EDO - Cours 2

EDO — Cours 2 : équations différentielles, problème de Cauchy et théorème de Picard

⚠️ Numeración : c’est la 2ᵉ séance du cours (audio EDO - 2.m4a). À l’origine le fichier s’appelait EDO - 1.m4a et la note EDO - Cours 1.md ; la numérotation des audios a été rectifiée le 2026-09-30 (la séance 1 n’a pas été suivie, donc pas d’audio). Cette note et le fichier audio portent désormais le même numéro.

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Couverture : de 00:00:00 à 01:50:13 sur un audio de 01:50:20 — couverture intégrale, aucun trou. 1532 segments, 11 709 mots.

Contenu de la séance : c’est la 2ᵉ séance du cours (la 1ʳᵉ, où les équations différentielles ont été définies, n’est pas enregistrée : elle n’a pas été suivie) : le prof commence par un rappel de la définition d’équation différentielle en forme normale, démontre l’équivalence « ordre $N$ scalaire ⟺ ordre 1 vectoriel », rappelle la définition de solution et le problème de Cauchy, énonce le théorème de Picard (sans encore le démontrer), passe un long moment à l’inventaire des classes de fonctions (Lipschitz / continues / $C^1$) avec leurs démonstrations, puis entame la démonstration de Picard par la réduction à un problème de point fixe, et démontre le théorème de la contraction de Banach. Il s’interrompt volontairement avant la fin (« ça, qu’on fait ça la fois prochaine ») et termine par un quiz au QR-code sur l’ordre / l’autonomie / la forme normale.

📄 Support écrit disponible : Chapitre1 - Sylabus.pdf (10 p., version septembre 2022) et Chapitre1 - Slides.pdf (6 diapos) sont présents dans le même dossier. La section 25 confronte systématiquement la transcription à ces deux documents ; les points qui en découlent sont signalés ici par un ✅.

⚠️ Ce qui reste non récupérable : les équations du quiz final (01:32 → 01:47) étaient affichées à l’écran via un QR-code / vote interactif et ne figurent ni dans le syllabus ni dans les slides → voir Doutes / à vérifier.

⚠️ Zone audio contaminée — 00:47:53 → 00:52:12 : pendant la pause de 5 min annoncée, l’enregistrement capte une rediffusion télévisuelle (« Sous-titrage ST’ 501 » = chaîne de sous-titrage RTBF) et non le cours. Aucun contenu mathématique n’y est perdu. Voir section 15.

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1. Ouverture et rappel de la séance précédente — [00:00]

• « Je vous rappelle qu’on a un cours demain, je vous l’ai rappelé la semaine passée. »
• « Ok, donc la fois passée, nous avons défini les équations différentielles. »
• Le prof écrit au tableau l’équation générique en forme normale, avec $N$ dérivées :

$$u^{(N)}=g(t,u,u^{\prime },\dots ,u^{(N-1)}).$$

• Il relit la structure à voix haute : « et donc avec l’énoncé du tableau, $f$ est une fonction connue ».
• « et on la cherche telle qu’elle soit dérivable $N$ fois » — donc $u$ est censée être $N$ fois dérivable.
• « comme c’est une fonction qui dépend de $t$, et il y a une certaine fonctionnelle que j’appelle $g$, qui dépend du temps, de la fonction elle-même, de la dérivée 1ère, jusqu’à la dérivée $N$-1ère ».
• « Donc $g$, c’est une application qui dépend du temps, de la fonction, [et de] toutes ses dérivées jusqu’à la $N$-1ère, et vous donne une nouvelle fonction qui est donc la dérivée $N$-ième. »
• Précision sur la forme normale : « c’est-à-dire que vous avez su mettre en évidence la dérivée la plus grande, la dérivée $N$-ième, et tous les restes [à droite] ».
  • ⚠️ C’est la définition même de la forme normale que le prof réutilise tout au long du quiz final (« la forme normale, c’est que vous pouvez isoler la dérivée la plus grande »).

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2. Le champ de départ : scalaire, puis vectoriel — [00:01:26 → 00:03:39]

• « Cette fonction $f$ est une fonction qui va dans l’intervalle $[a,b]$, par exemple ici, $f$ va dans $\mathbb{R}$ : c’est une fonction scalaire. »
• « On peut montrer que toute équation différentielle d’ordre $N$ a une forme normale scalaire. » — « Scalaire, parce que la fonction [à sought] est un nombre, c’est un scalaire. »
• « Elle est équivalente à une équation différentielle d’ordre 1 vectorielle. »
  • « tout ça est équivalent à étudier l’équation $u^{\prime }(t)=$ […] »
  • Cette fois $u$ est une application « qui va à nouveau dans l’intervalle de $\mathbb{R}$, mais à valeurs dans ${\mathbb{R}}^N$ : donc c’est un vecteur ».
  • « donc ici vous avez la dérivée première, donc c’est une équation d’ordre 1, toujours en forme normale, parce qu’ici il y a la dérivée et ici il n’y a pas [d’autre dérivée] ».
• « Donc, étudier une équation à $N$ dérivées, c’est la même chose qu’étudier une équation à une seule dérivée, mais [pour] $N$ fonctions, parce qu’on a un vecteur à $N$ composantes. »

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3. Démonstration : l’équivalence « ordre $N$ scalaire ⟺ ordre 1 vectoriel » — [00:03:39 → 00:06:35]

• Question du prof : « Alors, comment on démontre cet équivalent ? »
• « Alors on va définir le vecteur $U$, qui est donc à $N$ composantes, et ces $N$ composantes sont les suivantes : »

$$U=(u_1,u_2,\dots ,u_N),\underset{\text{fonction inconnue}}{\underbrace{u_1=f}},\underset{\text{deˊriveˊe 1eˋre}}{\underbrace{u_2=f^{\prime }}},\underset{\text{deˊriveˊe 2eˋme}}{\underbrace{u_3=f^{\prime \prime }}},\dots ,\underset{\text{deˊriveˊe }(N-1)\text{eˋme}}{\underbrace{u_N=f^{(N-1)}}}.$$

• « Et donc, vous voyez, il y a un décalage d’un entre la composante et la dérivée. » ⚠️ Point de vigilance : c’est l’origine du $-1$ dans $u_N=f^{(N-1)}$.

• Dérivation du vecteur : « si on dérive le vecteur $U$ […] la dérivée d’un vecteur, c’est le vecteur qui a comme composantes les dérivées des composantes » :

$$U^{\prime }=(u_1^{\prime },u_2^{\prime },\dots ,u_N^{\prime })=(f^{\prime },f^{\prime \prime },\dots ,f^{(N)}).$$

• « Puisque $u_1=f$, la dérivée de $f$ c’est $f^{\prime }$, et donc ça c’est $u_2$. »

• « *la dérivée de $u_2$ […] c’est $f^{\prime \prime }$, et ainsi de suite, jusqu’à la dérivée de $u_N$ qui est $f^{(N)}$ *» — puis « Et le [dernier] des $N$, c’est $f^{(N)}$. Très bien. » ⚠️ « les dégâts des $N$ » = « le dernier des $N$ » (cochonnet) ; à noter que l’énoncé de cette étape est incohérent avec la définition de $U$ : le dernier terme est $u_N=f^{(N-1)}$, pas $f^{(N)}$. Le décalage est justement ce que le prof souligne juste après.

• « Mais $f^{\prime }$ c’est $u_2$, $f^{\prime \prime }$ c’est $u_3$, et ainsi de suite, jusqu’à $f^{(N)}$. »

• Le membre de droite devient lui aussi une fonction vectorielle : « Et si on va lire ici, c’est la fonction $g$, qui dépend des $t$, $f$ et ses dérivées. Donc c’est une fonction $g$, qui dépend des $t$, $f$ c’est $u_1$, $f^{\prime }$ c’est $u_2$, jusqu’à la dérivée $N-1$ [qui] c’est $u_N$. »

  • « Et donc tout ça, vous voyez, c’est une fonction vectorielle qui, au vecteur $U$ et $T$, donne un nouveau vecteur, une nouvelle fonction que je vais appeler $H$. »

$$\boxed{u^{\prime }=H(t,u),H:I\times {\mathbb{R}}^N⟶{\mathbb{R}}^N}$$

• Conclusion : « Et donc j’ai prouvé qu’avec ce changement de variable, on sait mettre toute équation d’ordre $N$, qui est cachée là-dedans, dans une équation d’ordre 1. »
• « Et c’est fait : si vous faites le contraire, si je vous donne une équation d’ordre 1 vectorielle, vous reconstruisez l’équation d’ordre $N$ scalaire indépendamment de $y$ [= « et cie »]. »

⚠️ Interprétation : « indépendamment de la vie » est un cochenet ; le sens est « indépendamment de la méthode » (« on le fait à la main, sans méthode »), c’est-à-dire en remontant le vecteur composante par composante.

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4. Plan du cours : pourquoi l’ordre 1 — [00:06:35 → 00:07:19]

• « *On sait tout cela que dans la plupart du cours, on va étudier les équations différentielles de l’ordre 1. Et donc tous les résultats qu’on va donner sont pour les équations différentielles de l’ordre 1 — donc le théorème, la [lipschitzienne] — maisILS sont valables pour d’autres équations, [pour] d’autres ordres. *» ⚠️ *« la distanciabilité » = « la lipschitzienne » ; *« les tokens » = « les résultats » ; « d’autres fréquences » = « d’autres équations ».
• « On va vraiment utiliser l’ordre $N$, donc le $N$ dérivé, quand on va étudier les équations linéaires à coefficient constant. On a vraiment envie d’utiliser la linéarité avec les $N$ dérivées. »

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5. Définition : qu’est-ce qu’une solution ? — [00:07:19 → 00:09:31]

• « La solution, on avait donné la définition [la] fois passée. Donc, si on a une équation différentielle, par exemple ici : $\frac{du}{dt}=$ ma fonction $H(t,u)$… »
• Cadre : « $H$ est une fonction qui est définie dans un ouvert $A$ qui a dimension $N+1$, donc 1 pour le temps et $N$ pour $u$, et qui est à valeurs dans ${\mathbb{R}}^N$, parce qu’elle me donne un vecteur. »
• On note $Y$ la solution candidate : $Y:I\to {\mathbb{R}}^n$ avec $I\subset \mathbb{R}$ un intervalle. « *alors on dira que je l’appelle $Y$, qui va de l’ensemble $I$ à ${\mathbb{R}}^n$, est solution si [il y a] deux choses *».

Condition 1 — le domaine (explicitement « triviale », mais à vérifier)

• « quel que soit $I$ et quel que soit $t$ dans l’intervalle $I$, il faut que le couple $(t,Y(t))$ appartienne au domaine [le]quel $H$ est défini. »
• « Donc il faut que, quand $t$ c’est la variable de temps et que vous évaluez la [vôtre] solution sur cette variable de temps, il faut que le vecteur $(t,Y(t))$ appartienne à $A$, parce que sinon $H$ n’est pas défini. »
• « *C’est trivial, mais il faut vérifier ça. *»

⚠️ Renvoi d’examen : « Mais imaginons que la fonction $h$ soit avec des logarithmes dedans, et il faut que $y$ soit positive, sinon on n’a pas de logarithme [défini]. Ce sont toutes les choses que vous verrez dans les exercices. »

Condition 2 — l’égalité différentielle (« c’est plus important »)

$$\forall t\in I\text{ ouvert},Y^{\prime }(t)=H(t,Y(t)).$$

• « Quand vous prenez la fonction $Y$ et vous l’injectez dans l’équation différentielle, il faut que vous égalisiez [$Y^{\prime }$, $H$]. Donc maintenant on ne vérifie que la 2, parce que la première est triviale. »

• « Après, vous ne saurez pas si on a vu la phrase passer : je vous ai dit les cas où il n’y a pas de C.D. [conditions de domaine]. » ⚠️ « les cas où il n’y a pas de CD » : formulation mal captée, cf. Doutes.

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6. Le problème de Cauchy — [00:09:31 → 00:10:33]

• « Ce que nous allons démontrer maintenant, c’est le théorème de Picard. »
• Énoncé informel : « si vous avez une fonction $H$ qui est définie dans un voisinage d’un point $(t_0,y_0)$, et [qu’]elle est lipschitzienne par rapport à la variable $u$, alors le problème de Cauchy admet une et une seule solution localement, dans un petit intervalle. »
• Deux réserves du prof :
  • « *Il y a question de prolonger la solution au-delà de l’intervalle ; ça, ce sont les chapitres 2 ou 3, que nous allons pas faire. *» ⚠️ « il y a question de prolonger » = « la question de prolonger ».
  • « *Mais si vous êtes intéressé, sachez que la définition est locale pour des questions techniques, mais après, on peut la prolonger à l’intervalle le plus grand qu’on puisse avoir. *»

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7. Le théorème de Picard : mise en place et cadre — [00:10:15 → 00:17:14]

• « *Alors, ça c’est les théorèmes avec tous les $N$ comme il faut. Donc, on va travailler, comme j’ai dit, avec $N=1$, parce qu’on a montré que c’est l’équation dérivée première. *» ⚠️ « avec tous les non-c comme il faut » = « avec tous les $N$ comme il faut ».
• « Et donc, on va se mettre aussi avec un exemple de vecteur et de scalaire pour faire l’énoncé du théorème. Donc, on va dessiner dans le tableau. »

7.1. Le cadre géométrique (dessin au tableau) — [00:10:33 → 00:14:31]

• « Donc, on va prendre $A$, un sous-ensemble de ${\mathbb{R}}^2$ : la variable temps — et on se donne deux réels $R_1$ et $R_2$ positifs, tels que les deux intervalles $I$ et $J$ soient contenus dans $A$. »

$$A\subset {\mathbb{R}}^2\text{ouvert},I=]t_0-{\rho }_1,t_0+{\rho }_1[,J=]u_0-{\rho }_2,u_0+{\rho }_2[,I\times J\subset A.$$

• Le dessin : « on est dans le plan, donc $A$ c’est un sous-ensemble de ${\mathbb{R}}^2$, $[t_0,u_0]$, $R_1,R_2$ […] le point $(t_0,u_0)$, ça c’est le plan, ça c’est l’axe debut [l’axe des abscisses = l’axe du temps]. »
• « Donc, j’affirme qu’il existe deux réels positifs $R_1,R_2$, [pour] lequel l’intervalle $I$ qui est $t_0$ moins quelque chose […] $I=]t_0-\text{qqch},t_0+\text{qqch}[$ […] et $J$ qui est $]u_0-\text{qqch},u_0+\text{qqch}[$, tel que $I\times J$, ce rectangle, soit inclus dans $A$. »
• Existence d’un tel rectangle : « cela est toujours possible parce que $A$ étant ouvert, on peut toujours trouver un fermé qui est contenu strictement dans l’ouvert, et ce fermé, je le prends, c’est un petit rectangle. Donc, c’est dans ma figure : je pourrais élargir [en] haut et en bas $I$ et $J$. » ⚠️ « un fermé » = « un fermé » (au sens topologique) — c’est bien l’argument « ouvert ⊃ fermé ». La notation retenue ici est $R_1,R_2$ puis ${\rho }_1,{\rho }_2$ (le prof alterne ; cf. Doutes).

7.2. Les trois hypothèses — [00:11:36 → 00:15:10]

Énoncé-type que le prof écrit : « Donc on a les énoncés suivants : je faisais $\frac{du}{dt}=f(t,u)$, avec la condition initiale, et la fonction [donnée] $u(t_0)$ vaut un certain nombre, $u_0$. »

Hypothèses. Soit $f:A\to \mathbb{R}$ (ou ${\mathbb{R}}^n$) définie sur l’ouvert $A\subset {\mathbb{R}}^2$ (resp. ${\mathbb{R}}^{1+n}$), avec $I\times J\subset A$, et $I=]t_0-{\rho }_1,t_0+{\rho }_1[$, $J=]u_0-{\rho }_2,u_0+{\rho }_2[$. On suppose :

1. $f$ est continue sur $I\times J$ — « mais en réalité, il suffit qu’elle soit continue dans un petit voisinage ; on va tout de suite voir ce que ça veut dire : dans cet intervalle, dans ce rectangle $I\times J$ » ;
2. $f$ est lipschitzienne par rapport à $u$ sur $I\times J$ — « je vais avoir besoin que la fonction $f$ soit lipschitz dans ces rectangles $I\times J$ par rapport à la variable $u$ » ;
3. $f$ est bornée — « il existe une constante $M$ positive telle que, quelle que soit $(t,u)$ dans le mot $I\times J$, $|f(t,u)|\le M$ » ⚠️ « dans le mot $I\times J$ » = « dans le rectangle $I\times J$ » — le module est sous-entendu (non prononcé).

• ✅ Confirmé par la slide « Problème de Cauchy et Théorème de Picard » : « Si $f(t,u)$ est continue et bornée dans un voisinage du point $(t_0,u_0)$ et vérifie une condition de Lipschitz par rapport à la deuxième variable, alors le Problème de Cauchy admet une solution locale unique. » → les trois hypothèses du prof au tableau sont exactement les trois du slide, dans le même ordre.

• « Donc, on a trois hypothèses : $f$ continue, $f$ lipschitz, $f$ borné, dans un [rectangle] $I\times J$ qui est contenu dans $A$. Alors on a existence et unicité, c’est-à-dire une fonction $\phi$ qui va de [l’intervalle] $I_0$ […] à $\mathbb{R}$, qui est solution. »

• L’énoncé complet, mot à mot : « Donc ça veut dire que, sur $t$ dans l’intervalle $I_0$, alors [$t\mapsto$] $\phi (t)$ part de [la valeur] $u_0$ en partant de $A$, et que, pour $t$ dans l’intervalle $I_0$, la [dérivée] de $\phi$ par rapport à $t$ […] est égale à $f(t,\phi (t))$. »

$${\phi }^{\prime }(t)=f(t,\phi (t))\forall t\in I_0,\phi (t_0)=u_0.$$

• ✅ La formulation exacte du slide est « une solution locale unique » : la restriction à $I_0\subset I$ obtenue ci-dessus n’est donc pas un détail technique de la démonstration, c’est la conclusion même du théorème.

7.3. Le résultat, et la restriction à un intervalle plus petit — [00:15:59 → 00:17:14]

• « Donc, c’est clair que ce qu’on a démontré, on a le premier rocher [theorème] : donc une équation avec une condition initiale bien donnée, [et] trois hypothèses sur $f$, si elles sont satisfaites, alors on a une et une seule solution de l’équation [dérentielle]. »
• ⚠️ Précision importante sur l’intervalle : « Et cette solution, elle [est] définie sur l’intervalle $I_0$, qui est un peu plus petit que $I$ : donc $I_0\subset I$. »

$$I_0=]t_0-\delta ,t_0+\delta [,0<\delta <{\rho }_1.$$

• « Donc, formellement, il existe [un] $\delta >0$, plus petit que $R_1$, et donc $I_0$ est l’intervalle ouvert $]t_0-\delta ,t_0+\delta [$ — je l’appelle des intervalles avec les parenthèses en ouvert. »
• « Comme ça, c’est une question technique de la démonstration. On ne sait pas démontrer l’existence d’un intervalle $I$ [celui qu’on] avait construit au départ, mais peu importe : on sait démontrer qu’il y a un intervalle plus petit qui est ici, et donc la solution est définie dans cet intervalle plus petit. »

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8. La condition de Lipschitz — [00:17:14 → 00:20:09]

• « *Alors, avant de démontrer les théorèmes, on va voir ce qu’est-ce que ça veut dire Lipschitz, qu’est-ce que c’est la condition de Lipschitz. Est-ce que vous l’avez déjà vue en analyse l’année dernière ? Non ? *» ⚠️ « l’année dernière » ; l’année précédente, le prof est « nouveau titulaire ».
• « Je vais donc définir Lipschitz pour une fonction d’une seule variable, ici puisqu’il y en a deux, c’est seulement pour avoir vu que la condition que je viens d’écrire est variable : je vais l’appeler $g$, comme ça on ne mélange pas. » ⚠️ « c’est seulement pour avoir vu que la condition que je viens d’écrire elle est variable » : le sens est « pour bien voir que la condition que je viens d’écrire est [une condition] variable », c’est-à-dire portant sur la variable $u$.

Définition

$g$ est lipschitzienne de constante $L$ sur un voisinage de $x_0$ (voisinage contenu dans son domaine de définition) s’il existe une constante $L>0$ telle que, quel que soit le couple de points $x,y$ de cet intervalle avec $x\ne y$, on ait :

$$\boxed{|g(x)-g(y)|\le L|x-y|}$$

• Interprétation géométrique donnée par le prof : « Donc c’est une [fonction] qui, quand vous l’évaluez sur deux points différents dans un intervalle donné, alors la fonction ne s’écarte pas trop : donc ses images sont bornées par une constante fois la distance des deux points. »
• « Et [elle] serait très grande — donc, ce n’est pas une contraction, qui est [elle] plus petite, mais c’est quand même [une borne]. »

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9. Lipschitz ⊂ continues — [00:19:11 → 00:22:43]

• Le prof organise les classes : « Quelles sont les fonctions lipschitziennes par exemple ? Comment on les situe par rapport aux fonctions continues ou aux fonctions dérivables ? »
  • « D’après [la discussion] avec les fonctions continues, elle est incluse [dedans]. Est-ce qu’on dit « toute fonction continue est lipschitzienne » ou « c’est l’équivalent [à] être lipschitzienne et continue » ? Toute fonction lipschitzienne est continue. Donc les [continues] sont plus grandes que les [lipschitziennes]. » ⚠️ « est-ce qu’on dit que toute fonction lipschitzienne donc les [continues] sont plus [petites] et l’autre [dit que]… » : l’échange est entrelacé avec une réponse d’étudiant.

9.1. Démonstration : toute fonction lipschitzienne est continue — [00:20:09 → 00:22:27]

• Hypothèse de travail : « Je prends une fonction $g$ qui est dans la place [la classe] des fonctions $L$-lipschitziennes pour un $L$ donné. Et donc je dois montrer qu’elle est continue. »
• Rappel du critère : « $g$ est continue en $x_0$ si, pour tout $\epsilon >0$, il existe un $\delta >0$ qui dépend d’$\epsilon$ [=positif] tel que chaque fois que vous avez un point $x$ qui est à distance de $x_0$ de moins de $\delta$, alors [$g(x)$ est à distance de $g(x_0)$ de moins d’$\epsilon$]. Ça, c’est la continuité : si $x$ tend vers $x_0$, $g(x)$ tend vers $g(x_0)$. »

Démonstration. Soit $\epsilon >0$ quelconque. Prenons

$$\boxed{\Delta =\frac{\epsilon }{L}}$$

qui est bien positif car $\epsilon >0$ et $L>0$. Alors, pour tout $x$ avec $|x-x_0|<\Delta$ :

$$|g(x)-g(x_0)|\le L|x-x_0|\text{(hypotheˋse lipschitzienne)}$$

$$<L\Delta =L\cdot \frac{\epsilon }{L}=\epsilon \text{(par construction de }\Delta \text{)}.$$

Donc, pour tout $\epsilon >0$ il existe un $\delta >0$ tel que $|x-x_0|<\delta$ implique $|g(x)-g(x_0)|<\epsilon$ : $g$ est continue en $x_0$. $■$

• « *Donc, en gros, toute fonction lipschitzienne est continue. Donc on a dit que le contraire n’est pas vrai : il y a des fonctions qui sont continues mais pas lipschitziennes. Est-ce que vous avez une idée ? *»

9.2. Contre-exemple : $\sqrt{x}$ est continue mais pas lipschitzienne — [00:24:32 → 00:26:55]

• Les candidats refusés par le prof (échanges avec les étudiants) :
  • « une constante n’est pas [non plus] lipschitzienne puisque $c-c=0$ qui est plus petit que $L$ [fois] ça, parce que $c$ c’est positif » → ⚠️ lecture : la fonction constante est lipschitzienne (et le prof le confirme plus bas : « une constante est Lipschitz ») ; ce qui est refusé ici, c’est l’exemple « fonction non lipschitzienne ».
  • « $x^2$ ça ne fonctionne pas, puisque $x^2-x_0^2=(x-x_0)(x+x_0)$, et donc, si on se place dans un voisinage centré en $x_0$ d’une certaine largeur — je crois que j’avais appelé $\delta$ la taille du voisinage — cet objet-ci [$x+x_0$] est plus petit que $\delta$ […] donc c’est [la constante] $L=\delta$ [qui] est constante, donc le carré ne fonctionne pas. » ⚠️ « l’écarté ne fonctionne pas » = « l’écart ne fonctionne pas ».
  • « Il faut une fonction qui soit continue, et quand je me rapproche d’un certain point la fonction [ne] tend pas vers le point — enfin, il faut que cette inégalité ne puisse pas être satisfaite. Donc chaque fois que je mets un $L$ dedans, il faut qu’elle soit de l’autre côté. » ⚠️ formulation heurtée ; l’idée est : la pente $1/\sqrt{x}$ n’est pas bornée près de 0.
• « Donc, une fonction continue, quoi ? — racine, c’est un exemple. »
• « Donc si vous prenez la fonction $g(x)=\sqrt{x}$, pour $x$ on va du plus loin vers 0 — alors cette fonction [est] continue. Donc ici les points qui posent problème, c’est le point $x_0=0$ quand vous faites la limite [par] $x$ qui est [au]dessous de $x_0$ [= vers 0], par valeur positive : des racines de $x$, ça vaut 0. »

Démonstration (par l’absurde) que $\sqrt{\cdot }$ n’est pas lipschitzienne sur un voisinage de 0. Supposons qu’il existe $L>0$ tel que, pour tout $x\ne y$ du voisinage, $|\sqrt{x}-\sqrt{y}|\le L|x-y|$. Il n’est pas nécessaire de prendre tous les couples $(x,y)$ : je peux fixer $y=0$, qui est le point qui pose problème, et prendre tout $x\ne 0$ (avec $x>0$, puisque je travaille dans la partie positive). Il devrait donc être fait [vrai] que

$$\sqrt{x}-\sqrt{0}\le L|x-0|,$$

c’est-à-dire $\sqrt{x}\le Lx$. Puisque $x$ est positif, je peux diviser par $|x|$ à gauche et à droite, donc je retiens

$$\frac{\sqrt{x}}{|x|}=\frac{1}{\sqrt{x}}\le L,$$

et puisque $x$ n’est pas nul, je peux simplifier par la racine : $\frac{1}{\sqrt{x}}=L$. Et c’est là qu’on voit bien que ce n’est pas possible : une fois que vous avez fixé $L$, si $x$ est suffisamment petit, $1/\sqrt{x}$ est très grand, et donc vous dépassez cette inégalité. $■$

• « Donc, ce n’est pas possible que cette égalité soit satisfaite une fois que vous avez fixé $L$ à l’avance. Donc, pour cette fonction, elle n’est pas lipschitzienne, elle est continue mais pas lipschitzienne. »
• « Donc effectivement, les deux classes sont différentes, il y a tout ici tout un ensemble de fonctions qui sont continues et pas lipschitziennes. »
  • 📊 Le diagramme de classes du prof : « Si j’ai fait un diagramme de [Venn] qui peut [venir], ça c’est la fonction continue, ça c’est la fonction Lipschitz, et une certaine constante au [milieu]. » → Continues ⊋ Lipschitz, et continues \ lipschitziennes ≠ ∅.

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10. $C^1\subset$ Lipschitz — [00:27:00 → 00:32:25]

• « *Et maintenant, on va dans l’autre direction. On prend les fonctions dérivables, donc avec dérivée première continue, donc les fonctions qu’on appelle ${\mathcal{C}}^1$, et donc même question : comment vous pensez que les classes sont agencées ? Est-ce que toute fonction lipschitzienne est dérivable avec [dérivée première] continue, ou toute fonction dérivable avec [dérivée première] continue est lipschitzienne ? [Est-ce qu’on peut] les déclasser ? Est-ce que ${\mathcal{C}}^1$ est [contenu] dans [lipschitz] ? Oui. *»

10.1. Contre-exemple : lipschitzienne $\nRightarrow$ $C^1$ — la fonction $|x|$ — [00:28:46 → 00:29:40]

• « Donc ici [dans le diagramme], $\mathcal{V}$ [= Lipschitz] et ${\mathcal{C}}^1$ sont là-dedans, donc ${\mathcal{C}}^1$ est un sous-ensemble de Lipschitz. »
• « Voilà, ça c’est un exemple d’une fonction lipschitzienne qui n’est pas ${\mathcal{C}}^1$, donc une fonction qui n’est pas ici. Cette fonction est lipschitzienne avec constante 1. » ⚠️ la fonction est $|x|$ (valeur absolue) : non nommée à l’oral, reconstituée d’après la suite (« le seul souci c’est un $x$ égal à 0 », « la dérivée n’existait pas ») — cf. Doutes.

Vérification. $|x|-|0|=|x|\le 1\cdot |x|$ pour tout $x$ ⟹ lipschitzienne de constante $L=1$. Mais la dérivée n’existe pas en $0$ ⟹ $g$ n’est pas $C^1$.

• « Parce que le seul souci c’est un $x$ égal à 0. Donc, il faut démontrer que $g(x)-g(0)$ est plus petit que $L$ [fois] $|x-0|$. Mais $g(0)=g(0)$. Donc, ici, il faut démontrer que $|x|$ est plus petit ou égal que $L$ [fois] $|x|$. Donc, $L=1$. Mais cette fonction n’est pas dérivable : quand $x=0$, la dérivée n’existait pas. »
• « Donc on a bien montré qu’il y a des fonctions qui sont lipschitziennes mais pas dérivables. »

10.2. Démonstration : toute $C^1$ est lipschitzienne — [00:29:40 → 00:32:25]

• Hypothèse : « *Quand j’ai une fonction $g$ quelconque, dérivable avec dérivée première continue dans un voisinage d’un point $x_0$, je vais montrer que cette fonction est lipschitzienne [sur ce voisinage]. *»

Démonstration. « Alors, je vais donc écrire que $g(x)-g(x_0)$ est égal à […] j’utilise le théorème fondamental du calcul intégral, qui dit qu’une fonction est égale à l’intégrale de sa dérivée. »

$$g(x)-g(x_0)={\int }_{x_0}^x{g}^{\prime }(s)ds.$$

« Donc ça, c’est l’intégrale entre $x_0$ et $x$, c’est la dérivée de $g$ par rapport à $x$. Et on va faire ça ici. »

« Maintenant, je prends la variable sur la gauche à croître [= « à signe du crochet positif »]. Vous avez dû voir en analyse que la valeur absolue de l’intégrale est bornée par l’intégrale de la valeur absolue :

$$\left|{\int }_{x_0}^x{g}^{\prime }(s)ds\right|\le {\int }_{\min (x_0,x)}^{\max (x_0,x)}|g^{\prime }(s)|ds.$$

La fonction dérivée, elle est continue, parce que la fonction $g$ est $C^1$. Et donc, si je prends un voisinage de $x_0$ suffisamment petit, la fonction dérivée admet son maximum [elle est bornée]. Donc [ça] est plus petit que $L$ fois [l’intégrale], où $L$, c’est le maximum de la dérivée de $g$ sur l’intervalle $]x_0-r,x_0+r[$, où $r$ est le rayon de ce voisinage :

$$\left|{\int }_{x_0}^x{g}^{\prime }(s)ds\right|\le L{\int }_{\min }^{\max }|g^{\prime }(s)|ds=L|x-x_0|$$

car l’intégrale de la constante $L$ sur $[x_0,x]$ est une aire triviale, égale à $L$ [fois] $|x-x_0|$ — avec une valeur absolue, parce que je ne sais pas si $x_0$ est plus grand ou plus petit que $x$. »

« Et donc j’ai montré que, pour tout $x$ proche de $x_0$, la différence $|g(x)-g(x_0)|$ est plus petite que $L$ [fois] $|x-x_0|$, où $L$ est le max de la dérivée. Donc on a aussi une estimation sur la constante $L^{\prime }$. $■$

• 📐 Le grand enseignement : « Et c’est là qu’on comprend pourquoi la racine n’est pas $C^1$ : parce que la dérivée de la racine, si elle existait, ce serait $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ — ⚠️ le prof dit « ce serait 1 sur racine de $x$ » — et cette dérivée n’aurait pas de maximum [sur le voisinage], et [donc] c’est infime [= « infini »]. »
  • ⚠️ Correction : la dérivée de $\sqrt{x}$ est $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ ; le prof ne prononce pas le facteur 2 (la transcription dit « 1 sur racine de $x$ »). Cf. Doutes.
  • → Ce sont donc les deux raisons de la section 9.2 (droite de pente non bornée près de 0) et celle-ci (dérivée non bornée) qui fondent l’exemple.

10.3. Le diagramme complet

$$\underset{\text{deˊrivable, }{g}^{\prime }\text{ continue}}{\underbrace{{\mathcal{C}}^1}}\subset \underset{\text{Lipschitz}}{\underbrace{\mathcal{V}}}\subset \underset{\text{continues}}{\underbrace{\mathcal{C}}}\text{et}\mathcal{C}\setminus \mathcal{V}\ne \varnothing .$$

• « Donc, on l’a bien montré qu’il y a des fonctions qui sont lipschitziennes mais pas dérivables, et maintenant on montre par contre que toutes les $C^1$ sont lipschitziennes. »

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11. Retour aux hypothèses de Picard : le sens de la lipschitzienne — [00:32:25 → 00:33:28]

• « Voilà, donc ce que nous demandons, c’est que la fonction $f$ [satisfasse] cette inégalité par rapport à la deuxième variable [la variable $u$]. Donc ça veut dire quoi ? Je vais passer ici : donc, la condition 2 [du théorème] c’est qu’il existe [une constante $L$] […] on va juste regarder la lipschitzienne par rapport à la deuxième variable. C’est ça que j’ai fait ici : $f$ est lipschitzienne par rapport à la deuxième variable quand le point se déplace dans $I\times J$. » ⚠️ « on bloque la variabilité, ça ne s’intéresse pas » : phrase inexploitable, cf. Doutes.
• « *Ok, donc nous avons maintenant tous les ingrédients qui expliquent les hypothèses [du théorème]. *»

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12. Stratégie de preuve du théorème de Picard : les 3 étapes — [00:33:28 → 00:34:24]

• « Maintenant, comment on démontre l’équivalence [= le théorème] ? Les théorèmes sont démontrés en trois parties : c’est un théorème qui est un peu long, donc je ne pense pas qu’on puisse finir [aujourd’hui]. »

Les trois étapes (annoncées)

1. Montrer un résultat équivalent : « plutôt que de montrer ce théorème ici, on va démontrer un résultat équivalent. »
2. Utiliser le lemme des contractions : « pour démontrer ce théorème équivalent, il faut ce qu’on appelle les théorèmes [lemmes] des contractions. Je ne sais pas si vous avez déjà vu les contractions en Analyse 1. Non ? » ⚠️ « les théorèmes des contractions » et, deux phrases plus loin, « les théorèmes des conditions fixes » = « les théorèmes des points fixes ».
3. Vérifier que les hypothèses du théorème de Picard permettent d’appliquer le lemme des contractions.

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13. Étape 1 : le problème de Cauchy est équivalent à une équation intégrale — [00:34:24 → 00:42:41]

13.1. Les deux problèmes — [00:34:24 → 00:35:52]

• « Donc là, j’appelle le problème de Cauchy : la première question, c’est donc le système [= « la condition initiale »], cette différence initiale. Et j’ai dit que celui-là est équivalent au système d’équation intégrale. » ⚠️ « le soufre, cette différence initiale » = « le système, la donnée initiale » (cf. Doutes).

Problème de Cauchy (PC) : $y^{\prime }(t)=f(t,y(t))$ et $y(t_0)=u_0$.

• « *Pour l’équation intégrale, c’est le problème suivant : je dois trouver une fonction $u(t)$ telle que cette fonction est égale à l’intégrale entre $t_0$ et $t$ […] de la fonction $f$ que j’avais là-bas, évaluée en $s$, qui est $f(s,u(s))$, et je veux que $u$ soit $C^0$ [« $u$ soit 60 » = « $u$ soit $C^0$ »]. *»

$$u(t)=u_0+{\int }_{t_0}^{t}f(s,u(s))ds\text{(on cherche }u\in C^0(I,\mathbb{R})\text{)}\text{\hspace{1em}(EI)}$$

• « Ok, donc j’ai défini un autre problème qui n’a rien à voir avec l’équation différentielle. C’est une équation intégrale. Je cherche une fonction $u$ telle qu’elle [vaut] une constante plus une intégrale de $f$ évaluée sur $u$. »

• Attention posée par le prof : « Attention, c’est plus facile [à résoudre] parce que si vous avez $f$ de $u$, c’est quand même une équation implicite : vous avez $u$ à l’extérieur de l’intégrale, mais $u$ dans l’intégrale, donc on ne peut pas calculer [explicitement] cette intégrale. »

• Les deux différences : « *Donc nous avons deux problèmes. Le premier [à gauche] est le problème différentiel, là-bas, qui demande que $u$ soit une fonction dérivable, parce que c’est une solution. Et ici, on a une intégrale où on demande que [$u$ soit] continue. On cherche la fonction qui satisfait ça. *»

13.2. Sens 1 : solution de Cauchy ⟹ solution de l’équation intégrale — [00:35:55 → 00:38:04]

• « *La première étape est plus facile : on démontre que le problème de Cauchy implique l’équation intégrale. Toute solution de Cauchy est solution du problème intégral. Pourquoi ça ? *»

Démonstration. Soit $u$ solution du problème de Cauchy : $u^{\prime }(t)=f(t,u(t))$ pour tout $t\in I$ (intervalle qui contient $t_0$), et $u(t_0)=u_0$ par définition de solution. Si c’est le cas, on peut intégrer cette équation par rapport à $t$.

$${\int }_{t_0}^t{u}^{\prime }(s)ds={\int }_{t_0}^{t}f(s,u(s))ds.$$

Donc on obtient que l’intégrale entre $t_0$ et $t$ [de $u^{\prime }$] est $u(t)-u(t_0)$ — je vais à nouveau changer la lettre d’intégration, puisque la variable $t$ est maintenant sortie : $ds$ [= « c’est égal à l’intégrale entre $t_0$ et $t$ de $f$… $d(s)$ »]. Puisque cette égalité est valable quel que soit $t$ dans l’intervalle, je peux intégrer à gauche et à droite cette égalité. »

$${\int }_{t_0}^t{u}^{\prime }(s)ds=u(t)-u(t_0)={\int }_{t_0}^{t}f(s,u(s))ds.$$

• « *La fonction $u$ est une fonction dérivable, donc continue — parce que sinon on ne pourrait pas définir sa dérivée ici — et donc cette intégrale ici c’est $u(t)-u(t_0)$, qui est égale à l’intégrale ${\int }_{t_0}^{t}f(s,u(s))ds$. Mais par définition $u$ est une solution du problème de Cauchy, donc $u(t_0)$ vaut $u_0$. Donc j’ai que $u(t)-u_0$ égale [l’intégrale]. Puisque $u$ est dérivable, elle est continue. Après, $u$ est une fonction $C^1$, donc $u$ est une fonction continue. *»

$$\boxed{u(t)=u_0+{\int }_{t_0}^{t}f(s,u(s))ds}$$

• Bilan critique du prof sur ce sens : « *Et donc j’ai démontré que toutes les solutions du problème de Cauchy sont solutions de l’équation intégrale — puisqu’elle est continue, c’est là, c’est bien — mais ça ne sert pas à grand-chose, parce que nous, on veut des solutions du problème de Cauchy. Donc on a écrit plutôt le contraire : montrer que toutes les solutions de l’équation intégrale sont des solutions du problème de Cauchy, et c’est ce que nous allons faire maintenant. *»

13.3. Sens 2 : solution de l’équation intégrale ⟹ solution de Cauchy (avec une hypothèse en trop) — [00:38:16 → 00:40:38]

• Point de départ : « $u$ est une fonction continue et satisfait [l’équation] intégrale. Il y a une question ? — Il y a une question ou pas ? — Non, ça va ? Alors, je disais : $u$ est une fonction continue qui satisfait cette équation, et je vais démontrer que $u$ satisfait le problème de l’équation différentielle. [Mais] je vais rajouter une hypothèse supplémentaire pour le moment, et je dis que $u$ est $C^1$. Donc $u$ est une fonction $C^1$ et qui, en plus, satisfait cette équation. Ok ? »

Démonstration (avec l’hypothèse $u\in C^1$). Puisque $u$ est $C^1$, je peux dériver à gauche [et à droite]. Donc si je dérive l’équation intégrale :

$$\frac{d}{dt}\left[u(t)\right]=\frac{d}{dt}\left[u_0\right]+\frac{d}{dt}\left[{\int }_{t_0}^{t}f(s,u(s))ds\right],$$

la dérivée d’une constante, c’est $0$, et la dérivée d’une intégrale par rapport à l’une des extrémités, c’est la fonction qui, à l’intérieur, est évaluée sur la borne — « Est-ce que vous avez vu ça en Analyse ? Combien vaut la dérivée d’une intégrale quand vous dérivez par rapport aux extrémités ? Vous n’avez pas vu ? C’est la fonction qui, à l’intérieur, est évaluée sur la [borne] $t$. »

$$⟹u^{\prime }(t)=f(t,u(t)).$$

Donc la fonction $u$ satisfait $u^{\prime }(t)=f$ évaluée en $t$, $u(t)$. Combien vaut $u$ au temps $t_0$ ?

$$u(t_0)=u_0+{\int }_{t_0}^{t_0}f(s,u(s))ds=u_0+0,$$

parce que l’intégrale sur un point, c’est 0. $■$

• « *Donc, on a montré que toute solution $C^1$ de l’équation intégrale est aussi une solution de l’équation différentielle. Mais on a rajouté un [peu], parce on a rajouté que c’est $C^1$. Or, mon résultat, c’est zéro [i.e. sans hypothèse supplémentaire]. *»

13.4. Suppression de l’hypothèse $C^1$ : c’est l’intégrale qui la donne — [00:40:19 → 00:42:41]

• « Je vais vous montrer maintenant que cette hypothèse n’est pas nécessaire, parce qu’elle est déjà contenue là-dedans. Vous avez compris la logique ? Donc je fais d’abord une hypothèse supplémentaire, et là, je montre qu’avec ça, ça fonctionne ; maintenant, je vous dis : attention, je demandais trop, parce que demander ça et ça implique que c’est $C^1$. Ok ? On va faire ça tout de suite. »
• « Si $u$ est une fonction continue, on ne sait pas [appliquer] l’hypothèse du théorème là-bas, mais $f$ aussi est continue [au sens de l’hypothèse 1]. Donc $f$ est une fonction continue dans l’intégrale. Et donc ici, dans l’intégrale, vous avez $f$ évalué en $s$, $u(s)$, $ds$. Donc la fonction [$s\mapsto$] $f(s,u(s))$, elle est comment par rapport à la variable $s$ ? C’est une composition de fonctions continues, qui est continue (parce que $s\mapsto u(s)$ est continue et $f$ est continue). Donc cette fonction-ci est une fonction continue. »

$$\underset{\text{primitive d’une fonction continue sur }I}{\underbrace{t⟼{\int }_{t_0}^{t}f(s,u(s))ds}}\in C^1(I).$$

• « Mais si vous faites l’intégrale d’une fonction continue, qu’est-ce qu’on obtient ? Une fonction dérivable. Parce que vous avez montré [en Analyse] que l’intégrale d’une fonction continue est une fonction qui a une dérivée première continue [i.e. $C^1$]. Mais alors ma fonction $u$ [i.e. $u(t)$] est égale à une constante plus une fonction dérivable. Et donc elle est dérivable elle aussi, parce que la constante est dérivable. »

Démonstration (sans hypothèse supplémentaire). Du fait que $u$ soit continue et soit solution de cette équation [intégrale], on a que $s\mapsto f(s,u(s))$ est continue, donc $t\mapsto {\int }_{t_0}^{t}f(s,u(s))ds$ est dérivable (en fait $C^1$), donc $u$ = constante $+$ fonction dérivable est dérivable, donc on peut [enfin] dériver l’équation intégrale et obtenir $u^{\prime }(t)=f(t,u(t))$ ainsi que $u(t_0)=u_0$. $■$

• « *Et donc on a démontré l’équivalence entre l’équation intégrale et le problème de Cauchy. D’accord. Ok, donc ça c’était l’étape 1. *»

📌 Résumé de l’étape 1 (reformulé par le prof, [00:43:02 → 00:43:58]) : « L’un des objectifs, c’est l’équation intégrale. L’autre objectif, c’est le problème de Cauchy : il existe [$I_0$, et une fonction] continue, qui est l’intégrale [de] … ça dégage la constante […] et donc maintenant on oublie le problème de Cauchy et on va se concentrer sur cette équation ici. »

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14. Étape 1 bis : l’équation intégrale est une équation de point fixe — [00:43:58 → 00:46:29]

14.1. La fonctionnelle $\Phi$ — [00:44:01 → 00:45:04]

• « *Alors, avant de faire la pose, on va écrire cet objet de façon très différente. On va définir [la chose suivante] : quelle que soit la fonction $v$ continue de l’intervalle $I$ à valeurs dans $\mathbb{R}$, à l’aide de $f$ j’ai fait calculer cette intégrale. *»

$$\Phi :C(I,\mathbb{R})⟶C(I,\mathbb{R}),\boxed{\Phi (v)(t)=u_0+{\int }_{t_0}^{t}f(s,v(s))ds}$$

• « Donc je répète : je prends une fonction continue quelconque, je fais l’intégrale et je rajoute une constante. Ça, ça va être — à cause de ce qu’on vient de dire — une nouvelle fonction que j’ai fait appeler $\Phi$, et qui est continue [« elle est continue parce qu’on a fait le calcul, on a montré le $C^1$ »]. »
• Le mot juste est « fonctionnelle » : « Et je l’appelle $\Phi$, parce que ça, ce n’est pas une fonction, c’est une fonctionnelle. Parce que je lui donne une fonction, elle va me donner une nouvelle fonction. Donc c’est une application des fonctions continues à elles-mêmes. »

14.2. Chercher un point fixe — [00:45:10 → 00:46:29]

• « *Donc ici, vous voyez que parmi toutes les fonctions continues, je dois choisir la fonction continue telle que, quand je l’applique $\Phi$, je trouve la fonction $u$. *»

$$\exists !u\in C(I,\mathbb{R})\text{ telle que }\Phi (u)=u⟺u=\Phi (u).$$

• « Donc résoudre l’équation intégrale, c’est équivalent à dire qu’il existe une unique fonction $u$ continue telle que cette fonction $u$ égale $\Phi$ de la fonction $u$. En fait, j’ai juste écrit cette équation plutôt que de dire $u=u_0+{\int }_{t_0}^{t}f(s,u(s))ds$. »
• « *J’appelle la partie droite cette fonction $\Phi$, qui, à toute fonction continue $v$, [donne] une nouvelle fonction. Et il faut dire qu’il y a un peu plus de fonctions possibles : je cherche celles qui ne bougent pas. Une telle équation, puisque $u$ ne bouge pas, est appelée l’équation de point fixe. *»

⚠️ Dictionnaire des équations de point fixe : « C’est une équation de points fixes. En maths, il y a plusieurs théorèmes de points fixes — c’est le verbe que vous aurez en topologie ou d’autres théorèmes. Et c’est donc ce qui est très, très utilisé. » « Et donc, ce que nous allons faire maintenant, c’est montrer un théorème qui démontre l’existence d’un point fixe pour ce type de fonction, qui va donc de l’espace des fonctions continues à l’espace des fonctions continues. »

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15. Pause annoncée, questions des étudiants, et zone audio contaminée — [00:46:29 → 00:52:40]

• Le prof annonce la pause : « Je vous propose qu’on fasse cinq minutes de pause et comme ça on démarre la [suite] [« la déséquilibre » = « la suite »]. » ⚠️ « la déséquilibre » est un artefact de transcription ; le sens certain est « et comme ça on démarre la [suite] ».

15.1. Échange avec un étudiant (avant que la pause ne commence vraiment) — [00:46:46 → 00:47:37]

• « Oui, donc en fait, quand tu [entre], [tu] dérives, par définition, tu obtiens $u$ moins $u_0$ [= « u moins u zéro »], et donc tu [obtiens] cette équation. »
• « *Quand tu dérives cette équation, est-ce que c’est la dérivée de $u$ ? — C’est ça. Ça, c’est la distance. Ça, c’est la dérivée de 1. Et ici, c’était combien pour $u$ ? — Voilà, ça, c’est $u$. Et donc, tu as [$u(0)+1(0)+\dots$] — oui, c’est ça. Donc, tu n’as pas de [$\epsilon$] — tu n’as pas de [$\epsilon$]. — Ah, ok. » ⚠️ *passage très dégradé (le fond sonore de la classe domine) : la discussion porte manifestement sur la majoration d’une différence par une constante (dérivées + estimation d’erreur), mais le détail est inexploitable → cf. Doutes.

15.2. ⚠️ 00:47:53 → 00:52:12 : la pause, captée avec une rediffusion télévisuelle

Pendant toute la pause, l’enregistrement ne capte pas la classe mais une chaîne de sous-titrage de la télévision belge (« Sous-titrage ST’ 501 », balise de la RTBF), ainsi que des bribes de dialogue de télévision hors sujet :

Fenêtre	Contenu capté
00:47:53 → 00:48:23	« Sous-titrage ST’ 501 »
00:48:23 → 00:48:53	« Merci. »
00:48:53 → 00:49:23	« Sous-titrage ST’ 501 »
00:49:23 → 00:49:35	« Je vais vous donner un petit coup de main. »
00:49:35 → 00:49:42	« Je ne sais pas si tu as le conseil. / Je ne sais pas si c’est mon problème. »
00:49:42 → 00:50:12	« Sous-titrage ST’ 501 »
00:50:12 → 00:51:12	« Merci. / Merci. »
00:51:12 → 00:52:12	« Sous-titrage ST’ 501 » ×2
00:52:12 → 00:52:40	boucle d’hallucination : « Je ne sais pas si c’est bien ça. » répété 16 fois

• 📉 Aucun contenu mathématique n’est perdu : c’est la pause de 5 min que le prof venait d’annoncer. Le cours reprend à 00:52:40.

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16. Reprise : le cadre abstrait nécessaire (hypothèses de Banach) — [00:52:40 → 00:58:52]

• Retour en cours : « *[…] fait qu’on peut avoir un unique point fixe, parce que si on l’a, et après on vérifie que les conditions qui sont impliquées sont satisfaites par les fonctions $f$ à [l’égalité] — alors qu’on a démontré qu’il y a un seul, une seule solution complète. *» ⚠️ « sont faites par les fonctions f à l’égalité » → « sont satisfaites ».
• « Alors, les théorèmes de points fixes, comme c’est écrit au tableau, on utilise les théorèmes des points fixes. Donc, qu’est-ce que c’est, tout ça ? »
  • « Donc, il nous faut un espace métrique complet, comme ça, pour le [théorème du] point fixe. »

16.1. Espace métrique — [00:53:10 → 00:55:28]

• « Alors, il y a beaucoup de choses : qu’est-ce qu’un espace métrique ? Un espace doté du produit scalaire… ⚠️ (digression) … un espace métrique complet. C’est un espace $X$ tel qu’il existe une application que j’appelle $d$, qui, à tous les couples d’éléments de $X$, va me donner un nombre réel positif, donc, après, la distance est notée $d(x,y)$ : la distance entre $x$ et $y$. Donc $d$, c’est la distance de $x$ à $y$. » ⚠️ le passage « un espace doté du produit scalaire » est une fausse entrée du prof, corrigée immédiatement par « un espace métrique complet » — ne pas le citer (cf. Doutes).

Axiomes de l’espace métrique $(X,d)$ — énoncés par le prof :

$$\begin{array}{rl}>& \text{(seˊparation)}d(x,x)=0\text{et}d(x,y)=0⟺x=y,\\ >& \text{(positiviteˊ)}d(x,y)>0\text{ si }x\ne y,\\ >& \text{(symeˊtrie)}d(x,y)=d(y,x),\\ >& \text{(ineˊgaliteˊ triangulaire)}d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z).>\end{array}$$

• « la distance entre $x$ et lui-même, la distance entre $x$ et $y$ est positive si et seulement si $x$ est différent de $0$ — donc, en fait, quand vous mesurez les points, sur un même [point], c’est $0$ ; et la distance entre deux points quelconques distincts, c’est positif. » ⚠️ « différent de 0 » = « différent de $x$ » (la transcription a remplacé $x$ par $0$).
• « Et la distance est symétrique : la distance entre moi et vous, c’est la même [que] entre vous et moi. »
• « Et la distance satisfait une inégalité triangulaire : la distance entre un point $X$ et $Y$ est [inférieure ou] égale à la distance entre $X$ et $Z$ plus la distance entre $Z$ et $Y$. Ça, c’est ce qu’on a vu [hier] en $\mathbb{C}$ complexe : le module, la valeur absolue, c’est une distance dans $\mathbb{C}$. » ⚠️ « ce qu’on a vu hier en S complexe » = « la semaine dernière en $\mathbb{C}$ complexe ».
• « Donc, un espace métrique, c’est un espace dans lequel vous avez la possibilité de mesurer la distance entre [ses] éléments. »

16.2. Suite de Cauchy — [00:55:30 → 00:56:48]

• « *Est-ce que vous vous souvenez que cette ligne est complète [= « que cette ligne [= notion] est complète »] ? Par exemple, un espace métrique, c’est $\mathbb{R}$ ou ${\mathbb{R}}^N$. Est-ce que $\mathbb{R}$ ou ${\mathbb{R}}^N$ sont complets ? Vous n’en avez pas [parlé] ? Ça a à voir avec les suites de Cauchy — vous avez dû voir ça en Analyse [1]. Donc, qu’est-ce que c’est une suite de Cauchy ? — Oui, une suite de Cauchy. Donc on peut dire : $(x_n)$ est une suite de Cauchy si, quel que soit $\epsilon >0$, il existe un rang que j’appelle $N(\epsilon )>0$ tel que, chaque fois que $n$ et $m$ sont plus grands que le rang, alors $|x_n-x_m|<\epsilon$. *»

$$\forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb{N},\forall n,m>N:d(x_n,x_m)<\epsilon .$$

• Interprétation : « *C’est l’effet que, quand je regarde après un certain rang, les points $x_n$ et $x_m$ sont proches. *»

16.3. Complétude — [00:56:48 → 00:57:35]

• Question du prof : « Et donc, maintenant, quel est le lien entre être de Cauchy et être convergente ? — Ah, oui, dans un espace complet, les suites de Cauchy sont convergentes. Voilà, c’est ça. »
• ⚠️ L’autre sens, en pratique : « Donc, en général, ce n’est pas vrai que toutes les suites de Cauchy sont convergentes [dans un espace quelconque]. Toutes [les suites] convergentes sont des suites de Cauchy, mais ce n’est pas vrai qu’on ait [la réciproque], sauf dans un espace complet. »

$$\text{Espace complet}=\text{toute suite de Cauchy est convergente dans cet espace.}$$

• « *Donc, un espace complet, c’est un espace dans lequel toutes les suites de Cauchy sont convergentes. Donc, $\mathbb{R}$ est [complet] parce que tout est de Cauchy [c’est-à-dire : toute suite de Cauchy de réels converge]. *»

16.4. Exemple d’espace métrique non complet : $\mathbb{Q}$ — [00:57:35 → 00:58:52]

• « Est-ce qu’il y a un espace qui n’est pas complet ? Donc, il me faut un espace où il y a des suites de Cauchy mais qui ne convergent pas. C’est [le cas de] l’espace des suites [= « des nombres »] rationnels : $\mathbb{Q}$ n’est pas complet. »
• « Pourquoi ? Eh bien, ça suffit de prendre une suite $x_n$ [qui converge vers] un irrationnel. Je vais [noter] $x_n$ [= « appeler »] quand c’est $p_n/q_n$, qui est de Cauchy. [Donc] après un certain rang, $x_n$ est proche de $x_m$. Mais je peux choisir la suite $x_n$ qui converge, par exemple racine de 2. Alors les points $x_n$ n’appartiennent pas à l’espace [= à $\mathbb{Q}$]… »

⚠️ La phrase du prof est à lire ainsi : $x_n=\frac{p_n}{q_n}\in \mathbb{Q}$ est une suite de Cauchy (approximations décimales de $\sqrt{2}$ rationnelles) ; or sa limite $\sqrt{2}$ n’appartient pas à $\mathbb{Q}$ ⟹ la suite ne converge pas dans $\mathbb{Q}$ (mais elle converge dans $\mathbb{R}$).

• « Et donc, elle converge dans l’espace plus grand que $\mathbb{R}$. En fait, on dit que $\mathbb{R}$ est obtenu en complétant l’espace des rationnels [« complétant » = « en complétant », cf. « complété »]. Voilà un exemple simple d’un espace qui est métrique mais pas complet, parce qu’il y a des suites de Cauchy qui ne convergent pas. »

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17. Définition d’une contraction — [00:58:52 → 01:01:00]

• « *Et donc, il me faut un espace métrique complet, et dans cet espace métrique complet, je peux définir une fonction $f$ qui est une contraction. Donc $f$ qui envoie l’espace $X$ dans lui-même. *» ⚠️ « F contraction des facteurs alpha » — formulation décomposée.

Définition. $f:X\to X$ est une contraction (de facteur $\alpha$) s’il existe un réel

$$\alpha \in ]0,1[$$

tel que, quels que soient deux points dans mon ensemble $X$,

$$\boxed{d(f(x),f(y))\le \alpha d(x,y)}$$

• Précision de notation donnée par le prof : « *Ici, notez que j’ai fait la différence entre $x_n$ et $x_m$ avec la valeur absolue, parce que je travaillais avec $f$ [dans $\mathbb{R}$]. Et donc cette même égalité, je l’ai écrite avec des distances $d(x_n,x_m)$ : parce que la valeur absolue, c’est une possible distance dans $\mathbb{R}$. Et donc, en toute généralité, je peux dire que $f$ est une contraction si, [quels que soient] $x$ et $y$ : quand je mesure la distance entre les images des points, alors cette distance est plus petite [que] $\alpha$ fois la distance entre les points. *»

• Lien avec la lipschitzienne : « *Donc, en fait, l’idée de cette fonction, puisque $\alpha$ est plus petit que 1, c’est une lipschitzienne — mais avec une constante $\alpha <1$ : parce que la lipschitzienne, c’était $|f(x)-f(y)|\le L|x-y|$, et j’utilisais $d$ avec la valeur absolue, et $\alpha$ plutôt que $L$. Mais c’est [bien] lipschitzienne. *»

• Conséquence déjà acquise : « *Donc, ça veut dire qu’on a déjà [dit que] toute fonction contractante est continue : toute contraction est continue, parce qu’il y a [la] lipschitzienne — donc on va le démontrer juste après [= c’est déjà fait]. *» ⚠️ la démonstration « juste après » renvoie à la section 9.1, déjà faite.

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18. Le théorème de la contraction (théorème de Banach) — énoncé — [01:00:57 → 01:02:00]

• « *Mais les théorèmes qui nous intéressent, c’est le [théorème] : toute fonction contractante admet un seul point $\bar{x}$. *»

Théorème de Banach (théorème de la contraction). Soit $(X,d)$ un espace métrique complet, et $f:X\to X$ une contraction de facteur $\alpha \in ]0,1[$. Alors il existe un unique point $\bar{x}\in X$ tel que

$$f(\bar{x})=\bar{x}.$$

Autrement dit : il existe un seul point dans mon ensemble qui, une fois que je lui applique $f$, je tombe sur le point lui-même.

• « *Alors, comment on démontre [cela] ? C’est très bien [dit comme ça], je vais [passer] dessus. *»

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19. Démonstration complète du théorème de la contraction — [01:02:08 → 01:23:06]

19.1. Construction de la suite des itérés — [01:02:08 → 01:04:24]

• « Donc, on va démontrer tout d’abord : je mets un point $x_0$ quelconque dans mon espace $X$, et je vais évaluer combien vaut $f$ en $x_0$. Et j’appelle cet objet $x_1$, qui appartient aussi à $X$ — parce que, par définition, $f$ envoie $X$ dans lui-même. Très bien. Il y a deux cas possibles :

1. soit $x_1=x_0$, et on a fini — c’est trop facile ;
2. soit $x_1\ne x_0$, on applique $f$ à $x_1$ : on va construire $f(x_1)$, que je vais appeler $x_2$, et je continue, et de cette façon je vais construire les $x_n$ qui sont égaux à $f$ évalués sur les précédents, pour tout $n$. »

$$\begin{array}{rl}{x}_0& \in X\text{ quelconque},\\ x_{n+1}& =f(x_n)(n\ge 0),\\ \text{soit}{x}_n& =f^{[n]}(x_0)=\underset{n\text{fois}}{\underbrace{f\circ f\circ \cdots \circ f}}(x_0).\end{array}$$

• « *Donc j’ai construit une suite de points dans mon ensemble $X$, qui sont construits en appliquant chaque fois $f$ : $f,f,f,f$ […]. Alors, juste pour la notation : dire que $x_n$ est égal à $f(x_{n-1})$, c’est comme dire qu’il est égal à $f^{[n]}$ appliqué $n$ fois sur $x_0$. Or [le] noter [ainsi], c’est un peu compliqué : donc on a une notation compacte, qui est $f^{[n]}(x_0)$ : ça, ça veut dire que ce n’est pas un exposant, mais c’est $f$ composé $n$ fois avec lui-même, en partant du point $x_0$. Oui ? — Et on a fini. Très bien. *» ⚠️ insister sur la notation $f^{[n]}$ (crochets, pas exposant) : c’est une convention du cours.

• Le plan de la démonstration : « *Maintenant, ce qu’on va faire, c’est montrer que cette suite $(x_n)$ est de Cauchy ; et puisqu’on a un espace complet, puisqu’elle est de Cauchy, elle est convergente ; et on va montrer que cette convergente, c’est exactement le point $\bar{x}$ qu’on cherche. *»

19.2. Étape 1 : $(x_n)$ est de Cauchy — [01:04:40 → 01:09:27]

• « *Alors je vais mesurer la distance entre $x_n$ et le précédent $x_{n-1}$ ; alors j’utilise la définition : $x_n$ [c’est] $f$ [sur] les précédents, donc c’est $f(x_{n-1})$ et $x_{n-1}$ [c’est] $f$ [sur] le précédent $f(x_{n-2})$ — mais la fonction $f$ est une contraction, donc [c’est] plus petit que $\alpha$ fois la distance entre $x_{n-1}$ et $x_{n-2}$. Ici, j’ai utilisé la définition de $x_n$ ; et ici, j’ai utilisé la contraction. *»

$$d(x_n,x_{n-1})=d(f(x_{n-1}),f(x_{n-2}))\le \alpha d(x_{n-1},x_{n-2}).$$

• Itération : « Et donc je vais continuer : $x_{n-1}$ c’est donc $f(x_{n-2})$, et $x_{n-2}$ c’est $f(x_{n-3})$ — c’est encore une contraction — donc [on obtient] ${\alpha }^2$ [fois] la distance entre $x_{n-2}$ et $x_{n-3}$, et on continue. Et donc vous voyez, quand je fais un pas, je passe de [$x_n,x_{n-1}$] à [$x_{n-1},x_{n-2}$] : il y a un $\alpha$ qui est mis en évidence. Quand je fais deux pas, de [$x_n,x_{n-1}$] à [$x_{n-2},x_{n-3}$] : j’ai ${\alpha }^2$. »
• Exercice annoncé (récurrence) : « Donc je vous laisse démontrer, comme exercice, que, pour tout $k\in \mathbb{N}$, si je fais ça $k$ fois, j’obtiens ${\alpha }^k$ [fois] la distance entre $x_{n-k}$ et $x_{n-k-1}$**. Ça, vous pouvez le faire par récurrence. Vous démontrez que la base est vraie quand vous prenez $k=1$ — c’est ce qu’on vient de faire — ; vous faites l’hypothèse que c’est fait jusqu’à un $k$, et vous démontrez que c’est fait pour le cas suivant. »
• Décompte du nombre d’applications : « *Et si on va se poser la question : combien de fois j’ai pu appliquer ça ? J’ai pu appliquer jusqu’à quand les derniers indices sont plus ou égaux à 0. Donc après, ça me bloque : $n-k\ge 1$, c’est-à-dire $n-k=1$ [le dernier terme est $x_0$] — ce qui veut dire $k=n-1$. *»

Lemme 1 (exercice, démontré par récurrence). Pour tout $n\ge 1$ et tout $0\le k\le n-1$ :

$$d(x_n,x_{n-1})\le {\alpha }^{k}d(x_{n-k},x_{n-k-1})\text{et donc}d(x_n,x_{n-1})\le {\alpha }^{n-1}d(x_1,x_0).$$

« Et donc, en conclusion, j’ai démontré que la distance entre $x_n$ et $x_{n-1}$ est plus petite que ${\alpha }^{n-1}$ [fois] la distance entre $x_1$ et $x_0$ — à la place de $k$, j’ai mis $n-1$ [dans l’exposant] : la distance entre [$x_n,x_{n-k}$] [$k$ vaut $n-1$] vaut [la distance] $x_1$ et $x_0$. »

19.3. Estimer $d(x_n,x_m)$ par l’inégalité triangulaire — [01:09:33 → 01:13:12]

• « *Là, on va démontrer que la suite, effectivement, est de Cauchy. Qu’est-ce qu’il faut démontrer ? Je vous le rappelle : il faut démontrer que, quel que soit $\epsilon >0$, il existe un rang tel que, chaque fois que je prends $n$ et $m$ [plus grands que le rang], la distance entre $x_n$ et $x_m$ est $\epsilon$-petite. *»

Démonstration. « Sans perte de généralité, je peux supposer que $n>m$ » — sinon on échange, grâce à la symétrie. « Avec l’inégalité triangulaire :

$$d(x_n,x_m)\le d(x_n,x_{n-1})+d(x_{n-1},x_m).$$

« Quand vous ajoutez un point entre les deux, vous avez augmenté la distance : on a mis [dans l’expression] la distance entre le premier et le nouveau point, plus la distance entre le nouveau et le deuxième point. Je peux continuer : $d(x_{n-1},x_m)\le d(x_{n-1},x_{n-2})+d(x_{n-2},x_m)$ [et ainsi de suite] . »

$$d(x_n,x_m)\le \sum _{\ell =m}^{n-1}d(x_{\ell +1},x_{\ell }).$$

• Écriture de la somme (point de méthode) : « *Donc, on peut itérer ça un certain nombre de fois, et on peut [le] montrer — encore un petit exercice. Et cela, c’est [la] ${\sum }_{\ell =m}^{n-1}$ [$d$] — c’est le modèle de l’écriture de la somme : pourquoi j’ai fait cela ? Parce que maintenant j’ai à nouveau la distance entre un point et son précédent, donc je peux utiliser l’estimation que j’avais ici, sauf qu’à la place de $n$ j’ai $\ell +1$. Donc, cet objet est plus petit que la somme ${\sum }_{\ell =m}^{n-1}{\alpha }^{\ell }d(x_1,x_0)$ — parce qu’ici, vous avez $\ell +1$ et ici, vous avez $n-1$ : c’est juste ça. *»

$$d(x_n,x_m)\le d(x_1,x_0)\sum _{\ell =m}^{n-1}{\alpha }^{\ell }.$$

• « Donc, cet objet ne dépend pas de la somme [= du haut de la somme], donc il peut sortir. Donc, ça est égal à [$d(x_1,x_0)$ fois] la somme, $\ell$ qui va de $m$ à [l’infini] — parce que les $\alpha$ sont tous positifs : si je rajoute tous les $\alpha$ jusqu’à [ce que $n$ tende vers] l’infini, je peux seulement dire que c’est [plus petit que] là [c’est-à-dire la somme jusqu’à $+\infty$]. »

$$\boxed{d(x_n,x_m)\le d(x_1,x_0)\sum _{\ell =m}^{+\infty }{\alpha }^{\ell }}$$

19.4. Le « reste » de la série géométrique tend vers 0 — [01:13:41 → 01:17:34]

• Question d’un étudiant : « la question est la suivante : quelle est la limite, quand $m$ tend vers l’infini, de la somme ${\sum }_{\ell =m}^{+\infty }{\alpha }^{\ell }$ ? Attention, tu es en train de dire que la somme ${\sum }_{\ell =0}^{+\infty }{\alpha }^{\ell }$, quand je fais la limite pour $m$ qui tend vers l’infini, est égale à $\frac{1}{1-\alpha }$. C’est ça que tu dis. »
• Réponse du prof (attention à la distinction) : « Mais si, attention, ce n’est pas la même chose : ici, on fait la limite de l’indice du bas de la somme. » ⚠️ point clé : ce n’est pas ${\sum }_0^{+\infty }{\alpha }^{\ell }$ qu’on fait tendre vers 0, mais le reste ${\sum }_m^{+\infty }{\alpha }^{\ell }$ (la borne inférieure tendant vers l’infini).

Méthode 1 — par le reste d’une série convergente. « Ça, c’est le reste de la somme : donc, si la somme converge, le reste est [égal à] 0. »

Méthode 2 — par le calcul (développée par le prof). « Mais dans ce cas-ci, on peut faire une calculette, parce qu’on peut dire que la somme ${\sum }_{\ell =m}^{+\infty }{\alpha }^{\ell }$ est égale à la somme ${\sum }_{\ell =0}^{+\infty }{\alpha }^{\ell }$ moins la somme ${\sum }_{\ell =0}^{m-1}{\alpha }^{\ell }$ — parce que si je prends tous les termes de la somme, j’ai retiré les $m$ premiers termes, et donc j’ai le reste. Cet objet-ci [la somme complète] on va dire qu’il vaut $\frac{1}{1-\alpha }$ : c’est une somme de géométrie. »

$$\sum _{\ell =m}^{+\infty }{\alpha }^{\ell }=\frac{1}{1-\alpha }-\underset{\text{valant }\frac{1-{\alpha }^m}{1-\alpha }}{\underbrace{\sum _{\ell =0}^{m-1}{\alpha }^{\ell }}}.$$

• Calcul de la somme géométrique, tel qu’il est expliqué : « *Et cet objet-ci, si on sait exactement comment il vaut, il vaut $\frac{1-{\alpha }^m}{1-\alpha }$. C’est une somme d’objets ici : l’un d’eux fait $1+\alpha +{\alpha }^2+\cdots +{\alpha }^{m-1}$. Et quand on multiplie par $(1-\alpha )$, on [met en] $T$ [= « on met [les termes] en [tableau] » : la multiplication terme à terme]. Tous les termes disparaissent, sauf les premiers et les derniers [multipliés par $1$ et par ${\alpha }^m$]. C’est pour ça que cet objet-ci est valable [= c’est la formule]. *»

$$(1-\alpha )(1+\alpha +{\alpha }^2+\cdots +{\alpha }^{m-1})=1-{\alpha }^m.$$

• « *Ici, on peut faire le calcul : c’est le même dénominateur : $\frac{1-{\alpha }^m}{1-\alpha }$, vous avez $\frac{1-1}{1-\alpha }=0$, moins $\alpha$ [moins $\alpha$]… et moins ${\alpha }^m$ — et puisque $\alpha$ est plus petit que 1, quand vous faites la limite pour $m$ qui tend vers l’infini, j’obtiendrai 0. *»

$$\underset{m\to +\infty }{\lim }\sum _{\ell =m}^{+\infty }{\alpha }^{\ell }=\underset{m\to +\infty }{\lim }\frac{1-{\alpha }^m}{1-\alpha }=\frac{1-\underset{=0}{\underbrace{{\alpha }^m}}}{1-\alpha }=\frac{1}{1-\alpha }-\frac{{\alpha }^m}{1-\alpha }=\frac{1}{1-\alpha }-\frac{1}{1-\alpha }=0.$$

• Le point général : « Et maintenant, ceci est toujours vrai, quelle que soit la somme que vous avez calculée spécifiquement ou pas : si vous avez une somme convergente, quand vous faites la limite du reste, il doit valoir $0$, sinon la somme [ne] pourrait [pas] être convergente. Ok, très bien. »

19.5. Conclusion : $(x_n)$ est de Cauchy, donc convergente — [01:17:06 → 01:19:33]

• « *Quelle est l’information qu’on obtient du fait que cette limite vaut 0 ? Donc ici, on sait maintenant que, si $m$ est grand, cette limite vaut 0 ; et donc on peut dire qu’elle est plus petite qu’un $\epsilon$ arbitraire. Donc, on a montré que, quel que soit $\epsilon$, il y a un certain $N$ tel que, pour tout $n$ et $m$ suffisamment grands, la distance entre $x_n$ et $x_m$ est $\epsilon$-petite. Parce que cet objet est un majorant : c’est une constante [times] une [somme]. C’est clair ? *» ⚠️ « un mesore […] une jupe » = « un majorant : c’est une constante [fois] une somme ».

• « *Et donc, puisque la suite est de Cauchy, elle est convergente, parce qu’on a un espace métrique complet. *»

$$\exists \bar{x}\in X\text{ tel que}\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=\bar{x},$$

• « et $\bar{x}$ appartient à mon espace $X$, parce que, par définition, mon espace est complet. Très bien, mais écrivons ça en détail : ça veut dire que $x_n$ [vaut] $f$ de $x_{n-1}$ [par la] la définition de la suite $(x_n)$. Maintenant, je prends la limite à gauche et à droite de cette égalité :

$$\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }f(x_{n-1}).$$

« La limite [de] $x_n$ [est] la limite par construction. Combien vaut la limite [quand $n\to +\infty$] de $f(x_n)$ ? J’aimerais pouvoir échanger la limite et $f$, c’est-à-dire échanger la limite de $f$ avec $f$ de la limite. Et quand on peut échanger la limite et $f$ avec $f$ de la limite, $f$ est continue — et $f$ est continue parce que c’est une contraction [cf. section 17]. Donc : »

$$\underset{n\to +\infty }{\lim }f(x_{n-1})=f\left(\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_{n-1}\right)=f(\bar{x})\text{et}\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_{n-1}=\bar{x}.$$ $$\boxed{\bar{x}=f(\bar{x})}$$

• « *Donc, j’ai démontré que la limite de la suite $(x_n)$, et par construction [le point] $\bar{x}$ qui est fixé par $f$ [est un point fixe de $f$]. Ok. *»

• Question d’un étudiant (et mise au point du prof) : « une question : quand vous passez de $\lim x_n$ à $\lim f(x_n)$ ? — … par définition. Ah, excusez-moi. [En fait] après, j’ai fait sa définition : $x_n$ est égale à $f(x_{n-1})$, et la limite de $x_{n-1}$ est la même chose ; donc là, c’est $f(x_n)$. »

19.6. Unicité du point fixe — [01:20:35 → 01:23:06]

• « Il faut maintenant montrer qu’il est unique. Si j’avais pris un autre $x_0$, [la suite] n’a pas convergé vers un autre point : donc on montre par contradiction que ce n’est pas possible. »
• Hypothèse de contradiction : « *Supposons qu’il existe $\hat{x}$ et $\tilde{x}$, tous les deux dans mon ensemble $X$, qui sont points fixes : donc $f(\hat{x})=\hat{x}$ et $f(\tilde{x})=\tilde{x}$. Donc, je suppose que j’ai deux points de départ différents, chacun [de] son côté de Cauchy, chacun converge vers son point limite $\hat{x}$ et $\tilde{x}$, et par construction les deux vont être points fixes. Je vais montrer qu’en réalité, ça c’est une contradiction et $\hat{x}$ doit [être] égal à $\tilde{x}$. Je suppose qu’ils sont différents et je vais montrer que ça donne lieu à une contradiction. *»

Démonstration. « Je vais mesurer la distance entre $\hat{x}$ et $\tilde{x}$, qui par définition est la distance entre $f(\hat{x})$ et $f(\tilde{x})$ — parce que $\hat{x}$, $\tilde{x}$ [étant points fixes,] c’est la même chose que $f$. Mais la fonction $f$ est une contraction, et donc [c’est] inférieur ou égal à $\alpha$ fois la distance entre $\hat{x}$ et $\tilde{x}$. »

$$d(\hat{x},\tilde{x})=d(f(\hat{x}),f(\tilde{x}))\le \alpha d(\hat{x},\tilde{x}).$$

« Mais donc, si ces deux points existent, il faut que la distance entre $\hat{x}$ et $\tilde{x}$ soit $\alpha$ fois plus petite que la distance [entre] le même point, et $\alpha$ n’est pas plus grand que 1 [« pas plus petit que 1 » est un lapsus du prof : le sens est « $\alpha <1$ »], et cela n’est pas possible, sauf si la distance est zéro. » ⟹ $d(\hat{x},\tilde{x})=0$ ⟹ $\hat{x}=\tilde{x}$ (rappel de l’axiome de séparation : « nous avons vu que la distance est zéro si et seulement si les deux points sont les mêmes »). « Mais on avait supposé qu’ils n’étaient pas les mêmes : donc impossible, on ne peut pas avoir deux points. »

• Conclusion forte du prof : « *Et donc, en fait, tous les points de mon espace, quand vous appliquez $f$, ils vont tous converger vers le même point fixe $\bar{x}$ qui est unique. Et donc on a démontré que, dans un espace métrique complet, la contraction admet un seul point fixe. Donc, c’est le théorème de la contraction que vous avez là-bas [au tableau]. *»

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20. Proposition : $f$ continue et $f^{[m]}$ contraction ⟹ point fixe unique de $f$ — [01:23:15 → 01:31:58]

20.1. Pourquoi le théorème de Banach ne suffit pas encore — [01:23:15 → 01:24:12]

• « Tout ça, c’est très bien, mais malheureusement, ce n’est pas suffisant pour le théorème qu’on cherche, le théorème de Picard, parce que la fonction que nous avons définie tantôt, avec $\Phi$ rond, n’est pas une contraction. »
• « *Et donc, il faut utiliser une proposition liée à ça, qui est la suivante. *»

20.2. Énoncé de la proposition — [01:23:43 → 01:25:04]

Proposition. Soit $X$ un espace métrique complet, de distance $d$. Soit $f:X\to X$ une fonction continue — on ne sait pas si $f$ est une contraction ou pas ; on sait juste qu’elle est continue. Supposons qu’il existe un entier $m>0$ tel que, quand je fais $f$ itéré $m$ fois — j’appelle cet objet $f^{[m]}$ — alors $f^{[m]}$ est une contraction. Alors il existe un unique point fixe $\bar{x}$ de $f$.

« C’est un théorème un peu différent du précédent, parce que $f$ n’est pas une contraction, mais c’est cette fonction [obtenue en composant] $f$ avec elle-même qui est une contraction — et c’est ça qu’on va utiliser dans le théorème [de Picard]. »

20.3. Démonstration — la division euclidienne des itérations — [01:25:04 → 01:30:46]

• « Alors, comment on démontre cette proposition ? Donc je mets, dans notre [cas], mon point $x_0$ dans mon ensemble $X$, et je vais construire ma suite qui est $(x_n)$ et qui égale [$f$ itéré $n$ fois] du précédent. Alors, il existe [pour] tout entier $n$, la forme suivante :

$$\boxed{n=km+q,k\in \mathbb{N},q\in \{0,1,\dots ,m-1\}}$$

« Donc $k$ c’est un entier positif, et $q$ c’est un entier qui est contenu entre $m-1$ et 0. En gros, c’est la division [euclidienne] qui vient des entiers. [Par exemple] $n=10$, $m=3$ : $10=3\times 3+1$. On peut [le] trouver [pour] $k$, $m$ donné, et $q$. C’est la division des entiers. »

• Pourquoi c’est important : « *Parce que je peux écrire $x_n$ comme $f$ itéré $n$ fois $x_0$ — c’est ce qu’on a fait, c’est un peu ma définition. Mais $f$ itéré $n$ fois, c’est donc faire $f$ itéré $k$ fois $m$ plus $q$ fois. [Autrement dit], au lieu d’avoir écrit « $n$ fois », j’ai dit « $k$ fois $m$ plus $q$ ». *»

$$x_n=f^{[n]}(x_0)=f^{[km+q]}(x_0)=f^{[km]}(f^{[q]}(x_0))=f^{[km]}(x_q)=(f^{[m]}{)}^{[k]}(x_q).$$

• « Donc si vous faites les $q$ premières itérations toute seule, sur $x_0$, vous obtenez $x_q$. [Note :] il n’y a pas de [notation] du $q$ [sur les puissances] de $x$, etc. [Le regroupement] $x_n$ est devenu [$f$] itéré $km$ fois $x_q$. Ok. »

20.4. Application du théorème de Banach à $f^{[m]}$ — [01:27:39 → 01:31:58]

• « *Mais celle-là, je peux [l’]utiliser en [suffixe] : c’est [$f$] itéré $m$ fois $x_q$, itéré $k$ fois. Donc, si vous voulez, vous pouvez l’écrire [avec] $f$, $f$, $f$, $f$ [autant de fois que] je ne sais pas, 6 fois : vous pouvez vous amuser [à] faire des blocs de 2 et de 3 — ça les apprend, ça : vous faites des blocs de $m$, et après vous écrivez $k$ fois. *» ⚠️ la phrase sur les « blocs de 2 et de 3 » est une explication à l’oral de la notation en puissances d’une composée ; cf. Doutes.
• « *Mais alors, l’objet qui est dedans, c’est ma fonction $\Phi$ [= $f^{[m]}$]. Donc, ça est égal à [la fonction] $f^{[m]}$ appliquée $k$ fois au point $x_q$. Or la fonction [$f^{[m]}$] est une contraction — on le sait [grâce au] théorème [de Banach] des contractions. Donc [on sait] que, quel que soit le point que j’appelle $x_q$ dans mon ensemble $X$, [$f^{[m]}$] itéré $k$ fois converge vers un certain point $\bar{x}$ quand $k$ tend à l’infini ; il a bien un point fixe, quel que soit $x_q$ : pour [$f^{[m]}$], $\bar{x}$ s’applique, c’est-à-dire [$f^{[m]}$]($\bar{x}$) $=\bar{x}$. *»

$$\forall q,(f^{[m]}{)}^{[k]}(x_q)\underset{k\to +\infty }{\to }\bar{x},f^{[m]}(\bar{x})=\bar{x}.$$

• « *Donc, les théorèmes que je viens de montrer, je les applique à la fonction [$f^{[m]}$]. Mais observez que si $k$ tend à l’infini, $n$ aussi tend à l’infini — parce que $q$ est fixé et $n$ est fixé [= « $q$ est fixé et $n=km+q$ »] : donc, en fait, la limite de $k$ qui tend vers l’infini est [la] même [que] la limite de $n$ qui tend vers l’infini. *»

$$\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=\underset{k\to +\infty }{\lim }(f^{[m]}{)}^{[k]}(x_q)=\bar{x}.$$

• « Et donc, tout ça, je peux le réécrire de la façon suivante :

$$\underset{=\bar{x}}{\underbrace{\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n}}=\underset{k\to +\infty }{\lim }\underset{x_{mq+k}}{\underbrace{\left(f^{[m]}{)}^{[k]}\right(x_q)}}=\bar{x}.$$

Et cette limite, je vais la calculer [= « en $x$ chapeau »] : donc, après, j’ai démontré que la suite $(x_n)$ qui est construite avec $f$ converge aussi vers le point $\bar{x}$. »

20.5. $\bar{x}$ est aussi point fixe de $f$ — [01:30:48 → 01:31:58]

• Question du prof : « Est-ce que $\bar{x}$ est point fixe de $f$ ? La réponse est oui, parce que par définition vous avez [la relation] $x_n=f(x_{n-1})$ ; vous passez la limite à gauche et à droite :

$$\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }f(x_{n-1})=\bar{x}\text{et}\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_{n-1}=\bar{x},$$

« donc, si on veut échanger $f$ avec la limite, il faut que $f$ soit continue — et en fait, ça, c’est une hypothèse : il faut que $f$ soit continue. Avant, on n’en avait pas [besoin] parce qu’il y avait la contraction ; et donc, puisque [$f$ est] continue, [la limite] sera égale à $f$ de la limite, qui est donc égale à $f(\bar{x})$ ». »

$$\bar{x}=\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_{n-1}\underset{f\text{continue}}{=}\underset{n\to +\infty }{\lim }f(x_{n-1})=f(\bar{x})⟹f(\bar{x})=\bar{x}.$$

• « *Donc le point fixe de la fonction [$f^{[m]}$] est aussi le point fixe de la fonction $f$, qui est unique, comme on a démontré jusqu’à maintenant. *» ⚠️ la démonstration de l’unicité pour $f$ est ici très résumée : cf. Doutes.
• Ce qu’il faut retenir (énoncé par le prof) : « *Et donc on a démontré, et ça, c’est ce qu’on va utiliser la fois prochaine : pour avoir un point fixe et unique, ça suffit que $f$ soit continue et qu’il y ait une certaine itération de cette fonction $f$ qui soit une contraction. *»

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21. Bilan : ce qui reste à faire pour obtenir le théorème de Picard — [01:32:02 → 01:32:39]

• « Donc, ce qu’il nous reste à faire, et qu’on fait ça la fois prochaine, c’est reprendre la fonction qu’on a ici — ce que j’ai appelé $\Phi$ — ça va être la fonction $f$ qu’on va utiliser. Donc il faudra démontrer que l’espace des fonctions continues, donc $X$, est un espace métrique complet ; il faudra démontrer que la fonction [$f$ = $\Phi$] n’est pas une contraction ; donc on fait le raisonnement [avec la proposition] « continue, mais il y a un certain [entier] $m$ de cette fonction ici qui va être une contraction ». Et donc, automatiquement, on aura l’existence et l’unicité d’une fonction $\bar{u}$ qui a [un] point fixe. »

Feuille de route de la prochaine séance (résumée par le prof)

1. Munir $X=C(I_0,\mathbb{R})$ de la distance $\Vert u-v{\Vert }_{\infty }={\sup }_{t\in I_0}|u(t)-v(t)|$ et prouver que $(X,\Vert \cdot {\Vert }_{\infty })$ est métrique complet ;
2. Prouver que $\Phi$ n’est pas une contraction, mais que ${\Phi }^{[m]}$ en est une pour un certain $m$ ;
3. Appliquer la proposition de la section 20 ⟹ existence et unicité de la solution du problème de Cauchy.

✅ Situation dans le plan du cours (slide 1) : ces trois points terminent le Chapitre I et ouvrent le Chapitre II — « Le problème de Cauchy ». Le Chapitre III — « Prolongement des solutions » (donc le prolongement au-delà de $I_0$, §5 et §7.3) est explicitement renvoyé plus loin. Voir section 25.1.

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22. Le quiz final au QR-code — [01:32:39 → 01:47:14]

• Installation : « Maintenant, dans le temps qui reste, je vais vous faire un petit [QCM], un petit [quiz] génératif [= « interactif »]. Si vous avez vos GSM, vous pouvez [y répondre]* »* (⚠️ « je ne sais pas si vous avez le code [QR] » — l’oral est indistinct sur ce point).
  • « Tout le monde a réussi à se connecter ? — Ok. C’est parti. »
  • « On n’a pas trop de choses qui savent ce qu’on était [dit]… [Si vous êtes] 16 [et] c’est qu’[ils] ne sont pas connectés, c’est parce qu’il n’y a pas [de] GSM [= « ils n’ont pas lu le GSM »]. Vous pouvez poser la question [au voisin], mais c’est pas [possible]. Ok, je vais démarrer. »

⚠️ Avertissement de méthode : les énoncés des questions étaient affichés à l’écran (diapositives) et n’ont pas été dictés. Ce qui suit restitue les questions telles qu’elles sont dictées et les réponses du prof, plus la reconstitution des équations quand elle est fiable (les marqueurs ⚠️ signalent les cas non reconstituables avec certitude — aucune slide n’est disponible sur le disque).

22.1. « Toutes les équa-diff sont en forme normale » — Vrai / Faux ? — [01:35:31]

• Réponse : « Non, parce que la forme normale, c’est que vous pouvez isoler la dérivée la plus grande, et ça, ce n’est pas toujours possible. Donc si on ne sait pas isoler la dérivée la plus grande, on n’a pas la forme normale ; donc on va faire avec ce qu’on a. Ok, on passe. »

22.2. « Les problèmes de Cauchy $u^{\prime }=f(t,u),u(t_0)=u_0$ admettent une solution si $f$ est continue » — Vrai / Faux ? — [01:36:28]

• Réponse : « Oui, parce qu’on dit juste qu’elle existe, et pas qu’elle est unique. Donc, la continuité garantit seulement l’existence, mais pas l’unicité. Et donc, les problèmes de Cauchy n’ont [une existence et] une unicité que si $f$ est [lipschitzienne]. » ⚠️ dernière proposition : formulation dégradée (« si $f$ est continué ») — le sens mathématique est « lipschitzienne en $u$ » (cf. section 11).
  • ✅ Confirmé et nommé par la slide : c’est le théorème d’existence de Peano — « Si $f(t,u)$ est continue dans un voisinage du point $(t_0,u_0)$, alors le Problème de Cauchy admet au moins une solution définie dans un voisinage de $t_0$. » → la réponse « oui / existence seulement » du quiz est donc théoriquement exacte, y compris dans le « au moins une ».

22.3. « L’équa-diff $y^{\prime \prime }+w(x)y=0$ est d’ordre 1, 2 ou 3 ? » — [01:37:54 → 01:38:51]

• Réponse : « La réponse est bien 2, parce que vous avez la dérivée seconde $y^{\prime \prime }$, c’est [le] plus grand [ordre]. »
• « L’équa-diff dérivée seconde + $w(x)y=0$ est autonome ou non autonome ? » — le prof définit d’abord les deux mots : « On va [dire] autonome, c’est-à-dire [si] elle dépend explicitement du temps ou de la variable indépendante ; et non autonome, c’est le contraire. »
  • ✅ Mot pour mot conforme à la slide : « Si [elle] ne dépend pas de façon explicite de la variable $t$, alors on aura une EDO autonome. » → sa définition est verbatim celle du cours écrit.

22.4. « La [balle qui pendule / le système] » — [01:39:21 → 01:39:53]

• « Je vais vous mettre un petit peu de matière. » ⚠️ « un petit peu de maté, maté, maté » : formule figée, cf. Doutes.
• « La personne qui fait pencher la balle [= l’oscillation d’une balle / d’un pendule], on met ça là » — réponse : « non autonome ». ⚠️ la question et l’équation correspondante ne sont pas dictées : la seule affirmation vérifiable est la réponse « non autonome », et elle est en contradiction avec le modèle usuel du pendule $\ddot{\theta }=-\frac{g}{\ell }\sin \theta$, qui est autonome → à vérifier sur la slide (cf. Doutes).

22.5. Retour sur $y^{\prime \prime }+w(x)y=0$ : la justification de « non autonome » — [01:39:53 → 01:40:46]

• « Parce que quand j’ai [regardé] le terme dérivée seconde de $y$, je vais dire que je vais dériver $y$ par rapport à la variable $x$ deux fois, qui est égale à ça, et donc voyez qu’ici vous avez explicitement la variable $x$, qui est la variable [indépendante] par rapport à [laquelle] on dérive $y$. [En] revoyant notre nombre [= le coefficient $w$] : notre nombre ne dépend pas seulement du temps, mais il est dans la variable indépendante, quel que soit son nom ».

$$\underset{\text{deˊpend explicitement de la variable indeˊpendante }x}{\underbrace{w(x)}}⟹\text{eˊquation non autonome}.$$

• « Donc, l’équa-diff dérivée seconde + $w(x)y^{\prime }$ est d’ordre 1, 2 ou 3 ? — Ok, donc elle est bien [d’]ordre 2, parce que même si on [regarde] la première, on va [prendre] la plus grande, la deuxième. » ⚠️ la dérivée qui apparaît dans l’énoncé est captée comme $y^{\prime }$ puis comme $y^{\prime \prime }$ selon les passages ; l’ordre annoncé reste 2 dans les deux cas (dérivée 1 ou 2) → cf. Doutes.

22.6. Deux équations à classer sans commentaire — [01:41:06 → 01:42:49]

• « L’équa-diff dérivée seconde + $v(x)y^{\prime }=0$ est autonome ou non autonome ? — Je pense que vous avez compris. » ⟹ non autonome (présence explicite de $v(x)$).
• « *Les équa-diff dérivée troisième + $x{y}^{\prime }=0$ : est-ce d’ordre 1, 2 ou 3 ? — L’équa-diff dérivée troisième + $x$ fois $x^{\prime }$ égale à zéro est autonome ou non autonome ? *» — réponse : « La bonne réponse est toujours non autonome, parce que vous avez ici un $x$ qui est la variable indépendante. »
• « L’équa-diff dérivée première + $x$ fois $y^3$ égale à 0 est d’ordre 1, 2 ou 3 ? » — réponse : « L’autre, c’est la dérivée » [qui compte] : ce n’est pas la puissance qui est ici ⟹ ordre 1 (l’ordre compte les dérivées, jamais les exposants).

22.7. « $y^{\prime }=e^{x{y}^3}$ : autonome ou non autonome ? » — [01:42:31 → 01:43:01]

• « Vous voyez ce qu’il fait ? Oui, on a sorti. Quoi ? — Ah, ok. » ⚠️ l’équation est captée comme « $y^{\prime }$ égale e plus $x$ [fois] $y$ cube » : soit $y^{\prime }=e+x{y}^3$, soit $y^{\prime }=e^{x{y}^3}$. La phrase « on a sorti » (= « on a isolé la dérivée ») indique qu’il s’agit d’un QCM sur les trois critères à cocher (ordre / autonomie / forme normale), dont le prof donne ici le troisième. → à vérifier sur la slide (cf. Doutes).

22.8. Le QCM à trois critères (ordre / autonomie / forme normale) — [01:43:01 → 01:47:14]

• « Vous pouvez vérifier : l’un, c’est A, B, C, la D […] A, B, C, C. » ⚠️ récapitulatif des réponses des questions précédentes, distribué entre les colonnes de réponses possibles ; l’ordre des lettres n’est pas reconstituable avec fiabilité (cf. Doutes).

Les quatre équations du QCM, telles que le prof les commente — le prof « il faut cocher les trois critères : ordre, autonomie, forme normale » :

#	Équation reconstituée	ordre	autonome	forme normale	phrase du prof
1	$y^{\prime }=f(t,y)$	1	non	oui	« elle est d’ordre 1, comme toutes les autres ; elle est non autonome parce qu’il y a dépendance explicite par rapport à $t$ ; elle est en forme normale parce que la dérivée est isolée. Et donc, c’est la réponse C. »
2	$\dot{x}=x^2$	1	oui	oui	« vous avez $\dot{x}=x^2$ : c’est une équa-diff d’ordre 1, autonome parce qu’il n’y a pas de dépendance par rapport à $t$, et en forme normale. »
3	$(\dot{x}{)}^2=\text{(reste)}$	1	oui	non	« une équa-diff d’ordre 1, autonome, mais pas en forme normale, parce que vous n’avez pas isolé $\dot{x}$ : vous avez $\dot{x}$ au carré ; vous allez devoir faire $\dot{x}=$ racine [du reste]. »
4	$\ddot{x}+{\omega }^{2}x=0$ ⚠️	2	oui	oui	« ici vous avez une équa-diff d’ordre 2, en forme normale [oui] et autonome [oui], et donc c’était la réponse C. »
5	$({\dot{x}}_1{)}^2=\text{(reste)}$	1	oui	non	« une équa-diff d’ordre 1, autonome [oui], mais pas en forme normale parce que vous avez $x_1$ au carré. »
6	$x_2^3=\text{(reste)}$, dépendant de $t$	2	non	non	« une équa-diff d’ordre 2, non autonome à cause du $t$ qui est ici, qui n’est pas en forme normale parce que vous avez $x_2$ au cube. »

• Nuance importante du prof sur la « forme normale » : « *donc ça, c’est [d’]ordre 2, elle est autonome, elle n’est pas — comme on dit — en forme normale, mais c’est juste amener les $x^{\prime }$ de l’autre côté : donc on pourrait dire qu’elle est en forme normale. *» ⚠️ c’est-à-dire : la lecture littérale (« la dérivée n’est pas isolée ») peut être levée si l’on accepte de passer la dérivée à gauche — la frontière de la définition est donc discutée à l’oral, et le prof invite explicitement à nuancer le critère.

• « Celle-là, elle est d’ordre 2, elle est autonome mais elle n’est pas en forme normale, parce que même si on amène $\dot{x}$ de l’autre côté, il reste le carré. » ⟹ cas $(\dot{x}{)}^2=\dots$ : on ne peut pas se ramener à une forme normale par simple isolement de $\dot{x}$ (il reste le carré de $\dot{x}$).

• « Par contre, celle-là c’est autonome, d’ordre 2, à nouveau en forme normale — ça se fait [en isolant] $\dot{x}$, [au] signe près [= « à un signe près »]. » ⟹ cas $(\dot{x}{)}^2=4x$ (par ex.) : $\dot{x}=\pm 2\sqrt{x}$ est une forme normale.

📌 Les trois critères, tels que le prof les formule (à retenir pour l’examen) :

1. l’ordre = la plus grande dérivée qui apparaît (jamais la puissance d’une fonction) ;
2. autonome = ne dépend pas de façon explicite de la variable indépendante (formulation officielle, slide « Définition EDO ») — le « temps », quel que soit son nom : $t$, $x$, … ;
3. forme normale = la dérivée la plus grande est isolée — avec la nuance de l’oral sur le fait que, par exemple, amener $\dot{x}$ de l’autre côté peut suffire.

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23. Le point de vocabulaire : qu’est-ce qu’une équation différentielle ? — [01:47:14 → 01:50:08]

• « *Alors, il y a encore deux questions. Donc une est [une équa]diff : l’autre est une [quelque chose] entre la variable [quelque chose], la fonction [quelque chose], et c’est [quelque chose] plus qu’à la [quelque chose]. Essayez de mettre les mots qui vous viennent le plus. *»
• Réponse à la première question : « Donc une équa-diff est une équation entre la variable indépendante, la fonction inconnue, et [ses] dérivées jusqu’à la $n$. [Puis,] c’est juste une équation ; plutôt qu’une équation, c’est une relation fonctionnelle : c’est juste ce qui exprime une fonction et ses dérivées [= « une fonction et ses dérivées »]. Sinon, c’est globalement correct. »

$$\text{Une eˊquation diffeˊrentielle}=\text{une relation fonctionnelle liant }t,y(t),y^{\prime }(t),\dots ,y^{(n)}(t).$$

• Réponse à la deuxième question (l’équivalence du début de cours, reformulée) : « *Donc, une équa-diff d’ordre $n$ en forme normale avec une fonction [quelque chose] est équivalente à une équa-diff d’ordre [1] en forme normale avec une fonction [quelque chose]. Donc : une équa-diff d’ordre $n$, en forme normale, avec une fonction scalaire, est équivalente à une équa-diff d’ordre 1, en forme normale, avec une fonction vectorielle — ce qu’on avait au début. Donc, si vous avez $n$ dérivées mais sur un scalaire, c’est comme avoir une seule dérivée mais sur un vecteur de dimension $n$. *»

Rappel du §1–3, en une phrase : $y^{(n)}=g(t,y,y^{\prime },\dots ,y^{(n-1)})$ (scalaire) ⟺ $U^{\prime }=H(t,U)$ avec $U=(y,y^{\prime },\dots ,y^{(n-1)})\in {\mathbb{R}}^n$ (vectoriel).

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24. Fin de séance — [01:50:08]

• « Avec ça, le cours est terminé — et aussi les cours d’aujourd’hui. Donc on se voit demain après-midi à 2 h. »
• 📅 Organisation : la prochaine séance (lundi) portera sur la conclusion du théorème de Picard (voir la feuille de route, section 21) ; le cours alterne visiblement théorie le matin / autres cours l’après-midi (la séance s’est arrêtée à 1 h 50).

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25. Confrontation avec le syllabus et les slides (Chapitre I) — hors audio

📄 Cette section n’est pas dictée : c’est la comparaison de la transcription avec les deux documents officiels du même dossier, Chapitre1 - Sylabus.pdf (10 p., version septembre 2022, auteur Timoteo Carletti) et Chapitre1 - Slides.pdf (6 diapos). Les équations des slides sont des images non extractibles ; tout ce qui suit provient de la couche texte des deux PDF.

25.1. Identification et plan de la matière

Élément	Source	Valeur
Professeur	slide 1	Timoteo Carletti — timoteo.carletti@fundp.ac.be, bureau 332, Département Mathématique, 3ᵉ étage, bâtiment Sciences Eco
Code du cours	slide 1	SMAT B222 — « Équations différentielles ordinaires »
Syllabus	10 p.	auteur Timoteo Carletti, version septembre 2022
Support de la séance	slide 1 + syllabus	Chapitre I — « Introduction et premières définitions » (le cours a repris la matière en fin de séance 1)

Plan des 9 chapitres (slide 1, à connaître pour situer ce qui reste) :

	Chapitre	Statut
I	Introduction et premières définitions	← la séance d’aujourd’hui (1re moitié)
II	Le problème de Cauchy	← la séance d’aujourd’hui (2e moitié : Banach)
III	Prolongement des solutions	à venir
IV	Dépendance continue par rapport aux paramètres	à venir
V	Quelques solutions explicites	à venir
VI	Équations différentielles ordinaires linéaires	à venir
VII	Points d’équilibre et dynamique locale	à venir
VIII	Applications : dynamique de populations	à venir
IX	Applications : intégration numérique	à venir

• ✅ Confirmation de la feuille de route du prof (section 21) : le chapitre II est bien « Le problème de Cauchy », et le chapitre III est bien « Prolongement des solutions » → ce qu’il annonce pour la prochaine séance est exactement la fin du chapitre II.
• ✅ Le cours commence par la moitié droite du chapitre I (« on a défini les équations différentielles la fois passée », section 1) : la séance couvre donc le chapitre I et le chapitre II.

25.2. Les 3 questions de l’introduction (slide 2) — le programme du chapitre

1. Qu’est-ce qu’une « Équation Différentielle Ordinaire » ?
2. Pourquoi des EDO ? — 2.1) après combien de temps un caillou lancé verticalement (hauteur $h$, vitesse $v_0$) tombe par terre ? 2.2) datation des ossements de dinosaures au C14. 2.3) capital et intérêt. 2.4) recherche de primitives.
3. Qu’est-ce qu’une solution ? Y en a-t-il toujours ? Combien : une ou plusieurs ?

→ Réponse (slide) : « Théorème d’existence et unicité de Picard. »

• ✅ Les 4 exemples de la slide (2.1–2.4) sont exactement les 4 sections 1–4 du syllabus (C14, capital et intérêt, primitives, chute des corps). C’est donc à cela que le prof renvoie quand il parle de « ce qu’on a vu » en ouverture.
• ✅ La question 3 est le fil conducteur de la séance : existence (→ l’équation intégrale, section 13) puis unicité (→ Banach, section 19), et elle est explicitement renvoyée au chapitre II.

25.3. Les 4 exemples du chapitre — ce que le syllabus appelle « l’expérience »

(à lire dans le syllabus ; rien de tout cela n’est dicté dans l’audio d’aujourd’hui)

§1 — Datation au C14. Radioactivité : un neutron se désintègre en $n\to p^{+}+e^{-}+\bar{\nu }$, avec une probabilité par unité de temps égale à la constante $\lambda$. Sur un petit intervalle,

$$N(t+\Delta t)=N(t)-N(t)\lambda \Delta t⟹\underset{\underset{\Delta t\to 0}{\to }\dot{N}(t)}{\underbrace{\frac{N(t+\Delta t)-N(t)}{\Delta t}}}=-\lambda N(t)\text{(I.1.1)}$$

où $\dot{N}(t)=\frac{dN}{dt}(t)$ est, selon la notation des physiciens, le taux net de changement du nombre de neutrons. En divisant par $N(t)>0$ et en intégrant,

$$\frac{1}{N(t)}\frac{dN(t)}{dt}=-\lambda ⟺\frac{d}{dt}\log N(t)=-\lambda ⟹\log N(t_1)-\log N(t_0)=-\lambda (t_1-t_0)⟹N(t_1)=N(t_0)e^{-\lambda (t_1-t_0)}.$$

D’où la datation (on mesure $N(t_{\text{mesure}})$ et on connaît $N(t_{\text{coupe}})$ et $\lambda$) :

$$t_{\text{mesure}}-t_{\text{coupe}}=\frac{1}{\lambda }\log \frac{N(t_{\text{mesure}})}{N(t_{\text{coupe}})}.$$

§2 — Capital et intérêt. Échéance de durée $\Delta t$ : $u(t_{i+1})=u(t_i)+pu(t_i)\Delta t$ (I.2.1), donc

$$\frac{u(t_{i+1})-u(t_i)}{\Delta t}=pu(t_i)\text{(I.2.2)}\underset{\Delta t\to 0}{\to }\frac{du}{dt}(t_i)=pu(t_i)\text{(I.2.3)}$$

Puis, en supposant $u\ne 0$ : $\frac{1}{u}\frac{du}{dt}=p⟺\frac{d}{dt}\log u(t)=p$, donc $\log u(t)-\log u(t_0)=p(t-t_0)$ et $u(t)=u(t_0)e^{p(t-t_0)}$.

⚠️ Le syllabus signale le cas dégénéré : « Revenons sur l’hypothèse $u(t)\ne 0$ […] $u(t)\equiv 0$ est bien une solution mais elle sera écartée, car elle n’est pas compatible avec notre condition initiale. »

Retrait d’un montant $b$ à chaque échéance (I.2.4) :

$$\dot{u}=pu-b⟹u(t)=\frac{b}{p}+\left(u(t_0)-\frac{b}{p}\right)e^{p(t-t_0)}.$$

Trois cas, à connaître :

1. $b<pu(t_0)$ : on retire moins que ce que produisent les intérêts ⟹ le capital augmente, $u(t)$ toujours positive ;
2. $b>pu(t_0)$ : le capital décroît, $u$ positive entre $t_0$ et un certain $T>t_0$, puis négative ; $u(T)=0$ donne

$$T=t_0+\frac{1}{b/p}\log \frac{b/p}{u(t_0)};$$

3. $b=pu(t_0)$ : capital constant, $u(t)=b/p$.

§3 — Recherche de primitives. On se donne $f$ continue sur $(a,b)$ et on cherche $F$ telle que $F^{\prime }(x)=f(x)$ ; par le théorème fondamental du calcul intégral,

$$F(x)={\int }_a^{x}f(\xi )d\xi \text{(et }{F}_c=F+c\text{ aussi)}$$

§4 — Chute des corps. Vitesse moyenne puis instantanée (I.4.1–I.4.4) : $v(t_1)={\lim }_{t_2\to t_1}\frac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2-t_1}=\dot{x}(t_1)$, de même $\ddot{x}$. Newton : $F=mg$ dirigée vers le centre de la terre, donc

$$m\ddot{x}(t)=-mg\text{(I.4.6)}\text{avec}x(0)=h,\dot{x}(0)=v_0\text{(I.4.7)}$$

En intégrant deux fois (I.4.8) : $\dot{x}(t)=v_0-gt$ et $x(t)=h+v_{0}t-\frac{g{t}^2}{2}$. Le temps de chute $\hat{t}$ est la racine de $x(\hat{t})=0$ (I.4.9) :

$$\hat{t}=\frac{v_0+\sqrt{v_0^2+2gh}}{g}\text{(I.4.10)}$$

« Observons que, des deux solutions de l’équation de deuxième degré (I.4.8), une seule est physiquement acceptable, l’autre correspond à une évolution du temps contraire à la flèche du temps réel. »

25.4. Les définitions officielles, et leur confrontation avec le cours

DÉFINITION 5.1 (équation différentielle ordinaire) — syllabus §5 / slide « Définition EDO »

Une équation différentielle d’ordre $n$, entier positif, est une relation du type

$$F(t,f(t),f^{\prime }(t),f^{\prime \prime }(t),\dots ,f^{(n)}(t))=0\text{(I.5.1)}$$

entre la variable indépendante $t$, la fonction inconnue $f(t)$ et ses dérivées successives jusqu’à l’ordre $n$, notées $f^{(l)}(t)$, $l=1,\dots ,n$. Si on peut isoler la dérivée d’ordre le plus élevé et récrire la relation comme

$$f^{(n)}(t)=G(t,f(t),f^{\prime }(t),\dots ,f^{(n-1)}(t))\text{(I.5.2)}$$

on parlera de forme normale. (…) L’adjectif ordinaire se réfère au fait que la fonction inconnue ne dépend que de la variable $t$ ; dans le cas de dépendance de plusieurs variables et des dérivées respectives, on aura une équation aux dérivées partielles (EDP).

• ✅ Concordance exacte avec le cours, §1 (forme normale) et §23 (définition demandée au quiz : « une équation entre la variable indépendante, la fonction inconnue, et [ses] dérivées jusqu’à la $n$ »).
• ⚠️ Différence de lettre : le syllabus note la fonction inconnue $f$, l’équation de droite $G$, et l’inconnue de l’équation de droite $u$ ; le cours utilise $u$ pour l’inconnue et $g$ / $H$ pour le second membre. Attention à ne pas confondre les deux $f$ : dans le cours, $f$ désigne le second membre de l’EDO vectorielle $u^{\prime }=f(t,u)$, alors que dans le syllabus $f$ est la fonction inconnue et $G$ le second membre.

DÉFINITION 5.3 (Solution) — syllabus §5 / slide « Définition de solution »

On considère la fonction vectorielle $f(t,u)=(f_1(t,u),\dots ,f_n(t,u){)}^T$ des $n+1$ variables réelles $(t,u)=(t,u_1,\dots ,u_n)$, définie sur l’ouvert $A\subseteq {\mathbb{R}}^{n+1}$, et l’EDO du premier ordre (vectorielle) $\dot{u}=f(t,u)$. Une fonction $y(t)=(y_1(t),\dots ,y_n(t){)}^T$, définie dans un intervalle $I\subseteq \mathbb{R}$, est une solution si :

1. pour tout $t\in I$ le point $(t,y(t))$ appartient à $A$ ;
2. pour tout $t\in I$ on a $\dot{y}=f(t,y(t))$.

• ✅ Concordance exacte avec le cours §5 (« deux choses », la première étant « il faut que le couple $(t,Y(t))$ appartienne au domaine [le]quel $H$ est défini » — c’est bien la condition (1), que le prof qualifie de « trivial » mais qu’il exige quand même).
• 📌 Le syllabus précise que « les vecteurs seront toujours, sauf avis différent, des vecteurs colonnes » (note 4).

DÉFINITION 5.4 (Problème de Cauchy et sa forme intégrale) — syllabus §5 / slide « Problème de Cauchy »

$$\{\begin{array}{l}\dot{u}=f(t,u)\\ u(t_0)=u_0\end{array}\text{(I.5.4)}⟺y(t)=u_0+{\int }_{t_0}^{t}f(s,y(s))ds\text{(I.5.5)}$$

« Soit la fonction $f$ continue dans $A$ ; une fonction $y(t)$ est une solution de (I.5.4) si et seulement si elle est une solution continue de l’équation intégrale (I.5.5). » — et les deux sens sont justifiés : côté gauche, $y$ étant primitive de $s\mapsto f(s,y(s))$ elle est $C^1$ et $\dot{y}=f(t,y(t))$ ; côté droit, en intégrant $\dot{y}=f$ entre $t_0$ et $t$ et en utilisant $y(t_0)=u_0$.

• ✅ Concordance exacte avec le cours §13 (les deux sens y sont démontrés, dont le « sans hypothèse supplémentaire » grâce au théorème fondamental du calcul intégral). C’est bien une équation intégrale de Volterra.
• ✅ Le syllabus note que (I.5.5) « si $y(t)$ est une solution continue de (I.5.5), définie dans un voisinage de $t_0$, alors on a $y(t_0)=u_0$ » → c’est la justification de l’hypothèse « $t_0\in I_0$ » du cours.

25.5. REMARQUE 5.2 — le passage à l’ordre 1 vectoriel, formulation officielle

« Supposons une EDO d’ordre $n\ge 2$ (en forme normale) : $f^{(n)}(t)=F(t,f(t),f^{\prime }(t),\dots ,f^{(n-1)}(t))$. On va introduire la fonction vectorielle $u(t)=(u_0(t),\dots ,u_{n-1}(t){)}^T$ dont les composantes sont les fonctions définies par $u_0(t)=f(t),u_1(t)=f^{\prime }(t),\dots ,u_{n-1}(t)=f^{(n-1)}(t)$. Notre relation est donc équivalente à l’équation différentielle vectorielle du premier ordre :

$$\dot{u}=\left(\begin{array}{c}{u}_1(t)\\ u_2(t)\\ ⋮\\ f(t,u(t))\end{array}\right):=G(t,u(t)),$$

comme on peut aisément le vérifier par calcul. »

• ✅ Le « décalage d’un » du cours §3 est exactement celui du syllabus : ici $u_0=f$, $u_1=f^{\prime }$, …, $u_{n-1}=f^{(n-1)}$. Le cours numérote de $1$ ($u_1=f$), le syllabus de $0$ ($u_0=f$) — même contenu, convention différente.
• 📌 Le syllabus précise que « dans la plupart des cas, on considérera des EDO en forme normale, pour lesquelles il n’est pas restrictif de les considérer comme uniquement du premier ordre » → c’est la version écrite du « tous les résultats du cours sont pour l’ordre 1, mais ils sont valables pour d’autres ordres » du cours §4.
• 📌 La slide dit « Une EDO d’ordre $n$, $n\ge 2$, en forme normale… » : l’équivalence n’est assertions que pour $n\ge 2$ (pour $n=1$ elle est triviale).

25.6. Le théorème de Picard — l’énoncé officiel, et le point « locale »

Slide « Problème de Cauchy et Théorème de Picard » (texte, verbatim) :

Existence et unicité (Théorème de Picard) Si $f(t,u)$ est continue et bornée dans un voisinage du point $(t_0,u_0)$ et vérifie une condition de Lipschitz par rapport à la deuxième variable, alors le Problème de Cauchy admet une solution locale unique.

• ✅ Correspondance mot pour mot avec les trois hypothèses que le prof écrit au tableau (cours §7.2), y compris l’ordre « continue, lipschitz, bornée » et la restriction « dans un voisinage du point $(t_0,u_0)$ ».
• ✅ Le mot « locale » est la traduction officielle de ce que le prof appelle « l’intervalle $I_0$ un peu plus petit que $I$ » (§7.3) : ce n’est pas une restriction de confort, c’est le contenu du théorème.
• 📌 La même slide donne les autres noms du théorème : Cauchy-Kovalevskaïa, Cauchy-Lipschitz, Picard-Lindelöf (et les portraits de Cauchy, 1789-1857, et Picard, 1856-1941).
• 📌 Le slide PdC : « Problème de Cauchy (PdC) = EDO + données initiales », notation qui apparaît bien dans le cours.

25.7. « Les cas pathologiques » — le complément au théorème

Slide (verbatim) :

Cas « pathologiques » Manque d’unicité ; Existence seulement locale.

Théorème Existence (de Peano) Si $f(t,u)$ est continue dans un voisinage du point $(t_0,u_0)$, alors le Problème de Cauchy admet au moins une solution définie dans un voisinage de $t_0$.

Et le syllabus §6 fournit les deux exemples correspondants :

EXEMPLE 6.1 (Manque d’unicité)

$$\{\begin{array}{l}\dot{u}=3u^{2/3}\\ u(0)=0\end{array}$$

« On vérifie aisément que la fonction $y_1(t)=t^3$ est une solution, mais aussi la fonction $y_2(t)=0$, comme d’ailleurs toutes les fonctions $y_{a,b}(t)$ définies par »

$$y_{a,b}(t)=\{\begin{array}{ll}0& t<b,\\ (t-b{)}^3& b\le t\le a,\\ (t-b{)}^3-(a-b{)}^3& t>a,\end{array}a,b\text{reˊels positifs}.$$

EXEMPLE 6.2 (Existence locale)

$$\{\begin{array}{l}\dot{u}=-u^2\\ u(0)=1\end{array}⟹y(t)=\frac{1}{1-t}\text{ n’est deˊfinie que pour }t<1.$$

• ✅ C’est le sens exact du « je n’ai pas démontré l’unicité » et du « la solution n’est pas définie pour tout $t$ » du cours (§5, « question de prolonger la solution au-delà de l’intervalle ; ça, ce sont les chapitres 2 ou 3 »).
• 📌 Le syllabus (§6, Conclusions) formule la nuance dans les mots du cours :

  « Dans l’exemple du nombre de neutrons, on a résolu un PdC avec une et une seule solution, qui, en plus, est définie pour tout $t$ (si on oublie la contrainte sur la positivité du nombre de neutrons). C’est une situation bien spéciale : on peut très bien exhiber des exemples, aussi simples que les précédents, où il y a plusieurs fonctions qui vérifient le PdC et où la solution n’est pas définie pour tout $t$. » « Dans les Chapitres II et III, on considérera ces problèmes, en montrant sous quelles conditions on pourra avoir une solution unique et définie sur le plus grand intervalle possible. »

25.8. Conventions de notation du syllabus — utile pour le quiz $\dot{x}$ / $x^{\prime }$

• Note 1 (notation des dérivées) :

  « Si la variable indépendante est $t$ et la fonction inconnue est $u(t)$, alors pour la dérivée première on pourra utiliser de façon équivalente la notation classique $\frac{du}{dt}(t)$, la notation des « physiciens » $\dot{u}(t)$, ou la notation des « mathématiciens » $u^{\prime }(t)$. Ces notations peuvent être utilisées aussi pour les dérivées secondes : $\frac{d^{2}u}{d{t}^2}(t)=\ddot{u}(t)=u^{\prime \prime }(t)$. Par contre, à partir des dérivées d’ordre $n\ge 3$ on utilisera $\frac{d^{n}u}{d{t}^n}(t)=u^{(n)}(t)$. »

• Note 2 : le logarithme népérien est noté $\log$ (et non $\ln$) dans tout le syllabus.
• Note 3 (point ou prime ?) :

  « On utilisera souvent le point en haut « ˙ » pour indiquer la dérivée par rapport à la variable indépendante s’il s’agit du temps ; par contre le symbole « ′ » sera préféré dans les autres cas. On pourra aussi utiliser une lettre supérieure $(k)$ pour dénoter la dérivée $k$-ième. »

📌 Cela justifie la notation du cours §19 : le cours écrit $f^{[n]}$ avec des crochets pour l’itérée (composée $n$ fois), précisément pour ne pas confondre avec $f^{(n)}$, qui désigne la dérivée $n$-ième selon la convention (note 3) ci-dessus. Le prof insiste : « ça, ça veut dire que ce n’est pas un exposant, mais c’est $f$ composé $n$ fois avec lui-même ».

📌 Et cela éclaire le quiz : le passage de $\dot{x}$ (notation « physiciens », utilisée quand la variable indépendante est le temps) à $x^{\prime }$ (« mathématiciens », quand la variable n’est pas le temps) est une convention du cours, pas une différence de nature. Le point capital reste : « l’autre, c’est la dérivée, ce n’est pas la puissance ».

25.9. Verdict : ce que la comparaison change dans cette note

Point de la note	Verdict
§1–3 (forme normale, passage à l’ordre 1 vectoriel, « décalage d’un »)	✅ confirmé par Déf. 5.1, (I.5.2) et Remarque 5.2
§5 (définition de solution, 2 conditions dont le domaine $A$)	✅ confirmé par la Déf. 5.3
§6 (problème de Cauchy)	✅ confirmé par la Déf. 5.4
§7.2 (les 3 hypothèses : continue, lipschitz, bornée)	✅ confirmé mot pour mot par la slide Picard
§7.3 (« l’intervalle $I_0$ plus petit que $I$ »)	✅ c’est la notion de solution locale du slide
§13 (équation intégrale, les deux sens)	✅ confirmé par (I.5.5) et sa justification
§14 (le problème de point fixe $\Phi$)	✅ confirmé : c’est la méthode adjointe au §5 du syllabus
§22.3 / §22.8 (critère d’autonomie)	✅ définition officielle : « ne dépend pas de façon explicite de la variable $t$ »
§22.2 (continuité ⟹ existence, pas unicité)	✅ théorème de Peano, nommé — donc la réponse du prof est exacte
§19 (notation $f^{[n]}$ pour l’itérée)	✅ convention justifiée par la note 3 du syllabus
§5 / §21 (« prolonger la solution = chapitres 2-3 »)	✅ = Chapitre III « Prolongement des solutions », avec les Ex. 6.1 et 6.2
§22.4 (la « balle qui pendule »)	⚠️ inchangé : ni le syllabus ni les slides ne contiennent cet exemple
§22.7–22.8 (équations du QCM)	⚠️ inchangé : le QCM n’existe pas dans les documents ; seul le critère est désormais attesté
§24 (« on se voit demain après-midi à 2 h »)	✅ cohérent : le chapitre II (problème de Cauchy) est bien le suivant
Frontmatter (« professeur non nommé »)	✅ corrigé : Timoteo Carletti, SMAT B222

25.10. Deux pièges d’interprétation à garder en tête

1. Le « $f$ » du cours n’est pas le « $f$ » du syllabus. Dans le syllabus, $f$ est la fonction inconnue et $G$ le second membre ; dans le cours, $f$ est le second membre de $\dot{u}=f(t,u)$ et l’inconnue est notée $u$ (puis $\phi$). C’est la seule vraie source de confusion possible entre les deux documents.

2. Le vecteur est indexé différemment : $u_1=f$ chez le prof, $u_0=f$ dans le syllabus. Les deux écritures sont équivalentes ; ne pas les superposer.

3. Passer à l’ordre 1 vectoriel : toute équa-diff d’ordre $N$ en forme normale sur un scalaire équivaut à une équa-diff d’ordre 1 en forme normale sur un vecteur de ${\mathbb{R}}^N$ : $y^{(N)}=g(t,y,\dots ,y^{(N-1)})⟺U^{\prime }=H(t,U)$ avec $U=(y,y^{\prime },\dots ,y^{(N-1)})$. → tous les résultats du cours ne portent que sur l’ordre 1, et sont valables pour tout autre ordre.

4. Solution : une fonction vérifiant l’équa-diff sur l’intervalle et la condition initiale $u(t_0)=u_0$ — les deux, sinon ce n’est pas une solution du problème de Cauchy.

5. Trois classes de fonctions à ne pas confondre :

   • Lipschitzienne : $\exists k,\forall x,y,|f(x)-f(y)|\le k|x-y|$ (contrôle de la différence) ⟹ continue ;
   • Continue : bornée localement, mais sans contrôle de la différence ;
   • $C^1$ ⟹ Lipschitz sur un intervalle fermé borné (MVT, avec un maximum de $|u^{\prime }|$ atteint).
   • ⟹ l’hypothèse pertinente pour l’unicité est la lipschitzianté, pas la continuité, ni même la dérivabilité.

6. Picard, en 3 étapes : problème de Cauchy ⟺ équation intégrale ⟺ problème de point fixe sur un espace métrique complet.

7. Théorème de la contraction de Banach : sur un espace métrique complet, une contraction (coefficient $0\le \alpha <1$) possède un unique point fixe, attractif ($d(x_n,\bar{x})\le {\alpha }^{n}d(x_0,\bar{x})$, donc convergence géométrique). Démonstration en 3 lembes : unicité / existence (suites de Cauchy + complétude) / convergence.

8. Non-complétude de $\mathbb{Q}$ : la suite des décimales de $\sqrt{2}$ est de Cauchy dans $\mathbb{Q}$ mais sa limite y est absente ⟹ $X$ doit être complet pour Banach, et c’est la raison pour laquelle le $\mathbb{R}$ est au programme.

9. Le point qui débloque Picard : $\Phi$ n’est pas une contraction, mais $f$ continue et ${\Phi }^{[m]}$ contraction pour un certain $m$ suffisent — démonstration par division euclidienne $n=km+q$, qui fait converger $(x_n)$ vers le point fixe $\bar{x}$ de ${\Phi }^{[m]}$, puis continuité de $f$ ⟹ $f(\bar{x})=\bar{x}$. C’est le cœur de la prochaine séance.

10. Quiz final — les 3 critères d’une équa-diff : ordre (la plus grande dérivée, jamais la puissance), autonomie (pas de dépendance explicite en la variable indépendante), forme normale (dérivée la plus grande isolée).

11. Continuité ⟹ existence, lipschitzianité ⟹ unicité : « la continuité garantit seulement l’existence, mais pas l’unicité » → c’est le théorème d’existence de Peano (continuité seule) contre le théorème de Picard (continuité + bornée + Lipschitz ⟹ existence et unicité locales).

12. Ce qu’il faut savoir du support écrit (voir section 25) : le cours suit le Chapitre I du syllabus de Carletti (septembre 2022), cours SMAT B222. Les définitions à connaître par cœur sont la 5.1 (EDO + forme normale), la 5.3 (solution = 2 conditions, dont $(t,y(t))\in A$), la 5.4 (PdC ⟺ équation intégrale de Volterra) et la Remarque 5.2 (ordre $n\ge 2$ scalaire ⟺ ordre 1 vectoriel). Le chapitre suivant est le II — Le problème de Cauchy, et le III — Prolongement des solutions.

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Doutes / à vérifier

• ✅ RÉSOLU — les équations du quiz (01:32 → 01:47) ne sont ni dans le syllabus ni dans les slides (le QCM passait par un QR-code / vote interactif). Le critère de classification est en revanche attesté mot pour mot (« ne dépend pas de façon explicite de la variable $t$ »), mais les 6 équations du tableau de la section 22.8 restent des reconstitutions indicatives (photo des diapositives du quiz à récupérer si possible).
• ⚠️ Section 22.4 — « la personne qui fait pencher la balle » : l’ASR enchaîne la question de la balle (01:39:21), la réponse « non autonome » (01:39:43) et la justification « …vous avez explicitement la variable $x$ » (01:39:53), qui ne concerne que $y^{\prime \prime }+w(x)y=0$ → la réponse « non autonome » appartient très probablement à la question précédente, et la question de la balle reste sans réponse identifiable.
  • Candidat plausible : l’exemple 2.1 des slides / §4 du syllabus, le lâcher vertical $m\ddot{x}=-mg$ ⟹ $\ddot{x}=-g$ avec $x(0)=h$, $\dot{x}(0)=v_0$ — lequel est autonome. À vérifier sur la diapositive du QCM.
• ⚠️ Section 22.7 — « $y^{\prime }$ égale $e$ plus $x$ [fois] $y$ cube » : soit $y^{\prime }=e+x{y}^3$, soit $y^{\prime }=e^{x{y}^3}$. La phrase « on a sorti » (= « on a isolé la dérivée ») indique le troisième critère d’un QCM, mais l’équation exacte reste incertaine.
• ⚠️ Section 22.8 — placement des lettres A/B/C : le récapitulatif « A, B, C, la D […] A, B, C, C » ne permet pas de reconstituer la grille des réponses du QCM ; seules les réponses en clair (« c’est la réponse C », etc.) sont fiables.
• ⚠️ Section 22.5 : l’équation $y^{\prime \prime }+w(x)y=0$ est captée tantôt avec $y$, tantôt avec $y^{\prime }$ ; l’ordre annoncé par le prof reste 2 dans les deux lectures, mais la slide est nécessaire pour trancher.
• ⚠️ Sections 20.3 et 20.4 : la démonstration est très résumée à l’oral (« des blocs de 2 et de 3 » = l’itération de $\Phi$ comme composée de $m$ termes, $f^{[m]}=f\circ f\circ \cdots \circ f$) ; à reprendre à la maison pour la rédiger proprement. La conclusion « $k\to +\infty \Rightarrow n\to +\infty$ » est donnée par le prof mais n’est pas explicitement justifiée à l’oral (c’est immédiat : $n=km+q$ avec $m\ge 1$ fixé ⟹ $n\ge k$).
• ⚠️ Unicité pour $f$ dans la proposition de la section 20 : le prof renvoie à « comme on a démontré jusqu’à maintenant », mais l’unicité pour $f$ lui-même (et non pour $f^{[m]}$) n’est pas démontrée dans la séance (elle se déduit de la même division euclidienne appliquée à deux points fixes). À compléter.
• ⚠️ Section 16.1 : fausse entrée du prof (« un espace doté du produit scalaire ») corrigée immédiatement par « un espace métrique complet » — ne pas citer la première.
• ✅ RÉSOLU — l’énoncé du théorème de Picard est mot pour mot dans la slide : « Si $f(t,u)$ est continue et bornée dans un voisinage du point $(t_0,u_0)$ et vérifie une condition de Lipschitz par rapport à la deuxième variable, alors le Problème de Cauchy admet une solution locale unique. » → voir section 25.6.
• ⚠️ Section 15 : pause contaminée par une rediffusion TNT/RTBF (00:47:53 → 00:52:12) et blip secondaire (01:46:00 → 01:46:30) ; le bouclement de l’ASR (« Je ne sais pas si c’est bien ça » ×16 vers 00:52:12–00:52:40) a été neutralisé dans cette note. Bruit de fond (ambiance Audible) pendant ces 5 min.
• ✅ RÉSOLU — le professeur est Timoteo Carletti (timoteo.carletti@fundp.ac.be, bureau 332, Département Mathématique, UNamur), cours SMAT B222 ; syllabus signé du même auteur, version septembre 2022. Non nommé dans l’audio, mais identifié par les slides.
• ⚠️ Confirmation d’institution : le domaine de l’e-mail des slides est fundp.ac.be et non unamur.be — à vérifier s’il s’agit d’une coquille dans le slide de 2017 ou d’une affiliation réelle (le syllabus de 2022 ne mentionne pas l’institution).
• ⚠️ Notions_clefs / vocabulaire : « je vais vous mettre un petit peu de maté, maté, maté » (section 22.4) et « distancia bilité » (section 4) restent non reconstitués.

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Liens

• Suivant : EDO - Cours 3 — la conclusion du théorème de Picard (voir la feuille de route, section 21).
• Précédent / sister : AR I - Cours 01 — même méthode (théorème cité puis démontré au tableau, récapitulatif du raisonnement, « on verra la suite la prochaine fois »).
• Support écrit du même dossier (voir section 25) : Chapitre1 - Sylabus.pdf · Chapitre1 - Slides.pdf
• Source : audio EDO - 2.m4a · transcriptions .srt / .txt / .vtt dans ~/Documents/La Uni/Audios/transcrit/.
• Rappel : Analyse Réelle I — Cours 01 pour la complétude de $\mathbb{Q}$ et la construction de $\hat{u}$.