TD2 - EDO

TD — EDO 2 : la lipschitzianèse au voisinage de la condition initiale (exercices 1.8 et 1.9 du chapitre 1)

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Numeración : c’est la 2ᵉ séance de TD du chapitre 1 (audio EDO - TD2.m4a, jeudi 2026-10-08, même créneau 16:10–18:00 que TD1 - EDO). Elle est distincte des séances de cours (voir EDO - Cours 2, EDO - Cours 3, EDO - Cours 4).

Couverture : de 00:00:00 à 01:12:53 sur un audio de 01:13:20 (4400 s) — couverture quasi intégrale, seules les ~27 dernières secondes ne contiennent rien d’audible. 475 segments. Transcription brute : .srt / .txt / .vtt dans ~/Documents/La Uni/Audios/transcrit/EDO - TD2.*.

Où commence et où finit la séance : l’enregistrement débute au début réel de la séance (« on va poursuivre avec notre séance d’exercice ») et s’arrête en pleine discussion de clôture (pauses d’enregistrement, humour), sans annonce d’un nouveau travail. Ce que la séance couvre : l’exercice 1.8 en entier (les deux solutions, la vérification, et pourquoi le théorème d’unicité n’est pas contredit) puis l’exercice 1.9, item 1 en entier ($(y-x)y^{\prime }=y\ln x$ : champ de vecteurs, domaine, construction d’un voisinage ${\Omega }_{r_1,r_2}$ sur lequel $f$ est lipschitzienne). Ce qu’elle ne couvre pas : les items 2 à 9 de l’exercice 1.9, ni le chapitre 2.

📝 Convention de littéralité : les paroles du prof sont entre « » et telles que l’ASR les a rendues. Quand l’ASR a manifestement massacré un terme mathématique, la forme littérale est suivie de [sic: …] donnant le terme correct — convention appliquée dans EDO - Cours 2, EDO - Cours 3, EDO - Cours 4 et TD1 - EDO. Les reconstructions de formules non dictables sont signalées par ⚠️ dans Doutes / à vérifier.

🔇 Plages de rédaction au tableau : plusieurs segments très longs et très courts en contenu — 00:23:03 → 00:27:17, 00:37:04 → 00:42:03, 00:43:41 → 00:47:57 — où le prof écrit au tableau et parle peu (l’ASR les a fusionnés en un seul segment) ; aucun blanc annoncé comme pause dans cet audio. La fin contient une longue conversation informelle (pauses, enregistrements) : §21.

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1. Ouverture : on poursuit la séance d’exercices — [00:00:00 → 00:00:29]

La séance reprend le fil de la précédente, sans re-faire les rappels :

• « on va poursuivre avec notre séance d’exercice ; il est question toujours de travailler sur les conditions de la lipschitzianèse [sic: la lipschitzianèse] pour voir dans quel [domaine] on a l’existence et l’unicité [sic: l’unicité] des solutions d’un problème de Cauchy [sic: Cauchy] ».
• « on va continuer avec l’exercice 1.8 ; les rappels on l’a fait la dernière fois ».

⟹ Retrouvailles directes avec la fin de TD1 - EDO, dont les exercices 1.8 et 1.9 étaient entièrement reportés.

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2. Exercice 1.8 : énoncé, et la solution $x_1(t)=0$ — [00:00:29 → 00:03:37]

Énoncé (recueil p. 7) :

$$\frac{dx}{dt}=2\sqrt{x},x(0)=0,(t,x)\in {\mathbb{R}}_{+}\times {\mathbb{R}}_{+}.$$

• Le prof lit l’énoncé : « 1.8 : $dx/dt$ égale à $2$ racines de $x$ [sic: $\sqrt{x}$] et $x$ de $0$ égal à $0$ », puis « deux fonctions : la fonction nulle et $t$ au carré » — ce sont $x_1(t)=0$ et $x_2(t)=t^2$.
• Vérification de $x_1$ : « on dérive les deux fonctions. $x_1$ de $t$, c’est la fonction nulle, donc la dérivée de $x_1$ est égale à [ ​ de] $x_1$, [et] $\sqrt{0}$ [sic: $0=2\sqrt{0}$] … donc $x_1$ vérifie l’équation différentielle ». Condition initiale : $x_1(0)=0$ ✓. « on peut [le] décider pour tout $t$ suppérieur [sic: supérieur] à $0$ ».
• Incident amusant : « je ne vous pose pas de questions parce que c’est évident, je ne veux pas vous déranger ».

⟹ La fonction nulle est bien solution sur ${\mathbb{R}}_{+}$.

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3. Exercice 1.8 : la solution $x_2(t)=t^2$ — [00:03:37 → 00:05:18]

• « $x_2$ de $t$, c’est quoi ? — $t^2$. » Puis : « la dérivée de $x_2$ par rapport à $t$ c’est $2t$, et $2\sqrt{x_2(t)}=2\sqrt{t^2}$ [qui vaut] $2|t|=2t$ ». La clé : $t\ge 0$ (« Mais comme $t$ est positif, ça fait $2t$ »), donc $x_2^{\prime }(t)=2t=2\sqrt{t^2}$ ✓ et $x_2(0)=0$ ✓.
• Le prof reprend : « $2$ et $2$, [c’est bon] $x_2$ vérifie $y^{\prime }=2\sqrt{x_2}$ » — $\text{⚠️}$ l’ASR rend mal ce passage (§54 de la piste : « la dérivée de $x_2$ par rapport à $2t$, c’est $2$ racine de $x_2$ de $t$ ») ; le calcul est celui ci-dessus.

⟹ Les deux fonctions proposées sont solutions du même problème de Cauchy sur ${\mathbb{R}}_{+}$.

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4. Pourquoi cela ne contredit-il pas le théorème d’unicité ? — [00:05:18 → 00:11:39]

Le prof pose la question de l’exercice : « est-ce que cela contredit [sic: contredit] le théorème d’unicité ? — Oui, plutôt que pas » (l’étudiant hésite), et guide :

• Le théorème d’unicité demande que $f$ soit lipschitzienne (au voisinage de la condition initiale). Ici $f(x)=2\sqrt{x}$ « est continue mais n’est pas lipschitzienne en $0$ ».
• « C’est local, ce n’est pas [lipschitzien] en $0$ » : cela veut dire qu’aucun voisinage de $0$ ne peut être choisi pour avoir l’inégalité de Lipschitz (« je peux trouver un voisinage de $0$ à l’intérieur duquel ma fonction est [lipschitzienne] s’il existe un $L$ positif qui vérifie cette inégalité »).
• Réécriture de la différence : « ici on a mis $2$ en facteur, donc ça fait $\sqrt{x}-\sqrt{y}$ ; tu multiplies par $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ et tu divises par $\sqrt{x}+\sqrt{y}$, le numérateur te donne $x-y$ » :

$$2\sqrt{x}-2\sqrt{y}=2\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}.$$

• Pourquoi cela tue la lipschitzianèse : au voisinage de $0$, le dénominateur $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ tend vers $0$, donc le quotient $|f(x)-f(y)|/|x-y|=2/(\sqrt{x}+\sqrt{y})$ n’est borné par aucun $L$. La preuve formelle est détaillée au §6.
• Le prof insiste sur la nuance locale / globale : la fonction est seulement continue en $0$, elle n’y est pas lipschitzienne ; la condition de Lipschitz est locale (sur un voisinage de la condition initiale) — c’est ce que manipulera toute la 2ᵉ partie de la séance pour l’exercice 1.9.

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5. Peano donne l’existence ; la lipschitzianèse donne l’unicité — [00:11:39 → 00:12:55]

• « Qu’est-ce qui garantit déjà l’existence d’au moins une solution pour ce problème de Cauchy ? » Réponse cherchée : le théorème de Peano (« le problème de contraction [théorème du point fixe] est utilisé pour démontrer qu’il y a une solution [unique], notamment celui-ci. Mais avant ça, Peano, c’est ça »).
• « Donc, la condition de [lipschitzianèse] nous permet de montrer l’unicité, mais avec Peano, lorsque la fonction est continue, on a l’existence d’une solution — au moins une. On peut en avoir une infinité. »
• Bilan par le prof : « ici, on en a trouvé deux : zéro et $t$ carré. Et donc, parce que justement la fonction est continue [mais pas lipschitzienne en $0$], on ne peut pas garantir l’unicité. »
• « Si on avait la condition [de Lipschitz], on aurait trouvé une seule solution. Mais quand on n’en a pas, rien ne garantit qu’il n’existe qu’une seule solution. »

⟹ Existence : Peano (continuité de $f$). Unicité : Cauchy-Lipschitz (lipschitzianèse locale en $x$). Ici $f$ continue mais pas lipschitzienne en $0$ ⟹ pas de contradiction.

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6. La preuve formelle de non-lipschitzianèse de $2\sqrt{x}$ en $0$ — [00:12:55 → 00:14:08]

Le prof déroule la démonstration par l’absurde (il reconnaît ne pas l’avoir faite la dernière fois : « t’as raison, je l’ai supposée [lipschitzienne] parce que je l’ai déjà fait à la dernière séance ») :

• Supposons qu’il existe $L>0$ et un voisinage de $0$ tel que pour tout $x,y$ dans ce voisinage :

$$|2\sqrt{x}-2\sqrt{y}|\le L|x-y|.$$

• En factorisant : $|x-y|\cdot \frac{2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\le L|x-y|$, donc pour $x\ne y$,

$$\frac{2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\le L.$$

• En faisant tendre $x,y\to 0$ (par exemple $y=0$ fixé, $x\to 0^{+}$), le membre de gauche tend vers $+\infty$ : impossible de le borner par $L$. « Donc nécessairement ce n’est pas [lipschitzien] en $0$ ».
• Le prof attire l’attention sur les techniques de démonstration : « vous avez plusieurs techniques de démonstration : soit la méthode directe, [soit] par l’absurde, [soit] la contraposition, [soit] par récurrence ».
• ⚠️ nota sur la globalité : ailleurs qu’en $0$, $2\sqrt{x}$ est localement lipschitzienne (la dérivée $1/\sqrt{x}$ est bornée loin de $0$) — le prof y reviendra au §17.

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7. Exercice 1.9 : lecture de l’énoncé — [00:14:08 → 00:16:27]

• « L’exercice 1.9 » — l’ASR écrit « 1.19 » [sic: 1.9] ; l’énoncé du recueil p. 8 est : « Pour quelles conditions initiales les équations différentielles suivantes admettent-elles une solution unique ? »
• « Ici, on a un problème de Cauchy avec les conditions initiales qui sont paramétrées par $x_0$ et $y_0$. On nous demande dans quel domaine on peut se [placer] pour que notre problème admette une solution unique. »
• Le cadre général : « il faut pouvoir écrire [l’équation] sous la forme $y^{\prime }=f(x,y)$, avec $y(x_0)=y_0$ ». La fonction $f$ est appelée « un certain champ de vecteurs, comme on l’appelle, une fonction à deux variables $x,y$ ».
• Pourquoi s’y ramener ? « Parce que la condition d’existence et d’unicité va dépendre plus ou moins du caractère lipschitzien [sic: lipschitzien « lexicien »] de la fonction $f$. Donc, trouver les conditions sur $x_0$ et $y_0$ reviendra à déterminer les sous-domaines de ${\mathbb{R}}^2$ sur lesquels $f$ est [lipschitzienne]. Dans ce cas, il suffira de prendre $x_0$ et $y_0$ dans ce domaine-là. »

⟹ Toute l’exercice tourne autour de : où $f$ est-elle lipschitzienne ? répondre en fonction de $(x_0,y_0)$.

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8. Item 1 : mise sous forme $y^{\prime }=f(x,y)$, et domaine $U$ — [00:16:27 → 00:20:55]

L’item 1 de l’exercice 1.9 est :

$$(y-x)y^{\prime }=y\ln x.$$

• Division par $y-x$ (autorisée là où $y\ne x$) :

$$y^{\prime }=f(x,y)\text{avec}f(x,y)=\frac{y\ln x}{y-x}.$$

• « Bien sûr, faites attention à son domaine de définition ». Le prof demande aux étudiants de proposer $U$, et reconstruit :
  • il faut $\ln x$ défini, donc $x>0$ ;
  • il faut $y\ne x$ pour ne pas diviser par zéro. ⟹ $U=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:x>0,y\ne x\}$ (« c’est l’ensemble des $(x,y)$ dans ${\mathbb{R}}^2$, donc [dans] un carré [sic: un espace], avec $x$ positif et $y$ différent de $x$ »).
• « On va travailler sur ce domaine, parce que c’est sur ce domaine qu’on peut représenter cette équation. »
• ⚠️ Notation : le prof note « il faut faire attention : quand vous écrivez ça, $y$ c’est une fonction de $x$ ; vous pouvez remplacer $x$ par $t$ » — attention à ne pas confondre la variable et la solution.

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9. La stratégie générale : restreindre $U$ à un voisinage $\Omega$ de $(x_0,y_0)$ — [00:20:55 → 00:22:57]

• « La solution ne doit pas nécessairement [être globale] : il suffit juste de trouver un voisinage de $x_0$ et $y_0$ dans lequel on a une unique solution. »
• Le prof annonce la méthode : « on va chercher plus ou moins un sous-ensemble, un sous-ouvert plus petit que $U$ sur lequel [l’unicité] est vraie. Donc on va commencer quand même sur $U$, et au fur et à mesure on va essayer de restreindre selon les conditions auxquelles on aimerait arriver le domaine $U$ pour se rabattre sur $\Omega$ » (le prof note $\Omega$ le sous-domaine final, et « grand $\Omega$ » pour l’ensemble des conditions admissibles).

⟹ Le cœur du raisonnement : partir du domaine de définition $U$ et réduire jusqu’à obtenir un rectangle ${\Omega }_{r_1,r_2}$ où l’estimation de Lipschitz est contrôlée.

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10. Le quotient à contrôler — [00:22:57 → 00:27:46]

On veut l’inégalité de Lipschitz pour $f$. Le prof fait apparaître la quantité à borner :

$$|f(x,y_1)-f(x,y_2)|=\frac{|x\ln x|}{|x-y_1||x-y_2|}|y_1-y_2|.$$

(⚠️ Reconstruction : l’ASR rend « on a quelque chose qui ressemble à [modulo] $|y_1-y_2|$ … cette quantité qu’on veut contrôler ».)

• « La question finalement c’est : comment se placer, ou dans quel domaine se placer pour pouvoir contrôler cette expression ? C’est-à-dire : si je veux majorer ce rapport, il faudrait que je minore ce [numérateur / dénominateur]. » Concrètement pour $x$ et $y$ : « on va commencer à faire des restrictions sur $x$ et sur $y$ ».
• Deux tâches distinctes :
  1. contrôler le numérateur $|x\ln x|$ (dépend de $x$) ;
  2. minorer le dénominateur $|x-y|$ (dépend de la distance à la droite $y=x$).

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11. Contrôle du numérateur : $x$ dans un compact $[\alpha ,\beta ]\subset {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ — [00:27:46 → 00:28:56]

• « Si je veux majorer par exemple $|x\ln x|$ [sic: « $x\ln$ »], il faudrait que je me place dans quel domaine concernant $x$ ? »
• « Il faut faire attention si je me rapproche de zéro … quand je prends les valeurs absolues, je regarde les parties positives ; si je me rapproche trop de $0$, je vais exploser : je ne vais pas pouvoir majorer cette expression. » ⟹ « je dois borner inférieurement $x$ : je ne veux pas que $x$ se rapproche de $0$. » (\color{orange}⚠️ la justification littérale vise le comportement de $\ln$ près de $0$ ; voir Doutes.)
• « Première condition, je veux pouvoir avoir un certain $\alpha$ … positif tel que $x\ge \alpha$ ». Et pour borner par le haut : « si je veux borner [la] fonction, je dois rester dans un compact tel que $0<\alpha <\beta$ ». ⟹ $x\in [\alpha ,\beta ]$ avec $0<\alpha <\beta$ : alors $|x\ln x|$ est borné sur ce compact (continuité de $x\mapsto x\ln x$ sur un compact de ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$).
• « on veut que $\alpha$ soit strictement positif et $\beta$ plus grand qu’$\alpha$ » — le prof insiste sur le fait que prendre des valeurs particulières ($1$, $e$…) n’est pas adapté parce que les conditions initiales sont générales (voir §17).

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12. Contrôle du dénominateur : ne pas s’approcher de $y=x$ — [00:28:56 → 00:33:46]

• L’autre condition porte sur le dénominateur $|x-y|$ : « comment on fait pour majorer $1/(x-y{)}^2$ [sic: « $1/x^2$ »] en valeur absolue ? … pour majorer ça, il faut minorer cette quantité $|x-y|$. »
• Le piège : « si tu prends $x$ [proche de] $y$, tu auras un problème parce que le but, c’est de ne pas se rapprocher de zéro ; si tu te rapproches trop de zéro, tu vas exploser. » La seule condition que l’on avait sur $x,y$ jusqu’ici est $x\ne y$ ; il faut la renforcer en « $x$ et $y$ loin l’un de l’autre » sur le sous-domaine.
• Une première idée : « tu restreins un sous-domaine de cet ensemble, où tu n’imposes pas seulement que [ils soient] différents, mais que [leur différence] soit plus grande que [une borne]. »

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13. Découpage de $U$ : $U=U^{+}\cup U^{-}$ — [00:33:46 → 00:36:25]

Pour minorer $|x-y|$, on sépare les deux cas de signe :

• « Ça s’écrit comme $U^{+}$ union $U^{-}$ », avec

$$U^{+}=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:x>0,y>x\},U^{-}=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:x>0,y<x\}.$$

• « J’essaie juste de casser $U$ en deux, pour avoir $U^{+}$ et $U^{-}$, pour plus ou moins me faciliter la tâche ici, [pour faire disparaître la valeur absolue]. »
• Sur $U^{+}$ on a $|x-y|=y-x>0$ ; sur $U^{-}$ on a $|x-y|=x-y>0$ — chacun des deux cas se calcule sans valeur absolue, et la minoration devient une simple inégalité réelle.

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14. Se placer dans un voisinage de $(x_0,y_0)$ : deux rayons $r_1$, $r_2$ — [00:36:25 → 00:43:41]

Le prof construit le rectangle de travail autour de la condition initiale :

• « on va travailler autour de $x_0$, autour de $y_0$ » : on « cherche aussi $r$ positif tel que [$\dots$] on prend les points $(x,y)$ qui sont dans un voisinage de la condition initiale $(x_0,y_0)$ ».
• « Il faut que les points que je prends $x$ et $y$ … doivent être dans un voisinage de ma condition initiale $x_0,y_0$. Je ne dois pas être ailleurs que dans le voisinage $x_0,y_0$. » « Je ne peux pas avoir un problème de Cauchy [avec] une condition initiale $x_0,y_0$ et travailler dans un domaine qui ne contient même pas $x_0,y_0$. »
• Définition du rectangle :

$${\Omega }_{r_1,r_2}=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:|x-x_0|<r_1,|y-y_0|<r_2\}.$$

« je veux les deux conditions : être au voisinage de $x_0,y_0$ et pouvoir minorer ce dénominateur. »

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15. Les conditions sur les rayons, dans ${\Omega }_2$ (le morceau $y<x$) — [00:43:41 → 00:47:57]

Le prof décide de travailler « dans ${\Omega }_2$ » : « on a cassé $\Omega$ en 2, j’ai décidé de travailler sur ${\Omega }_2$ », où « plutôt $x-y$ qui reste positif » (i.e. ${\Omega }_2\subset U^{-}$, $y<x$).

• Sur $x$ : pour rester dans $U$, il faut $x>0$ partout dans le rectangle, donc choisir $r_1<x_0$ : « il faut [avoir] $r_1$ positif tel que $x_0$ soit supérieur à $r_1$ ». Alors $x\ge x_0-r_1>0$ et $x\in [x_0-r_1,x_0+r_1]\subset {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ : c’est le compact $[\alpha ,\beta ]$ du §11, avec $\alpha =x_0-r_1$, $\beta =x_0+r_1$.
• Sur $y$ et la minoration de $x-y$ : à l’intérieur de ${\Omega }_{r_1,r_2}\subset U^{-}$,

$$x-y\ge (x_0-r_1)-(y_0+r_2)=x_0-y_0-r_1-r_2,$$

et il faut que cette borne soit strictement positive (sinon on coupe la droite $y=x$ et le dénominateur s’annule) : le choix de $r_1,r_2$ est donc contraint par la condition initiale. Le prof résume : « mon choix de $\beta$ doit se faire par rapport à $y_0$ » et ${\Omega }_{r_1,r_2}$ doit éviter la droite $y=x$.

• ⚠️ Les passages oraux de cette partie sont très dégradés par l’ASR (« le $\beta$ [caché] », « $\beta$ plus petit que $y_0$ »…) ; la reconstruction ci-dessus est la lecture logiquement cohérente de la condition « $x-y$ reste $>0$, minoré par une constante positive sur tout le rectangle » (voir Doutes).

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16. Une remarque : pourquoi « ${\Omega }_1$ » ne sert à rien ici — [00:47:57 → 00:52:33]

• Le prof rappelle qu’on travaille dans ${\Omega }_2$ seulement : « si tu étais dans ${\Omega }_1$, tu aurais pris $y-x$ et tu aurais travaillé avec $\alpha$ plutôt que $\beta$ … tu aurais minoré par $y_0-\cdot$ ». « on peut faire pareillement sur ${\Omega }_1$, mais ça ne sert à rien » : un seul morceau suffit puisque la question ne demande pas le domaine maximal.
• Toute la construction doit rester générique : « vous pouvez prendre $1$ et [exponentielle], essayer de manipuler, mais du moment où ta condition initiale n’est même pas explicite, tu ne sais pas si [telles valeurs] vérifient certaines conditions. » Exemple donné : « supposons que ta condition initiale, c’est $(0,10)$ … un voisinage de $(0,10)$ peut être $[-\epsilon ,\epsilon ]\times [9,11]$. Toi, tu es en train de me dire que tu veux travailler dans $[-\epsilon ,\epsilon ]\times [1,e]$ … mais ce voisinage ne contient pas ma condition initiale. »
• « C’est pour ça qu’il faut toujours travailler en considérant que les conditions initiales sont génériques : mon domaine doit dépendre de ces conditions initiales. » ⟹ Pas de valeurs chiffrées $1$, $e$, $\epsilon$ : c’est un raisonnement qualitatif sur $(x_0,y_0)$.

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17. Le bilan : les conditions sur $x_0$ et sur $y_0$ — [00:52:33 → 00:58:44]

Premier bilan clair, sans les alphas/bêtas :

• Sur $x_0$ (= « $t_0$ » dans les notations du prof) : il existe $r_1>0$ tel que

$$x_0>r_1,$$

i.e. $x_0$ est strictement positif et assez grand pour qu’on puisse tracer un intervalle $[x_0-r_1,x_0+r_1]$ strictement inclus dans ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$. C’est l’équivalent « compact » de la condition $\alpha >0$ : « si tu te places dans un compact, ça va fonctionner » — « la condition sur $t_0$ [sic: $x_0$], c’est qu’il existe $r_1$ positif tel que $x_0$ soit supérieur à $r_1$ ».

• Sur $y_0$ : « deuxième condition sur $y_0$, on l’obtient depuis la décomposition qu’on essaie de faire » — $y_0$ doit être tel qu’un rectangle ${\Omega }_{r_1,r_2}\subset U^{-}$ (donc avec $y_0<x_0$ et $r_1+r_2<x_0-y_0$) puisse exister ; c’est ici qu’intervient « $\beta$ [choisi] par rapport à $y_0$ » du §15.
• Le pont avec l’exercice 1.8 : « c’était le cas avec [l’exercice] 1.8 où ce n’est même pas [lipschitzien] en $0$. Si tu changes la condition initiale, peut-être tu auras l’[unicité] de la fonction. Le premier exercice [sic: l’exercice 1.8] : elle n’est pas [lipschitzienne] en $0$, mais elle est ailleurs. Donc c’est pour ça qu’il faut toujours travailler en considérant que les conditions initiales sont génériques : mon domaine doit dépendre de ces conditions initiales. » — c’est l’illustration que la lipschitzianèse (donc l’unicité) est une propriété locale qui dépend de $x_0$.
• Le prof justifie la pédagogie : « là, on perd un peu le temps, mais vous voyez un peu la démarche, comment c’est difficile, comment on fait pour raisonner, pour arriver au résultat. En général, à l’examen, c’est moins difficile que ça. »

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18. La minoration finale : $|x-y|\ge (\text{constante positive})$ — [00:58:44 → 01:01:56]

• Dans ${\Omega }_2$ ($y<x$) et sur le rectangle : « on a vu que $|x-y|$ est plus grande que [une] quantité [qui] doit être positive ; donc on aura $y_0$ moins $r$ » — i.e. une minoration du type

$$x-y\ge \delta >0\text{sur }{\Omega }_{r_1,r_2},$$

où $\delta$ ne dépend plus de $x$ ni de $y$ (seulement de $x_0,y_0,r_1,r_2$).

• Question d’un étudiant sur la symétrie du rôle de $x$ et $y$ (deux points quelconques du rectangle) : le prof confirme « $x$, c’est presque le $y$, c’est pareil, c’est juste qu’on a pris deux points différents ; c’est la même condition. »
• Toutes les conditions se résument enfin à : $(x_0,y_0)\in \Omega$, où $\Omega ={\bigcup }_{r_1<x_0,\dots }{\Omega }_{r_1,r_2}$ « le domaine $\Omega$, sous-domaine de grand $\Omega$ », et les choix $r_1$, $r_2$ sont admissibles quand les deux contraintes du §15 sont satisfaites.

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19. Bilan intermédiaire : la réponse à l’item 1 — [01:01:56 → 01:06:56]

Le raisonnement est terminé ; le prof fait le bilan :

• « la condition sur $t_0$ [sic: $x_0$], c’est qu’il existe $r_1$ positif tel que $x_0$ soit supérieur à $r_1$ » et « deuxième condition sur $y_0$, on l’obtient depuis la décomposition qu’on essaie de faire » — i.e. ${\Omega }_{r_1,r_2}$ entier dans un morceau $U^{\pm }$, donc $x_0>y_0$ (resp. $x_0<y_0$) et $r_1+r_2<|x_0-y_0|$.
• « il faut maintenant laisser tomber les alphas et les bêtas, mais pour voir qu’il fallait les laisser tomber, il fallait faire ce petit bout de chemin » — la forme utile du résultat est purement en $r_1$, $r_2$, $x_0$, $y_0$.

⟹ Réponse à l’item 1 : le PdC $(y-x)y^{\prime }=y\ln x$, $y(x_0)=y_0$ admet une unique solution locale pour tout $(x_0,y_0)$ pour lequel on peut choisir $r_1,r_2>0$ avec $x_0>r_1$ et ${\Omega }_{r_1,r_2}$ entièrement dans $\{y<x\}$ ou $\{y>x\}$ (donc en particulier $0<y_0<x_0$ — ou $0<x_0<y_0$ — et $r_1+r_2<|x_0-y_0|$). Le même travail se fait pareillement sur chaque morceau.

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20. La rédaction finale : ${\Omega }_{r_1,r_2}$, la borne par $r_2^2$, et l’unicité — [01:06:56 → 01:10:11]

Le prof retranscrit le résultat dans un cadre propre, sans les alphas ni les bêtas :

• Sur ${\Omega }_{r_1,r_2}$, le quotient du §10 se borne :

$$\frac{|x\ln x|}{|x-y_1||x-y_2|}\le \frac{{\max }_{[\alpha ,\beta ]}|x\ln x|}{{\delta }^2}=K,$$

d’où $|f(x,y_1)-f(x,y_2)|\le K|y_1-y_2|$ : $f$ est (globalement) lipschitzienne en $y$ sur ${\Omega }_{r_1,r_2}$.

• Transcription de la réflexion du prof au tableau : « ici ça te dit que $x-y$ est plus grand que $r_2$, qui lui-même est positif. Ça veut dire que quand tu vas arriver ici, tu vas minorer par quoi ? $r_2$ … ça fait $r_2$ au carré. » (le dénominateur $|x-y_1||x-y_2|\ge r_2^2$ sur le rectangle).
• « Si vous prenez $(x_0,y_0)\in {\Omega }_{r_1,r_2}$, alors cette fonction est lipschitzienne [sic: « décisé »] autour de $(x_0,y_0)$ … et comme elle est lipschitzienne, alors il existe une solution unique, locale autour de cette condition initiale. »
• Le prof justifie sa démarche : « si j’étais entré ici et que j’avais dit : posons ${\Omega }_{r_1,r_2}$ = … , montrons que $f$ est lipschitzienne sur ${\Omega }_{r_1,r_2}$ — on n’aurait pas compris comment on [y] arrive. Donc je pense que c’est plus intéressant pédagogiquement de montrer comment on arrive là. »
• « Ça peut paraître un peu brouillon, mais ne vous inquiétez pas. Parfois les maths, c’est ça : si on cherche, on ne trouve pas ; quand on ne cherche pas, on fait une petite pause, c’est l’esprit. »
• Sur le fond : « le but du jeu est de maintenir la distance à la droite $y=x$ bornée inférieurement, et le compact pour $x$, en restant dans un voisinage de la condition initiale. »

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21. Le débat de fin de séance : pauses, enregistrement, transcription — [01:10:19 → 01:12:53]

Conversation informelle entre le prof et les étudiants (aucun contenu mathématique), mais avec deux informations intéressantes :

• À propos des pauses pendant l’enregistrement : « si tu veux, tu peux continuer, je ne sais pas si tu n’arranges pas » (un étudiant propose de mettre pause). Le prof : « je mets pause d’abord, après, quand ça va ». Un étudiant (probablement celui qui enregistre et transcrit) : « de toute façon, quand je fais la transcription, s’il y a un blanc de 10 minutes, c’est la pause là ». ⟹ Indice que la transcription est faite par un membre de l’auditoire.
• Le prof remercie : « ok, je vais le suivre. Voilà, merci » ; un étudiant : « ça nous a sauvé la vie ». Le prof plaisante : « j’aime bien les gens qui sont avec nous, c’est bien qu’on construise le délire ensemble, parce que parfois, je peux me tromper … je reste humain, je ne suis pas ignoble. »
• Dernier mot du prof, porte de sortie sur le chapitre : « après, ce chapitre, c’est plus l’analyse, je pense », et « comprenez le concept d’être une fonction lipschitzienne [sic: « psychique »] ».

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Annexe — Énoncés du recueil, pour les seuls exercices traités

Source : EDO - TDs.pdf, Équations différentielles — Exercices, J. Boreux et J. Mohet, UNamur, édition 2021 (21/04/2022), chapitre 1 « Existence et unicité », §1.3 « Exercices », p. 7–8. C’est le support d’exercices du TD (td_syllabus:), à ne pas confondre avec Chapitre1 - Sylabus.pdf, support du cours.

Écart de notation : le recueil écrit $\dot{x}$ et $y^{\prime }$ ; les notes de cours (EDO - Cours 2, EDO - Cours 3, EDO - Cours 4) écrivent $x^{\prime }$ et $u$. On ne normalise pas cet écart en silence.

Exercice 1.8 — Soit le PdC suivant $\{\begin{array}{l}\dot{x}=2\sqrt{x}\\ x(0)=0\end{array}$, où $(t,x)\in {\mathbb{R}}_{+}\times {\mathbb{R}}_{+}$. 1. Montrer que les fonctions $x_1(t)=0$ et $x_2(t)=t^2$ sont solutions du PdC pour tout $t$ réel positif. 2. En quoi cela ne contredit pas le théorème d’unicité ? → fait en entier (§§2–6).

Vérifications : $x_1^{\prime }=0=2\sqrt{0}$ et $x_1(0)=0$ ; $x_2^{\prime }=2t=2|t|=2\sqrt{t^2}$ car $t\ge 0$, et $x_2(0)=0$. La non-contradiction vient de : $f(x)=2\sqrt{x}$ continue ⟹ Peano donne l’existence ; mais $|2\sqrt{x}-2\sqrt{y}|=\frac{2|x-y|}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$ n’est pas borné en $0$ (quotient $\to +\infty$) ⟹ pas de lipschitzianèse en $0$ ⟹ pas d’unicité garantie (§§4–6).

Exercice 1.9 — Pour quelles conditions initiales les équations différentielles suivantes admettent-elles une solution unique ?

1. $(y-x)y^{\prime }=y\ln x$ → fait en entier (§§7–19) : $f(x,y)=\frac{y\ln x}{y-x}$, $U=\{x>0,y\ne x\}$ ; sur tout ${\Omega }_{r_1,r_2}$ autour de $(x_0,y_0)$ avec $x_0>r_1$ et ${\Omega }_{r_1,r_2}\subset \{y<x\}$ (resp. $\{y>x\}$), $f$ est lipschitzienne en $y$ ⟹ unicité locale. $|f(x,y_1)-f(x,y_2)|=\frac{|x\ln x|}{|x-y_1||x-y_2|}|y_1-y_2|$, contrôlé par compact $[\alpha ,\beta ]\subset {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ + minoration de $|x-y|$.

Ensuite, 2. $y^{\prime }=2xy+y^2$ ; 3. $y^{\prime }=3\sqrt[3]{y}$ ; 4. $y^{\prime \prime }=\tan y+3\sqrt{x}$ ; 5. $y^{\prime \prime }-y{y}^{\prime \prime \prime }=5\sqrt{y^{\prime }}-x$ ; 6. $\dot{x}=x^2$ ; 7. $(t+1)\ddot{x}=x+\sqrt{x}$ ; 8. $\{\begin{array}{l}\dot{x}=y^3+\ln (t+1)\\ \dot{y}=3\sqrt{y}-t\end{array}$ ; 9. $\{\begin{array}{l}\dot{x}=y^2+3\sqrt{t}\\ \dot{y}=3\sqrt{x}\end{array}$ → ⚠️ non traités dans cet audio.

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Points clés — [résumé]

(Récapitulation supplémentaire pour réviser ; ne remplace pas le corps de la note.)

• Exercice 1.8, le message central : une fonction continue suffit à l’existence (Peano) ; il faut la lipschitzianèse locale pour l’unicité. $2\sqrt{x}$ est continue mais pas lipschitzienne en $0$ ⟹ deux solutions ($0$ et $t^2$) à la même condition initiale, sans contradiction. Le réflexe d’analyse : $\sqrt{x}-\sqrt{y}=\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$ fait exploser le quotient $|f(x)-f(y)|/|x-y|$ près de $0$.
• Le schéma de l’exercice 1.9 (méthode-type « pour quel $(x_0,y_0)$ l’unicité ? ») :
  1. écrire l’EDO sous forme $y^{\prime }=f(x,y)$ et donner le domaine $U$ ;
  2. calculer (ou majorer) le quotient $|f(x,y_1)-f(x,y_2)|/|y_1-y_2|$ ;
  3. majorer le numérateur : compacter la variable mal venue ($x\in [\alpha ,\beta ]$, $0<\alpha$) ;
  4. minorer le dénominateur : couper l’espace en régions de signe constant ($U=U^{+}\cup U^{-}$) et se tenir loin de la droite $y=x$ ;
  5. conclure qu’il existe un rectangle ${\Omega }_{r_1,r_2}$ autour de $(x_0,y_0)$ où $f$ est lipschitzienne ⟹ unicité locale.
• Le dénominateur est le chef : dans $f=\frac{y\ln x}{y-x}$, tout le danger est dans $1/(y-x)$ ; le prix à payer est une condition de type $x_0>r_1$ (pour garder $x\ge x_0-r_1>0$) et ${\Omega }_{r_1,r_2}\subset \{y<x\}$ ou $\{y>x\}$ (pour garder $|x-y|\ge \delta >0$).
• Restez génériques : ne pas fixer $x_0$, $y_0$ ni des valeurs ($1$, $e$, $\epsilon$) — l’énoncé ne fixe pas la condition initiale, et un voisinage de valeurs particulières peut ne pas contenir la condition initiale réelle (exemple $(0,10)$ vs $\left[-\epsilon ,\epsilon \right]\times [1,e]$).
• Contenu non traité : items 2 à 9 de l’exercice 1.9 ; chapitre 2.

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Doutes / à vérifier

• ⚠️ « L’exercice 1.19 » (00:14:08) : l’ASR entend « 1.19 », mais le recueil porte bien « Exercice 1.9 » (p. 8), dont c’est l’item 1 ($(y-x)y^{\prime }=y\ln x$). La suite de la séance correspond parfaitement à cet énoncé.
• ⚠️ Equation de l’item traité : le prof lit l’item 1 au tableau mais l’ASR ne le rend jamais en clair. La reconstruction $f(x,y)=\frac{y\ln x}{y-x}$, $U=\{x>0,y\ne x\}$ vient des bribes « équation même », « $x$ positifs », « $y$ différent de $x$ », « $y\ln$ », « $x\ln$ » (§10). Cohérente avec l’énoncé du recueil p. 8 et avec tout le raisonnement oral (dénominateur $y-x$, comportement de $\ln$ près de $0$).
• ⚠️ Justification du « $x$ loin de $0$ » au §11 : le prof dit « si je me rapproche trop de $0$, je vais exploser » à propos du numérateur $|x\ln x|$. Or $|x\ln x|\to 0$ quand $x\to 0^{+}$ : il n’« explode » pas — c’est le dénominateur, et plus généralement la régularité de $\ln$, qui posent problème près de $0$. La condition $\alpha >0$ reste la bonne (domaine, continuité sur un compact de ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$) mais l’explication orale est approximative. À signaler si le prof y revient.
• ⚠️ Le détail des conditions sur $y_0$ et le rôle de « $\beta <y_0$ » (§15, 00:47:57) : l’ASR rend « mon choix de $\beta$ doit se faire par rapport à $y_0$ … $\beta$ plus petit que $y_0$ ». La lecture cohérente : le compact choisi pour $x$ et la position de $y$ doivent maintenir $x-y>0$ (resp. $y-x>0$) sur tout le rectangle ; la minoration $x-y\ge \delta >0$ n’est pas rendue littéralement dans l’audio (le passage est dégradé). La conclusion « ${\Omega }_{r_1,r_2}\subset U^{-}$ avec $r_1+r_2<x_0-y_0$ » est une reconstruction ; le fond est conforme au cours (lipschitzianèse locale ⟹ représentation sur un voisinage).
• ⚠️ Estimation de Lipschitz, §10 : formule reconstruite d’après les bribes orales (« quelque chose qui ressemble à $|y_1-y_2|$ », « la valeur absolue », « majorer / minorer »). Recalcul vérifiable : ${\partial }_{y}f=-\frac{x\ln x}{(y-x{)}^2}$, d’où par inégalité des accroissements finis la même majoration $|f(x,y_1)-f(x,y_2)|\le \left({\max }_{\Omega }\frac{|x\ln x|}{(x-y{)}^2}\right)|y_1-y_2|$.
• ⚠️ $x_2(t)=t^2$, $2\sqrt{t^2}$ (§3) : l’ASR rend « $2$ racine de $t$ carré qui vaut $2$ valable sur $2t$ » — la justification correcte (rendue par le prof) est $2\sqrt{t^2}=2|t|=2t$ car $t\ge 0$. Le recueil précise d’ailleurs $(t,x)\in {\mathbb{R}}_{+}\times {\mathbb{R}}_{+}$.
• ⚠️ Identité du prof : TD1 - EDO attribuait le créneau à J. Ketcha tout en notant que la voix est celle du responsable de cours. Cette séance confirme une voix identique, les mêmes expressions et le même humour (« parfois, je peux me tromper »). À confirmer sur place.
• ⚠️ Date / horaire : établie au 2026-10-08 par le mtime de l’audio (08/10 17:24, période du créneau TD 16:10–18:00) ; c’est le jeudi qui suit la séance du 01-10. À recouper avec l’horaire officiel.
• ✅ RÉSOLU — « existence et identité » (00:00:10) : « l’existence et l’identité des solutions » = existence et unicité (le reste de la séance confirme).
• ✅ RÉSOLU — « 1.19 » : c’est 1.9 (voir ci-dessus).
• ⚠️ Conversation de fin (§21) : les répliques sur la transcription/pause sont attribuées ici « au prof / à un étudiant » par plausibilité (voix confondues par l’ASR) ; la phrase « quand je fais la transcription, s’il y a un blanc de 10 minutes c’est la pause » semble bien venir d’un étudiant qui transcrit (probablement le détenteur de l’enregistrement).

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Liens

• Séance précédente : TD1 - EDO — exercices 1.1 à 1.7 ; les exercices 1.8 et 1.9 y étaient entièrement reportés, c’est exactement ce que cette séance corrige.
• Cours du même chapitre : EDO - Cours 2 (théorème de Picard, classes de fonctions) et EDO - Cours 3 (preuve du théorème) — la lipschitzianèse y est l’hypothèse d’unicité mobilisée ici ; EDO - Cours 4 enchaîne sur le chapitre V « Quelques solutions explicites » (variables séparables, Bernoulli…), qui sont les méthodes de l’exercice 1.9 dans la mesure où on les combinerait à l’unicité.
• Même patrón d’exercice, autres TD : TD1 - ALG II — travailler « autour de la condition initiale » et raisonner par voisinages est un réflexe commun aux deux UE.
• Support écrit du TD : EDO - TDs.pdf — recueil Boreux & Mohet, 80 p. ; exercices 1.8 et 1.9 p. 7–8. Ne pas confondre avec Chapitre1 - Sylabus.pdf, support du cours.
• Source : audio EDO - TD2.m4a · transcriptions .srt / .txt / .vtt dans ~/Documents/La Uni/Audios/transcrit/EDO - TD2.*.
• Administratif : créneau 16:10–18:00, SMAT B222 ; la salle n’est pas redonnée dans cet audio (cf. TD1 - EDO, salle S07).

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Transcrit via whisper-cpp (modèle ggml-large-v3-q5_0 avec VAD silero + anti-boucles), puis structuré et annoté. La source audio reste dans Documents/La Uni/Bac 2/EDO/. Les formules ont été reconstruites à partir du raisonnement énoncé à l’oral : voir Doutes / à vérifier.