Modélisation - Cours 5

Modélisation — Cours 5 : stabilité de l’équilibre et classification (multidimensionnel)

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Couverture : de 00:00:00 à 02:01:44 sur un audio de 02:01:44 (2 h 02). Le cours passe aux systèmes dynamiques multidimensionnels et à l’étude analytique de la stabilité de l’équilibre : linéarisation (matrice jacobienne), théorème de Hartman–Grobman, critères de stabilité en temps continu (partie réelle des valeurs propres $<0$) et discret (module $<1$), classification des équilibres (nœud, foyer, point de selle, étoile, nœud dégénéré, centre), le tout appliqué au modèle SIR avec immunité temporaire et au modèle de compétition (bassins d’attraction, variétés stables, séparatrices). Pause (~01:08 → 01:23, entrecoupée d’une discussion hors-sujet sur WebCampus).

Support : Notes_modelisation.pdf §5 ; slides fournies sur le corpus. ⚠️ Les traductions d’expressions par l’ASR sont approximatives (« équation de l’hôpital » → équation/compétition de type Lotka–Volterra ; « Hartmann-Romann / Barre-Mancroche » → Hartman–Grobman ; « théorème d’Avam et d’Ista » → théorème de la variété stable). Le code des équations des exemples est reconstruit d’après le cours (voir Doutes).

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PARTIE 1 — Cadre multidimensionnel et rappels — [00:00:00]

1. Portrait de phase en dimension $n$ — [00:00:00]–[00:02:21]

On continue l’étude des systèmes dynamiques (vue au Modélisation - Cours 2), désormais à plusieurs dimensions, en se focalisant toujours sur l’équilibre.

• Portrait de phase : espace d’autant de dimensions que de variables du système ($n$ variables → ${\mathbb{R}}^n$).
• Exemple du pendule sphérique : 4 variables → on ne peut en tracer que 3 (« on en choisit trois parmi les quatre »), mais cela donne une représentation géométrique des trajectoires, plus lisible que la solution $x(t)$ seule.

2. Point d’équilibre et isoclines — [00:00]–[00:02:21]

• Point d’équilibre : point où le champ de vecteurs $f$ s’annule.
  • En temps continu : toutes les composantes du champ $f$ s’annulent : $f(x^{\ast })=0$.
  • En temps discret : $f(x^{\ast })=x^{\ast }$ (si on applique l’application, on retombe sur le point).
• Isoclines : cas particulier d’équilibre (en temps continu) — annulation d’une seule composante du champ de vecteurs ; l’intersection des isoclines donne les points d’équilibre. En 2D, cela permet de visualiser géométriquement le comportement des trajectoires et de deviner si un équilibre est stable.

3. D’où vient le critère de stabilité ? — l’idée de linéarisation — [00:02:21]–[00:04:11]

Rappel (1D) : la stabilité reposait sur $f^{\prime }$ évalué à l’équilibre ($<0$ en continu ; $|f^{\prime }|<1$ en discret). « Mathématiquement, ça venait d’où ? »

• La dynamique $\dot{x}=f(x)$ est non linéaire. On effectue un développement de Taylor d’ordre 1 autour de l’équilibre : on linéarise.
• En plusieurs dimensions, on fait exactement la même chose : perturbation autour de l’équilibre, puis on extrait le critère de stabilité de la linéarisation.

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PARTIE 2 — Linéarisation en dimension $n$ — [00:04:11]

4. Perturbation et développement de Taylor — [00:04:11]–[00:06:42]

On considère une petite perturbation autour de l’équilibre $x^{\ast }$. Comme l’équilibre a $n$ composantes, la perturbation a aussi $n$ composantes : $\Delta x$.

En linéarisant (on néglige les termes d’ordre $>1$) :

• Temps continu : $\dot{\Delta x}=J\Delta x$, où $J$ est la matrice jacobienne de $f$ évaluée en $x^{\ast }$ :

$$\dot{\Delta x}=J(x^{\ast })\Delta x.$$

• Temps discret : $\Delta x_{n+1}=J(x^{\ast })\Delta x_n$ (« la matrice jacobienne montre comment évolue une perturbation entre le temps $n$ et $n+1$ »).

Notation : on écrit souvent $\dot{z}=Jz$ avec $z=\Delta x$ (la perturbation joue le rôle de $z$).

5. La matrice jacobienne — [00:06:42]–[00:08:58]

$$J(x^{\ast })={\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ ⋮& & ⋮\\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n}\end{array}\right)}_{x=x^{\ast }}.$$

• « Un gradient de $f$ tout seul n’a pas de sens, mais sur chaque ligne on met le gradient de chaque composante » → la matrice jacobienne.
• Pourquoi linéariser ? Un système linéaire, on sait le résoudre (sa solution est une exponentielle) — voir ci-dessous.

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PARTIE 3 — Théorème de Hartman–Grobman — [00:08:58]

6. Énoncé — [00:08:58]–[00:12:27]

Théorème (Hartman–Grobman). Soit le système $\dot{x}=f(x)$, avec le champ de vecteurs $f$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ (détail technique), et un équilibre $x^{\ast }$ ($f(x^{\ast })=0$). Si toutes les valeurs propres de la matrice jacobienne $J(x^{\ast })$ ont une partie réelle non nulle (aucune sur l’axe imaginaire), alors il existe un voisinage de l’équilibre sur lequel le comportement est « quasi-linéaire » : il existe un homéomorphisme $H$ entre un voisinage de $x^{\ast }$ et un voisinage de $0$, envoyant $x^{\ast }$ sur $0$, qui transforme les solutions du système non linéaire en solutions du système linéaire

$$H(x(t))=e^{Jt}H(x_0).$$

7. Interprétation : changement de variable $z=H(x)$ — [00:12:27]–[00:15:35]

• $H$ est un changement de variable (application continue, bijective, d’inverse continu) : si l’on envoie $x_0\mapsto H(x_0)$ et la trajectoire $x(t)\mapsto H(x(t))$, alors la nouvelle trajectoire est

$$H(x(t))=e^{Jt}H(x_0),$$

c’est-à-dire la solution d’un système désormais linéaire $z(t)=e^{Jt}{z}_0$.

• « Le système non linéaire devient un système linéaire », avec simplement la jacobienne comme matrice.
• Limitation : c’est très local (on parle de voisinage) et l’on a négligé les termes d’ordre $>1$, donc la perturbation $z=\Delta x$ doit être très petite.

8. Exemple : le pendule plan — [00:15:35]–[00:18:18]

Retour au pendule dans le plan (cours 1, équation simple, pas sphérique). Équilibre en $0$. On linéarise : la dérivée par rapport à $x_2$ de la composante « vitesse » donne $\cos x_1$, évalué en $0$ → $1$ ; on retrouve une équation de type ressort amorti / circuit RLC. En traçant la trajectoire exacte (bleu) et linéarisée, elles coïncident au voisinage de l’équilibre → cohérence du théorème.

9. Limitation : la réaction chimique (jacobienne nulle) — [00:18:18]–[00:20:03]

En reprenant la réaction chimique (cours 2) : pas de terme linéaire, la jacobienne vaut $0$ → les valeurs propres sont sur l’axe imaginaire. Le théorème ne s’applique pas ; la linéarisation qui dit « rien ne bouge » n’est pas nécessairement ce qui se passe localement. → Cas d’indétermination (à revoir la semaine suivante).

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PARTIE 4 — Critères de stabilité (temps continu puis discret) — [00:20:03]

10. Temps continu : $\mathrm{Re}({\lambda }_i)<0$ — [00:20:03]–[00:30:47]

On étudie le système linéarisé $\dot{z}=Jz$ (où $J=Df(x^{\ast })$), condition initiale $z_0$. Solution : exponentielle matricielle

$$z(t)=e^{Jt}{z}_0.$$

Évaluation de l’exponentielle matricielle par diagonalisation : si $J=V\Lambda V^{-1}$ (avec $\Lambda =\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$),

$$e^{Jt}=V{e}^{\Lambda t}{V}^{-1},e^{\Lambda t}=\mathrm{diag}(e^{{\lambda }_{1}t},\dots ,e^{{\lambda }_{n}t}),$$ $$z(t)=V\mathrm{diag}(e^{{\lambda }_{1}t},\dots )V^{-1}{z}_0=\sum _{i=1}^n{c}_i{e}^{{\lambda }_{i}t}{v}_i,$$

où les $c_i$ sont les composantes de $z_0$ dans la base des vecteurs propres $v_i$.

• ${\lambda }_i$ est complexe en général : $e^{{\lambda }_{i}t}=e^{\mathrm{Re}({\lambda }_i)t}{e}^{\mathrm{i}\mathrm{Im}({\lambda }_i)t}$. C’est la partie réelle qui gouverne la décroissance (la partie imaginaire donne une oscillation, un sinus).
• Stable ($z(t)\to 0$) $⟺$ $\mathrm{Re}({\lambda }_i)<0$ pour tout $i$.
• Instable ($\Vert z\Vert \to \infty$) $⟺$ il existe $i$ tel que $\mathrm{Re}({\lambda }_i)>0$ (une seule valeur propre à partie réelle positive suffit).
• Il suffit qu’une partie réelle soit positive → explosion.

11. Cas limite et équilibre hyperbolique — [00:30:47]–[00:40:40]

• Si une valeur propre a sa partie réelle nulle ($\mathrm{Re}({\lambda }_i)=0$), on ne peut rien conclure pour le système non linéaire : le premier ordre « ne joue pas assez » (il est entre stable et instable) → il faudrait aller à l’ordre 2.
• Pour le système linéaire seul, une valeur propre sur l’axe imaginaire donnerait un centre (ni stable ni instable) — mais le théorème de Hartman–Grobman interdit de conclure pour le système de départ dans ce cas.
• Équilibre hyperbolique : équilibre dont toutes les valeurs propres de $J(x^{\ast })$ ont une partie réelle non nulle (c’est le cas où le théorème s’applique).

Cet exemple du fichier de compétences (jacobienne $=0$) est l’analogue en $n$ dimensions du cas 1D $f^{\prime }(x^{\ast })=0$.

12. Temps discret : $|{\lambda }_i|<1$ — [00:40:40]–[00:46:04]

Même démarche en temps discret : $\Delta x_{n+1}=J(x^{\ast })\Delta x_n$ ; le théorème de Hartman–Grobman reste valable en temps discret.

$$z_n=J^n{z}_0=V{\Lambda }^n{V}^{-1}{z}_0=\sum _i{c}_i{\lambda }_i^n{v}_i.$$

• Stable $⟺$ $|{\lambda }_i|<1$ pour tout $i$ (valeurs propres à l’intérieur du cercle unité).
• Instable $⟺$ il existe $i$ avec $|{\lambda }_i|>1$ (hors du cercle unité → explosion).
• $|{\lambda }_i|=1$ (sur le cercle unité) : on ne peut rien conclure.

En résumé : en continu, c’est le demi-plan complexe de gauche (à gauche de l’axe imaginaire) qui compte ; en discret, c’est l’intérieur du cercle unité. Dans les deux cas, le bord (axe imaginaire / cercle unité) = indétermination.

13. Retour à $n=1$ : cohérence des critères — [00:46:04]–[00:47:58]

En dimension 1, $J=[f^{\prime }(x^{\ast })]$ : l’unique valeur propre est ${\lambda }_1=f^{\prime }(x^{\ast })$.

• Continu : $\mathrm{Re}({\lambda }_1)<0⟺f^{\prime }(x^{\ast })<0$.
• Discret : $|{\lambda }_1|<1⟺|f^{\prime }(x^{\ast })|<1$.

→ On retrouve bien les critères 1D : le critère général s’applique aussi pour $n=1$.

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PARTIE 5 — Exemple : modèle SIR modifié (immunité temporaire) — [00:50:04]

14. Le modèle et la quantité conservée — [00:50:04]–[00:56]

Modèle épidémiologique SIR modifié (les compartiments du cours 2) : Susceptibles, Infectés, Rétablis, avec

• infection $S\to I$ à taux $\beta$,
• guérison $I\to R$ à taux $\gamma$,
• perte d’immunité $R\to S$ à taux $\nu$ (nouveauté « modifiée »).

Équations (temps discret) :

$$S_{n+1}=S_n-\beta S_n{I}_n+\nu R_n,I_{n+1}=I_n+\beta S_n{I}_n-\gamma I_n,R_{n+1}=R_n+\gamma I_n-\nu R_n.$$

• Population en circuit fermé : à chaque transfert positif correspond un transfert négatif ailleurs, d’où $S+I+R=N$ (quantité conservée).
• Conséquence : on peut exprimer une variable en fonction des deux autres et réduire la dimension — « un truc qu’on fera couramment dès qu’on a ce genre de quantité conservée ». Le portrait de phase 3D se réduit donc à un plan.
• Choix arbitraire : substituer $R=N-S-I$, ne garder que $S$ et $I$ dans les deux équations.
• Paramètres : $\beta ,\gamma ,\nu >0$, tous $<1$ (ce sont des fractions de population transférées).

15. Analyse de stabilité et seuil $R_0=\beta /\gamma$ — [00:57:09]–[01:08:18]

Deux équilibres :

• équilibre sans maladie (« deux équilibres infectés » = sans infection) : $S^{\ast }=N$, $I^{\ast }=0$ ;
• équilibre endémique : la maladie persiste ($I^{\ast }\ne 0$), expression plus compliquée.

Calcul de la jacobienne en $S^{\ast }=N$, $I^{\ast }=0$ ; les valeurs propres sont réelles et l’on impose qu’elles soient strictement négatives.

• L’équilibre sans maladie est stable tant que $\gamma >\beta$, c’est-à-dire

$$\boxed{R_0=\frac{\beta }{\gamma }<1}.$$

« $\beta /\gamma$, c’est le fameux taux de reproduction $R_0$ » : il doit être $<1$ pour que la maladie s’éteigne.

• Quand $\beta >\gamma$ (i.e. $R_0>1$), l’équilibre sans maladie devient instable et l’équilibre endémique devient stable (situation endémique). C’est une bifurcation du même type que l’équation logistique (équilibre qui existait en négatif et devient réaliste/stable) — voir §4.2 des notes.

⚠️ Les expressions exactes de $S^{\ast }$ et $I^{\ast }$ de l’équilibre endémique et certains coefficients sont partiellement brouillés dans l’audio (voir Doutes).

Pause — [01:08:18]–[01:23:02]

Pause (« on reprend vers 7 »), suivie d’une discussion hors-sujet (problème de connexion au compte WebCampus / Wi-Fi de l’UNamur ; renvoi au secrétariat). Aucun contenu de cours.

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PARTIE 6 — Classification des équilibres (comportement du linéarisé) — [01:23:02]

Récapitulatif d’ouverture ([01:23:02] ) : la stabilité du système non linéaire localement = celle du linéarisé. On va maintenant caractériser plus finement le type de dynamique du linéarisé, qui correspond localement au non linéaire.

16. Nœud (valeurs propres réelles) — [01:26:38]–[01:28:16]

Valeurs propres réelles (stable ou instable) → nœud (node).

• Les trajectoires convergent (ou divergent) en suivant les directions des vecteurs propres.
• On se rapproche d’abord de la direction « lente » : le vecteur propre associé à la valeur propre la plus proche de l’axe imaginaire (en continu), qui donne l’exponentielle la moins décroissante ; la direction de la valeur propre la plus décroissante est « vite » atteinte.
• En temps discret : le rôle de l’axe imaginaire est joué par le cercle unité (valeur propre la plus proche du cercle = plus lente).

17. Foyer (valeurs propres complexes) — [01:28:16]–[01:29:31]

Valeurs propres complexes (partie imaginaire $\ne 0$) → foyer (focus, spirale).

• La partie réelle décroît (stabilité), la partie imaginaire donne une oscillation : les trajectoires tournent autour de l’équilibre.
• Foyer stable : spirale convergente ; foyer instable : spirale divergente.

18. Point de selle (une direction stable, une instable) — [01:29:31]–[01:34:46]

Une valeur propre stable et une instable → point de selle (saddle), toujours instable (il suffit d’une valeur propre à partie réelle positive).

• La solution $z(t)=c_1{e}^{{\lambda }_{1}t}{v}_1+c_2{e}^{{\lambda }_{2}t}{v}_2$ : un terme $\to 0$ (direction stable), l’autre $\to \infty$ (direction instable).
• Les trajectoires s’approchent puis repartent le long de la direction instable — on n’atteint jamais l’équilibre (sauf condition initiale exactement sur la variété stable).

Mélanges en 3D : on peut combiner, p.ex. deux valeurs propres complexes (tourbillon) + une réelle ; ou un point de selle « tourbillonnant » (paire complexe + réelle de signe opposé).

19. Cas particuliers : étoile, nœud dégénéré, centre, ligne d’équilibres — [01:34:46]–[01:38:04]

• Valeurs propres égales :
  • deux vecteurs propres distincts → étoile (star node) : même vitesse de convergence dans toutes les directions (contrairement au nœud, où l’on suit la direction lente) ;
  • un seul vecteur propre (multiplicité algébrique $\ne$ géométrique) → nœud dégénéré : la solution n’est plus une simple somme d’exponentielles mais fait apparaître des $t^k{e}^{\lambda t}$ (comportement « en spirale » dégénérée), $k$ selon l’écart des multiplicités.
• Centre : valeurs propres sur l’axe imaginaire (continu) ou sur le cercle unité (discret) → le système linéaire ne s’éloigne ni ne se rapproche : trajectoires sur des ellipses, infinité d’orbites périodiques (période fixée par la partie imaginaire). ⚠️ Pour le non linéaire, on ne peut rien conclure (Hartman–Grobman).
• Valeur propre nulle (continu) / égale à 1 (discret) : ligne d’équilibres (infinité d’équilibres le long d’une droite), cas très spécifique.

20. Classification trace / déterminant (mention) — [01:38:04]–[01:39:34]

Juste pour information : en 2D, avec ${\lambda }_1,{\lambda }_2$,

$${\lambda }_1+{\lambda }_2=\mathrm{tr}(J),{\lambda }_1{\lambda }_2=\det (J).$$

On peut donc situer le type d’équilibre dans un diagramme (trace, déterminant) sans calculer les valeurs propres (ex. $\det <0$ → point de selle). Le prof préfère néanmoins calculer les valeurs propres.

21. Le point de selle en détail : modèle de compétition — [01:39:34]–[01:46:12]

Retour à l’équation de compétition entre deux espèces (type Lotka–Volterra ; expression vue au cours précédent). On s’intéresse à l’équilibre de coexistence $x^{\ast }$ (central).

• Pour certains paramètres, $x^{\ast }$ est un point de selle, instable. On a alors deux directions : une stable, une instable. Les deux autres équilibres $(1,0)$ et $(0,1)$ (extinction d’une espèce) sont stables.
• Cas d’une compétition trop forte (transcription : « $B>A$ et $D>C$ ») : les deux espèces ne peuvent pas coexister → la coexistence devient un point de selle « que l’on évite ». On a bien l’extinction d’une espèce, cohérent avec le cours précédent.
• Enjeu : prédire, selon la condition initiale (populations de départ), vers quel équilibre on converge → quelle espèce s’éteint.
• Cela revient à caractériser le bassin d’attraction de chaque équilibre.

Bassin d’attraction — [01:45]

Le bassin d’attraction associé à $x^{\ast }$ est l’ensemble des conditions initiales dont la trajectoire converge vers $x^{\ast }$. Le point de selle a tendance à séparer les deux bassins : on s’en approche, puis on part à gauche ou à droite.

22. Théorème de la variété stable — [01:46:12]–[01:53:23]

Théorème (variété stable / instable). Pour un système dynamique d’équilibre $x^{\ast }$ dont les valeurs propres ne sont pas sur l’axe imaginaire, il existe deux variétés (uniques) tangentes en $x^{\ast }$ au sous-espace des directions stables et à celui des directions instables. On les appelle la variété stable et la variété instable.

• Variété stable : ensemble des conditions initiales qui convergent vers $x^{\ast }$ ($t\to +\infty$). ⚠️ Sa définition coïncide avec celle du bassin d’attraction : « le bassin d’attraction de $x^{\ast }$, c’est sa variété stable ».
• Variété instable : ensemble des conditions initiales qui convergent vers $x^{\ast }$ en temps inverse ($t\to -\infty$) — un peu « l’inverse » de la variété stable.
• Exemple concret : le pendule inversé (en position verticale haute) est un point de selle ; on peut y arriver « pile poil » avec la bonne vitesse initiale, mais c’est un événement de probabilité nulle.

23. Tracer la variété stable : le temps inverse — [01:53:23]–[01:57:43]

• Difficulté : la variété stable (la séparatrice) est difficile à tracer — si on n’est pas exactement dessus, on diverge.
• Astuce : la variété instable est facile à obtenir (en temps direct, depuis l’équilibre on est poussé le long de la direction instable). Pour la variété stable, on intègre en temps inverse :

$$\dot{x}=-f(x)\text{(au lieu de }\dot{x}=f(x)\text{)}.$$

En temps inverse, stable et instable s’échangent : depuis un point proche de l’équilibre, on converge vers la variété stable, qu’on peut donc tracer.

• ⚠️ En non linéaire, ces variétés ne sont pas des droites : ce sont des courbes (en 2D), tangentes aux vecteurs propres.

24. Séparatrice et bassins d’attraction — [01:57:43]–[02:01:08]

• La variété stable du point de selle est la séparatrice entre les deux bassins d’attraction.
• Elle est tangente aux vecteurs propres de la matrice jacobienne (illustration à l’écran : variété instable en $\pm 1$, variété stable = séparatrice).
• Application : deux conditions initiales très proches mais de part et d’autre de la séparatrice convergent vers des équilibres différents (exemple d’un ressort non linéaire ramené à un système d’état 2D {vitesse, position}).
• Pour le fun : certains « tricotent » la variété stable d’un modèle de Lorenz (trace tricotée) — calcul des variétés stables très compliqué en grande dimension.

25. Annonce : fonctions de Lyapunov — [02:01:08]

« La semaine prochaine, on continuera pour déterminer les bassins d’attraction. Calculer la variété stable devient difficile en grande dimension (on n’obtient que des courbes, pas des surfaces de dimension suffisante) ; on utilisera donc des méthodes analytiques, les fonctions de Lyapunov. »

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Points clés

• Linéarisation : perturbation $z=\Delta x$ autour de $x^{\ast }$, développement de Taylor d’ordre 1 → $\dot{z}=J(x^{\ast })z$ (continu) ou $z_{n+1}=J(x^{\ast })z_n$ (discret), $J$ = jacobienne.
• Hartman–Grobman : si les valeurs propres de $J(x^{\ast })$ ne sont pas sur l’axe imaginaire, le système non linéaire est localement conjugué (via un homéomorphisme $H$) à son linéarisé.
• Critère continu : stable $⟺$ $\mathrm{Re}({\lambda }_i)<0$ pour tout $i$ ; instable s’il existe $\mathrm{Re}({\lambda }_i)>0$. Hyperbolique = aucune partie réelle nulle.
• Critère discret : stable $⟺$ $|{\lambda }_i|<1$ pour tout $i$ (cercle unité).
• Bord = indétermination : axe imaginaire (continu) / cercle unité (discret) → rien ne peut être conclu (centre pour le linéaire).
• Types 2D : nœud (réel), foyer/spirale (complexe), point de selle (signes opposés), étoile (λ égales, 2 vecteurs propres), nœud dégénéré (1 vecteur propre), centre (axe imaginaire).
• Équilibre stable instable : il suffit d’une valeur propre « instable ».
• Modèle SIR modifié : seuil $R_0=\beta /\gamma$ ; sans maladie stable si $R_0<1$, endémique si $R_0>1$ (bifurcation).
• Point de selle ↔ bassins d’attraction : la variété stable du point de selle est la séparatrice entre les bassins ; on la trace en temps inverse ($\dot{x}=-f(x)$).
• Prochaine séance : fonctions de Lyapunov pour les bassins d’attraction.

Doutes / à vérifier

• ⚠️ Équations des exemples (SIR modifié, modèle de compétition) reconstruites d’après le cours mais partiellement brouillées dans l’audio : vérifier dans Notes_modelisation.pdf §5.
• Noms propres (transcriptions ASR à corriger) : « Hartmann-Romann / Barre-Mancroche » → Hartman–Grobman ; « théorème d’Avam et d’Ista » → théorème de la variété stable ; « équation de l’hôpital » → équation de compétition (Lotka–Volterra) ; « M. Carelli/Carletti » → le collègue enseignant les EDO.
• Condition de point de selle du modèle de compétition : « $B>A$ et $D>C$ » (valeurs des paramètres selon la transcription) — à confronter aux notations du syllabus.