EDO - Cours 4

EDO — Cours 4 : Lipschitz locale/globale et les « recettes de cuisine » du 1er ordre (séparables, y′=f(at+bu+c), homogène, Bernoulli)

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Numeración : c’est la 4ᵉ séance du cours (audio EDO - 4.m4a, enregistré le mardi 2026-10-06, dans la racine Bac 2/). Les séances 1-2-3 sont EDO - Cours 2 et EDO - Cours 3.

Couverture : de 00:02:08 à 01:39:23 sur un audio de 01:39:33 — couverture quasi intégrale ; les ~2 premières minutes (00:00:00 → 00:02:08) sont vides/inaudibles (le premier mot transcrit tombe en pleine phrase). 834 fenêtres de temps, la transcription .txt fait ~43 Ko. Transcription brute : .srt / .txt / .vtt dans ~/Documents/La Uni/Audios/transcrit/EDO - 4.* (aucun artefact CJK/cirílico).

Contenu de la séance : deux grands blocs. (i) La séance achève le Chapitre I (existence/unicité) en passant au tableau sur la condition de Lipschitz locale vs globale avec toute une galerie d’exemples : $\sqrt{x-1}$ (pas lipschitzienne au voisinage de $1$), $x^2$ (lipschitzienne locale mais pas globale sur $\mathbb{R}$), $(x-1{)}^{8/3}$ (exposant $>1$ ⟹ $C^1$ ⟹ lipschitzienne locale), $\sin x$ (globale, constante $L=1$), et les contractions $x\mapsto x$ (coefficient 1 limite) vs $x\mapsto \frac{x^3}{3}+1$ sur un petit intervalle. Il les applique aux problèmes de Cauchy du type $\dot{x}=\sqrt{x}$ : si $x_0\ne 0$ on a unicité, si $x_0=0$ l’unicité tombe (peut-être une infinité de solutions, dont la constante $0$) — illustration du théorème de Peano (existence sans unicité). (ii) Le gros de la séance ouvre le Chapitre V « Quelques solutions explicites » : les classes d’équations du 1er ordre qu’on sait résoudre « avec des recettes de cuisine » — variables séparables (avec l’exemple piégeux $u^{\prime }=\frac{1+2t}{\cos u},u(0)=\pi$ où l’inversion par $\arcsin$ rate la condition initiale et il faut translater la variable pour revenir dans le domaine principal), le type $y^{\prime }=f(at+bu+c)$ (avec l’exemple $u^{\prime }=1+\sin u$ intégré via la substitution $t=\tan (u/2)$), les équations homogènes ($u^{\prime }=f(u/t)$, poser $v=u/t$), et les équations de Bernoulli $y^{\prime }=p(x)y+f(x)y^c$ — avec trois méthodes de résolution (changement de variable $u=y^{1-c}$ ; produit $y=u\cdot v$ avec $v$ solution de l’homogène linéaire ; variation des constantes) appliquées à un même exemple $y^{\prime }=\frac{1}{x}y+\sin (x)y^3$.

⚠️ Zone audio contaminée — 00:44:51 → 00:49:07 : la fin de l’exemple « variables séparables » (00:39:26 → 00:42:37) est intacte, mais autour de 00:45:03 → 00:49:07 l’ASR ne capte qu’un bref échange estudiantin sur l’unicité (fragments) puis le signal de sous-titrage « Sous-titrage ST’ 501 » (00:48:35, la même chaîne RTBF qu’aux séances 2 et 3). Rien de mathématique n’y est perdu : le cours reprend à 00:49:07.

📝 Convention de littéralité : les paroles du prof sont entre « » et telles que l’ASR les a rendues. Quand l’ASR a manifestement massacré un terme mathématique (« l’hypchite », « chips », « l’épiderme », « sin 6 », « un p d’algèbre »…), la forme littérale est suivie de [sic: …] donnant le terme correct. Les reconstructions de formules non dictables et les correctifs de signe sont signalés par ⚠️ dans Doutes / à vérifier. Les renvois aux supports sont donnés en fin de bloc avec 🎯 Ref..

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1. Ouverture : $\sqrt{x-1}$ n’est pas lipschitzienne au voisinage de $x=1$ — [00:02:08 → 00:04:47]

La séance reprend la discussion interrompue (le prof est en train d’examiner une fonction « avec une racine ») :

• « On a T de 1 et donc on a une constante 1 sur celui de [= $x$] moins 1, qui est une racine. »
• « Donc il n’est pas l’hypchite [sic: « il n’est pas lipschitzien »] (c’est là) qu’elle s’annule en 1 comme une racine de $x$. »
• « On a vu l’après-passé [= « l’autre fois »] que racine $x$ n’est pas l’hypchite [= « lipschitzienne »], parce que quand vous faites racine $x$ moins 1, il faut que ce soit l’hypchite. Il doit exister une constante $L$ telle que, que ce soit $x$ moins 1, que ce soit $x$, il existe $L$ tel que pour tout $x$ de l’intervalle… »
• « …donc si on divise par $x-1$, ça reste $1$ sur $\sqrt{x-1}$, et c’est clair que cela ne peut pas être satisfait, que ce soit $x$ proche de 1. Et là vous l’avez fixé : si $x$ est suffisamment proche de 1, cela diverge à l’infini, donc on ne pourra pas [trouver] une constante fixée à l’avance. »

L’argument complet (reconstruit) :

$$\text{Condition de Lipschitz de }f(x)=\sqrt{x-1}\text{ au voisinage de }1:|f(x)-f(1)|\le L|x-1|⟺\frac{\sqrt{x-1}}{x-1}=\frac{1}{\sqrt{x-1}}\le L,$$

ce qui est impossible car $\frac{1}{\sqrt{x-1}}\to +\infty$ quand $x\to 1^{+}$. ⟹ $f$ n’est pas lipschitzienne sur aucun intervalle contenant $1$.

• « Dans cette fonction, on n’est pas déchiré [sic: probablement « elle n’est pas dérivable »], comme toute fonction… on a une racine de $x-1$. »
• « Si vous m’accorderiez [= l’intervalle] 3,5 à 5,5 » — sur un intervalle éloigné de 1 (par ex. $[3,5;5,5]$), « c’est le débat » : la fonction y est $C^1$, donc lipschitzienne.

🎯 Ref. : EDO - TDs.pdf — Chapitre 1, §1.1 « Rappels » (théorème d’existence/unicité locale, définition de localement lipschitzienne, N.B. 2 « si $f$ et $\partial f/\partial x$ sont continues, alors $f$ est localement lipschitzienne », N.B. 3 « théorème de Peano : existence sans unicité »), p. 4-5 ; §1.2 « Exemple résolu » ($\dot{x}=x^{2/3}$, étude du caractère lipschitzien au point où la dérivée explose), p. 6 ; Exercice 1.1 (les fonctions 1. à 6. sont-elles lipschitziennes ?), p. 7 ; Exercice 1.8 ($\dot{x}=2\sqrt{x},x(0)=0$, deux solutions, pourquoi ça ne contredit pas le théorème), p. 8.

2. Lipschitz locale vs globale : la fonction et son intervalle — [00:04:47 → 00:08:32]

• « Vous m’avez déjà passé que les fonctions $C^1$ sont aussi les chips [sic: « lipschitziennes »]. On peut réfléchir que les chips [= « le caractère lipschitzien »] dépendent de l’intervalle avec lesquels vous l’avez [= « l’avez vu »], parce que les [= fonctions] ne sont pas toutes comme les chips [sic: « ne sont pas toutes lipschitziennes »].* »
• « Ce sont les chips locales [sic: « elles sont localement lipschitziennes »]. Il y a le concept des chips globales [sic: « des fonctions globalement lipschitziennes »], que ça veut dire que c’est partout. »
• « Par exemple la fonction $x^2$, qui est la chip locale [= « localement lipschitzienne »], elle n’est pas l’épiciste globale [sic: « elle n’est pas globalement lipschitzienne »], parce que s’il existe une constante telle que $x$ carré moins $y$ carré, chaque petit [= fois] constante, $x$ moins $y$, $x$ et $y$ peuvent être quelconques, et pas du tout. »

$$|x^2-y^2|=|x+y|\cdot |x-y|,\text{le facteur }|x+y|\text{ est non borneˊ sur }\mathbb{R},⟹x^2\text{ PAS globalement lipschitzienne sur }\mathbb{R},$$

mais sur tout intervalle borné $[a,b]$ : $|x^2-y^2|\le (2\max (|a|,|b|))|x-y|$ ⟹ localement lipschitzienne (et $C^1$ ⟹ lipschitzienne sur tout compact).

• $(x-1{)}^{8/3}$ : « $x$ moins 1 puissance huit tiers […] est l’épiciste [sic: « est lipschitzienne »] d’un intervalle [qui contient 1] : [dans] moins [proche]= [de] 1, c’est [la valeur de dérivée en 1] 0. » Le prof insiste sur l’exposant :
  • « Ce qui compte, c’est l’exposant ici. Voyez : si l’exposant est plus petit que 1, c’est un déni [sic: ASR très dégradé — sous-entendu « c’est une racine / ça pose un problème »]. Ici, c’est plus blanc [sic: « plus grand »] qu’un. Et donc, s’il est plus grand qu’un, la fonction n’a aucun souci ; la dérivée est 0. »
  • « Il faut regarder deux choses. Si c’est une racine avec un exposant plus petit qu’un, et la fonction des dents [sic: « des tentes » → « la fonction tend »] s’annule [au point], elle n’est pas l’hypchite [= « lipschitzienne »]. Ou, si l’exposant est plus grand qu’un, ou plus petit [mais la fonction ne s’annule pas], la fonction des dents ne s’annule pas, [et] elle est lipschitzienne. »

$$f(x)=(x-1{)}^{8/3},f^{\prime }(x)=\frac{8}{3}(x-1{)}^{5/3},f^{\prime }(1)=0⟹f\text{ est }{C}^1\text{ au voisinage de }1⟹\text{lipschitzienne locale (constante }\le \sup |f^{\prime }|+\text{truc}).$$

Règle du pouce dégagée par le prof : $f(x)\sim (x-a{)}^{\alpha }$ au voisinage d’un point où elle s’annule — si $0<\alpha <1$ la dérivée explose et $f$ n’est pas lipschitzienne ; si $\alpha \ge 1$ la fonction est $C^1$ au voisinage du point et y est localement lipschitzienne.

🎯 Ref. : EDO - TDs.pdf — Th. 1.1 et N.B. 1-2 (p. 4-5) ; Exercice 1.1.4-1.1.5 ($x^2$ sur $\mathbb{R}$ vs sur $[a,b]$), p. 7 ; Exercice 1.6 (« toute fonction réellement continûment dérivable est localement lipschitzienne »), p. 8.

3. $\sin x$ : lipschitzienne globale de constante $L=1$ — [00:08:32 → 00:11:52]

• « La fonction sin $x$, $x$ est un moins [sic: ASR très dégradé — la fonction $\sin$ entre deux quelconques], [elle] est l’hypchite [sic: « est lipschitzienne »]. Parce qu’elle est dérivable. Le Y [= « la dérivée »], c’est l’écosinus [sic: « c’est le cosinus »]. Donc on peut l’évoluer [sic: « on peut la majorer »] à 1… la constante de lipschitz peut être calculée en disant que [la dérivée] est égale à l’intégrale. »
• « C’est la fonction qui, dans la dérivée, est le sinus. Et donc ça, c’est une petite [= « c’est $\cos$ borné par 1 »]. »

Argument (via l’inégalité des accroissements finis) :

$$|\sin x-\sin y|=|\cos \xi ||x-y|\le |x-y|\forall x,y\in \mathbb{R}⟹\text{constante de Lipschitz }L=1\text{ (globale)}.$$

• Il enchaîne sur le lien avec les contractions (les suites itérées de la séance 2) : « Donc, on sait que c’est une contraction […] C’est exactement la même idée. » — seuil de contraction : il faut une constante $<1$ (ici $\sin$ a exactement $L=1$, elle n’est pas une contraction sur $\mathbb{R}$).

🎯 Ref. : EDO - TDs.pdf — Exercice 1.1.1 ($f(x,y)=\cos x\cos y$ par rapport à $y$ sur $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ — même mécanique par dérivée bornée), p. 7 ; le lien contraction ↔ Lipschitz constant < 1 est celui de la proposition 20 de EDO - Cours 3 (§19-24).

4. Exemple de contraction : $x\mapsto \frac{1}{3}{x}^3+1$ et les fonctions linéaires — [00:11:52 → 00:17:19]

Le prof cherche un exemple où l’on calcule la constante de contraction :

• « On peut faire un calcul : on peut calculer $\frac{x}{3}+1$ moins $\frac{y}{3}+1$ […] c’est donc égal à [$\frac{1}{3}$] fois $x$ moins $y$ [fois $|x^2+xy+y^2|$]. »

$$\left|\right(\frac{x^3}{3}+1)-(\frac{y^3}{3}+1\left)\right|=\frac{|x-y|}{3}|x^2+xy+y^2|.$$

• Sur un intervalle assez petit, le facteur $\frac{1}{3}|x^2+xy+y^2|$ est borné par une constante $c<1$ ⟹ $x\mapsto \frac{x^3}{3}+1$ est une contraction sur cet intervalle. (« Vous avez déjà la constante, qui est 1 tiers » — le prof annonce une variante où sur l’intervalle choisi $|x^2+xy+y^2|\le 1$, cf. Doutes.)
• « Donc toute fonction linéaire, elle est contraction ou pas, et ça suffit de dégrader [sic: « ça suffit de regarder »] le coefficient unique [sic: « le coefficient $a$ »] de [la fonction affine]. Ce n’est pas le fait que $x$ soit plus grand ou plus petit que 1, ça c’est une droite, donc elle ne va pas dégrader [sic: « changer »] l’existence. »

$$f(x)=ax+b\text{ est une contraction }⟺|a|<1.$$

🎯 Ref. : EDO - TDs.pdf — Exercice 1.1.4-1.1.5 ($x^2$ sur $\mathbb{R}$ vs sur $[a,b]$), p. 7 ; Critère bracheau en cours 3 (contraction = constante $<1$, section 19-24 de EDO - Cours 3).

5. Application : $\dot{x}=\sin x$ unique, $\dot{x}=\sqrt{x}$ pas unique — [00:17:19 → 00:20:29]

Le prof passe à la vérification des hypothèses du théorème d’unicité sur des problèmes de Cauchy concrets (schéma de la séance 2, §12-14 de EDO - Cours 3) :

• Problème $\dot{x}=\sin x$, $x(1)=0$ : « On est en train de vérifier si [le PdC] admet une solution unique ou pas. C’est bon, avec l’implantation [sic: « l’implémentation » → « l’outil »] de la fois passée, ça veut dire que ça, c’est la fonction $F$. Pour vérifier, [il faut] vérifier que la fonction $F$ est continue et [lipschitzienne]. »
  • « La fonction racine, c’est le contenu de l’emboisonnage du point [sic] — il faut que la fonction soit continue ; il faut qu’elle soit bornée[;] est-ce que par rapport à la deuxième variable, est-ce qu’elle est [lipschitzienne] ? »
  • Réponse : $\sin$ est $C^1$, donc continue et lipschitzienne en $x$ ⟹ le problème admet une solution unique.
• Problème $\dot{x}=\sqrt{x}$, $x(0)=0$ : « Non, on a vu tantôt que Racine n’est pas Lipschitz au voisinage de 0. Donc ce problème n’admet pas une solution unique. Il a une solution, plusieurs solutions, une infinité de solutions, mais pas l’unique. Notamment, la solution $x$ qui vaut tout le temps 0 est une solution. Parce que [en] 0, quand vous la mettez dedans, vous avez $\dot{x}$ qui va à 0. Donc $x$ est constant, $x$ vaut 0 et tout le temps 0. »

$$\dot{x}=\sqrt{x},x(0)=0:\text{Peano donne l’existence ; l’uniciteˊ tombe (}\sqrt{x}\text{ n’est pas lipschitzienne en }x=0\text{), }x\equiv 0\text{ est une solution, parmi une infiniteˊ.}$$

🎯 Ref. : EDO - TDs.pdf — §1.2 (exemple résolu : $\dot{x}=x^{2/3}$ ; unicité sur $\mathbb{R}\times {\mathbb{R}}^{\ast }$, non-unicité en $x_0=0$), p. 6 ; Exercice 1.8 ($\dot{x}=2\sqrt{x}$, $x(0)=0$ : $x_1(t)=0$ et $x_2(t)=t^2$ solutions), p. 8 ; Théorème de Peano, N.B. 3, p. 5.

6. Le point régulier vs le point piégeux : $x_0\ne 0$ OK, $x_0=0$ KO — [00:20:29 → 00:27:07]

• « Même question, est-ce qu’il y a une solution ? » — le prof compare $\dot{x}=\sqrt{x}$ avec une autre condition initiale :
• IVP $\dot{x}=\sqrt{x}$, $x(0)=1$ (au lieu de $x_0=0$) : « Vous regardez la fonction qui est ici, c’est lipschitzienne autour du point 1, c’est le cas […] On ne s’adresse pas à quel temps on la regarde, parce qu’on dit que cette fonction doit être lipschitz par rapport à la deuxième variable[…] Et cette fonction, $\sqrt{x}$ autour de $1$, est tout à fait régulière, donc elle est bien lipschitzienne. » ⟹ solution unique pour $x_0=1$.
• « [= Pour $\dot{x}=\sqrt{x}$] j’ai dit que si $x_0$ est différent de [$0$], alors […] la solution est une fonction qui est [$C^{\infty }$], donc elle est continue et lipschitzienne parce qu’elle est [$C^1$] dans un passage… »
• Contraste final avec les puissances entières : « Le point [où la fonction s’annule] est égal à 6 [sic: « $f(x)=x^6$ »], mais c’est pas [le cas de] $0$ : $x^6$ en $0$ est [$C^{\infty }$, donc] lipschitzienne [contrairement à $\sqrt{x}$]. Parce qu’on va dire qu’en 0 il y a un souci : continue mais pas lipschitzienne. X d1 [sic : formule inaudible]. Bon, une seconde. »

Récapitulatif du critère (fonctions puissances $f(x)=(x-a{)}^{\alpha }$) :

$$\alpha \ge 1(\text{ou }\alpha =0)⟹C^1\text{au voisinage }⟹\text{lipschitzienne locale (uniciteˊ)};0<\alpha <1⟹\text{pas lipschitzienne (Peano : existence sans uniciteˊ)}.$$

• Le prof note ensuite (transition) que ce type de calcul revient dans les recettes du chapitre qui s’ouvre (« Bon, une seconde », il se remet au tableau).

🎯 Ref. : EDO - TDs.pdf — §1.2 (p. 6), Exercices 1.8-1.9 (p. 8 : « pour quelles conditions initiales ces équations admettent-elles une solution unique ? »), §1.1 p. 4-5.

7. Transition : rappel de la variation des constantes — [00:27:07 → 00:30:19]

Rappel très rapide des deux « recettes » vues en séance 3 (pour $y^{\prime }=a(x)y+b(x)$) :

• « On avait une solution qui est un peu plus simple, donc avec un écart [sic: « avec une écriture »] simple, donc une lumière [sic: « une linéaire »] mais matrice réelle ; on avait calculé les solutions qui ont un effet de séquence [sic: « qui ont un effet de [“de suite”] »] ; vous avez fait l’exemple de la variation des constantes. Et donc on était en train de faire une étude générale qui dit : d’abord [la] solution comme si $p$ n’était pas là, on oublie cette [$b$], et on trouve la solution de l’homogène associé. »
• « On avait vu que si petit $a$ dépend de $x$, alors la solution c’est l’exponentielle de l’intégrale de petit $a$. Et une fois que vous avez ça, on va chercher une solution de la forme [de] cette exponentielle, et à la place de la constante $y_0$ on va mettre une fonction en commun ; on injecte tout ça dans l’équation et on trouve une équation pour la fonction inconnue, qui n’est plus une équation [différentielle], c’est une équation… ce qui va donner cette intégrale, qui est assez difficile à faire, mais formellement vous avez la solution. »

$$y^{\prime }=a(x)y+b(x),y_h=C{e}^{{\int }_{x_0}^{x}a(s)\mathrm{d}s},y=\phi (x)e^{\int a},{\phi }^{\prime }(x)=b(x)e^{-\int a}.$$

• « On avait ensuite l’égalité de la mouche à terre [sic: ASR — « l’équation à variables séparables »], qui est celle des équations par la terre séparables [= « séparables »], où, à nouveau, si $H$ s’annule, on a tout de suite les solutions stationnaires, [et] si $h$ ne s’annule pas, avec un $p$ d’algèbre [sic: « un p d’algue » → « un ($\int$) »] et un $p$ d’égal [sic: ASR — « une primitive »], on arrive à exprimer la solution comme [$H^{-1}(G+c)$]. »
• « Mais, je vous avais dit : faites attention quand vous construisez l’inverse. Donc je vais faire avec vous cet exemple pour montrer que parfois, l’inversion peut être plus juste [sic: « plus subtile »].* »

🎯 Ref. : EDO - TDs.pdf — §2.1 « Rappels » (linéaire, variables séparables), p. 9 ; §§40-45 de EDO - Cours 3 (variation des constantes, variables séparables).

8. Les variables séparables et l’exemple piégeux $u^{\prime }=\frac{1+2t}{\cos u}$, $u(0)=\pi$ — [00:30:19 → 00:36:53]

• « Je vais prendre les qualifiés tout en haut [sic: « je vais prendre l’équation tout en haut »] : $u$ point égale $\frac{1+2t}{\cos u}$, [$u(0)=\pi$].* »
• « Ça, c’est bien à la classe qui m’intéresse, parce que ça je peux l’écrire comme $1+2t$ fois $\frac{1}{\cos u}$. Et donc ça, c’est ma fonction $g$ et ça, c’est ma fonction $h$ [au sens $u^{\prime }=g(t)h(u)$]. »
• « Et puisque je suis dans un voisinage de $u$ égale $\pi$, le cosinus vaut $-1$ […], donc $h$ ne s’annule pas dans un voisinage du point qui m’intéresse. »
• Division et intégration :

$$\cos u\mathrm{d}u=(1+2t)\mathrm{d}t⟹{\int }_{\pi }^u\cos s\mathrm{d}s={\int }_0^t(1+2s)\mathrm{d}s⟹\sin u=s+s^2{|}_0^t=t+t^2.$$

(« Cette intégrale c’est facile, c’est l’intégrale de [$\cos$]… vaut $s+s^2$ évalué entre $0$ et $t$, qui vaut donc $t+t^2$. » — le changement de variable $s\to u$, « c’était exactement l’objet qui est ici », est revu avec la différentielle $\mathrm{d}u=u^{\prime }(s)\mathrm{d}s$.)

• Première inversion naïve : « La fonction sinus est inversible et son inverse est $\arcsin$ : $u(t)=\arcsin (t+t^2)$. » — c’est l’instant que le prof avait annoncé :
  • « Exercice : la dérivée par rapport à $t$ de la fonction $\arcsin (t+t^2)$ est égale à $\frac{1+2t}{\cos (\arcsin (t+t^2))}$… »
  • « Mais si on regarde combien vaut cette solution au temps 0 qui m’intéresse : $u(0)=\arcsin (0)=0$, Parce que $\sin 0$ vaut 0. Donc là on a un souci : on a bien utilisé que la fonction $u$ en $0$ valait $\pi$, ma condition initiale [= « je n’ai pas fait la condition initiale »], et quand j’évalue ma fonction $u$ en $0$, j’obtiens $0$ et pas $\pi$. Donc cette fonction-ci n’est pas la bonne [solution]. »
• Le diagnostic : « c’est la bonne idée, parce que du coup on n’a pas regardé la valeur de $u$ » :
  • « Quand j’ai fait ma courbe et je l’ai dessinée, j’ai fait l’hypothèse que la variable $u$ soit dans $[-\pi /2,\pi /2]$. »
  • « Mais ici $u(0)=\pi$ n’est pas dans cet intervalle, et ici la fonction [$\sin$] n’était pas [bi]jective, mais on peut toujours se ramener. »
  • La recette : « Ce qu’il faut faire quand on a besoin de fonctions inverses sur une trigonométrie et que vous n’êtes pas dans les domaines principaux, vous faites une translation de la variable $u$ et vous vous remettez dans les domaines principaux. »

🎯 Ref. : EDO - TDs.pdf — §2.1 « Variables séparables : $y^{\prime }=f(x)g(y)\to \int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx$ » (avec l’avertissement des solutions constantes $g=0$), p. 9 ; §2.2 (premier exemple résolu $y^{\prime }=y/x^2$, gestion de $g(y)\ne 0$), p. 11 ; Exercice 2.2 (problèmes de Cauchy à variables séparables, dont manipulation d’inverses trigonométriques), p. 17-18.

9. La translation $v=u-\pi$ : l’inversion dans le bon domaine — [00:36:53 → 00:42:37]

• « Ici, qu’est-ce qu’il faut faire ? Il suffit de définir une variable $v$ qui est $u$ de $t$ moins $\pi$. Parce que maintenant, $v(0)$ va valoir $u(0)-\pi =0$. Donc si j’arrive à refaire tous les calculs avec $V$, puisque $v(0)=0$, $v(0)$ va être au centre où la fonction $[\sin$ et son inverse$]$ sont bien [définies]. »
• Première chose : réécrire l’équation pour $v$ :

$$v^{\prime }=u^{\prime }=\frac{1+2t}{\cos u}=\frac{1+2t}{\cos (v+\pi )}=\frac{1+2t}{-\cos v}=-\frac{1+2t}{\cos v}.$$

(Le prof interroge la salle sur $\cos (v+\pi )$ : « Vous savez combien vaut le cosinus de $v$ plus un angle… ? » → « Moins cosinus de $V$. »)

• « Alors ça, c’est exactement la même maladie, sauf que plutôt que plus, j’ai moins. Donc sans faire tous les calculs, je peux déjà écrire le résultat qui est là dans le tableau : »

$$\sin v(t)=-t-t^2.$$

⚠️ L’ASR rend « moins T plus T carré » ; le calcul complet (division par $\cos (v+\pi )=-\cos v$) impose $-t-t^2$ — voir Doutes.

• « Et cette fois la fonction $V$ vit proche de zéro, donc je peux bien dire que $v(t)=\arcsin (-t-t^2)$. »
• « Moi je cherche ma fonction $u$ : $u(t)=v(t)+\pi =\pi +\arcsin (-t-t^2)=\pi -\arcsin (t+t^2)$ » (chaîne $c$ — l’ASR dit « c’est moins arc sin $t$ plus $t$ carré » puis « $u$ de $t$ égale $\pi$ moins arc sin $t$ plus $t$ carré »).

$$\boxed{u(t)=\pi -\arcsin (t+t^2)}\text{veˊrif : }u(0)=\pi -0=\pi ,\sin u=\sin (\pi -\arcsin (t+t^2))=t+t^2.$$

• « Cette fonction, vous pouvez vérifier avec cet exercice que sa dérivée satisfait bien les égalités là [l’équation]. Et en plus en 0, arcsin de 0 vaut 0, donc $u(0)$ vaut bien $\pi$. »
• Message final de la matrice de l’exemple : « Là, ce qu’on a dû faire, c’est ramener à l’intervalle où la fonction $\sin$ et $\arcsin$ sont inverses l’une de l’autre ; sinon on a un problème. Donc cela est valable pour [toutes] les fonctions qui ont un domaine défini sur lequel vous pouvez les inverser » — cri d’alerte valable pour logarithme, sinus, cosinus, tangente (rappel du §45 de EDO - Cours 3).

🎯 Ref. : EDO - TDs.pdf — §2.1 (p. 9) et les Exercices 2.1.14 / 2.2 (p. 17-18) où l’inversion d’une primitive trigonométrique est en jeu ; le principe « se ramener aux domaines principaux par translation » est celui de la « Remarque : si aucune de ces méthodes ne marche, pensez à intervertir les rôles de $x$ et $y$ » (p. 20 du fait page, ici p. 10).

10. Zone contaminée et échange sur l’unicité — [00:42:37 → 00:49:07]

• 00:42:37 → 00:44:51 : conclusion de la remarque ci-dessus (fonctions trigonométriques et leurs domaines d’inversion), puis le prof s’arrête et répond à une question :
  • « …qui vont tout au long de l’écho [sic] et à un point où, quand tu prends le sucre de ça, c’est pas du tout » (fragment inaudible).
  • Échange (étudiant ↔ prof) sur deux solutions d’un même PdC :
    • « Donc on peut démontrer [par l’absurde] qu’on n’a pas [de solutions] égale[s], c’est seulement si la distance est [égale à] zéro. Si elles sont différentes, c’est que la distance n’est pas zéro. Là, tu fais une contradiction. Tu supposes qu’elles sont différentes. »
    • Étudiant : « Ah oui, c’est pas con. » / prof : « Oui, c’est ça. » — c’est l’argument « deux solutions ne peuvent pas se croiser sans coïncider », celui-là même utilisé au §2.2 du recueil (les solutions d’un PdC ne peuvent pas s’intercepter).
• 00:44:51 → 00:49:07 : zone audio contaminée — à 00:48:35 l’enregistrement capte « Sous-titrage ST’ 501 » (la chaîne de sous-titrage RTBF déjà vue aux séances 2 et 3). Aucun contenu mathématique perdu.

🎯 Ref. : EDO - TDs.pdf — §2.2, premier exemple résolu : « Vu que les solutions d’un PdC ne peuvent pas s’intercepter, si $y_0\ne 0$ alors $y(x)\ne 0$ pour tout $x$ », p. 11 ; Exercice 1.7 (unicité et croisement de deux solutions), p. 7-8.

11. Les cas « non séparables d’emblée » : lecture générale de $u^{\prime }=f(at+bu+c)$ — [00:49:07 → 00:53:44]

• « On va maintenant voir des cas qui ne sont pas directement dans la forme variable séparable à première [vue]. »
• « On a [l’équation] $u^{\prime }$ point égale à $f(at+bu+c)$. C’est l’équation [qui] n’est pas à variables séparables parce que $f$ n’est pas [un] produit de deux [fonctions], mais c’est [$f$ d’une fonction affine]. »
• « Alors, il y a des cas simples. »
  • Cas $a=0$ : « $u^{\prime }=f(bu+c)$ : elle est à variables séparables, donc on va [poser la] fonction qui est toute [seule en $u$]… donc ça c’est facile à faire. »
  • Cas $b=0$ : « On obtient $u^{\prime }=f(at+c)$, et là, oui, c’est pas grave, c’est beaucoup plus simple : c’est juste une intégrale, parce qu’il n’y a [pas de fonction de $u$]. »
  • Cas général $b\ne 0$ : « On va introduire une nouvelle variable $v$, qui est $at+bu+c$, et on va écrire l’équation dans la nouvelle variable. »

$$v=at+bu+c⟹v^{\prime }=a+b{u}^{\prime }=a+bf(at+bu+c)=a+bf(v)=:H(v).$$

• « Et donc ça, c’est une variable séparable, parce que ça, c’est ce que j’appelle la fonction $H$ de $v$, et ici vous avez la fonction de votre temps [$1$]. Donc dans la variable $v$, j’ai une équation à variables séparables. »
• « Et quand vous avez trouvé $v$, vous [retrouvez] $u$ de celle-là, parce que $u=\frac{1}{b}(v-at-c)$ — qui est bien défini parce qu’on est dans le cas où $b\ne 0$. »

$$\boxed{u^{\prime }=f(at+bu+c),b\ne 0\stackrel{v=at+bu+c}{\to }{v}^{\prime }=a+bf(v)\text{(aˋ variables seˊparables)}}$$

🎯 Ref. : EDO - TDs.pdf — §2.1 « Du type $y^{\prime }=f(ax+by+c)$ : poser $u=ax+by+c$ → pour $u$ : variables séparables », p. 9-10 ; Exercice 2.1.9 ($y^{\prime }=(x+y{)}^2$ — le prototype de ce type), p. 17.

12. Exemple au tableau : $u^{\prime }=1+\sin u$ (l’intégrale de $\frac{1}{1+\sin u}$ par $t=\tan \frac{u}{2}$) — [00:53:44 → 01:08:00]

Exemple tiré de la famille précédente avec un clavier un peu plus riche :

• L’équation dérivée : « Si vous voulez, en prenant l’équation [$u^{\prime }=1+\sin u$]… » (elle vient du type $y^{\prime }=f(x+y+3)$ d’où $v=x+y+3$, $v^{\prime }=1+y^{\prime }=1+\sin v$ ; cf. Doutes).
• « Je peux supposer que [$1+\sin u$] soit non nul[le], et donc j’obtiens [$u^{\prime }=1+\sin u$], et donc j’intègre, je divise par $1+\sin u$ : »

$$\int \frac{\mathrm{d}u}{1+\sin u}=\int \mathrm{d}t=t+C.$$

• « C’est un peu compliqué, parce que vous avez un [$\sin$] à haut de la terre [sic: ASR] — donc ce n’est pas un [table] intégral. On définit la manière de $t$ [sic: « la variable $t$ »] qui est la tangente de l’angle demi : $t=\tan \frac{u}{2}$. »
• Les trois formules :

$$\sin u=\frac{2t}{1+t^2},\cos u=\frac{1-t^2}{1+t^2},\mathrm{d}u=\frac{2\mathrm{d}t}{1+t^2}.$$

(le prof les redémontre en partant de $t=\tan \frac{u}{2}$ : $\sin u=2\sin \frac{u}{2}\cos \frac{u}{2}=2\tan \frac{u}{2}{\cos }^2\frac{u}{2}$… ; il note le rapport $\sin 2\theta$ ; « si vous avez déjà vu cette formule dans la liste » — les formules de l’angle double.)

• Substitution et intégrale élémentaire :

$$\int \frac{\mathrm{d}u}{1+\sin u}=\int \frac{\frac{2}{1+t^2}}{1+\frac{2t}{1+t^2}}\mathrm{d}t=\int \frac{2}{t^2+2t+1}\mathrm{d}t=\int \frac{2}{(t+1{)}^2}\mathrm{d}t=-\frac{2}{t+1}+C.$$

(« Il y a les 3 moitiés [sic: « des carrés »] qui s’annulent, il y a $1+t^2$ qui s’amplifie avec l’exposant [sic: « qui s’annule »], et quand je multiplie ça là-dedans j’obtiens l’intégrale… » — l’ASR est très dégradé ici, la structure du calcul étant la seule chose fiable.)

• Retour : « Donc, finalement, on a que $t+C^{\prime }=-\frac{2}{1+\tan \frac{u}{2}}$, et donc j’obtiens que [$u$] est [le double] de la tangente [i.e. $\tan \frac{u}{2}=-\frac{2}{t+C^{\prime }}-1$]… Il faudra vérifier si c’est bien défini en fonction de la condition initiale, et bien à l’intervalle. »
• Métacommentaire du prof (important pour l’oral) : « Faire des équations, c’est faire beaucoup d’intégrales. Donc, si vous avez [un] problème [d’intégrales], il faut que vous révisiez les intégrales qui peuvent exister, les changements de variables et tout. En TD vous avez un [recueil], donc ça va faire des intégrales. »
• « Il y a des questions au-delà du calcul ? L’intégral, peut-être que je vais la faire d’une autre façon, peut-être qu’il y a sûrement d’autres façons de le faire. Ça, c’est celle que je pense être la plus simple. »

🎯 Ref. : EDO - TDs.pdf — §2.1 (type $y^{\prime }=f(ax+by+c)$, p. 9-10) et Exercice 2.1.9 ($y^{\prime }=(x+y{)}^2$), p. 17 — l’intégrale $\int \frac{\mathrm{d}u}{1+\sin u}$ relève de la « boîte à outils » des primitives usuelles (substitution $t=\tan \frac{x}{2}$), rappelée par le prof comme indispensable avant le TD.

13. Les équations homogènes : $u^{\prime }=f\left(\frac{u}{t}\right)$, poser $v=\frac{u}{t}$ — [01:08:00 → 01:11:15]

• « L’autre exemple des équations qui n’est pas tout de suite à variables séparables, mais on peut se ramener facilement, c’est ce qu’on appelle l’homogène, où vous avez $u^{\prime }$ qui [dépend de] la même fonction, par exemple, des $u$ sur $t$ ou des $u$ sur [$t$]. »
• « Donc ça, ce n’est pas une fonction qui est tout de suite séparée dans les produits $[g(t)h(u)]$ ; c’est une fonction qui dépend des [ratios]. »
• Pourquoi « homogène » : « Si vous multipliez $u$ et $t$ par la même constante, l’équation ne change pas. Parce que [$f$] va diviser $u$ par $t$, donc si vous changez $u$ et $t$ par la même quantité, cette fonction ne change pas. »

$$f(t,u)=F\left(\frac{u}{t}\right)\text{(invariance par le changement d’eˊchelle }(t,u)\to (\lambda t,\lambda u)\text{)}.$$

• La substitution $v=u/t$ :

$$v^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{t}-\frac{u}{t^2}=\frac{1}{t}F\left(\frac{u}{t}\right)-\frac{u}{t^2}=\frac{1}{t}(F(v)-v),$$

c’est-à-dire un produit $\frac{1}{t}\times (F(v)-v)$ : à variables séparables.

• « Donc, à mes données [sic: « donc je pose »] $g(t)=\frac{1}{t}$ et $h(v)=F(v)-v$. Une fois que vous avez trouvé la solution à variable[s] séparables pour $v$, vous pouvez revenir en arrière et vous trouvez [$u=tv$]. »
• « Je ne vais pas faire un exercice sur ça. Il y en a d’autres [= « il y en a en add-ons »] : si vous avez [le recueil], il y en a en TD. »

🎯 Ref. : EDO - TDs.pdf — §2.1 « Homogène : $y^{\prime }=f(\lambda x,\lambda y)=f(x,y)$, poser $y=ux$ → pour $u$ : variables séparables », p. 10 ; §2.2 (second exemple résolu $y^{\prime }=\frac{y+x}{x}$, $f(\lambda x,\lambda y)=f(x,y)$), p. 12 ; Exercice 2.1.8 ($(x^3-y^3)y^{\prime }=x^{2}y$) et 2.1.10, p. 17.

14. L’équation de Bernoulli : $y^{\prime }=p(x)y+f(x)y^c$, et le changement de variable $u=y^{1-c}$ — [01:11:15 → 01:18:30]

• « Cette partie équations a fait recette et cuisine, et [on arrive à] une équation qui a un nom, qu’on appelle l’équation de Bernoulli : c’est une famille avec plusieurs frères et cousins connus dans les combats [sic: ASR] — [les Bernoulli]. Et donc, quand une équation a le nom de quelqu’un, c’est que cette personne a [eu] une astuce pour la résoudre ou la simplifier. »
• Forme générale :

$$\boxed{y^{\prime }+a(x)y=b(x)y^{\alpha },\alpha \in \mathbb{Z},\alpha \ne 0,1}$$

(l’ASR rend « $y^{\prime }$ plus $ax$ fois $y$ égale fonction $p$ de $x$ fois $y^x$ avec des puissances $\alpha$ » ; ici on note $a$ et $b$ conformément au recueil, cf. Doutes.)

• Les deux cas déjà vus :
  • « Si $\alpha =0$ : la puissance 0 d’une fonction c’est $1$ ; on obtient [$y^{\prime }+ay=b$], et ça on a trouvé la solution la fois passée avec la variation des constantes. »
  • « Si $\alpha =1$ : il n’y a plus de différence entre les deux termes, l’équation devient [$y^{\prime }+a(x)y=b(x)y$], donc à nouveau une équation linéaire [homogène], et la solution est l’exponentielle de l’intégrale de la fonction classique. »
• Le changement de variable de Bernoulli :

$$u=y^{1-\alpha }(\text{exposant }1-\alpha \ne 0\text{ car }\alpha \ne 1).$$

• « On doit trouver l’équation pour $u$, en connaissant cette quantité » — calcul : $y=u^{\frac{1}{1-\alpha }}$, d’où

$$u^{\prime }=(1-\alpha )(a(x)u+b(x))⟺\boxed{u^{\prime }+(1-\alpha )a(x)u=(1-\alpha )b(x)}\text{— une eˊquation LINEˊAIRE en }u.$$

• « J’ai une équation, comme celle qu’on avait vue dans [le cas] $\alpha =0$, qu’on peut donc résoudre d’abord avec la solution de l’homogène [l’exponentielle de l’intégrale], et après pour cette partie-ci on utilise la variation des constantes. Donc avec cette méthode, on peut résoudre exactement [l’équation] modulo les intégrales cachées là-derrière. »
• Le truc bien digéré : « L’astuce de Bernoulli, c’est d’avoir su trouver ce changement de variable qui permet d’avoir une équation beaucoup plus simple, parce que vous n’avez plus les termes non linéaires et vous avez juste les choses linéaires en $u$. » ⚠️ L’ASR rend le changement de variable comme « $u$ égale $y$ puissance $1$ sur $1$ moins $\alpha$ » ; la version correcte est $u=y^{1-\alpha }$ (c’est celle du recueil, p. 10, et celle que l’exemple vérifie — cf. Doutes).
• « Cette méthode fonctionne, mais peut-être parfois sur le stress… je vais vous montrer deux autres méthodes qui mènent au même équation. »

🎯 Ref. : EDO - TDs.pdf — §2.1 « Bernouilli : $y^{\prime }=p(x)y+f(x)y^c$, $c\ne 1$, poser $u=y^{1-c}$ → équation linéaire en $u$ », p. 10 ; §2.2 (exemple résolu $y^{\prime }=y/x+2y^2$), p. 13-14 ; Exercices 2.3 et 2.5, p. 18-19.

15. Méthode 2 : $y=u\cdot v$ avec $v$ solution de l’homogène linéaire — [01:18:30 → 01:22:20]

• « La première méthode est la suivante : on va définir $y$ comme produit de deux nouvelles fonctions, une fonction qui s’appelle $u$, une fonction qui s’appelle $v$. »

$$y=u(x)v(x)⟹y^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }.$$

• « J’injecte tout dans mon équation : $u^{\prime }v+u{v}^{\prime }+a(x)uv=b(x)(uv{)}^{\alpha }$. »
• Le coup de force : « Je peux lever la liberté, j’en fais un jeu [sic : « je joue sur la liberté »] : je prends $y=uv$, mais $v$ n’est pas quelconque, et [$u$ n’est pas $u$]… Donc $v$ est tel que $v^{\prime }+a(x)v=0$. »

$$v\text{telle que }{v}^{\prime }+a(x)v=0⟹v(x)=\hat{C}{e}^{-\int a(x)\mathrm{d}x}\text{(l’homogeˋne lineˊaire ; une telle }v\text{ ne s’annule jamais)}.$$

• « Une fois que j’ai pris ça, cette partie est simplifiée, et donc j’obtiens l’équation $u^{\prime }v=b(x)(uv{)}^{\alpha }$. $V$ c’est un exponentiel, vous ne [le] connaissez jamais [$=0$]. Je peux diviser à gauche comme à droite par $v$. Et donc j’obtiens que $u^{\prime }=b(x)u^{\alpha }{v}^{\alpha -1}$. »

$$u^{\prime }=b(x)\underset{\text{connue}}{\underbrace{e^{-(\alpha -1)\int a}}}{u}^{\alpha }⟺u^{\prime }=g(x)h(u)\text{— variables seˊparables.}$$

• Généralisation annoncée : « Cette méthode est générale, donc on peut l’appliquer ou essayer de l’appliquer à d’autres équations que celle de Bernoulli. Mais après, c’est contraint à [des équations qui] s’impliquent [dans] des quantités plus compliquées que la variable séparable. »

🎯 Ref. : EDO - TDs.pdf — §2.1 (Bernoulli, p. 10) — cette « méthode 2 » n’est pas au recueil, c’est le cours qui la donne ; elle recoupe l’Exercice 2.3 (p. 18) par la résolution en variables séparables obtenue.

16. Méthode 3 : la variation des constantes directement sur $y$ — [01:22:20 → 01:27:20]

• « Je vais voir maintenant la dernière méthode, la variation des constantes, c’est celle qui marche toujours. Donc, si vraiment vous n’avez aucune autre idée en tête, vous l’appliquez et vous aboutissez quand même sur le résultat. »
• Étape 1 — l’homogène :

$$y^{\prime }+a(x)y=0⟹y_h(x)=C{e}^{-{\int }_{}^{x}a(s)\mathrm{d}s}.$$

• Étape 2 — on fait varier la constante : $y(x)=\phi (x)e^{-\int a}$, et on injecte :

$$y^{\prime }=-\phi (x)a(x)e^{-\int a}+{\phi }^{\prime }(x)e^{-\int a}=-a(x)y+{\phi }^{\prime }(x)e^{-\int a}.$$

En injectant dans $y^{\prime }+ay=b{y}^{\alpha }$, le terme $-ay+ay$ s’efface :

$${\phi }^{\prime }(x)e^{-\int a}=b(x)y(x{)}^{\alpha }=b(x)e^{-\alpha \int a}\phi (x{)}^{\alpha }⟹{\phi }^{\prime }(x)=b(x)e^{(1-\alpha )\int a}\phi (x{)}^{\alpha }\text{— variables seˊparables en }\phi .$$

(« …et vous voyez qu’on a trouvé la même équation qu’on avait trouvée tantôt, mais en passant par la variation des constantes. Et donc une fois que vous êtes à ça, c’est la même chose : ça c’est la fonction $g$ qui dépend seulement [$dex$] [et] ça c’est la fonction $h$. »)

• Le prof rappelle au passage la règle de dérivation d’une intégrale dont la variable est la borne : « quand vous dérivez une intégrale qui dépend de la variable extrême, c’est ce qu’il y a dedans, évalué dans la fonction [borne]. »

🎯 Ref. : EDO - TDs.pdf — §2.1 « Linéaire : solution $y=e^{A(x)}(\int e^{-A(x)}f(x)dx+C)$ » (même mécanique), p. 9 ; Exercice 2.3 (p. 18) — version la plus proche de ce que la méthode 3 résout.

17. L’exemple complet de Bernoulli : $y^{\prime }=\frac{1}{x}y+\sin (x)y^3$ (les trois méthodes convergent) — [01:27:20 → 01:38:39]

« On va faire un exemple de [Bernoulli]. » Le prof efface et annonce l’équation : c’est une Bernoulli avec $a(x)=-1/x$, $b(x)=\sin x$ et $\alpha =3$ :

$$\boxed{y^{\prime }+a(x)y=b(x)y^{\alpha }\text{avec}a(x)=-\frac{1}{x},b(x)=\sin x,\alpha =3⟺y^{\prime }=\frac{1}{x}y+\sin x{y}^3}$$

• « On n’est ni 0 ni 1, donc on peut utiliser la méthode Bernoulli [directe]. »

17.1 — Méthode 1 : $u=y^{1-\alpha }=y^{-2}$ (linéarisation)

• « Je vais définir [$u=y^{1-3}=y^{-2}$]… J’injecte tout ça là-dedans, donc j’obtiens que [$\dots$], et donc j’obtiens $u^{\prime }$ plus $\frac{2}{x}u$ égale [$\dots$]. Voici l’équation qu’on obtient dans la variable Bernoulli. »

$$u^{\prime }+\frac{2}{x}u=-2\sin x(\text{en effet }{u}^{\prime }=(1-\alpha )(au+b)=-2(-\frac{1}{x}u+\sin x\left)\right).$$

• Résolution : homogène + variation des constantes :
  • Homogène : $u^{\prime }=-\frac{2}{x}u$ ⟹ $u_h=C{e}^{-2\ln x}=\frac{C}{x^2}$. (« Je fais l’exponentielle intégrale, donc l’exponentielle de moins l’intégrale de $\frac{2}{s}$… c’est exponentielle de moins $2$ logarithme de $x$… ce qui veut dire $\frac{1}{x^2}$ fois constante. »)
  • Variation : $u=\frac{\phi (x)}{x^2}$ ⟹ $u^{\prime }=\frac{{\phi }^{\prime }}{x^2}-\frac{2\phi }{x^3}$ ; injecté :

$$\frac{{\phi }^{\prime }}{x^2}-\underset{\text{s’effacent}}{\underbrace{\frac{2\phi }{x^3}+\frac{2}{x}\cdot \frac{\phi }{x^2}}}=-2\sin x⟹{\phi }^{\prime }(x)=-2x^2\sin x.$$

• Le prof insiste sur la vérification de la partie homogène : « Si vous dérivez la fonction constante sur $x^2$ [= $\frac{C}{x^2}$], ça va donner $-\frac{2C}{x^3}$, c’est bien $-\frac{2}{x}$ fois $\frac{C}{x^2}$ » — donc $\frac{1}{x^2}$ est bien solution de l’homogène.

17.2 — Méthode 2 : produit $y=u\cdot v$

• « Pour les autres [méthodes], j’ai défini $y$ comme le produit de 2. Vous vous souvenez que la fonction $v$ doit satisfaire l’équation [$v^{\prime }+av=0$]… » avec ici $v^{\prime }-\frac{1}{x}v=0$ i.e. $v=Cx$.
• Prenant $y=\phi (x)x$ :

$$y^{\prime }={\phi }^{\prime }x+\phi ,y^{\prime }=\frac{1}{x}y+\sin x{y}^3=\phi +{\phi }^3{x}^3\sin x⟹{\phi }^{\prime }={\phi }^3{x}^2\sin x\text{— variables seˊparables en }\phi .$$

(« Donc on obtient ${\phi }^{\prime }$ égale $\phi$ cube $x$ carré $\sin x$. Donc on a une nouvelle équation à variables séparables, on fait ce qu’on fait d’habitude et, à la fin, on trouve la même solution. »)

17.3 — Méthode 3 : variation des constantes sur $y$ directement

• « Par l’apparition [sic: « par la variation »] des constantes, on a dû trouver les mêmes résultats encore une fois. »
• Homogène : $y^{\prime }-\frac{1}{x}y=0$ ⟹ $y_h=C{e}^{\int \frac{1}{x}}=Cx$ (« l’exponentielle du logarithme de $x$ pour une nouvelle constante, ce qui va me donner [$e^{\ln x}=x$]… $x$ ça me donne $c$ sur $x$, $x$ [sic: ASR — « $u$ [= solution] $=Cx$ »]. »)
• $y=\phi (x)x$ :

$$y^{\prime }={\phi }^{\prime }x+\phi =\phi +{\phi }^3{x}^3\sin x⟹{\phi }^{\prime }={\phi }^3{x}^2\sin x\text{— la MEˆME eˊquation seˊparable qu’en 17.2.}$$

17.4 — Mot de la fin

• « En fait, il y a plusieurs pistes différentes en fonction de ce que vous vous souvenez, de ce que vous voulez faire, mais qui amènent toutes à la même solution. » La solution finale s’exprime par $y=u^{-1/2}=1/\sqrt{u}$ (puisque $u=y^{-2}$) : « vous mettez tout ça dans la fonction $y$, que je vous rappelle [=] $\frac{1}{\sqrt{u}}$, et donc vous trouvez la solution. Ici on ne fait pas attention si la racine est bien définie ou pas, parce que je n’ai pas donné les conditions initiales ; dans ces constantes, on peut vérifier que tout ça fonctionne. »

🎯 Ref. : EDO - TDs.pdf — §2.1 (Bernoulli : $u=y^{1-c}$, p. 10) ; §2.2 (exemple résolu $y^{\prime }=\frac{y}{x}+2y^2$ : solutions constantes, changement $u=y^{-1}$, domaine d’existence], p. 13-14) ; Exercice 2.3 ($\dot{x}=x/t+2x^2$), p. 18 ; Exercice 2.5 (Bernoulli non homogène), p. 18-19.

18. Clôture et annonce : l’oscillateur harmonique — [01:38:39 → 01:39:33]

• « Je propose qu’on s’arrête ici parce qu’on a appris beaucoup de matière. Donc la fois prochaine on va étudier un cas particulier, qui est le satellite [sic: « l’oscillateur »] harmonique. »
• « C’est une chose que vous avez vue en mécanique l’année passée. Il y aura aussi dans le cours de mécanique du solide du point [de] celle[s] que vous avez au Q2 cette année, mais depuis pas mal d’années, c’est moi qui fais la partie plus mathématique de l’équation, et vous ferez plutôt dans le cours de mécanique la partie mécanique, à quoi ça correspond et tout ça. »
• « Donc avec moi, vous verrez la solution, parce que ça permet d’ouvrir la porte au chapitre des équations linéaires à coefficients constants, qui est la grosse partie du solide du point. »
• « On va y aller la semaine prochaine. » (fin de l’audio à 01:39:33)

🎯 Ref. : EDO - TDs.pdf — le chapitre suivant traité au TD/au cours : « Chapitre 3. Equations différentielles d’ordre supérieur à coefficients constants » (p. 20-25) ; l’oscillateur harmonique y apparaît notamment en Exercice 3.2.3 ($\ddot{u}-u=\sin t-t$) et 3.3 (p. 26-27).

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Points clés — [résumé]

1. Lipschitz locale vs globale : le couple (fonction, intervalle) (§1-§6). Une fonction $C^1$ est localement lipschitzienne (sur tout intervalle borné/compact). Elle peut ne pas l’être globalement :

• $\sqrt{x-1}$ n’est pas lipschitzienne sur aucun intervalle contenant $1$ ($\frac{1}{\sqrt{x-1}}\to \infty$) ;
• $x^2$ est lipschitzienne sur tout $[a,b]$ (locale) mais pas sur $\mathbb{R}$ ($|x+y|$ non borné) ;
• $(x-1{)}^{8/3}$ est $C^1$ même en $1$ (exposant $>1$, dérivée nulle) ⟹ lipschitzienne locale ;
• $\sin x$ est lipschitzienne globale, constante $L=1$ ;
• $x\mapsto x^3/3+1$ est une contraction sur un petit intervalle ; la fonction affine $ax+b$ est une contraction $⟺|a|<1$.

2. L’unicité est liée à la Lipschitz en la variable de $u$ (§5-§6). Pour le PdC $\dot{x}=f(x),x(0)=x_0$ :

• si $f$ est continue et localement lipschitzienne au point $x_0$ ⟹ existence et unicité (théorème 1.1 du recueil, p. 4) ;
• si $f$ n’est pas lipschitzienne (ex. $\sqrt{x}$ en $0$, $x^{2/3}$ en $0$) ⟹ le théorème de Peano ne garantit que l’existence, et il y a plusieurs solutions (dont la constante) — l’unicité tombe.
• En pratique pour les puissances : $f(x)\sim (x-a{)}^{\alpha }$ avec $0<\alpha <1$ ⟹ point piégeux en $a$ ; $\alpha \ge 1$ ⟹ régulier.

3. Les recettes de cuisine du premier ordre (§7 → §18) — le contenu Chapitre V du cours = Chapitre 2 du recueil (p. 9-19) :

$$y^{\prime }=f(x)g(y)\text{(seˊparables)},y^{\prime }=f\left(\frac{y}{x}\right)\text{(homogeˋne, poser }y=ux),y^{\prime }=f(ax+by+c)\text{(poser }u=ax+by+c),$$ $$y^{\prime }=p(x)y+f(x)\text{(lineˊaire/variation des constantes)},y^{\prime }=p(x)y+f(x)y^c\text{(Bernoulli, }u=y^{1-c}).$$

4. Le piège de l’inversion (§8-§9). Pour une séparable, on obtient typiquement $H(u)=G(t)+c$ et il faut inverser $H$. Les fonctions trigonométriques n’ont d’inverse bien définie que sur leur domaine principal ; si la condition initiale fait sortir de ce domaine (ex. $u(0)=\pi$ pour $\sin$) :

• l’inversion naïve donne une fonction qui ne vérifie pas la condition initiale ;
• correctif : translater la variable ($v=u-\pi$) pour retomber dans le domaine principal.
• Exemple refait : $u^{\prime }=\frac{1+2t}{\cos u},u(0)=\pi$ ⟹ $\sin u=t+t^2$ ⟹ $u(t)=\pi -\arcsin (t+t^2)$.

5. Les trois méthodes de Bernoulli convergent (§17). Sur $y^{\prime }=\frac{1}{x}y+\sin x{y}^3$, les trois pistes (changement $u=y^{-2}$ → linéaire $u^{\prime }+\frac{2}{x}u=-2\sin x$ ; produit $y=uv$ avec $v^{\prime }+av=0$ ; variation des constantes) aboutissent à la même équation séparable (en $\phi$ : ${\phi }^{\prime }={\phi }^3{x}^2\sin x$).

6. La mécanique du calcul (§12, §17). Le prof le dit deux fois : « faire des équations, c’est faire beaucoup d’intégrales » — il faut réviser les primitives usuelles et les changements de variables (dont $t=\tan \frac{x}{2}$), car les intégrales cachées sont le vrai travail.

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Doutes / à vérifier

• ⚠️ Signes dans $u^{\prime }=\frac{1+2t}{\cos u}$ (§8-9) : l’énoncé initial et les intégrales sont solides, mais le passage à $v=u-\pi$ est ASR-dégradé et l’ASR rend « sin $V=-T+T^2$ ». Le calcul complet avec $\cos (v+\pi )=-\cos v$ donne $\sin v=-t-t^2$, donc $u(t)=\pi -\arcsin (t+t^2)$. La formule finale est correcte et se vérifie par dérivation ; le signe intermédiaire est reconstruit. À contrôler sur le support/cours.
• ⚠️ Changement de variable de Bernoulli (§14) : l’ASR donne « $u=y^{1/(1-\alpha )}$ », en cohérence apparente avec une hypothèse de cours, mais seul $u=y^{1-\alpha }$ (celui du recueil p. 10) linéarise et c’est celui que l’exemple (§17, $u=y^{-2}$) utilise. Version retenue : $u=y^{1-\alpha }$, correcte. L’énoncé général à l’oral est probablement un lapsus.
• ⚠️ Signe de $a(x)$ dans l’exemple Bernoulli (§17) : l’ASR fait varier le signe du terme non homogène (« -$2x^2\sin x$ », « est égal à moins $2\sin x$ », « $\phi \times$ + $\phi$ »…). La chaîne cohérente (et la seule qui donne l’égalité $u^{\prime }+\frac{2}{x}u$ du §17) est : $y^{\prime }-\frac{1}{x}y=\sin x{y}^3$ ⟹ $u^{\prime }+\frac{2}{x}u=-2\sin x$ ⟹ ${\phi }^{\prime }=-2x^2\sin x$. Le signe du terme en $\sin x$ est incertain à l’ASR ; la structure de la méthode est certaine.
• ⚠️ §12 : équation d’où vient $u^{\prime }=1+\sin u$ : l’ASR parle de « l’équation $Y=X$ », « u = x+y+3 », « *u’ = 1 + y’$\ast »,puissaute\grave{a}«\ast$u’ = 1 + \sin u$\ast ».Il{s}^{\prime }agittr\grave{e}svraisemblablementdutype$y’ = f(x+y+3)$avec$f(v) = 1 + \sin(v) - 1$??—laversionnot\acute{e}e($u’ = 1 + \sin u$)estcelleque{l}^{\prime }int\acute{e}graledutableau($\int \frac{\mathrm{d}u}{1+\sin u}$) implique. À confirmer.
• ⚠️ La constante « $1/3$ » de la contraction (§4) : le prof dit « c’est donc égal à $\frac{1}{3}$… vous avez déjà la constante qui est $\frac{1}{3}$ » — sur le petit intervalle, on déduit $|x^2+xy+y^2|\le 1$ (par ex. $|x|,|y|\le 1/\sqrt{3}$) pour obtenir la constante $1/3$. Les bornes exactes du rectangle choisi ne sont pas dictées à l’oral.
• ⚠️ Section 6, fragments « X d1 » / « le point est égal à 6 » / « les échos égaux de x, c’est zéro » : l’ASR est très dégradée (00:24:21 → 00:27:07). La lecture retenue (critère des puissances, $x^6$ vs $\sqrt{x}$, unicité pour $x_0\ne 0$) est cohérente avec le thème mais certains détails restent à vérifier contre les slides du Chapitre I.
• ⚠️ % de littéralité du §12 (substitution $t=\tan \frac{u}{2}$) : segments « les 3 moitiés carrés », « l’intégrale de la tension de x sur x sur e », « je vais vérifier si j’ai mis la queue » sont du bruit ASR ; seules les formules encadrées sont fiables. La dérivation de $\sin u=2t/(1+t^2)$ etc. est donnée par le prof à l’oral (00:57:37 → 00:59:51) mais rendue de façon très heurtée.
• ⚠️ Échange « pas con » (§10, 00:45:03-00:45:38) : c’est un dialogue étudiant-prof sur la preuve par contradiction que deux solutions distinctes d’un même PdC ont une distance non nulle. Les mots exacts sont bruttés ; l’idée est celle du recueil p. 11 (« les solutions d’un PdC ne peuvent pas s’intercepter »).
• ⚠️ Vocabulaire : « l’égalité de la mouche à terre » (§7, 00:29:38) = « l’équation à variables séparables » (ASR) ; « un p d’algèbre » / « un p d’égal » = « une primitive » (ASR) ; « la méthode d’Ebenoï » (00:48:52, §14) = « la méthode de Bernoulli ». Ces trois fragments sont non reconstitués à l’oral et laissés tels quels.
• ✅ RÉSOLU — La zone « Sous-titrage ST’ 501 » (00:48:35) est une autre fuite de la chaîne de sous-titrage RTBF, comme aux séances 2 (§15) et 3 (§27). Aucun contenu perdu.

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Liens

• Précédent : EDO - Cours 3 — le théorème de Picard (Ch. II) et les méthodes « nombre de recettes » (variation des constantes, séparables) ; la fin du Cours 3 annonçait précisément l’étude de l’inversion en séparables, tenue ici au §8-9 ; les §§45 (séparables) et 40-44 (variation des constantes) sont le socle direct des §§7-17 de cette séance.
• À suivre : la séance 5 sera l’oscillateur harmonique, porte d’entrée du Chapitre VI « Équations Différentielles Ordinaires Linéaires » (et du Chapitre 3 du recueil, p. 20-25).
• Support écrit du même dossier : EDO - TDs.pdf (recueil J. Boreux & J. Mohet — Ch. 1, p. 4-8 ; Ch. 2, p. 9-19) · Chapitre1 - Sylabus.pdf · Chapitre1 - Slides.pdf (liste des chapitres, dont Ch. V « Quelques solutions explicites », slides p. 8).
• Question au TD : le prof renvoie aux équations du recueil (« il y en a en TD », §13) — les TD 1 (TD1 - EDO) et 2 (TD2 - EDO) couvrent ces recettes.
• Source : audio EDO - 4.m4a (dans la racine Bac 2/) · transcriptions .srt / .txt / .vtt dans ~/Documents/La Uni/Audios/transcrit/.
• Travail en suspens sur la séance précédente : voir PENDIENTE - EDO Cours 2.txt et PENDIENTE - EDO TD1.txt dans ce dossier.

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Transcrit via whisper-cpp (modèle ggml-large-v3-q5_0 avec VAD silero + anti-boucles), puis structuré et annoté. La source audio reste dans Documents/La Uni/Bac 2/EDO - 4.m4a. Les formules et les signes ont été reconstruits à partir du raisonnement énoncé à l’oral : voir Doutes / à vérifier.