TD2 - Modélisation

TD — Modélisation 2 : systèmes dynamiques 1D en temps discret

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Couverture : de 00:00:00 à 01:50:07 sur un audio de 01:50:08 (1 h 50). Après les rappels rapides, trois exercices : le Exercice 1 étudie complètement le système affine $f(x)=ax+b$ (points fixes, stabilité, points de période 2) et illustre tous les scénarios de stabilité possibles ; le diagramme de Cobweb est ensuite construit sur les quatre cas de figure (approche qualitative) ; le Exercice 2 traite $f(x)=x-x^2$ (cas limite $|f^{\prime }(0)|=1$) ; le Exercice 3 trouve les orbites de période 2 de $f(x)=2x^2-5x$ et leur stabilité. Une pause de 10 min coupe la séance (~00:37 → 00:47).

Support : exercices (et code MATLAB du diagramme de Cobweb) sur WebCampus ; support écrit de l’UE = Notes_modelisation.pdf §3. ⚠️ Transcription très propre, sauf les fragments de lecture du code MATLAB (reconstruits ici d’après les explications orales — voir la section 14).

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PARTIE 1 — Rappels : système dynamique discret unidimensionnel — [00:00:00]

1. Le cadre : $x_{n+1}=f(x_n)$ — [00:00:00]

Le prof rappelle que la modélisation est finie :

« Comme le premier [TD], on a fini celui pour la modélisation. En utilisant la physique, la mécanique… on ne va plus jamais remodeliser un système dynamique : on va toujours partir d’un système dynamique qui existe déjà, discret ou continu, et qui est étudiable. »

Pour cela, à partir d’une application $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ continue, on définit le système dynamique unidimensionnel en temps discret

$$x_{n+1}=f(x_n),$$

$n$ représentant le temps discret.

• Orbite : l’ensemble des points $x_0,x_1,x_2,\dots$ obtenus par itérations de $f$ à partir de la condition initiale $x_0$ :

$$x_1=f(x_0),x_2=f^2(x_0),\dots x_n=f^n(x_0).$$

• Une orbite est uniquement déterminée par sa condition initiale ; d’une seule $x_0$ on obtient toute une suite.

2. Points fixes, stabilité, points périodiques — [00:01]–[00:02]

• Point fixe (équilibre) : $x^{\ast }$ tel que $f(x^{\ast })=x^{\ast }$ (« si je réapplique ma dynamique sur le point auquel je suis, je ne bouge pas »).
• Attractivité / stabilité : $x^{\ast }$ est attractif si $|f^{\prime }(x^{\ast })|<1$, répulsif/instable si $|f^{\prime }(x^{\ast })|>1$. La notion de stabilité : « si on fait une petite perturbation proche du point d’équilibre, on retourne vers le point $x^{\ast }$ ».
• Point périodique : $x^{\ast }$ est périodique de période $p$ (le plus petit entier positif vérifiant) si $f^p(x^{\ast })=x^{\ast }$. Une orbite de période $p$ contient exactement $p$ points (ex. période 2 : $x_1,x_2$ et on retombe sur $x_1$).
• Stabilité d’une orbite périodique : on regarde le produit des dérivées $f^{\prime }$ premières évaluées aux différents points de l’orbite ; l’orbite est stable si ce produit, en module, est $<1$.
• Cas limite $|f^{\prime }(x^{\ast })|=1$ : on ne peut rien conclure avec le critère (c’est le sujet des exercices 1 et 2).

3. Diagrammes de Cobweb (introduction) — [00:02:07]–[00:03:57]

Manière qualitative de représenter la trajectoire : on démarre proche d’une condition initiale, on trace le diagramme et on observe si la dynamique est attractive ou répulsive. « Ne vous inquiétez pas, ça, on reviendra dessus. »

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PARTIE 2 — Exercice 1 : le système affine $f(x)=ax+b$ — [00:03:57]

4. Point a : points fixes de $f(x)=ax+b$ — [00:03:57]

On cherche $a,b$ (dans $\mathbb{R}$) pour lesquels la dynamique admet un point fixe.

$$f(x)=x⟺ax+b=x⟺x(1-a)=b.$$

Attention : on ne peut écrire $x=b/(1-a)$ que si $a\ne 1$. On distingue deux cas :

$a$	$b$	Points fixes
$a\ne 1$	$b\in \mathbb{R}$ quelconque	un unique point fixe : $x^{\ast }=\frac{b}{1-a}$
$a=1$	$b=0$	$f(x)=x+0$ : tout $x\in \mathbb{R}$ est point fixe (infinité)
$a=1$	$b\ne 0$	$x+b=x\Rightarrow 0\cdot x=b$ : aucun point fixe

5. Stabilité de ces points fixes — [00:10:13]–[00:17]

Pour $a\ne 1$ (l’unique point fixe $x^{\ast }=b/(1-a)$) :

$$f^{\prime }(x)=a⟹|f^{\prime }(x^{\ast })|=|a|.$$

• $|a|<1$ : $x^{\ast }$ stable (attractif).
• $|a|>1$ : $x^{\ast }$ instable (répulsif) — peu importe la valeur de $x$, $f^{\prime }(x)$ vaut $a$.
• $|a|=1$ : on ne peut rien conclure avec le critère.

Cas $a=1$ : ni stable ni instable — [00:12]–[00:19]

Attention au comportement final : « imaginez que vous voulez étudier la stabilité de $x^{\ast }=2$ ; vous vous placez très proche de 2, par exemple en 2.1, et vous appliquez la dynamique. Si $a=1$, la dynamique est statique : vous restez en 2.1 pour toujours. On reste proche de la condition initiale, sans s’éloigner ni se rapprocher → $x^{\ast }$ n’est ni attractif ni répulsif : ni stable ni instable. »

• [00:15] Ce comportement annonce la notion de stabilité au sens de Lyapunov (définie en temps continu) : si on démarre dans une région proche de $x_0$, la dynamique ne s’éloigne pas trop.
• [00:18] Intérêt pratique : « imaginez que ça modélise la dissipation de kérosène dans un avion » : savoir que la dynamique reste proche de la condition initiale, c’est rassurant, même si on n’attire pas. « Ma dynamique est sous contrôle. »

6. Point b : points périodiques de période 2 — [00:19:01]–[00:29]

On cherche $a,b$ tels qu’il existe une orbite de période 2 : résoudre

$$f^2(x)=x.$$

Approche naïve : $f^2(x)=a(ax+b)+b=a^{2}x+ab+b$. Donc

$$a^{2}x+ab+b=x⟺x(1-a^2)=ab+b⟺x=\frac{ab+b}{1-a^2}=\frac{b(1+a)}{(1-a)(1+a)}=\frac{b}{1-a}=x^{\ast }.$$

• [00:23] On obtient un seul point au lieu des deux attendus → on s’attend à un cas pathologique.
• [00:23:51] Cette solution $x^{\ast }=b/(1-a)$ est le point fixe déjà trouvé — pas intéressant pour une vraie orbite de période 2 (- les points fixes sont toujours solutions de $f^2(x)=x$).

On distingue alors les cas ($1-a^2=0$ ⇔ $a=\pm 1$) :

$a$	$b$	Solutions de $f^2(x)=x$
$a\ne \pm 1$	—	seulement le point fixe $x^{\ast }=b/(1-a)$ : pas d’orbite de période 2
$a=1$	$b=0$	$f^2(x)=x$ ⇒ tout $x$ solution — mais ce sont les points fixes déjà vus
$a=1$	$b\ne 0$	$0\cdot x=2b\ne 0$ : aucune solution
$a=-1$	—	$f^2(x)=x$ ⇒ $0\cdot x=0$ : tous les points sont périodiques ($p\le 2$)

Point fixe : $a=-1$ : une infinité d’orbites de période 2 — [00:26]–[00:27]

Pour $a=-1$, $f^2=\mathrm{Id}$ : une infinité de points périodiques de période 2. Chaque orbite contient deux points : pour un $x_1$ donné, le partenaire est $x_2=f(x_1)=-x_1+b$ (et $f(x_2)=x_1$). « On a une infinité d’orbites ; à chaque fois pour un point donné, on a l’autre. »

7. Stabilité de ces orbites (cas $a=-1$) — [00:29:58]–[00:35:21]

$$f^{\prime }(x_1)f^{\prime }(x_2)=a\cdot a=a^2=1⟹|f^{\prime }(x_1)f^{\prime }(x_2)|=1:\text{on ne peut rien conclure}.$$

Analyse directe ([00:30]) : si on démarre très proche de $x_1$, on se retrouve sur une autre orbite (proche) et on y reste : on ne s’éloigne pas, on ne se rapproche pas → l’orbite est ni stable ni instable, exactement comme le point fixe du cas $a=1$. (Ce sera repris précisément au diagramme de Cobweb, cas D.)

8. Bilan : tous les scénarios de stabilité — [00:35:21]–[00:37]

« À travers cet exercice, on a vu tous les scénarios de stabilité qu’on pourrait envisager : la stabilité (attraction, $|a|<1$), l’instabilité ($|a|>1$), et le cas mixte où on ne s’éloigne ni ne se rapproche ($a=1$ ou $a=-1$). »

Point c (période 3) : non traité en séance (« ça commence à devenir technique ») — proposé en exercice supplémentaire.

Pause — [00:37:09]–[00:47:00]

Pause de 10 minutes (« on reprend à 31 », i.e. 17:31).

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PARTIE 3 — Le diagramme de Cobweb — [00:47:00]

9. Principe de construction — [00:37]–[00:47]

Le prof trace le diagramme sur son ordinateur (« je vais tracer un premier diagramme de Cobweb sur ma tablette pour vous montrer l’idée »), puis le retrace à la main au tableau.

Construction (à savoir refaire, [00:50]–[00:56]) :

1. Tracer la courbe $y=f(x)$ (en bleu) et la bissectrice $y=x$ (en pointillé).
2. Points fixes = les intersections de $y=f(x)$ avec $y=x$.
3. Partir d’une condition initiale $x_0$ ; monter verticalement sur la courbe $f$ (point $(x_0,f(x_0))$ = $x_1$) ; reporter horizontalement sur la bissectrice ; recommencer : $x_1\to$ monter sur la courbe $\to$ reporter $\to$ etc. → les zigzags rapprochent ou éloignent de l’intersection.
4. Si la suite converge vers le point fixe → stable ; si elle s’en éloigne → instable ; si elle reste à distance (boucle fermée) → orbite périodique.

« Reproduire un diagramme de Cobweb en live à l’examen, c’est quelque chose que vous pouvez être capable de faire, sur papier ou via MATLAB (vous aurez MATLAB à l’examen — entraînez-vous, ça va beaucoup plus vite). »

10. Cas de figure A : $f(x)=2x+1$ ($|a|>1$, instable) — [00:47:00]–[00:56]

• $a=2\ne 1$, $b=1$ : un seul point fixe, $x^{\ast }=b/(1-a)=1/(1-2)=-1$.
• Graphe A (intersection unique en $(-1,-1)$) ; pente $>1$.
• Conditions initiales testées : $x_0=-0,2$ (à droite) et $x_0=-1,1$ (à gauche) — le cobweb s’éloigne de $x^{\ast }$.

Mini-interprétation : peu importe la condition initiale proche de $x^{\ast }$, on s’éloigne de $x^{\ast }$ → instabilité ([00:55]).

11. Cas de figure B : $f(x)=\frac{x}{2}+1$ ($|a|<1$, stable) — [00:56:17]–[01:02]

• $a=1/2$, $|a|<1$, $b=1$ : point fixe $x^{\ast }=b/(1-\frac{1}{2})=2$.
• Intersection unique en $(2,2)$ ; pente $<1$.
• Conditions initiales $x_0=2,5$ et $x_0=1,6$ : le cobweb converge vers $x^{\ast }$.

Mini-interprétation : peu importe la condition initiale proche de $x^{\ast }$, on se rapproche de $x^{\ast }$ → stabilité.

12. Cas de figure C : $f(x)=x$ ($a=1,b=0$, infinité de points fixes) — [01:02:32]–[01:05:58]

• Les deux droites sont confondues (courbe = bissectrice) → infinité de points d’équilibre.
• Le cobweb « ne montre rien » : peu importe $x_0$, on y reste (orbite = point unique), cohérent avec l’analyse de l’exo 1 ($x_n=x_0$).
• « C’est une droite qui monte et qui s’arrête. »

13. Cas de figure D : $f(x)=-x+2$ ($a=-1$, orbites de période 2) — [01:05:58]–[01:11:58]

• $a=-1$, $b=2$ : point d’équilibre $x^{\ast }=b/(1-a)=2/2=1$, et une infinité d’orbites de période 2 $\{x_0,-x_0+2\}$.
• Exemple : $x_0=1,2$ → $x_2$-partenaire $=-1,2+2=0,8$ : l’orbite est $\{1,2;0,8\}$, proche de $x^{\ast }=1$.
• Le cobweb oscille autour de $x^{\ast }$ sans converger ni diverger : on tourne autour (boîte fermée de 2 points) → équilibre ni stable ni instable (on reste globalement proche, on est « sous contrôle »).

[01:11:22] « Vous auriez pu tracer $y=f(x)$ et la bissectrice, prendre une condition initiale proche de l’intersection, et voir que les solutions tournent autour sans vous rapprocher : le diagramme témoigne bien qu’on n’est pas stable au sens attractif du terme. »

14. Le code MATLAB du diagramme de Cobweb — [01:12:27]–[01:20:22]

Démonstration commentée du code (mis sur WebCampus). Les lignes essentielles :

• Définition de la fonction : f = @(x) a*x + b (expression anonyme) — à adapter selon l’exercice.
• Fenêtre de tracé centrée sur l’équilibre : x = linspace(P - abs(P)/2, P + abs(P)/2, 100) — « je tiens compte de l’amplitude de $P$, je ne mets pas une valeur random » (si $P$ est grand, la fenêtre s’adapte).
• plot(x, f(x)) trace la courbe ; plot(x, x) trace la bissectrice ($f(x)=x$) ; plot(P, f(P)) marque le point d’équilibre.
• Calcul de l’orbite dans une boucle : « à chaque fois je calcule le point suivant comme $f$ au point précédent ».
• line(x1,y1, x2,y2) / plot : relier les points pour former les zigzags (à chaque itération, une ligne verticale puis horizontale).
• input à la fin de chaque itération : met le code en pause pour que l’utilisateur voie chaque étape puis appuie sur Entrée.

Piège de programmation ([01:18:08]) : dans le cas $a=1$ avec $b\ne 0$, il n’y a pas de point fixe $P$ → P n’est pas défini ; il faut commenter les lignes qui utilisent P (définition de la fenêtre, marqueur du point d’équilibre) et fixer soi-même la fenêtre (par ex. de $-2$ à $2$).

• [01:19:07] « Le diagramme de Cobweb, c’est juste peut-être un peu compliqué à comprendre au début ; une fois qu’on a compris l’idée, ça va tout de suite. »
• Questions sur les commandes → par mail ou à la pause.

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PARTIE 4 — Exercice 2 : $f(x)=x-x^2$ (cas limite $|f^{\prime }(0)|=1$) — [01:20:49]

15. Montrer que $x=0$ est un point d’équilibre — [01:22:12]–[01:23:19]

Vérifier que $x=0$ est un point fixe : $f(0)=0-0^2=0$, donc $f(0)=0$ ✓. « Étudier le comportement de la dynamique proche de $x^{\ast }=0$ » = étudier la stabilité de $x^{\ast }=0$.

16. Critère de stabilité : $|f^{\prime }(0)|=1$, on ne peut pas conclure — [01:23:19]–[01:25:10]

$$f^{\prime }(x)=1-2x⟹f^{\prime }(0)=1.$$

On ne peut rien conclure avec le critère. Contrairement à l’exo 1 (cas $a=1$), ici « ce n’est pas clair : est-ce qu’on reste proche de l’équilibre, ou est-ce qu’il y a une partie stable d’un côté et instable de l’autre ? »

→ Meilleur outil quand le critère est muet : le diagramme de Cobweb (prendre un point proche et observer).

17. Étude qualitative par le diagramme de Cobweb — [01:25:10]–[01:30:55]

• $f(x)=x-x^2$ : parabole tournée vers le bas.
• Racines : $f(x)=0\iff x(1-x)=0\Rightarrow x=0$ ou $x=1$.
• Sommet : $x_s=\frac{-b}{2a}=\frac{-1}{2(-1)}=\frac{1}{2}$ (reformulé en [01:26]), valeur $f(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$. → à savoir calculer analytiquement.
• Points fixes = intersections avec $y=x$ : $x^{\ast }=0$ et $x^{\ast }=1$.
• À droite de 0 ($x_0\approx 0^{+}$) : le cobweb converge vers 0 → côté stable.
• À gauche de 0 ($x_0\approx 0^{-}$ : [01:31] « je descends… y0, y1, y2 ») : on divergé → côté instable.

Conclusion ([01:30:55]–[01:33] ) : puisqu’il existe un côté où l’on s’éloigne de 0, on peut dire que $0$ est instable. (La définition standard d’instabilité est « pas stable ».)

18. Distinction cruciale avec l’exercice 1 (deux cas où $f^{\prime }=1$) — [01:33:24]

C’est la deuxième fois qu’on rencontre un cas où la dérivée au point d’équilibre vaut 1, mais les comportements sont différents :

• Exo 1, $a=1$ : on reste proche du point d’équilibre sans s’éloigner ni diverger → comportement plutôt « stable » (borné, au sens Lyapunov).
• Exo 2, $f(x)=x-x^2$ : on s’éloigne d’un côté → comportement plutôt instable.

« J’attire vraiment votre attention sur ces deux comportements qui sont différents et qu’il faut garder en tête. »

Vérification MATLAB : condition initiale $-0,1$ → on observe bien l’éloignement (cobweb). ([01:33:24] « Ok, 16 h, heure de l’apéro » — fin de la parenthèse MATLAB.)

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PARTIE 5 — Exercice 3 : orbites de période 2 de $f(x)=2x^2-5x$ — [01:34:34]

19. Méthode : commencer par éliminer les points fixes — [01:35:05]–[01:36:39]

« Le point de période 2, votre avis, qu’est-ce qu’il est intelligent de faire ? Il faut d’abord trouver les points fixes… puisque les points fixes sont solutions de $f^2(x)=x$ mais pas pertinents pour les vraies orbites de période 2. Si vous calculez tout en même temps, comment savoir si ce que vous avez obtenu est un point fixe ou vraiment un point de l’orbite ? »

Points fixes : $f(x)=x⟺2x^2-5x=x⟺2x^2-6x=0⟺2x(x-3)=0$ → $x=0$ ou $x=3$.

20. Résolution de $f^2(x)=x$ — [01:37:51]–[01:45:13]

$$f^2(x)=f(f(x))=2(2x^2-5x{)}^2-5(2x^2-5x).$$

Après développement et en soustrayant $x$ (équation $f^2(x)=x$) :

$$f^2(x)-x=8x^4-40x^3+40x^2+24x=0.$$

1. Mettre $x$ en évidence : $x(8x^3-40x^2+40x+24)=0$ → $x=0$ (point fixe).
2. On sait que $x=3$ est racine du polynôme → « on peut factoriser en utilisant 3 comme racine » (schéma de Horner) :

$$8x^3-40x^2+40x+24=(x-3)(8x^2-16x-8).$$

3. Résoudre $8x^2-16x-8=0$ : $\Delta =(-16{)}^2-4(8)(-8)=256+256=512=2\cdot 256$, donc

$$x=\frac{16\pm \sqrt{512}}{16}=\frac{16\pm 16\sqrt{2}}{16}=1\pm \sqrt{2}.$$

4. Rejeter les points fixes $x=0$ et $x=3$ : il reste deux points pour une seule orbite de période 2 :

$$\text{orbite : }\{1+\sqrt{2},1-\sqrt{2}\}.$$

[01:43:25] « On a bien obtenu deux points pour une seule orbite de période 2, donc fatalement ces deux points sont sur la même orbite. S’ils étaient sur deux orbites différentes, j’aurais dû retrouver deux autres. »

Apairer les points (règle générale, [01:49:22]) : si on trouve $2p$ points solutions de $f^p(x)=x$ (les $p$ points fixes écartés), il faut apairer ceux qui sont sur la même orbite en appliquant $f$ : calculer $f$ d’un premier point et retrouver le deuxième point dans la liste. (Ici, seulement 2 points non fixes → une seule orbite.)

21. Stabilité de l’orbite — [01:45:13]–[01:47:30]

$$f^{\prime }(x)=4x-5.$$

Aux points de l’orbite :

$$f^{\prime }(1+\sqrt{2})=4+4\sqrt{2}-5=-1+4\sqrt{2},f^{\prime }(1-\sqrt{2})=-1-4\sqrt{2}.$$

Produit (identité remarquable $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$) :

$$f^{\prime }(1+\sqrt{2})f^{\prime }(1-\sqrt{2})=(-1+4\sqrt{2})(-1-4\sqrt{2})=1-16\cdot 2=-31.$$ $$|f^{\prime }(x_1)f^{\prime }(x_2)|=31>1⟹\text{l’orbite est instable}.$$

Vérification MATLAB : condition initiale proche de l’orbite (par ex. $x_0=p_1\pm 0,1$) → on observe bien l’éloignement (instabilité).

22. Le point clé — [01:49:07]–[01:50:00]

« Le point clé, c’était surtout de penser à factoriser par les points d’équilibre. Une fois qu’on a factorisé par les points d’équilibre, on trouve deux solutions. Étant donné qu’on n’a que deux points, ces deux points sont fatalement sur la même orbite. »

Rappel de méthode si plus d’orbites possibles : une fois les $2p$ points obtenus, apairer ceux qui partagent la même orbite en appliquant $f$ à un premier point.

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Points clés

• Système 1D discret : $x_{n+1}=f(x_n)$ ; l’orbite est fixée par $x_0$.
• Point fixe : $f(x^{\ast })=x^{\ast }$ ; stable si $|f^{\prime }(x^{\ast })|<1$, instable si $>1$, inconclusif si $=1$.
• Orbite de période $p$ : $f^p(x^{\ast })=x^{\ast }$ ($p$ minimal) ; $p$ points exactement ; stable si $|\prod f^{\prime }(x_i)|<1$.
• $f(x)=ax+b$ : $a\ne 1$ → un point fixe $b/(1-a)$ ; $a=1,b=0$ → infinité ; $a=1,b\ne 0$ → aucun ; $a=-1$ → une infinité d’orbites de période 2 ($\{x_0,-x_0+b\}$).
• Lorsque $|f^{\prime }|=1$, le critère ne tranche pas : on distingue (i) rester borné (exo 1, $a=1$ — presque stable), (ii) diverger d’un côté (exo 2, $x-x^2$) → instable.
• Diagramme de Cobweb : courbe $y=f(x)$ + bissectrice $y=x$ ; itérer « monter sur la courbe, reporter sur la bissectrice » ; intersections = points fixes ; converge ↔ stable, diverge ↔ instable, boucle fermée ↔ orbite périodique.
• Orbites de période 2 : toujours factoriser par les points fixes d’abord, puis apairer les points de la même orbite.

Doutes / à vérifier

• Fragment ASR reconstitué du code MATLAB (section 14) : les commandes exactes du code WebCampus peuvent différer légèrement (lignes line/input/linspace reconstruites d’après les explications orales du prof).
• Exercice 3 : le développement $f^2(x)-x=8x^4-40x^3+40x^2+24x$ a été vérifié par recalcul ; la factorisation par $x=3$ et les racines $1\pm \sqrt{2}$ également. La valeur $-31$ du produit des dérivées est confirmée.
• L’« apairage » des points d’une orbite de période 2 (section 20) : la méthode générale avec $f$ appliquée à un premier point est indiquée par le prof, sans exemple chiffré supplémentaire.