TD1 - EDO

TD — EDO 1 : la lipschitzianèse au travail (exercices 1.1 à 1.7 du chapitre 1)

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Numeración : c’est la 1ᵉʳᵉ séance de TD du chapitre 1 (audio EDO - TD1.m4a, jeudi 2026-10-01, 16:10–18:00, salle S07). Elle est distincte des séances de cours : la séance 1 du cours n’a pas été suivie (pas d’audio) et la numérotation des notes de cours est indépendamment rectifiée — voir EDO - Cours 2 et EDO - Cours 3.

Couverture : de 00:00:00 à 01:07:58 sur un audio de 01:08:11 — couverture intégrale, aucun trou. 342 segments, 3 717 mots. Transcription brute : .srt / .txt / .vtt dans ~/Documents/La Uni/Audios/transcrit/EDO - TD1.* (aucun artefact CJK/cirílico, aucun bouclé d’hallucination).

Où commence et où finit la séance : l’enregistrement débute au milieu de la correction de l’exercice 1.1, point 1 (le prof est déjà en train de répondre « c’est égal à quoi ? »). Rien de ce qui précède n’est perdu pour cette séance : le chapitre 1 avait été présenté en cours (support : Chapitre1 - Sylabus.pdf, T. Carletti), et le §1.1 (théorème 1.1) comme le §1.2 (exemple résolu $\dot{x}=x^{2/3}$) ne sont pas issus de ce TD. Ce que la séance couvre : l’exercice 1.1 (points 1 à 5 sur 6), puis 1.2, 1.3, 1.6 en entier, et 1.7 énoncé-théorème mais non traité. Ce qu’elle ne couvre pas : 1.1 point 6, 1.4 (seulement citée comme outil), 1.5 (seulement annoncée), 1.8 et 1.9 (reportées explicitement).

📝 Convention de littéralité : les paroles du prof sont entre « » et telles que l’ASR les a rendues. Quand l’ASR a manifestement massacré un terme mathématique, la forme littérale est suivie de [sic: …] donnant le terme correct — convention décidée pour EDO - Cours 2 et appliquée dans EDO - Cours 3. Les reconstructions de formules non dictables sont signalées par ⚠️ dans Doutes / à vérifier.

🔇 Zones de silence ou de hors-micro : 00:32:43 → 00:35:52 (pause annoncée, §17) et 01:06:24 → 01:06:44 (§29). Conversation parasite de couloir captée en 00:40:09 → 00:42:36 (§19) : aucun contenu mathématique.

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1. Correction de l’exercice 1.1, point 1 : $f(x,y)=\cos x\cos y$ — [00:00:00 → 00:02:37]

La séance s’ouvre au milieu d’un échange : la question posée est « c’est égal à quoi ? » et la réponse porte sur « la valeur absolue du sinus de c » — c’est donc le théorème des accroissements finis qui est en cours.

• On cherche une borne de la forme $|\sin c|$, et le prof enchaîne : « le sinus de c est plus petit que 1 ». C’est le cœur de l’astuce : le taux de variation de $\cos$ entre $y_1$ et $y_2$ est un sinus, donc borné par $1$.
• « Et si on multiplie le taux par $y_2$ moins $y_1$, on obtient quoi ? » ⟹ le taux de variation multiplié par l’écart redonne l’écart de valeurs :

$$|\cos y_1-\cos y_2|=\left|\sin c\right|\cdot |y_1-y_2|\le |y_1-y_2|,$$

avec $c$ strictement compris entre $y_1$ et $y_2$. (Reconstruction ⚠️ : l’ASR rend « le cosinus de $y_1$ moins le cosinus de $y_2$, ça va être égal à $y_2$ » — la formule ci-dessus est déduite de la suite, « qui lui-même est [majoré par] $y_1$ moins $y_2$ ».)

• On passe à la fonction de l’énoncé, $f(x,y)=\cos x\cos y$, lipschitzienne par rapport à $y$ :

$$|f(x,y_1)-f(x,y_2)|=|\cos x|\cdot |\cos y_1-\cos y_2|\le |\cos y_1-\cos y_2|\le |y_1-y_2|.$$

Le prof formule exactement ce passage : « $f$ de $x$ moins $f$ de $x_2$ est en réalité [majoré] par le cosinus de $y_1$ moins le cosinus de $y_2$, qui lui-même est [majoré] par $y_1$ moins $y_2$ ». La première majoration utilise $|\cos x|\le 1$.

• Conclusion, et c’est le point important de la séance : « Prendre $L$ est égal [à] 1, car $L$ est [le même] quel que soit [le] choix [que] je choisis, dans $\mathbb{R}$ croisé $\mathbb{R}$, j’obtiens toujours cette inégalité, c’est global. » Donc $L=1$ convient simultanément pour tout $(x,y_1,y_2)\in {\mathbb{R}}^3$ : la fonction est lipschitzienne globalement par rapport à $y$ sur $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$.

• Et le contre-test, qui annonce tout le reste de la séance : « Si j’avais une restriction sur le choix du $L$ par rapport aux conditions initiales, alors je dirais que j’ai une [lipschitzianèse] locale. » Autrement dit, le seul critère de distinction entre global et local est l’indépendance de $L$ du couple $(x_0,y_0)$ considéré. Clôture : « c’est bon pour tout le monde, n’hésitez pas à poser vos questions ».

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2. Exercice 1.1, point 2 : $f(y)=\frac{1}{1+|y|}$ — énoncé et méthode — [00:02:37 → 00:03:55]

• « Ici on a une fonction à une seule variable, et c’est la même question : est-ce que cette fonction est une [lipschitzienne] ou [pas] ? » Le passage d’une fonction de deux variables à une fonction d’une seule variable ne change rien à la marche à suivre.
• « La recette reste pareil : on évalue la différence entre $f$ et $f$, et on voit sous quelles conditions on va avoir la condition cherchée. »
• Annonce de la stratégie : « on va développer derrière [l’autre], on va réduire au moins les $1$ » — c’est-à-dire mettre les deux fractions au même dénominateur.

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3. Le développement de $|f(y_1)-f(y_2)|$ — [00:03:55 → 00:05:05]

Le calcul filé, tel que le prof le dicte :

• Numérateur, avant simplification : « $1$ plus valeur absolue de $y_2$ moins $1$ moins valeur absolue de $y_2$ » — le second $y_2$ est un $y_1$ (erreur de l’ASR).
• « Et tout de suite on a des quantités positives, donc » ⟹ on peut mettre des barres de valeur absolue partout.
• « Et on a des $1$ qui se simplifient » ⟹ les deux $1$ se cancellent dans le numérateur.

$$|f(y_1)-f(y_2)|=\frac{|(1+|y_2|)-(1+|y_1|)|}{(1+|y_1|)(1+|y_2|)}=\frac{||y_1|-|y_2||}{(1+|y_1|)(1+|y_2|)}$$

• « Comme c’est dans la valeur absolue, je peux me permettre de changer » ⟹ $||y_1|-|y_2||=||y_2|-|y_1||$. Il ne reste qu’un terme à contrôler.

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4. Majoration du dénominateur et choix de $L=1$ — [00:05:05 → 00:07:38]

• La question du prof : « comment on fait, comment on fait pour une fois encore majorer cette expression-là ? Pas une expression semblable à celle-ci avec un $L$ qu’on va déterminer ? On a envie de majorer ça. »
• Il sépare le numérateur (« on pense que le numérateur, il est gérable ») du dénominateur (« ce qui nous gêne cette partie, entre guillemets »).
• « Oui on peut majorer ça par $1$. On a $1$ qui est [la valeur] absolue de $y_1$ [et] supérieur à $1$, parce que la valeur absolue de $y_1$ est positive, et $1$ plus la valeur absolue de $y_2$ est nécessairement plus grand que $1$ ». Donc chacun des deux facteurs est $\ge 1$ :

$$(1+|y_1|)(1+|y_2|)\ge 1\times 1=1.$$

« on peut mettre [au moins] égal $1$, dans l’éventualité où $y_1$ est plus ou moins $0$ » — le cas le plus défavorable est bien $y_1=y_2=0$.

• On obtient donc, en assemblant les §§3 et 4 :

$$|f(y_1)-f(y_2)|\le \frac{|y_1-y_2|}{(1+|y_1|)(1+|y_2|)}\le \frac{|y_1-y_2|}{1}=1\cdot |y_1-y_2|,$$

d’où $L=1$ : lipschitzienne globalement sur $\mathbb{R}$.

• Variante de majoration signalée par le prof : « et ici, on a la valeur absolue de $f$ de $y_1$, on a la valeur absolue de $f$ de $y_2$, qu’on peut s’arrêter ici non » ⟹ on peut aussi passer par $\sup |f|$. En effet

$$\underset{y\in \mathbb{R}}{\sup }|f(y)|=\underset{y\in \mathbb{R}}{\sup }\frac{1}{1+|y|}=1,$$

atteint en $y=0$ (et c’est le seul point où le dénominateur vaut $1$). C’est le même $L=1$, obtenu par une autre route.

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5. Question d’un étudiant : pourquoi $||y_1|-|y_2||\le |y_1-y_2|$ ? — [00:07:38 → 00:08:20]

Un étudiant interrompt pour justifier l’étape $||y_1|-|y_2||\le |y_1-y_2|$ employée au §3.

• « Alors, comment vous montrez ça ? Vous écrivez valeur absolue de $y_1$ [inférieure ou égale à] valeur absolue de $y_1$ moins $y_2$ plus valeur absolue de $y_2$, vous appliquez l’inégalité triangulaire, ça fait… »
• « Pour amener valeur absolue de $y_2$ à gauche, ça fait valeur absolue de $y_1$ moins valeur absolue de $y_2$ [inférieure ou égale à] valeur absolue de $y_1$ moins $y_2$ [en valeur absolue]. »
• « En inversant le rôle de $y_1$ et $y_2$, vous obtenez l’autre sens, et donc ça veut dire que la valeur absolue… »

La démonstration est donc, proprement :

$$|y_1|=|(y_1-y_2)+y_2|\le |y_1-y_2|+|y_2|⟹|y_1|-|y_2|\le |y_1-y_2|,$$

puis, en échangeant $y_1\rightleftarrows y_2$, $|y_2|-|y_1|\le |y_1-y_2|$. Les deux inégalités réunies donnent bien $||y_1|-|y_2||\le |y_1-y_2|$. (Reconstruction ⚠️ : l’ASR mélange ici les signes et rend « $y_1$ plus $y_2$ » là où il faut lire $y_1-y_2$ ; la version ci-dessus est celle qui est logiquement énoncée par le prof, via les deux sens qu’il signale explicitement.)

• « Là, on va écrire sa [notation], c’est pour dire [l’inégalité]. » ⚠️ fragment inintelligible, cf. Doutes / à vérifier.

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6. Conseil de méthode, donné deux fois dans la séance — [00:08:20 → 00:09:08]

Bloc de conseil général, àCite tel quel :

• « L’idée ici, c’est de mémoriser ses définitions. Et après, le reste devient un peu calculatoire. »
• « Et on se sert des propriétés qu’on connaît pour pouvoir arriver à ce qu’on veut. »
• « N’oubliez pas, la condition, c’est de pouvoir avoir cette inégalité. Et le but, c’est de trouver s’il existe un $L$, un potentiel $L$, qui satisfait à cette inégalité. »
• « Donc, chaque fois, essayez de majorer pour pouvoir aboutir au résultat. Parfois, ça ne va pas marcher. »

C’est la méthode en quatre temps qu’il réappliquera ensuite aux points 3, 4 et 5 : énoncé de l’inégalité cherchée → développement de la différence → majoration du terme gênant → lecture du $L$ obtenu.

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7. Exercice 1.1, point 3 : $f(t,x)=a(t)x(t)+t$ — l’abus de notation $x(t)$ — [00:09:08 → 00:12:13]

Avant de calculer, le prof bloque longuement sur une question de notation, qui est la charnière entre cours et TD.

• « $x$ qui dépend des $t$ appartient aussi à ${\mathbb{R}}^n$ [sic : cela] est un abus, en principe. C’est une fonction qui, à $t$, associe $x(t)$, et ce $x(t)$ appartient à ${\mathbb{R}}^n$, ce qui est un problème de notation. Ici il ne devrait pas noter $x(t)$ : $x$ est déjà la fonction, il devrait noter une sonde $x$, donc $x(t)$. Si on note $x(t)$, c’est [la] [somme] vue comme une fonction de $t$, mais on n’a aucune information sur $x:t$ actuellement. » ⚠️ Reconstruction : l’énoncé de l’exercice est $f(t,x)=a(t)x(t)+t$ ; le prof signale que dans une EDO, $x$ désigne d’abord un point de l’espace d’état (une composante de ${\mathbb{R}}^n$), et que $x(t)$ ne peut désigner la solution qu’une fois qu’on l’a construite.
• « C’est comme si on avait déjà la trajectoire d’une particule en fonction du temps. Mais ce n’est pas encore le cas, parce que ce n’est pas encore la dynamique. »
• « Ici, c’est le champ de vecteurs, donc c’est juste $x$. On va lui donner le nom de $x_1$. » ⟹ dans la suite de l’exercice, le point s’appelle $x_1$ et un second point $x_2$ (notation de l’énoncé du cours, cf. le théorème 1.1), et non $x$ et $y$.
• Le terme « la dynamique » renvoie directement à la distinction cours/TD : le cours donne le cadre ($x$ est l’état, le champ de vecteurs en dépend), le TD manipule des fonctions.

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8. Le calcul, et pourquoi on prend $L=\sup |a|+1$ — [00:12:13 → 00:15:19]

• Le point de départ est l’hypothèse de l’énoncé : « $a$ est une fonction bornée ».
• « bornée [sur] $\mathbb{R}$ [sic] ça veut dire que son $\sup$ existe : $\sup$, valeur absolue de $a(t)$, c’est [un] $\mathbb{R}$, ou $L$, dans ce cas, de $a$. » ⟹ $L_0:={\sup }_t|a(t)|<+\infty$.
• Le calcul : les termes en $t$ se compensent,

$$|a(t)x_1+t-(a(t)x_2+t\left)\right|=|a(t)(x_1-x_2\left)\right|=|a(t)|\cdot |x_1-x_2|\le \underset{t}{\sup }|a(t)|\cdot |x_1-x_2|=L_0|x_1-x_2|.$$

Le prof le fait à l’oral : « on peut [réduire] cette expression, ça va faire valeur absolue de $a(t)$ par valeur absolue de $x_1$ moins $x_2$, mais valeur absolue de $a(t)$ c’est plus petit que le $\sup$ de toutes les valeurs, celui de $a(t)$ », puis « donc on peut majorer valeur absolue de $a(t)$ par le $\sup$, valeur absolue de $a(t)$, qui est [noté] $L$ ».

• Le $+1$ de précaution : « Mais par prudence, pour que $L$ soit strictement positif, en général, vous pourrez prendre le $\sup$ de $|a|$ plus 1. » Et la justification est donnée sans ambiguïté : « pour se rassurer que le $L$ qu’on pose reste strictement positif, c’est la seule raison. »
• « Donc, si vous êtes sûr que le $\sup$ de $a$ est [strictement] positif, vous posez $L$ égal au $\sup$ de $|a|$. » ⟹ le $+1$ est facultatif, il ne sert qu’à éviter deux cas.

⚠️ Note de lecture : l’ASR est ici très dégradé (« donc on sait que le $\sup$ reste plus petit que le $\sup$ $x_1$ », 14:49) — la reconstruction ci-dessus est celle que le prof décrit explicitement aux §§8 et 12.

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9. Exercice 1.1, point 4 : $f(x)=x^2$ sur $\mathbb{R}$ — pas globale — [00:15:19 → 00:19:04]

• « $a$, c’est-à-dire $x^2$, ça va tenir sur $\mathbb{R}$. Donc, est-ce que cette fonction [est lipschitzienne] sur $\mathbb{R}$ ? Selon vous, est-ce que c’est vrai ? Est-ce que c’est global ? Est-ce que c’est local ? » (La séance est interactive : la question est posée à la classe, et c’est ce dialogue qui est enregistré.)
• « Qu’est-ce qui va gêner ? [$x^2$] ça va [monter] en [$\to +\infty$]. Peu importe le $L$ qu’on prend, il faut trouver un écart. »
• « Et ça vient de la factorisation, puisqu’il y a un terme additif qui va apparaître. » Le développement clé :

$$|f(x)-f(y)|=|x^2-y^2|=|(x-y)(x+y)|=|x-y|\cdot |x+y|.$$

« Donc, si on écrivait par exemple $f$ de $x$ moins $f$ de $y$ au carré, on a l’absolu, ça va donner quoi ? $x^2$ moins $y^2$. Donc $(x-y)(x+y)$. »

• « Dans ma définition, j’ai déjà exhibé un terme que je veux, $(x-y)$. Il faut contrôler $x+y$. Mais on ne peut pas contrôler ça dans $\mathbb{R}$. » ⟹ $x+y$ n’est pas borné sur ${\mathbb{R}}^2$, donc aucun $L$ ne peut borner $|x+y|$ uniformément.
• La négation, faite « pour être plus rigoureux » : « on suppose [que] pour tout $L$, $|f(x)-f(y)|$ [est] inférieure ou égale à $L$ fois la valeur absolue de $x$ moins $y$, c’est-à-dire $:|x-y|$ fois $|x+y|$ [est inférieur ou égal à] $L$ fois $|x-y|$. » En simplifiant par $|x-y|\ne 0$ :

$$|x+y|\le L.$$

« pour tout $L$, il existe $x\ne y$ [pour lequel c’est faux]. Pour [modifier] $x-y$, il faut majorer cette somme dans $\mathbb{R}$, c’est assez absurde, il suffit de prendre $x$ égale à quoi ? $x=L+1$ et $y=0$. »

• Vérification du contre-exemple : $x=L+1$, $y=0$, donc $x\ne y$, mais

$$|x+y|=L+1>L.$$

« Donc si on prend ces deux points, on a bien $x$ différent de $y$, mais on n’a pas cette condition. » ⟹ $f(x)=x^2$ n’est PAS lipschitzienne globalement sur $\mathbb{R}$.

• Mais : « Par contre, c’est local. C’est local parce que si vous restreignez [à] un [intervalle] borné, c’est-à-dire $[a,b]$ par exemple, vous allez toujours pouvoir contrôler cette quantité. C’est local, mais ce n’est pas global. »

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10. Ce que « local » veut dire concrètement — [00:19:04 → 00:20:22]

Définition donnée en séance, à garder :

• « Localement, ça veut dire que si je prends un intervalle fermé borné, ça a l’idée de trouver un voisinage. »
• « Si je prends un point, si je prends un point quelconque de $\mathbb{R}$, je peux toujours trouver un voisinage de ce point, mais il suffit juste de prendre un petit intervalle qui contient ces points. Donc cet intervalle, je sais à chaque fois majorer cette quantité. »
• « Donc, au lieu de chaque fois commencer par $[-\infty ,+\infty ]$, je commence directement à travailler sur un compact de $\mathbb{R}$, ou bien sur un intervalle de la forme $[a,b]$. Vous savez que les compacts sont contenus dans $[a,b]$. »

⟹ une lipschitzianèse locale fournit une constante $L$ dépendante du voisinage choisi, ce qui suffit pour le théorème d’existence et unicité, qui ne demande qu’un voisinage autour de chaque point initial.

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11. Exercice 1.1, point 5 : $f(x)=x^2$ sur $[a,b]$ — le calcul complet — [00:20:22 → 00:23:13]

Reprise du même développement, mais cette fois sur l’intervalle :

• Le prof se donne un intervalle : « soit un intervalle de la forme $[a,b]$ […], puis avoir [la majoration] $|x_1-x_2|$ par $|x_1+x_2|$ ». On a donc

$$|x_1^2-x_2^2|=|x_1-x_2|\cdot |x_1+x_2|\le |x_1+x_2|\cdot |x_1-x_2|.$$

« C’est un majoré. Ça part [de] $x_1$ [et] $x_2$. Donc on peut avoir la valeur absolue de $x_1$. La valeur absolue de $x_1$ est [comment] par rapport à $a$ et $b$ ? Nécessairement, c’est [le] plus grand [des] $|a|$ et $|b|$. »

• L’avertissement, qui est la vraie subtilité de ce point : « Attention que ton intervalle peut être négatif. Donc, quand tu prends la valeur absolue, il y a des trucs qui peuvent se passer. Donc, il faut contrôler ça. La valeur absolue de $x_1$ est donc [$a$ et $b$]. Pas $a$ et $b$, mais la valeur absolue de $a$ et $b$. » ⟹ sur $[a,b]$, ce qui est borné n’est pas $b$ mais $\max (|a|,|b|)$.
• « Donc ça va faire [le majoré par] … $x_1-x_2$. Ici, max entre valeur absolue de $a$ et valeur absolue de $b$. Mais c’est pareil aussi pour $x_2$. Donc ça va faire deux fois, deux fois ce max. »

$$|x_1+x_2|\le |x_1|+|x_2|\le \underset{\text{borne de }|x_1|}{\underbrace{\max (|a|,|b|)}}+\underset{\text{borne de }|x_2|}{\underbrace{\max (|a|,|b|)}}=2\max (|a|,|b|).$$

• Le point de rigueur sur le signe de $L$ : « Donc cette quantité est simplement positive. Elle ne peut pas être nulle. La seule façon pour qu’elle soit nulle, c’est quoi ? $a$ égale à $b$ égale à $0$. Car $-a\le x\le b$ […]. » (« $a$ égale à $b$ égale à $0$ » est la réponse : $\max (|a|,|b|)=0$ ⟺ $a=b=0$.)
• « Enfin, le nombre positif, c’est le nombre $L$. » Et le résultat :

$$\boxed{|x_1^2-x_2^2|\le 2\max (|a|,|b|)\cdot |x_1-x_2|,L=2\max (|a|,|b|)>0}$$

pour tous $x_1,x_2\in [a,b]$.

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12. Bilan des points 4 et 5 : $L$ dépend de l’intervalle — [00:23:13 → 00:24:05]

• « Donc, chaque fois que je suis dans un voisinage d’un point de $\mathbb{R}$, donc en particulier dans un intervalle, je sais toujours montrer que cette fonction est lipschitzienne ; mais globalement je ne peux pas [dire que] je ne peux pas trouver un $L$ qui marche pour tous $x$ […] mais je peux trouver un $L$ qui dépend plus ou moins du voisinage dans lequel je me trouve. C’est pour ça que mon $L$ d’ailleurs dépend de $a$ et de $b$. »
• « Exercice, je vais vous montrer ça à la maison, je vous laisse un peu un exercice, je vous montre un exercice… » — transition vers l’exercice 1.2.

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13. Exercice 1.2 : lipschitzienne $\Rightarrow$ continue — énoncé — [00:24:05 → 00:27:13]

• « on va faire l’exercice 1 pour 2 » (= 1.2).
• « On demande de montrer que [si une fonction] est une fonction lipschitzienne par rapport à une variable, elle est continue par rapport à cette variable, que c’est global. »
• Le prof précise le niveau de détail attendu : « manipuler les $\epsilon$ [et] montrer qu’une fonction est continue sur $\mathbb{R}$ », et il fixe le cadre $\epsilon$-$\delta$ classique (« ce qu’on veut faire : [prendre] $\delta$ positif tel que $x$ appartient à $\mathbb{R}$ [et] $|x-x_0|$ est plus petit que $\delta$ [alors] $|x-x_0|$, selon le critère, $|f(x)-f(x_0)|$ [est plus petit que $\epsilon$] »).

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14. Le début de la preuve, par un étudiant — [00:27:13 → 00:28:35]

Un étudiant prend le_board (le stylo) et énonce la marche :

• « On montre que c’est continue [en un] point de $\mathbb{R}$. Ce qu’on veut faire : [prendre] $\delta$ positif tel que [si] $x$ appartient à $\mathbb{R}$ [et] la valeur absolue de $x-x_0$ est plus petite que $\delta$, [alors] la valeur absolue de $x-x_0$ [selon le critère] $x$ moins $x_0$ [donne] valeur absolue de $f(x)-f(x_0)$ [plus petite que $\epsilon$]. » ⚠️ reconstruction heavily marked up, cf. Doutes / à vérifier.
• « Donc on veut montrer ça, on veut trouver un voisin de $x_0$ dans lequel on a cette inégalité. »

Le plan de la preuve est donc : Lipschitzien en $x_0$ $\Rightarrow$ existe un voisinage de $x_0$ où l’inégalité $\epsilon$-$\delta$ est satisfaite.

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15. La relance du prof, et le moment de recherche — [00:28:35 → 00:30:05]

• Le prof relance : « Donc comment on peut faire ça ? » Réponse : « On ne dit pas qu’on a une autre fonction, on a une hypothèse sur notre fonction. » — c’est-à-dire : on ne réintroduit pas une nouvelle fonction, on utilise l’hypothèse de lipschitzianèse.
• (~1 min de silence de travail, 00:29:04 → 00:30:03, où les étudiants cherchent.)
• « Maintenant, il faut trouver un lien entre [les deux] […]. On va arriver à cette inégalité. On veut que cette différence soit plus petite que $\epsilon$. »

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16. La preuve complète, et le choix $\delta =\epsilon /L$ — [00:30:05 → 00:32:39]

• L’inégalité dont on part est l’hypothèse de lipschitzianèse, l’inégalité dont on veut sortir est la continuité :

$$\underset{\text{hypotheˋse}}{\underbrace{|f(x)-f(x_0)|\le L|x-x_0|}}\text{et on veut}\underset{\text{continuiteˊ en }{x}_0}{\underbrace{|f(x)-f(x_0)|<\epsilon }}$$

« Pour l’instant, on a cette différence plus petite que [le facteur de] $x$ moins $x_0$. Alors, voilà : $|f(x)-f(x_0)|$ est plus petit que $L$ fois $|x-x_0|$, dès que quoi ? Dès que $L$ […] vous êtes d’accord ? Cette flèche, de la droite et de la gauche, je dis « dès que » : donc si j’ai ça, j’ai ça. »

• « Alors pourquoi c’est vrai ? Parce que d’après l’hypothèse, j’ai ceci. Et donc si en plus j’ai cette condition, par transitivité, je retrouve les autres. » — la transitivité des inégalités est le seul outil employé.
• « Dès que j’ai ça, j’ai automatiquement, on va dire « dès que », voilà $|x-x_0|\dots$. On voit déjà notre candidat pour $\delta$, c’est qui ? »
• « Donc si $\delta =\epsilon /L$ [sic : « c’est [epsilon] sur $L$ »], on a trouvé $\delta$ […]. Si on pose $\delta =\epsilon /L$ [et] on prend $x$ dans $\mathbb{R}$, pour que $|x-x_0|$ soit plus petit que $\delta$ [= $\epsilon /L$], on remonte de là, et cette inégalité nous donne celle-ci. »

$$\underset{\text{choix de }\delta }{\underbrace{|x-x_0|<\frac{\epsilon }{L}}}⟹L|x-x_0|<L\cdot \frac{\epsilon }{L}=\epsilon ⟹|f(x)-f(x_0)|<\epsilon .$$

• « Et cette inégalité [la deuxième flèche] permet de conclure que $f$ est continue en $x_0$. Comme $x_0$ était [choisi] habituellement au départ [c’est-à-dire arbitraire], ça veut dire que c’est vrai quel que soit $x_0$ dans $\mathbb{R}$, donc $f$ est continue, c’est là. Donc c’est ce qu’il faut aller générer. »
• « Je pense qu’on va faire une pause ici. » — « Oui, je dis oui. »

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17. Pause — [00:32:39 → 00:35:52] 🔇

La pause est annoncée à 00:32:39 (« Je pense qu’on va faire une pause ici » — « Oui, je dis oui ») et le silence court jusqu’à 00:35:52 : trois minutes sans aucun segment ASR. Aucun contenu perdu.

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18. Retour de pause, et discussion de couloir — [00:35:52 → 00:40:09]

• « Comment ça va ? Vous comprenez ? » — « Je suis habitué à la méthode. Pas compliqué. »
• Discussion sur une recherche de la semaine passée : « On m’a dit que vous m’avez cherché la semaine pasada. Oui. On n’a pas été [venus] voir, c’était pas l’heure. Quelles sont les personnes qui sont venues me chercher ? »
• « On m’a dit que vous avez défoncé la porte, c’est vrai ? J’espère que vous avez bien [dégagé /(Action)é]. » ⚠️ fin de phrase inintelligible, cf. Doutes.
• Discussion sur un repas / un mélange : « Qu’est-ce que vous préférez ? Je n’ai plus rien mangé. Les mélanges qu’il ne faut pas faire. Moi, je ne sais pas. »
• Passage sur la matière : « Moi, le plus [de] sens de la physique, le mieux de sens de la physique, c’est le moins de sens de la physique. Tu m’as dit que tu préférais, mais pour l’instant j’aime le moins sa mécanique du point de vue scientifique. » — jugement du prof sur sa propre matière, et sur le cours de Mécanique du point (voir TD - Méca.Point - 1).
• (Silence de 00:38:55 à 00:40:09.)

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19. Conversation parasite captée au micro, et indication des locaux — [00:40:09 → 00:42:36]

⚠️ Zone sans contenu mathématique — à sauter pour réviser.

• Conversation d’étudiants en fond, hors micro, sur un logiciel de traitement de texte des années 1980 (« quand j’ai fait un WISP […], elle me demande ça fait combien de temps que j’ai fait le WISP, elle m’a dit 1668 » — 1668 est vraisemblablement l’année d’une version, ou une faute de l’ASR). Le grief : « il y a un certain nombre d’anglicismes, c’est un calculant, c’était [des] simples sondes et des soustractions […] il y en [était] beaucoup où ils faisaient [crois] en chaud dans les écrans, c’était horrible, toute [la] bavarde [était] ainsi, c’était vraiment triste. » ⚠️ très dégradé par l’ASR.
• Retour du prof, sur un ton amusé : « Vous avez une dame qui s’appelle [Marie][sic] ? Elle s’est même pas présentée en fait, elle est rentrée, elle est arrivée en tard, et puis elle est rentrée [et] elle s’est présentée. »
• Puis une information utile pour la suite : « Le monde ici me connaît ? Qui ne me connaît pas ? C’est un troisième étage, le département de maths, porte 340. Si vous toquez, si vous pouvez toquer doucement. » ⟹ bureau 340, 3ᵉ étage du département de Mathématiques. Le mot « l’épargnement de maths » est un artefact ASR pour « le département de maths ».

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20. Exercice 1.3 : dérivée bornée — énoncé, et un abus de notation à corriger — [00:42:36 → 00:44:48]

• « Si vous voulez bien, avec l’exercice 1 pour 3, on peut montrer que, si $f(x,y)$ est une fonction à deux variables, dérivable et lipschitzienne par rapport à $y$ sur $\mathbb{R}$, alors sa dérivée est bornée sur $\mathbb{R}$. » ⚠️ le mot « dérivable » (au sens de l’énoncé : $f$ est dérivable) est avalé par l’ASR.
• « Dans l’exercice on a mis la dérivée par rapport à $y$ de $x$ $y$ — donc ça est un abus. »
• « Si tu prends la variation de $f$ par rapport à $y$ en $(x,y)$, c’est déjà un réel, ça n’a plus de sens de dire que c’est borné. Donc c’est la fonction dérivée partielle de $f$ par rapport à $y$ qui est bornée sur $\mathbb{R}$. »
• « Ici, il faut rester rigoureux, on va passer par la définition. »

⟹ C’est exactement le même type de piège de notation qu’au §7 : la dérivée en un point est un nombre, seule la fonction dérivée partielle peut être bornée.

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21. Le passage par la définition — [00:44:48 → 00:48:34]

• On repart de l’hypothèse de lipschitzianèse, en précisant la portée : « encore une fois, on ne précise pas : globalement, localement ; en principe c’est global. » ⚠️ phrase ambiguë : le prof seemingly intends « on ne précise pas [le caractère] global ou local ; en principe, c’est global », c’est-à-dire que la démonstration se fait dans le cas global.
• Le passage à la limite, énoncé pas à pas :

$$|f(x,y_1)-f(x,y_2)|\le L|y_1-y_2|⟹\frac{|f(x,y_1)-f(x,y_2)|}{|y_1-y_2|}\le L.$$

« donc si je divise : $f$ de $x$ $y_1$ moins $f$ de $x$ $y_2$ […], on va fixer [x et] $y_1$ et on va tendre $y_2$ [vers] $y_1$. Et ça c’est quoi ? Le taux de variation par rapport à $y$. »

• Le point de rigueur, répété deux fois — pourquoi on peut faire passer la limite à l’intérieur de la valeur absolue :

$$\left|\frac{f(x,y_2)-f(x,y_1)}{y_2-y_1}\right|\underset{y_2\to y_1}{\to }\left|\frac{\partial f}{\partial y}(x,y_1)\right|\le L.$$

« La raison pour laquelle la limite entre dans l’absolu et la variation de $f$ en $x$, c’est [que l’inégalité] est vraie [pour] tout $x$ et $y_2$ […]. Donc on n’oublie pas la raison pour laquelle la limite entre dans la valeur absolue : c’est parce que la valeur absolue est continue. Là, on obtient ça. Ça est vrai quel que soit $x$ et $y_2$. »

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22. Notation : $f^{\prime }$ ou $\partial f/\partial y$ ? — [00:48:34 → 00:50:26]

Longue digression de notation, qui recoupe le §20 :

• « Ça, on va dire une notation. C’est un peu, si tu n’avais qu’une seule variable, la dérivée de $f$. Donc, c’est quoi ? $F^{\prime }(x)$, qui peut encore être noté [la] dérivée de $f$ par rapport à $x$, entre guillemets. Si tu veux, en $x_0$, ici la définition : c’est la limite de $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ lorsque $x$ tend vers $x_0$. »
• « Or, quand on a deux variables et qu’on ne peut plus noter des dérivées [simples], on note dérivée partielle par rapport à la seconde variable [c’est-à-dire les variations du taux par rapport à ce nombre derrière]. On peut effacer ici. »
• Puis le passage au supremum, qui conclut l’exercice :

$$\underset{(x,y_1,y_2)}{\sup }\left|\frac{f(x,y_2)-f(x,y_1)}{y_2-y_1}\right|\le L⟹\underset{(x,y)}{\sup }\left|\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right|\le L<+\infty .$$

« Si je prends le $\sup$, ça veut dire que le $\sup$ [est] celui de la variation […]. Donc si le $\sup$ est fini, ça veut dire que ma fonction est bornée. Donc c’est qu’il fallait [le] démontrer. »

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23. Renvoi à l’exercice 1.4, et borne supérieure — [00:50:26 → 00:55:13]

• Le prof reconnaît que la démonstration qu’il vient de faire est celle de l’exercice 1.4, et renvoie au cours : « $\left[a,b\right]$ compact dans $\mathbb{R}$, donc $f$ est borné sur $[a,b][\dots ]$ elle est continue, l’image d’une fonction continue, on va [dire] fermée, bornée, et fermée, bornée aussi, donc c’est ça, c’est le théorème de Heine-Borel : tu as des bornes, une fonction continue sur un compact, alors [c’est] bon. »
• « Et comme c’est fermé, borné, c’est ça, non, une caractérisation des ensembles qu’on parle d’un [côté] sur les fermes [fermés], et on voit qu’on a une définition générale d’aller voir, mais ça c’est pas compliqué, c’est [juste] son énoncé. » ⚠️ allusion à la caractérisation des parties bornées et fermées d’un espace vectoriel normé, en remarque.
• L’exercice 1.4 lui-même n’est pas traité : il est cité comme outil (« c’est qu’il fallait [le] démontrer »), et non comme exercice à faire.

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24. Exercice 1.5 : annoncé, non traité — [00:55:13 → 00:55:53]

• « avec des [produits] : montrer que la composée [est] difficile, montrer que l’addition est aussi [difficile]. »

⟹ L’énoncé (somme de fonctions lipschitziennes, composée de deux fonctions lipschitziennes, produit si elles sont bornées) est annoncé et reporté ; aucune démonstration n’est faite dans cette séance.

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25. Exercice 1.6 : $C^1\Rightarrow$ localement lipschitzienne — mise en place — [00:55:53 → 00:59:49]

• « On fait le 1.6 pour montrer qu’une fonction réelle continuellement dérivable est localement lipschitzienne. »
• « Ça veut dire quoi, continuellement dérivable ? C’est $C^1$. » ⚠️ l’ASR rend « c’est des places c’est un » pour « c’est de classe 1 ».
• « On va utiliser ici un ingrédient plus fort : la continuité plus la dérivabilité sont les hypothèses de quelques rappels. »
• « Localement, dit qu’on travaille sur des intervalles, donc on va prendre $[a,b]$. Donc soit $[a,b]$, [montrons] que $f$ est lipschitzienne sur $[a,b]$. »

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26. Continuité sur $[a,b]$, puis le théorème des accroissements finis — [00:59:49 → 01:01:43]

• « Je ne vais pas tout justifier. »
• Continuité : « $f$ est continue sur $[a,b]$, pourquoi ? » — « C’est la restriction d’une fonction continue sur $\mathbb{R}$. » Le prof se corrige immédiatement : « Pardon, c’est la restriction d’une fonction continue sur $\mathbb{R}$. $f$ est continue sur $[a,b]$ parce que la restriction de $f$ [à] $[a,b]$ est continue. C’est la restriction d’une fonction continue sur $\mathbb{R}$ à $[a,b]$, pour les mêmes raisons. » ⟹ la restriction d’une fonction continue à un intervalle fermé borné est continue.
• L’ingrédient fort, le TAF : « Il existe $c\in ]x,y[$ [tel que] $f(y)-f(x)$. On va supposer [que] $x$ est plus petit que $y$ [— sans perte de généralité]. Telle que quoi ? Telle que $f(y)-f(x)$ […]. Tu écris $f^{\prime }(c)$ [fois] $(y-x)$. »

$$f(y)-f(x)=f^{\prime }(c)(y-x),c\in ]x,y[\subset [a,b].$$

⚠️ Reconstruction ⚠️ : la phrase est fortement dégradée (« *il existe $c$ $x$ $y$ dans $x$ $y$ * », 01:01:23) mais le contenu — le TAF et la mention « supposons $x<y$ » — est certain et fait le lien avec le §1.

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27. La borne sur $c_{x,y}$ et sur $f^{\prime }$ — [01:01:43 → 01:02:20]

• « Comme pour [le théorème] d’Alembert. Oui, ça gêne certaines personnes. » ⚠️ nom propre incertain (d’Alembert / Lagrange), cf. Doutes.
• « Comment on fait pour borner $f^{\prime }$ ? Comment on fait pour borner $f^{\prime }$ et $c_{x,y}$ ? C’est la même chose, c’est-à-dire que le $\sup$ : on a $|f^{\prime }(c)|\le M$ là où $c$ est [dans] $[a,b]$. »
• « Donc on sait que $c_{x,y}$ est pris entre $x$ et $y$, et $x,y$ [appartiennent à] $[a,b]$. Donc cette quantité reste inférieure à [la] borne [sur] $[a,b]$ de $f^{\prime }$ : »

$$|f^{\prime }(c)|\le \underset{c\in [a,b]}{\sup }|f^{\prime }(c)|=:M.$$

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28. Le choix $L={\sup }_{[a,b]}|f^{\prime }|+1$, et le cas constant — [01:02:20 → 01:05:33]

• Le résultat du TAF, une fois $|f^{\prime }|$ borné :

$$|f(y)-f(x)|=|f^{\prime }(c)|\cdot |y-x|\le M\cdot |x-y|.$$

• L’astuce du $+1$, pour la deuxième fois de la séance (cf. §8) : « Il dit que $L$ fois l’absolu de $|x-y|$, avec $L$ qui est égal au $\sup$ de $f^{\prime }$ plus 1 […]. $L$ est égal [juste] au $\sup$ de $|f^{\prime }|$ + 1. »

• « C’est [une question de] sécurité, que $L$ soit strictement positif. [Oui,] la sécurité. »

• Pourquoi c’est nécessaire — et c’est le seul endroit de la séance où le prof justifie vraiment le $+1$ :

  « Parce que si vous prenez juste ce $\sup$, si ce $\sup$ est nul, ça veut dire que $f^{\prime }$ est nulle sur $[a,b]$. Si vous avez une fonction dont on a dérivé [et que la dérivée est] nulle sur un intervalle, la fonction, elle est constante. Et donc il va falloir peut-être traiter le cas constant. »

  « Et donc pour le cas constant, on peut prendre $L$ égal à $1$. Si vous faites la différence, c’est toujours $0$. $0$ est plus petit que $1$ fois la valeur absolue de $x-y$. » — vérification :

$$f\equiv c_0⟹|f(x)-f(y)|=0\le 1\cdot |x-y|\text{pour tout }x\ne y.$$

« Dans le cas où ce n’est pas constant, vous êtes sûr que ceci est strictement positif. Vous pouvez vous permettre de prendre un $L$ qui est égal à ça. Mais comme je ne veux pas faire deux cas — le cas où $f$ est constant, le cas où $f$ n’est pas constant — je prends une fois [le] $\sup$ plus $1$. »

• Bilan de l’exercice 1.6 :

$$\boxed{f\in C^1(\mathbb{R})⟹f\text{ est lipschitzienne sur tout }[a,b],\text{avec }L=\underset{c\in [a,b]}{\sup }|f^{\prime }(c)|+1>0}$$

Ce qui est exactement le fait établi au cours (inventaire des classes de fonctions), et que le TD demande de prouver cette fois.

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29. Exercice 1.7 : non traité, mais le résultat est énoncé — [01:05:33 → 01:06:24]

• « Donc le 1.7, on ne va pas le faire, c’est compliqué pour rien. L’année passée, je l’ai fait, mais ce n’est pas intéressant. »

• « C’est intéressant d’un point de vue théorique. » Et le résultat est énoncé en clair :

  « Ça nous dit que si vous prenez un problème de Cauchy, vous prenez deux conditions initiales différentes, les trajectoires ne se rencontrent jamais. La seule façon pour que deux trajectoires se rencontrent, c’est qu’elles aient la même condition initiale. Vous prenez la même équation, la même dynamique, mais avec des conditions initiales différentes. Alors, elles ne se rencontrent jamais. C’est ce que dit l’exercice 1.7. »

• « Je ne vous ai pas demandé ça. Celui qui veut la preuve, il m’envoie un mail. »

⟹ La démonstration demandée par l’énoncé 1.7 (deux solutions ${\phi }_1$, ${\phi }_2$ d’un même PdC avec $y_1\ne y_2$ ne peuvent coincider en aucun point) n’est pas donnée ; c’est le résultat qui est énoncé, avec la consigne explicite d’aller le chercher en autonomie.

(Silence de 01:06:24 à 01:06:44.)

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30. Clôture : ce qui reste, et organisation de la séance suivante — [01:06:24 → 01:07:58]

• « Pour ce chapitre, il reste l’exercice 1.8 et le 1.9. Moi, je propose qu’on fasse ça la prochaine fois. » ⟹ l’exercice 1.8 et l’exercice 1.9 sont entièrement reportés à la séance suivante. ⚠️ Le prof n’énonce pas leur contenu dans cet audio : il ne dit que le titre et le numéro. Les énoncés sont donc à aller chercher dans EDO - TDs.pdf (p. 8–9) — rien ici n’est reconstitué.
• « Je ne sais pas si vous avez des questions. »
• « On pourra faire ça la prochaine fois et continuer avec le chapitre suivant. » — donc la prochaine séance ouvrira le chapitre 2 (« Équations différentielles du 1er ordre ») du recueil, après avoir soldé 1.8 et 1.9.
• Petit état des lieux du niveau du groupe : « Vous êtes à quel niveau, en fait ? […] Vous venez juste de commencer [aux] variables séparables, vous l’avez [vue], [la] dérivée [de] [premier] [ordre], c’est [le] accroissement, variation des constantes, etc. » ⚠️ passage dégradé, mais la liste des notions déjà vues est fiable et fait lien avec la fin de EDO - Cours 3 (variables séparables, accroissements, variation des constantes).
• « Je n’ai pas envie de vous épuiser en finissant tous les exercices. Pourquoi est-ce que vous [digérez] déjà ceci ? La prochaine fois, on finit avec les deux derniers. Et peut-être qu’on va commencer avec quelques autres [options]. On va regarder ces [farades]. »

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Annexe — Énoncés du recueil, pour les seuls exercices traités

Source : EDO - TDs.pdf, Équations différentielles — Exercices, J. Boreux et J. Mohet, UNamur, édition 2021 (21/04/2022), chapitre 1 « Existence et unicité », §1.3 « Exercices », p. 7–8. Ce recueil est le support d’exercices du TD ; il ne doit pas être confondu avec Chapitre1 - Sylabus.pdf, qui est le support du cours (clé syllabus: des notes de cours). Ici la clé employée est td_syllabus:.

Écart de notation à signaler : le recueil écrit $\dot{x}$ et $y^{\prime }$ ; les notes de cours (EDO - Cours 2, EDO - Cours 3) écrivent $x^{\prime }$ et $u$. On ne normalise pas cet écart en silence.

⚠️ Rappel utile (hors audio) — définition de la lipschitzianèse locale, sur laquelle tout le TD repose (d’après la 1re N.B. du §1.1 du recueil, et non dit dans cet audio) : $f$ est localement lipschitzienne par rapport à sa deuxième variable sur $\mathbb{R}\times \Omega$ ssi $\forall x_0\in \Omega ,\exists V_0\ni x_0,\exists k>0$ tel que $\forall x_1,x_2\in V_0$, $|f(t,x_1)-f(t,x_2)|\le k|x_1-x_2|,\forall t\in \mathbb{R}$ — le recueil formule l’hypothèse du théorème 1.1 avec « par rapport à $x$ », mais la N.B. elle-même est énoncée « par rapport à sa deuxième variable ». C’est précisément cette dépendance de $k$ en $x_0$ que le TD manipule à chaque exercice (§1 et §12 ci-dessus).

Exercice 1.1 — Les fonctions suivantes sont-elles lipschitziennes ? Justifier.

1. $f(x,y)=\cos x\cos y$, par rapport à $y$ sur $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ → fait (§1). $L=1$, globale.
2. $f(y)=\frac{1}{1+|y|}$, sur $\mathbb{R}$ → fait (§§2–5). $L=1$, globale.
3. $f(t,x)=a(t)x(t)+t$, par rapport à $x$ sur $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$, où $a(t)$ est bornée → fait (§§7–8). $L=\sup |a|+1$, globale.
4. $f(x)=x^2$, sur $\mathbb{R}$ → fait (§9). Pas globale ; locale sur $[a,b]$.
5. $f(x)=x^2$, sur $[a,b]$, $a<b$ réels → fait (§11). $L=2\max (|a|,|b|)$.
6. $f(y)=y^3$, sur $[a,b]$, $a<b$ réels → ⚠️ non traité : la séance passe du point 5 à l’exercice 1.2 sans l’aborder.

Exercice 1.2 — Montrer que si une fonction est lipschitzienne par rapport à une variable, alors elle est continue par rapport à cette même variable. → fait en entier (§§13–16). Preuve $\epsilon$-$\delta$ par transitivité, $\delta =\epsilon /L$.

Exercice 1.3 — Montrer que si une fonction $f(x,y)$ est dérivable et lipschitzienne par rapport à $y$ sur $\mathbb{R}$, alors sa dérivée $\partial f/\partial y$ est bornée sur $\mathbb{R}$. → fait en entier (§§20–22). Dividation par $|y_1-y_2|$, passage à la limite en $y_2\to y_1$ (légitime car $|\cdot |$ est continue), puis $\sup$.

Exercice 1.4 — Montrer que si la fonction $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ est lipschitzienne par rapport à sa première variable, alors elle est bornée. → ⚠️ non traité comme exercice ; cité deux fois comme outil (§§22–23) (« c’est qu’il fallait [le] démontrer »), via le théorème « continue sur un compact ⟹ bornée ».

Exercice 1.5 — Soient $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ lipschitziennes par rapport à leurs premières variables. 1. Montrer que $f\circ g$ est lipschitzienne. 2. Montrer que $f+g$ est lipschitzienne. 3. Montrer que si $f$ et $g$ sont bornées, alors $f\cdot g$ est lipschitzienne. → ⚠️ annoncé, non traité (§24).

Exercice 1.6 — Montrer que toute fonction réelle continuellement dérivable est localement lipschitzienne. → fait en entier (§§25–28). Restriction continue à $[a,b]$, TAF, $c\in ]x,y[\subset [a,b]$, $L={\sup }_{[a,b]}|f^{\prime }|+1$.

Exercice 1.7 — Soit $f:\Omega \to \mathbb{R}$ continue, localement lipschitzienne et bornée sur l’ouvert $\Omega$. Considérons les PdC $\frac{dy}{dx}=f(x,y)$, $y(x_0)=y_1$ et $\frac{dy}{dx}=f(x,y)$, $y(x_0)=y_2$, ainsi que les solutions ${\phi }_1$ et ${\phi }_2$. Existe-t-il $\tilde{x}$ tel que ${\phi }_1(\tilde{x})={\phi }_2(\tilde{x})$ si $y_1\ne y_2$ ? Justifier. → ⚠️ énoncé et résultat énoncés, preuve non donnée (§29). Résultat : deux trajectoires d’un même champ de vecteurs ne se rencontrent jamais (unicité). Le prof demande la preuve par mail.

Exercices 1.8 et 1.9 — ⚠️ entièrement reportés à la séance suivante (§30), « pour ce chapitre, il reste l’exercice 1.8 et le 1.9 »

Énoncés non reproduits ici (le prof ne les dit pas dans l’audio) : à aller lire dans EDO - TDs.pdf, p. 8–9.

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Points clés — [résumé]

(Récapitulation supplémentaire pour réviser ; ne remplace pas le corps de la note.)

• Le seul critère global / local : la lipschitzianèse est globale s’il existe un $L$ qui convient pour tous les couples de points d’un coup, et locale si le $L$ dépend du voisinage considéré. Le prof le dit en une phrase au §1 : « si j’avais une restriction sur le choix du $L$ par rapport aux conditions initiales, alors je dirais que j’ai une lipschitzianèse locale ». C’est le seul critère — pas la taille de la fonction, pas le comportement à l’infini.
• La méthode, en quatre temps (§6, réappliquée 4 fois) : écrire l’inégalité cherchée → développer la différence → majorer le seul terme gênant → lire le $L$. « Parfois, ça ne va pas marcher. »
• Trois résultats de la séance :
  1. $\cos x\cos y$ et $\frac{1}{1+|y|}$ sont globalement lipschitziennes en $y$, avec $L=1$ (deux majorations très différentes : facteur $\cos x$ borné, et dénominateur $\ge 1$).
  2. $x\mapsto x^2$ est localement mais pas globalement lipschitzienne ; sur $[a,b]$, $L=2\max (|a|,|b|)$.
  3. $f\in C^1$ ⟹ localement lipschitzienne, avec $L={\sup }_{[a,b]}|f^{\prime }|+1$.
• Le $+1$ de précaution :aparît deux fois (§8 pour $\sup |a|$, §28 pour $\sup |f^{\prime }|$) et toujours pour la même raison — garantir $L>0$ strictement. Le seul cas où c’est vraiment nécessaire : ${\sup }_{[a,b]}|f^{\prime }|=0$ ⟹ $f$ constante sur $[a,b]$ ⟹ il faut alors $L=1$ (§28). Sinon $\sup$ seul suffit.
• Lipschitzienne ⟹ continue (§16) : la preuve tient en une transitivité et un choix, $\delta =\epsilon /L$. C’est le sens qui est demandé à l’examen, et il ne faut pas le rater.
• Dérivée bornée (§§21–22) : diviser par $|y_1-y_2|$ et faire $y_2\to y_1$ — licite parce que la valeur absolue est continue. Sans cette phrase, la limite ne peut pas entrer dans l’absolu.
• Continuité sur compact ⟹ bornée (§23) : c’est l’outil du TD, pas un exercice à faire ici.
• Le contenu reporté : exercice 1.1 point 6, exercices 1.4 (comme exercice), 1.5, 1.7 (preuve), 1.8 et 1.9 en entier. Le chapitre 2 sera ouvert à la séance suivante.

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Doutes / à vérifier

• ⚠️ La couverture de la séance ne correspond pas au §1.1–1.2 du recueil. Le plan établi avant l’extinction de la machine annonçait « TD1 = Théorème 1.1, les 4 N.B., §1.2 exemple résolu $\dot{x}=x^{2/3}$ ». C’est faux pour cet audio : l’enregistrement commence au milieu de la correction de l’exercice 1.1 point 1 (le prof répond déjà à « c’est égal à quoi ? ») et ne va que jusqu’à l’exercice 1.7. Le théorème 1.1, les 4 N.B. et l’exemple résolu du §1.2 ne sont pas dans cet audio ; ils viennent du cours (Chapitre1 - Sylabus.pdf, T. Carletti) et sont déjà dans EDO - Cours 2 et EDO - Cours 3. L’annexe ci-dessus a donc été restreinte au §1.3, conformément à la décision « le anexo del enunciado incluye SOLO lo tratado en el audio ».
• ⚠️ Auteur de la séance : l’horaire associe le créneau « Exercices Équations différentielles », SMAT B222, 16:10 + 17:15, salle S07 à J. Ketcha. En revanche la voix enregistrée est celle du responsable du cours (EDO - Cours 2, EDO - Cours 3) — c’est la même façon de parler, avec la même référence à « la prochaine fois on continue avec cet exemple de fonctions séparables » et le même recul sur les TD de Mécanique. À confirmer sur place, ou en comparant avec le fichier d’horaire officiel.
• ⚠️ Date : établie à 2026-10-01 par le mtime de l’audio (01/10 17:34) et le motif du jeudi ; le 01-oct n’apparaît ni dans Horaire.pdf ni dans Horaire1.pdf. Les jeus 24-sept et 08-oct sont, eux, confirmés dans Horaire.pdf.
• ⚠️ §5, 00:08:14 : « Là, on va écrire sa IN, c’est pour dire l’éducation. » — fragment inintelligible. Probablement « on va écrire sa [Lipschitz], c’est-à-dire l’inégalité ». Non reconstitué.
• ⚠️ §5, 00:07:38 : la démonstration de $||y_1|-|y_2||\le |y_1-y_2|$ est rendue avec « $y_1$ plus $y_2$ » là où le sens impose $y_1-y_2$ (ASR). La reconstruction donnée au §5 est la seule logiquement cohérente avec ce que le prof dit (« en inversant le rôle de $y_1$ et $y_2$, vous obtenez l’autre sens »).
• ⚠️ §9, 00:16:19 : « $f$ de $x$ moins $f$ de $y$ au carré » — le « au carré » est un artefact ; l’énoncé est bien $|f(x)-f(y)|$.
• ⚠️ §9, 00:18:15 : « $x$ égale à $L$ plus $1$ et $y$ égale à $0$ » — l’ASR rend « $x$ est égale à 1 plus 1 » ; il faut lire $L+1$ (le « $L$ » est pris pour un « 1 »). Vérifié : $|(L+1)+0|=L+1>L$ ✓.
• ⚠️ §14, 00:27:13 – 00:28:31 : l’énoncé $\epsilon$-$\delta$ de l’étudiant est très dégradé (« en bas 1, manipuler les epsilon », « selon le train » pour « selon le critère »). La reconstruction du §14 est cohérente avec la preuve complète du §16, mais la formulation littérale n’est pas reconstituable avec certitude.
• ⚠️ §19, 00:37:30 : « J’espère que vous avez bien dégagé/ [mássage]. » — fin de phrase inintelligible (contexte : discussion sur une porte défoncée).
• ⚠️ §19, 00:40:09 – 00:41:21 : conversation parasite très dégradée (un ancien traitement de texte, « WISP », « 1668 », « crois en chaud dans les écrans »). Aucun contenu mathématique ; laissée telle quelle, sans tentative de reconstitution.
• ⚠️ §27, 01:02:20 : « Comme pour l’album. » — nom propre incertain ; probablement d’Alembert (ou Lagrange), pour le théorème des accroissements finis. À vérifier.
• ⚠️ §30, 01:07:13 : « vous l’avez dérivé de plus, c’est accroîtu » — passage dégradé ; la liste « variables séparables / accroissement / variation des constantes » est fiable, la formulation ne l’est pas.
• ⚠️ Aucune inférence n’a été faite sur les passages 00:33 – 00:35 (pause) ni 01:06:24 – 01:06:44 (silence) : ces zones sont couvertes par des sections dédiées, sans contenu.
• ✅ RÉSOLU — Le choix de $L=\sup |a|+1$ (§8) et de $L={\sup }_{[a,b]}|f^{\prime }|+1$ (§28) est bien explicité par le prof comme une précaution de signe strict (« pour se rassurer que le $L$ qu’on pose reste strictement positif, c’est la seule raison »), et non comme une nécessité du raisonnement. Le seul cas où la précaution est indispensable est $f$ constante (§28).
• ✅ RÉSOLU — La borne du §11 est bien $L=2\max (|a|,|b|)$, obtenue en bornant $|x_1|$ et $|x_2|$ par le même maximum (« ça va faire deux fois, deux fois ce max »), avec l’avertissement explicite que « ton intervalle peut être négatif ».

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Liens

• Cours du même chapitre : EDO - Cours 2 — énoncé du théorème de Picard et inventaire des classes de fonctions (« lipschitzienne ⟹ continue, $C^1$ ⟹ lipschitzienne sur intervalle fermé borné ») : c’est exactement ce que ce TD demande de prouver (exercices 1.2 et 1.6).
• Cours suivant : EDO - Cours 3 — la démonstration du théorème de Picard, dont la lipschitzianèse est l’hypothèse ; la fin de séance reprend la liste des notions déjà vues (variables séparables, accroissements, variation des constantes) qui ouvrira le chapitre suivant.
• Même méthode, autre cours : TD - Méca.Point - 1 — séance de TD du même type (mise en douceur, exercices guidés au tableau, digressions administratives), voir aussi TD1 - ALG II.
• Support écrit du TD : EDO - TDs.pdf — recueil Boreux & Mohet, 80 p., chapitre 1 p. 4–8. Ne pas confondre avec Chapitre1 - Sylabus.pdf, support du cours.
• Source : audio EDO - TD1.m4a · transcriptions .srt / .txt / .vtt dans ~/Documents/La Uni/Audios/transcrit/EDO - TD1.*.
• Administratif : créneau 16:10–18:00, salle S07, SMAT B222 ; le prof indique son bureau 3ᵉ étage, porte 340 du département de Mathématiques (§19).

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Transcrit via whisper-cpp (modèle ggml-large-v3-q5_0 avec VAD silero + anti-boucles), puis structuré et annoté. La source audio reste dans Documents/La Uni/Bac 2/EDO/. Les formules ont été reconstruites à partir du raisonnement énoncé à l’oral : voir Doutes / à vérifier.