(s)\mathrm{d}s}{y}_0}}$$

42. Remarque dimension n : la condition de commutation des matrices — [01:34:07 → 01:36:09]

• « Une remarque liée au cas à la dimension $n$. »
• « On aurait donc envie de dire que si on considère tantôt l’équation $u^{\prime }=A(t)u$ — où $A$ est une matrice $n\times n$ et $u$ un vecteur de ${\mathbb{R}}^n$ —, le cas comme le premier, mais avec une matrice qui dépend cette fois de la variable ; et on aurait envie de dire que la solution $u$ de [= « l’EDO »] est égale à l’exponentiel de l’intégrale entre $t_0$ et $t$ de $A(s)$ $\mathrm{d}s$, avec $u_0$ en $t_0$. »

$$u(t)\stackrel{?}{=}\exp ({\int }_{t_0}^{t}A(s)\mathrm{d}s)u_0$$

• « Logiquement, quand $A$ est constante, j’avais l’exponentielle ; quand $A$ n’est pas constante, j’ai l’exponentielle de l’intégrale. »
• « Donc si j’ai le 2 [= « le §2 »] et je le mets en [= « 100 »] — ça c’est faux ! Si [= « c’est mon site »] : quand vous calculez $A$ en un certain temps $s_1$ et $A$ en un certain temps $s_2$, cela égale [= « $A$ »] en $s_2$ fois $A$ en $s_1$, pour tout $s_1$, $s_2$. »

$$\boxed{\text{Condition neˊcessaire : }A(s_1)A(s_2)=A(s_2)A(s_1)\forall s_1,s_2⟹u(t)=\exp ({\int }_{t_0}^{t}A(s)\mathrm{d}s)u_0\text{ est bien solution.}}$$

• « Donc il faut que la fonction matrice $A$ commute quand vous l’évaluez à deux temps différents. Si c’est le cas, alors c’est vrai qu’il y a [= « des solutions »] sur une intégrale [= « exponentielle de l’intégrale »]. Si ce n’est pas le cas, on ne connaît pas la solution. »
• « Et donc, il y a des exemples tout simples d’équations $2\times 2$, des matrices $2\times 2$, pour lesquelles on n’a pas la solution explicite, juste parce que la matrice $A$ dépend du temps et cette propriété n’est pas satisfaite. Vous pouvez regarder ce cas, par exemple[renvoi à un exemple du support non dicté à l’oral : cf. Doutes / à vérifier]. »

43. Retour à la variation des constantes : le cas b ≠ 0 — [01:36:09 → 01:39:38]

• « Alors, maintenant, je reviens à la méthode de la variation des constantes. Je vais noter ma solution dans le caractère des dimensions 1. »
• « Donc j’avais dit que si $b$ n’est pas là — c’est tout le temps faux, $b\equiv 0$ —, ma solution est égale à l’exponentielle de l’intégrale $a(s)$ $\mathrm{d}s$. C’est noté. Et si $n$ égale 1, cette propriété est tout le temps vérifiée, parce que $A$ est un scalaire : évaluer $A(s_1)$ fois $A(s_2)$ c’est la même chose que le faire dans l’autre sens. Si je prends ici $A$ plus $a$, en scalaire, la multiplication commutative, en scalaire. Voilà, on a ça. »
• « Alors, qu’est-ce qui se passe si $b$ n’est pas égal à zéro ? Alors on va lire ce qui suit. »
• « Je vais chercher la solution $y$ sous la forme suivante : et à la place de mettre ici la constante, je vais mettre une nouvelle fonction $\phi$. Et c’est pour ça qu’on appelle ça la variation des constantes : on avait une solution potentielle quand il y avait $b$ égale à zéro ; on cherche à voir si une solution similaire, où on a placé la constante par $\phi$, peut être une solution. Maintenant la difficulté, c’est calculer $\phi$. »

$$y(x)=\phi (x)\cdot \exp ({\int }_{x_0}^{x}a(s)\mathrm{d}s)$$

• « Alors, on veut que ça [= « $y$ »] soit une solution, donc on la dérive, et on [= « groupes »] par [= « le »] [= « même »] … par le fait que ça va de la dérivée de l’exponentielle à l’exponentielle même, fois la dérivée de l’exposant, fois $a(x)$, fois $\phi$ de $x$, plus, c’est un produit, donc la dérivée du deuxième — plus l’exponentielle de l’intégrale de $a(s)$ $\mathrm{d}s$ fois [= « ${\phi }^{\prime }$ »] $\mathrm{d}x$. Ça c’est la dérivée de cette fonction. »

$$y^{\prime }(x)={\phi }^{\prime }(x)e^{{\int }_{x_0}^{x}a}+\phi (x)a(x)e^{{\int }_{x_0}^{x}a}=e^{{\int }_{x_0}^{x}a}({\phi }^{\prime }(x)+a(x)\phi (x))$$

• « *Et je veux que cette dérivée soit égale à $a\times y+b$. Donc c’est égale à $a$ fois la fonction fois l’exponentielle entre $x_0$ et $x$ de $a(s)$ $\mathrm{d}s$, plus $b(x)$. * »
• « Et donc, si je veux que ces deux quantités soient égales, cette partie-ci [= « ${\phi }^{\prime }{e}^A$ »] s’est simplifiée, et donc $y^{\prime }$ est égale à l’objet qui est là-bas, **si à ce moment-ci, ${\int }_{x_0}^{x}b(s)\mathrm{d}s$ est égal à $b$ de $x$[sic : la phrase est mal transcrite ; la condition correcte est ${\phi }^{\prime }(x)e^{\int a}=b(x)$, cf. la ligne suivante].* »*

$$\boxed{{\phi }^{\prime }(x)e^{{\int }_{x_0}^{x}a(s)\mathrm{d}s}=b(x)}$$

44. L’équation pour φ et la formule finale — [01:39:38 → 01:41:44]

• « Parce que si cela est fait, c’est-à-dire que si cet égal ici est égal à celui-là, c’est fait. OK ? »
• « Mais l’exponentiel, c’est tout le temps positif, donc je peux diviser par l’exponentiel à gauche comme à droite. Donc j’obtains que ${\phi }^{\prime }(x)$ est égal à $b(x)$ fois l’exponentielle de $-{\int }_{x_0}^{x}a(s)\mathrm{d}s$. »

$${\phi }^{\prime }(x)=b(x)\exp (-{\int }_{x_0}^{x}a(s)\mathrm{d}s)$$

• « Est-ce que j’ai gagné quelque chose ? La réponse est oui. Parce que maintenant j’ai une équation pour la fonction $\phi$, mais $\phi$ n’est pas à droite — ça, c’est juste une primitive. »

$$\phi (x)=\phi (x_0)+{\int }_{x_0}^{x}b(r)\exp (-{\int }_{x_0}^{r}a(s)\mathrm{d}s)\mathrm{d}r$$

• « La solution, c’est simplement [celle-ci]. Peut-être que cette intégrale, c’est compliqué à faire, peut-être impossible à faire, mais peu importe : vous avez la solution explicite. Donc ça, c’est ma fonction, que je vais démontrer être une solution. »
• « Donc si je vais vérifier qu’une [= « c’est »] solution [= « candidate »], il faut que quand je l’injecte ici, je trouve partie à gauche égale partie à droite ; et donc d’abord je dérive la fonction, ça va me donner la dérivée de [= « ma »] partie, et il faut que cette $y^{\prime }$ soit égale à $a\times y+b$. Et donc cet égale ici [= « l’égalité »] existe : si c’est le mot « si » [sic : le prof hésite], cette partie ici est égale à cette partie-là, parce que les deux sont déjà les mêmes — donc je dois juste imposer cette égalité ici, qui devient celle-là quand je multiplie par l’exponentielle, et donc je multiplie par l’exponentielle, ce qui me donne directement la fonction $\phi$. »
• « Donc je répète : peut-être que cette intégration n’est pas faisable, c’est impossible, mais peu importe, d’un point de vue formel, j’ai la solution, qui est $y=$ [= « l’exponentielle »] fois cette fonction $\phi$. »

$$\boxed{y(x)=\exp ({\int }_{x_0}^{x}a(s)\mathrm{d}s)\cdot [\phi (x_0)+{\int }_{x_0}^{x}b(r)\exp (-{\int }_{x_0}^{r}a(s)\mathrm{d}s\left)\mathrm{d}r\right]}$$

• « Maintenant à l’examen, on va vous essayer de donner des fonctions telles que cette intégration [= « l’intégration »] soit faisable, et d’autres intégrations faisables. C’est juste la méthode en soi qui est importante. »
• « On va peut-être juste énoncer l’idée — qu’on va faire l’exercice la fois prochaine. »

45. Exemple 3 : les équations à variables séparables — [01:41:44 → 01:47:19]

• « Alors, un autre exemple des classes d’EDO qu’on sait [= « résoudre »] de façon exacte sont celles qu’on appelle à variables séparables. »
• « Ce sont des EDO du type : la dérivée de $u$ par rapport à $t$ n’est pas égale à une fonction $f$ de $t$ et $u$, mais c’est un produit de deux fonctions. Ici, je vais noter $g$ de $t$ fois $h$ de $u$. Donc la fonction $f$ est [= « décomposée »] en produits de deux fonctions — une qui est fonction de $t$, une qui est fonction de $u$. C’est pour ça qu’on appelle variables séparables, parce que les variables sont séparées. »

$$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=g(t)h(u)$$

• Les solutions constantes d’abord : « Alors, la première démarche est la suivante : s’il existe un point $u_0$ tel que $h(u_0)$ s’annule — donc une racine de la fonction $h$ —, alors j’affirme que la fonction $u(t)=u_0$ pour tout $t$ est solution. Donc les fonctions constantes dont la constante est une racine de $h$ sont des solutions. »
• « Pourquoi ? Parce que ça suffit de prendre ça et de l’injecter dedans et vérifier gauche égale droite : quand je dérive [= « par rapport à $t$ »] $u$ de $t$, quand je dérive une constante, il vaut 0. Mais combien vaut $g$ de $t$ fois $h$ de $u$ de $t$ ? Ça vaut $g(t)\times h(u_0)$. Mais $h(u_0)$ vaut 0, par construction. Et donc j’ai démontré que la dérivée est égale à $g\times h$, quelle que soit [= « la »] dérivée. »

$$u(t)\equiv u_0\text{ avec }h(u_0)=0⟹u^{\prime }(t)=0=g(t)h(u_0)=g(t)h(u(t))✓$$

• « Donc toutes les racines de $h$ sont des solutions. Oui, solutions particulières, mais ce sont des solutions. »
• Les solutions non constantes : « On va maintenant étudier d’autres solutions pour $u$, parce que $h(u)$ est différent de 0. Alors, si $h(u)$ est différent de 0, je peux diviser par $h$ à gauche comme à droite de cette équation. »

$$\frac{1}{h(u)}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=g(t)\left(\text{donc }\frac{\mathrm{d}u}{h(u)}=g(t)\mathrm{d}t\right)$$

• « Et cette égalité est valable pour tous les $t$ dans un certain intervalle dans lequel j’achève [= « j’ai »] la solution. Donc je peux intégrer à gauche et à droite cette intégrale. »

$$\int \frac{\mathrm{d}u}{h(u)}=\int g(t)\mathrm{d}t+c$$

• « Donc j’obtiens ${\int }_{u_0}^{u(t)}\frac{1}{h(u)}\mathrm{d}u$ — avec la primitive en haut — est égale à l’intégrale entre $t_0$ et $t$ de $g(s)$ $\mathrm{d}s$. »
• « Ici, c’est l’intégrale de la fonction $g$ — je ne sais pas trop bien [= « le »] [= « cerveau »], mais c’est une fonction $G$ d’une constante $c_1$, qui vient de [= « l’évaluation »] sur la constante. »
• « Ici, je dois faire l’intégrale en $\mathrm{d}u$ : regardez, j’ai la dérivée de $u$ en $\mathrm{d}u$, fois la [= « différentielle »]. Donc ça, c’est comme si je faisais une intégrale dans la variable $u$. Donc ça, c’est $\mathrm{d}u$. »

$${\int }_{u_0}^{u(t)}\frac{\mathrm{d}u}{h(u)}={\int }_{t_0}^{t}g(s)\mathrm{d}s$$

• « *Et donc, cette intégrale ici à gauche, c’est rien d’autre que $\int \frac{\mathrm{d}u}{h(u)}$, [= « la »] primitive de $\frac{1}{h}$. Et donc, cet objet, je ne sais pas combien il vaut, mais ce serait une certaine fonction $H$ de $u(t)$ [= « $H(u(t))$ »] plus une constante $c$ qui vient de la constante d’intégration. »
• « *Et donc, au final, j’ai trouvé quoi ? J’ai trouvé que la solution $u$ satisfait l’équation $H(u(t))=G(t)+\text{constante}$ [ASR : « $h$ de $u$ de $t$ plus constante égale $g$ $d$t plus constante »]. »

$$\boxed{H(u(t))=G(t)+c,H:=\int \frac{\mathrm{d}u}{h(u)},G:=\int g(t)\mathrm{d}t⟹u(t)=H^{-1}(G(t)+c)}$$

• « Donc $u(t)$ est égale à $H^{-1}$ de $G(t)+c$, auquel j’applique la fonction $H^{-1}$ si elle est inversible [ASR : « si elle est inversée »]. Donc, j’ai trouvé de façon explicite la solution via des intégrales. »
• « Et d’une façon formelle, vous avez la solution exacte ici, de forme inversée. »
• Fin de séance : « *Voilà, maintenant c’est à ce que je m’arrête ici. La fois prochaine, on va voir… Et en fait, quand on fait cette inversion, il faut faire attention, notamment quand on a des fonctions type logarithme, ou sinus, cosinus, ou tangente, parce que les fonctions inverses, elles existent, mais elles ont des propriétés d’existence — ce n’est pas qu’elles existent [sic : la phrase est maladroite ; cf. Doutes / à vérifier]. Donc ça, on verra : il faudra faire attention à ça. »
• « *Donc voilà, je propose qu’on s’arrête ici. Et on va voir la prochaine : on va continuer avec cet exemple de fonctions comparables [= « à variables séparables »] et on continue avec cet exemple. Merci. »

Points clés — [résumé]

1. Fin de la démonstration du théorème de Picard (§1 → §29). Le prof vérifie au tableau les trois propriétés du schéma abstrait sur l’espace

$$X:=\left\{v\in C(I,\mathbb{R})\Vert v\text{ continue},\text{borneˊe},\Vert v-u_0{\Vert }_{\infty }\le R_2\right\}$$

muni de la norme du sup $\Vert v-w{\Vert }_{\infty }={\sup }_{t\in I}|v(t)-w(t)|$ :

• (P1) $X$ est un espace métrique complet : $X$ est fermé dans $C_b(I)$ (suite de fonctions bornées à $\Vert v_n-u_0{\Vert }_{\infty }\le R_2$ ⟹ la limite reste bornée et dans la boule) et $C_b(I)$ est complet sur un intervalle compact. ⟹ $X$ est complet pour la distance $d(v,w)=\Vert v-w{\Vert }_{\infty }$.
• (P2) $\Phi :X\to X$ est bien définie : borne $L$ de la lipschitzianesse sur le rectangle + borne $M$ des fonctions ⟹ $|\Phi (v)(t)-u_0|\le M\frac{L_0}{L}$ ; en réduisant l’intervalle jusqu’à ce que $L_0\le R_1$ et $M{L}_0\le R_2$, on obtient $\Phi (v)\in X$.
• (P3) $\Phi$ est une contraction sur $X$ pour un certain entier $m\ge 1$ : le nombre d’itérations est fini et ne dépend pas de $v$, et la constante de Lipschitz de $\Phi$ est strictement < 1. ⟹ $\Phi$ a un unique point fixe, qui est l’unique solution.

$$\Vert \Phi (v)-\Phi (w){\Vert }_{\infty }\le (L{L}_0)\Vert v-w{\Vert }_{\infty }⟹\underset{a_k\to 0}{\underbrace{\frac{(L{L}_0{)}^k}{k!}}}\stackrel{k\to +\infty }{\to }0⟹{\Phi }^{[m]}\text{ contractante d’une constante }\alpha <1$$

2. L’astuce qui débloque tout : l’itérée comme somme. ${\Phi }^{[k]}(v)(t)=u_0+\sum _{j=1}^k\frac{(t-t_0{)}^{j-1}}{(j-1)!}{\int }_{t_0}^t(f(s,u(s))-f(s,v(s)))\mathrm{d}s$, donc la majoration est en $k!$ et non en $k$ — d’où la convergence vers 0. C’est le cœur de la démonstration.

3. La question de la régularité (§30 → §34). Le théorème de Picard ne dit rien de la régularité de la solution ; le prof la traite à part, par récurrence :

$$(P_k)f\in C^k⟹u\in C^{k+1}\text{et donc}f\in C^{\infty }⟹u\in C^{\infty }.$$

Les deux leviers : l’intégrale gagne une dérivée et une composition de fonctions régulières garde la classe. Cas de base $k=1$ traité à part, avec la solution sous forme d’équation intégrale $u=u_0+\int f$.

4. $C^{\infty }$ n’est pas « analytique » (§33 → §34). Fonction analytique = admet une série de Taylor convergente ; analytique ⟹ $C^{\infty }$, mais l’inclusion est stricte. Contre-exemple canonique :

$$g(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-1/x^2}& x\ne 0\\ 0& x=0\end{array}{g}^{(n)}(0)=0\forall n\sum \frac{g^{(n)}(0)}{n!}{x}^n=0\ne g.$$

L’astuce du prof : à chaque étape, l’exponentielle l’emporte sur toute puissance en $0$, donc les dérivées successives restent continues si on les prolonge par $0$. Symétrique : si $f$ est analytique, alors $u$ est analytique (au syllabus, non démontré à l’oral).

5. Le théorème ne dit pas comment calculer (§35). Trois « recettes » :

• $u^{\prime }=Au$, $A$ matrice constante ⟹ l’itérée de Picard est explicitement calculable et donne la série $u(t)=\sum _{\ell \ge 0}\frac{A^{\ell }}{\ell !}(t-t_0{)}^{\ell }{u}_0=e^{A(t-t_0)}{u}_0$. C’est le seul cas (dans cette séance) où l’itération donne directement la solution.
• Variation des constantes : $y^{\prime }=a(x)y+b(x)$ ⟹ $y=\phi (x)\exp \left({\int }_{x_0}^{x}a\right)$ avec ${\phi }^{\prime }(x)=b(x)\exp (-{\int }_{x_0}^{x}a)$. Le cas $b\equiv 0$ est le piège : $e^{a(x-x_0)}{y}_0$ n’est solution que si $a$ est constante.
• Variables séparables : $u^{\prime }=g(t)h(u)$ ⟹ $\int \frac{\mathrm{d}u}{h(u)}=\int g(t)\mathrm{d}t+c$ ⟹ $u=H^{-1}(G(t)+c)$.

6. Trois avertissements de méthode.

• Le paramètre $L_0$ de la lipschitzianesse ne peut pas être choisi librement : on a besoin de $L_0\le R_1$ pour que $|t-t_0|\le R_0$ dans tout l’intervalle ; c’est ce qui force la réduction de l’intervalle.
• Ne pas confondre $f$ et $u$ dans la lipschitzianesse : c’est $f$ qui est lipschitzienne en $u$, et le théorème ne donne l’unicité que si cette condition est vérifiée ; en dimension > 1, la lipschitzianesse en $u$ s’écrit composante par composante.
• Une exponentielle de matrice peut osciller : $e^{At}{u}_0$ n’a pas le comportement monotone de l’exponentielle réelle (il n’y a pas d’ordre sur ${\mathbb{R}}^n$).

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Doutes / à vérifier

• ⚠️ Sections 1 à 9 (tout le cœur de la démonstration) — ASR très dégradé. Le vocabulaire mathématique est à chaque fois approximé (« complète » → « magnétique », « convergence uniforme » → « l’écart », « e infinie, majore » → « euh infini, majoré », « il existe un entier positif tel que… » → « il n’existe pas un entier positif »). Toutes les formules de ces sections ont été reconstruites à partir de la structure logique énoncée et de la continuité avec le Cours 2. À confronter aux slides (le Cours 2 a déjà établi que l’énoncé du théorème y est mot pour mot).
• ✅ RÉSOLU (quant au fond, ⚠️ quant à la lettre) — Section 24 : le prof dit « la factorielle, c’est comme une puissance », ce qui est faux tel quel : $k!$ croît plus vite que toute puissance fixe. La version retenue dans la note (« la factorielle l’emporte sur toute puissance fixe ») est la seule cohérente avec $a_k=(L{L}_0{)}^k/k!\to 0$ et avec la majoration qu’il donne en cours de route. Ne pas citer la formulation orale.
• ⚠️ Section 26, borne inférieure de $k!$ : le prof borne « $k$ factoriel » par $(\lfloor k/2\rfloor {)}^{k/2}$; la borne propre est $k!\ge \lfloor k/2{\rfloor }^{k/2}$ (une moitié des facteurs est $\ge k/2$), mais la moitié inférieure de l’encadrement est reconstruite. Vérifier le facteur exact sur la slide.
• ⚠️ Sections 16 et 17, la majoration $R_2/M$ : le prof ajuste le rectangle et l’intervalle « à chaque fois » dans un ordre qui n’est pas clair à l’oral ; la version notée ($L_0\le R_1$ et $M{L}_0\le R_2$, puis remplacement de $R_1$ par $L_0$) est la reconstruction la plus cohérente. Le point de rigor à signaler est que « je peux réduire $R_1$ » suppose de rechoisir aussi les $R_2$ associés — c’est dit dans l’encadré de la section 17.
• ⚠️ Section 28 (question de l’étudiant) : la question porte sur le nom du rayon (« $R_0$ » chez l’étudiant, « $L_0$ » chez le prof). La réponse est reconstruite ; le raisonnement est cohérent avec la section 19, mais la formulation « il est plus petit que $R_2$ sur $M$ » est une reconstruction de « $R_2$ divisé par $M$ ».
• ⚠️ Section 30, la lipschitzianèse en $C^1$ : la phrase « je n’ai plus besoin d’imposer que $f$ soit lipschitzienne, parce que $f$ est $C^1$, donc [elle est] lipschitzienne » est incertaine à l’oral et mathématiquement fausse en général ($C^1$ n’implique Lipschitz que sur un compact avec dérivées bornées). Ce qui est vrai et qui est sans doute ce qu’il veut dire : $f\in C^1$ sur un voisinage compact ⟹ $f$ est lipschitzienne en $u$ localement (dérivée partielle bornée). À clarifier sur les slides.
• ⚠️ Section 37, le terme d’ordre 3 : le prof dit à l’oral « $A^3{u}_0(t-t_0{)}^3$ sur $3$ » ; le dénominateur correct est $3!=6$ (cf. la formule générale de la section 38). Version notée : $3!=6$, cohérente avec la récurrence qu’il demande à l’étudiant de prouver.
• ⚠️ Sections 39, 40 et 42 : plusieurs passages sont auto-corrigés à l’oral (le prof écrit d’abord une formule fausse, puis la corrige : « si à ce moment $\int b$ est égal à $b$ de $x$ » est un lapsus ; la condition correcte est ${\phi }^{\prime }(x)e^{\int a}=b(x)$). La dérivée de $e^{a(x)(x-x_0)}$ (§40) est très bruitée dans l’ASR (« $a^{\prime }$ de $x$, $x$ moins $x$ c’est 0, plus $a$ de $x$ ») — la version notée est $a^{\prime }(x)(x-x_0)+a(x)$.
• ⚠️ Section 41, le contre-exemple $2\times 2$ : le prof dit « vous pouvez regarder ce cas, par exemple » sans le donner à l’oral. L’exemple à construire soi-même : $A(t)$ à coefficients non commutants, par ex. $A(t)=\left(\begin{array}{cc}0& t\\ 1& 0\end{array}\right)$ pour lequel $A(t_1)A(t_2)\ne A(t_2)A(t_1)$. À retrouver sur le support.
• ⚠️ Section 34, « trois démonstrations du même théorème » : le prof mentionne « je ne vous demande pas de démonstration de ça, ce qui est au syllabus » pour le passage $f$ analytique ⟹ $u$ analytique. Le syllabus (10 p.) devrait préciser laquelle ; à vérifier.
• ⚠️ Sections 30 et 44, vocabulaire mal capté : « quelques compétences supplémentaires » (probablement « quelques conséquences supplémentaires ») ; « je ne sais pas trop bien le cerveau » (≈ « je ne sais pas trop bien le résultat ») ; « des fonctions comparables » en fin de séance (≈ « à variables séparables »). Ces trois fragments sont non reconstitués et laissés tels quels.
• ✅ RÉSOLU — L’identité de l’exponentielle de matrice est bien donnée par la série $\sum A^{\ell }(t-t_0{)}^{\ell }/\ell !$ (donc valable sans hypothèse de diagonalisabilité) ; c’est ce que le prof appelle « la définition » et c’est cohérent avec la récurrence demandée en section 38.
• ⚠️ Bruit de fond : ambiance Audible et une contamination mineure par une chaîne de sous-titrage à partir de 00:53:36 (blip de ~1 min, cf. section 27), sans incidence sur le raisonnement mais avec un segment ASR à ignorer. Comme en séance 2, le contenu utile reste intégralement récupérable.

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Liens

• Précédent : EDO - Cours 2 — la feuille de route annoncée en section 21 (« la prochaine fois, on aura la démonstration complète ») est tenue ici, en §§1 à 29.
• À suivre : pas encore de note. Le prof annonce la reprise de l’exemple « à variables séparables » et de « cet exemple » (§45, 01:46:50) — probablement un exercice guidé sur ces méthodes.
• Même méthode, autre cours : AR I - Cours 01 — méthode identique (théorème cité puis démontré au tableau, récapitulatif oral, « on verra la suite la prochaine fois »).
• Support écrit du même dossier : Chapitre1 - Sylabus.pdf · Chapitre1 - Slides.pdf — le §34 (analyticité) et le §41 (exemple $2\times 2$) en dépendent.
• Source : audio EDO - 3.m4a · transcriptions .srt / .txt / .vtt dans ~/Documents/La Uni/Audios/transcrit/.
• Travail en suspens sur la séance précédente : voir PENDIENTE - EDO Cours 2.txt dans ce dossier (corrections littérales + imbalance de guillemets + separation de la section 25).

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Transcrit via whisper-cpp (modèle ggml-large-v3-q5_0 avec VAD silero + anti-boucles), puis structuré et annoté. La source audio reste dans Documents/La Uni/Bac 2/EDO/. Les formules ont été reconstruites à partir du raisonnement énoncé à l’oral : voir Doutes / à vérifier.