TD3 - EDO

TD — EDO 3 : méthodes de résolution du chapitre 2 (séparables, homogènes, linéaires, Bernoulli, différentielles exactes)

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Nature de la séance. TD (séance d’exercices) consacré au chapitre 2 : la résolution explicite des EDO d’ordre 1. Le prof commence par un rappel des méthodes (long : ≈ 13 min), puis traite dans l’ordre les exercices 2.1 n°1, n°2, n°4, n°5 et n°6 du recueil.

• Support écrit du TD = EDO - TDs.pdf — recueil Équations différentielles — Exercices (J. Boreux & J. Mohet, UNamur, édition 2021), chapitre 2 : §2.1 « Classification des méthodes » (p. 9–10), §2.2 « Exemples résolus » (p. 11–14) et Exercice 2.1 (p. 17). C’est la référence des énoncés (td_syllabus:). Les énoncés sont cités ci-dessous avec le repère > 🎓 *recueil :*.
• Pas de slides pour ce chapitre : les diapositives du cours (Chapitre2 - Slides.pdf) portent sur le problème de Cauchy / théorème de Picard, pas sur les méthodes de résolution. Tous les énoncés viennent donc exclusivement du recueil. (On les cite quand même > 📎 quand le prof projette ou écrit quelque chose qui n’est pas dans le recueil.)
• ⚠️ Numérotation. Le prof dit « chapitre 2 » = chapitre 2 du recueil (méthodes de résolution). À ne pas confondre avec le Chapitre II du cours (« Le problème de Cauchy »). Voir §5.

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Plan de la séance

• Ouverture et annonce du chapitre 2 — [00:00:00 → 00:01:01]
• Rappels : la boîte à outils des EDO d’ordre 1 (types + méthodes) — [00:01:01 → 00:14:28]
• Exercice 2.1 n°1 — équation à différentielle exacte — [00:14:28 → 00:29:25]
• Exercice 2.1 n°2 — équation homogène (y = ux) — [00:29:25 → 00:50:45]
• Pause + bilan des chapitres — [00:50:45 → 01:02:08]
• Exercice 2.1 n°4 — équation linéaire (deux méthodes) — [01:02:08 → 01:17:08]
• Exercice 2.1 n°5 — Bernoulli (c = 3) — [01:17:08 → 01:27:22]
• Exercice 2.1 n°6 — Bernoulli (c = 2), fait par les étudiants — [01:27:22 → 01:49:23]
• Conclusion et annonce de la prochaine séance — [01:49:23 → 01:52:35]

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1. Ouverture : annonce du chapitre 2 — [00:00:00 → 00:01:01]

Le prof salue la classe et situe la séance :

« Ici le chapitre 1, c’est [un chapitre] avec [peu] d’exercices, d’imprégnation… Vous arrivez à comprendre ? Plus ou moins ? […] Puis on va passer au chapitre 2, donc c’est un peu plus calculatoire, on va voir comment on résout ces équations différentielles avec les techniques qu’on a vues en cours : séparation de la variable, variation de la constante, équation de Bernoulli, etc. Donc on va juste faire quelques rappels sur ces techniques de résolution, et puis on va continuer avec les exercices. » [ASR : « l’orga », « BNI » = Bernoulli]

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2. Rappels : la boîte à outils des EDO d’ordre 1 — [00:01:01 → 00:14:28]

🎓 recueil : EDO - TDs.pdf §2.1 « Classification des méthodes » (p. 9–10) — c’est exactement le tableau que le prof déroule au tableau.

Le prof identifie le type d’équation d’abord, puis applique la méthode correspondante.

2.1 Équations à variables séparables

Forme y' = f(x)\,g(y) (ou, en différentielles, A(x)\,dx + B(y)\,dy = 0). On sépare puis on intègre.

Le prof insiste : il faut d’abord regarder les solutions constantes (g(y)=0), elles peuvent échapper à l’intégration. (Cf. l’exemple résolu y' = y/x^2 du recueil §2.2, où la solution constante y \equiv 0 est traitée à part.)

2.2 Équations homogènes

Forme y' = f\!\left(\dfrac{y}{x}\right) : f est homogène de degré 0, i.e. f(\lambda x, \lambda y) = f(x,y) pour \lambda \neq 0.

« L’équation homogène, c’est seulement si quoi ? f(\lambda x, \lambda y) = f(x, y) avec \lambda \neq 0. […] On fait un changement de variable classique : on pose y = ux, où u est notre nouvelle variable. »

2.3 Type y' = f(ax + by)

« On fait un changement de variable u = ax + by, et on obtient une équation à variables séparables. »

2.4 Équations linéaires

Forme y' = p(x)\,y + f(x) (linéaire en y, terme source f).

« Si on prend deux solutions, la somme reste solution ; si on prend une solution, la multiplication par un scalaire reste solution. »

Solution (formule du recueil) :

$$A(x)=\int p(\chi )d\chi ,y(x)=e^{-A(x)}\left(\int e^{A(x)}f(x)dx+C\right).$$

Le prof ajoute qu’on obtient cette formule par la méthode de la variation de la constante : on résout d’abord l’équation homogène (comme si f \equiv 0), on trouve une constante K, puis on la fait varier (K \to K(x)) et on l’injecte dans l’équation de départ.

2.5 Équations de Bernoulli

Forme y' = p(x)\,y + f(x)\,y^{c} avec c \neq 1, c \in \mathbb{Z}.

« Si c = 1, ça revient à une équation linéaire. […] On fait le changement de variable u = y^{1-c}, ce qui donne une équation linéaire en u. »

2.6 Type y' = f\!\left(\dfrac{ax+by+c}{\alpha x+\beta y+\gamma}\right) — « pour aller plus loin »

Condition : le déterminant a\beta - \alpha b \neq 0.

« On pose x_1 = x + h et y_1 = y + k, on détermine h et k pour annuler les termes indépendants, et on obtient une équation homogène. »

2.7 Équations à différentielle exacte

Forme P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy = 0, avec la condition d’exactitude

$$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.$$

On cherche alors U telle que \dfrac{\partial U}{\partial x} = P et \dfrac{\partial U}{\partial y} = Q ; la solution est U(x,y) = \text{Cste}.

2.8 Solutions explicites vs implicites

« Une équation différentielle, c’est déterminer une relation entre y et x. La solution peut être explicite (y = f(x)) ou implicite quand on ne sait pas séparer les variables — par exemple \tan(xy) + x^2 + y^2 = 0. Très souvent, les solutions des équations à différentielle exacte sont données sous cette forme implicite U(x,y) = \text{Cste} ; on utilise alors le théorème des fonctions implicites pour exprimer localement y en fonction de x. »

Le prof conclut : « je pense que là, nous sommes armés pour s’attaquer aux exercices. »

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3. Exercice 2.1 n°1 — équation à différentielle exacte — [00:14:28 → 00:29:25]

🎓 recueil : EDO - TDs.pdf Exercice 2.1 n°1 (p. 17) — « Résoudre l’équation différentielle, pour toute condition initiale (x_0, y_0) : »

$$\cos y+y\cos x+\left(\sin x-x\sin y\right)y^{\prime }=0.$$

Étape 1 — identifier le type. Le prof met l’équation sous la forme P\,dx + Q\,dy = 0 (on multiplie par dx, y' = \frac{dy}{dx}) :

$$\underset{P(x,y)}{\underbrace{(\cos y+y\cos x)}}dx+\underset{Q(x,y)}{\underbrace{(\sin x-x\sin y)}}dy=0.$$

Étape 2 — vérifier la condition d’exactitude. « Est-ce que \partial P / \partial y donne \partial Q / \partial x ? »

$$\frac{\partial P}{\partial y}=-\sin y+\cos x=\frac{\partial Q}{\partial x}.$$

L’égalité est vérifiée : l’équation est à différentielle exacte.

Étape 3 — construire U. On intègre P par rapport à x (y vu comme constante) :

$$U(x,y)=\int (\cos y+y\cos x)dx=x\cos y+y\sin x+k(y).$$

Attention : la « constante » d’intégration doit dépendre de y (car on intègre une fonction de deux variables par rapport à x seulement) : on la note k(y).

Étape 4 — déterminer k(y). On dérive U par rapport à y et on identifie avec Q :

$$\frac{\partial U}{\partial y}=-x\sin y+\sin x+k^{\prime }(y)\stackrel{!}{=}\sin x-x\sin y⟹k^{\prime }(y)=0⟹k=\text{Cste}.$$

Solution (implicite) :

$$\boxed{x\cos y+y\sin x=C}$$

⚠️ Remarque du prof. La condition d’exactitude est nécessaire et suffisante (en domaine simplement connexe). Si une équation échoue au test d’exactitude, elle n’est pas de ce type — mais elle peut être homogène, linéaire, etc. « C’est à toi de déterminer dans quel type l’équation se trouve, et d’utiliser tes armes. »

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4. Exercice 2.1 n°2 — équation homogène — [00:29:25 → 00:50:45]

🎓 recueil : EDO - TDs.pdf Exercice 2.1 n°2 (p. 17) — « Résoudre, pour toute condition initiale (x_0, y_0) : »

$$x+y=y^{\prime }(x-y).$$

Étape 1 — identifier le type. On isole y' :

$$y^{\prime }=\frac{x+y}{x-y}=:f(x,y),x\ne y\text{ (domaine : le deˊnominateur ne s’annule pas).}$$

Vérification de l’homogénéité :

$$f(\lambda x,\lambda y)=\frac{\lambda x+\lambda y}{\lambda x-\lambda y}=\frac{x+y}{x-y}=f(x,y)(\lambda \ne 0).$$

Étape 2 — changement y = ux. Alors y' = u'x + u, et l’équation devient

$$u^{\prime }x+u=\frac{x+ux}{x-ux}=\frac{1+u}{1-u}⟹u^{\prime }x=\frac{1+u}{1-u}-u=\frac{1+u^2}{1-u}.$$

Étape 3 — séparer les variables.

$$\frac{1-u}{1+u^2}du=\frac{dx}{x}.$$

Étape 4 — intégrer.

$$\int \frac{1-u}{1+u^2}du=\int \frac{du}{1+u^2}-\int \frac{udu}{1+u^2}=\arctan u-\frac{1}{2}\ln \left(1+u^2\right),\int \frac{dx}{x}=\ln |x|+C.$$

Le prof, au tableau : « l’intégrale de 1/(1+u^2), c’est \arctan u ; l’intégrale de 1/x, c’est \ln|x|. »

Étape 5 — revenir à y (u = y/x) :

$$\arctan \left(\frac{y}{x}\right)-\frac{1}{2}\ln \left(1+\frac{y^2}{x^2}\right)=\ln |x|+C.$$

En utilisant \tfrac12\ln(1+y^2/x^2) = \tfrac12\ln(x^2+y^2) - \ln|x|, les \ln|x| se compensent :

Solution (implicite) :

$$\boxed{\arctan \left(\frac{y}{x}\right)-\frac{1}{2}\ln \left(x^2+y^2\right)=C}$$

Le prof rappelle que l’équation définit un domaine : ici x \neq y. On écrit souvent y/x (donc x \neq 0) ; la solution est valable sur un ouvert où ces opérations restent licites.

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5. Pause et bilan : le plan des chapitres — [00:50:45 → 01:02:08]

Pause de ~10 min, puis le prof brosse la progression du recueil (propos rapportés, la numérotation est celle qu’il emploie — elle ne coïncide pas toujours avec celle du recueil, voir Doutes) :

« Le premier chapitre [c’est] fort théorique : la Lipschitz[ianité], la condition de Lipschitz. Le deuxième chapitre c’est calculatoire […] on calcule les intégrales. Le troisième chapitre aussi, mais ça devient plus algébrique qu’analytique : le nombre caractéristique, les racines, les vecteurs propres, les valeurs propres… Le chapitre 4, c’est qualitatif : on s’intéresse aux dynamiques et on essaie de reconstruire des portraits de phase. »

(Remarque : dans le recueil, les portraits de phase apparaissent plutôt au chapitre 6 ; le découpage oral du prof est donc à interpréter avec prudence.)

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6. Exercice 2.1 n°4 — équation linéaire — [01:02:08 → 01:17:08]

🎓 recueil : EDO - TDs.pdf Exercice 2.1 n°4 (p. 17) — « Résoudre, pour toute condition initiale (x_0, y_0) : »

$$y^{\prime }-e^{2x}=e^x\sin (2x)+3y.$$

Étape 1 — mettre sous forme linéaire. On regroupe les y :

$$y^{\prime }-3y=e^{2x}+e^x\sin (2x),p(x)=-3,f(x)=e^{2x}+e^x\sin (2x).$$

Méthode A — la formule (p(x) = -3 constant).

$$A(x)=\int p=-3x,y=e^{3x}\left(\int e^{-3x}\left(e^{2x}+e^x\sin 2x\right)dx+C\right)=e^{3x}\left(I+C\right),$$

avec

$$I=\int e^{-3x}\left(e^{2x}+e^x\sin 2x\right)dx=\int e^{-x}dx+\int e^{-2x}\sin (2x)dx.$$

L’intégrale \int e^{-2x}\sin(2x)\,dx se fait par double intégration par parties (le prof la fait en direct). On retrouve

$$\int e^{-2x}\sin (2x)dx=-\frac{e^{-2x}}{4}\left(\sin 2x+\cos 2x\right).$$

Le prof insiste sur le choix de u/v' : « si on commence à dériver les fonctions trigonométriques, il faut continuer ; si on inverse, on revient au point de départ. » Il pose 2J = -\frac12 e^{-2x}(\ldots), d’où J.

Méthode B — variation de la constante (celle qu’il détaille) :

1. Équation homogène y' - 3y = 0 :

$$\frac{y^{\prime }}{y}=3⟹\ln |y|=3x+\text{Cste}⟹y_h=K{e}^{3x}.$$

2. On fait varier K : on cherche y = K(x)\,e^{3x}. Alors

$$y^{\prime }=K^{\prime }{e}^{3x}+3K{e}^{3x}⟹K^{\prime }{e}^{3x}+3K{e}^{3x}-3K{e}^{3x}=e^{2x}+e^x\sin 2x⟹K^{\prime }=e^{-x}+e^{-2x}\sin 2x.$$

3. On intègre : K(x) = -e^{-x} - \frac{e^{-2x}}{4}(\sin 2x + \cos 2x) + C.

Solution :

$$\boxed{y(x)=C{e}^{3x}-e^{2x}-\frac{e^x}{4}(\cos 2x+\sin 2x)}$$

Morale du prof : « soit vous retenez la formule, soit vous reconstruisez par variation de la constante — les deux mènent au même endroit. »

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7. Exercice 2.1 n°5 — équation de Bernoulli (c = 3) — [01:17:08 → 01:27:22]

🎓 recueil : EDO - TDs.pdf Exercice 2.1 n°5 (p. 17) — « Résoudre, pour toute condition initiale (x_0, y_0) : »

$$x{y}^{\prime }=y+x{y}^3(1+\ln x).$$

Étape 1 — identifier le type. On divise par x (x > 0) :

$$y^{\prime }-\frac{1}{x}y=(1+\ln x)y^3\text{Bernoulli avec }c=3.$$

Le prof : « C’est la puissance c… avec le niveau 3. »

Étape 2 — substitution u = y^{1-c} = y^{-2}. Alors u' = -2\,y^{-3}y'. On divise l’équation par y^3 :

$$y^{-3}{y}^{\prime }-\frac{1}{x}{y}^{-2}=1+\ln x,\text{soit}-\frac{u^{\prime }}{2}-\frac{1}{x}u=1+\ln x,$$ $$\boxed{u^{\prime }+\frac{2}{x}u=-2(1+\ln x)}$$

C’est l’équation linéaire en u : p(x) = -\frac{2}{x}, f(x) = -2(1+\ln x) (le prof note p = -\frac{2}{x}).

Étape 3 — facteur intégrant. e^{\int \frac{2}{x}dx} = x^{2} (le prof : « l’exponentielle de 2\ln|x|, c’est x^2 »), d’où

$$u(x)=x^{-2}\left(\int x^2\cdot (-2(1+\ln x))dx+C\right).$$

📎 Reconstruction (à vérifier). Le prof s’arrête au facteur intégrant et passe la main (« on laisse faire le 6 »). Le calcul complet donne \int x^2(1+\ln x)dx = \frac{x^3}{3}(1+\ln x) - \frac{x^3}{9}, donc

$$u(x)=-\frac{2x}{3}\ln x-\frac{4x}{9}+\frac{C}{x^2},\text{puis}y=\pm u^{-1/2}.$$

À confirmer (voir Doutes).

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8. Exercice 2.1 n°6 — équation de Bernoulli (c = 2), fait par les étudiants — [01:27:22 → 01:49:23]

🎓 recueil : EDO - TDs.pdf Exercice 2.1 n°6 (p. 17) — « Résoudre, pour toute condition initiale (x_0, y_0) : »

$$x{y}^{\prime }+y=y^2\ln x.$$

Le prof laisse les étudiants chercher (« chacun fait le 6… la solution va émerger de vous, et on va comparer »), puis la corrige.

Étape 1 — identifier le type. On divise par x (x > 0) :

$$y^{\prime }+\frac{1}{x}y=\frac{\ln x}{x}{y}^2\text{Bernoulli avec }c=2.$$

Étape 2 — substitution u = y^{1-c} = y^{-1} = \dfrac{1}{y}. Alors u' = -y^{-2}y'. On divise par y^2 :

$$y^{-2}{y}^{\prime }+\frac{1}{x}{y}^{-1}=\frac{\ln x}{x}⟹-u^{\prime }+\frac{1}{x}u=\frac{\ln x}{x},$$ $$\boxed{u^{\prime }-\frac{1}{x}u=-\frac{\ln x}{x}}$$

Étape 3 — facteur intégrant. e^{-\int \frac{1}{x}dx} = e^{-\ln x} = \dfrac{1}{x}, d’où

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{x}\right)=\frac{1}{x}\cdot \left(-\frac{\ln x}{x}\right)=-\frac{\ln x}{x^2}.$$

Or \int \dfrac{\ln x}{x^2}\,dx = -\dfrac{\ln x}{x} - \dfrac{1}{x} (intégration par parties), donc \int -\frac{\ln x}{x^2}\,dx = \frac{\ln x}{x} + \frac{1}{x} et

$$\frac{u}{x}=\frac{\ln x}{x}+\frac{1}{x}+C⟹u=\ln x+1+Cx.$$

Solution :

$$\boxed{\frac{1}{y}=\ln x+1+Cx⟺y=\frac{1}{\ln x+1+Cx}}$$

Le prof conclut sur la solution « en u » : « J’attends la solution finale en u… en réduisant tout… \ln x… -1… +Cx… C fois x, c’est constante fois x. » L’ASR est ambiguë sur les signes de \ln x et du 1 : la forme ci-dessus est celle qui vérifie l’équation (voir Doutes).

Domaine. Le prof insiste lourdement sur le domaine de définition :

« Une équation différentielle a un domaine de définition… Par exemple, je vais diviser par x, il faut que x soit non nul. Faites attention : à cause de \ln x, le domaine est x > 0. Chaque fois qu’on fait des opérations, restreignez le domaine pour permettre cette opération. »

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9. Conclusion et annonce de la prochaine séance — [01:49:23 → 01:52:35]

« On va s’arrêter ici… La prochaine fois, on va continuer dans le chapitre, mais cette fois-ci on va s’intéresser au problème de Cauchy : ça reste dans le même cadre de résolution, mais on ajoute une condition initiale. »

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Annexe — Énoncés du recueil exploités (chapitre 2, Exercice 2.1)

🎓 recueil : EDO - TDs.pdf, Exercice 2.1 (p. 17) — « Résoudre les équations différentielles suivantes pour toute condition initiale (x_0, y_0). » Extrait des items réellement traités en séance :

• n°1 — \cos y + y\cos x + (\sin x - x\sin y)y' = 0 → fait en entier (§3). (différentielle exacte)
• n°2 — x + y = y'(x-y) → fait en entier (§4). (homogène)
• n°4 — y' - e^{2x} = e^{x}\sin 2x + 3y → fait en entier (§6). (linéaire)
• n°5 — xy' = y + xy^{3}(1+\ln x) → réduit à l’équation linéaire en u (§7). (Bernoulli, c=3)
• n°6 — xy' + y = y^{2}\ln x → fait (étudiants) (§8). (Bernoulli, c=2)

(Les items non traités du même exercice — n°3, 7–18 — ne sont pas abordés en séance.)

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Points clés

• Toujours identifier le type d’abord : séparable, homogène, f(ax+by), linéaire, Bernoulli (y'=p(x)y+f(x)y^c), f((ax+by+c)/(\alpha x+\beta y+\gamma)), différentielle exacte, renversée.
• Différentielle exacte : tester \partial_y P = \partial_x Q, puis U = \int P\,dx + k(y), identifier k'(y) via \partial_y U = Q → solution U(x,y)=C.
• Homogène : y = ux ⟹ (1-u)/(1+u^2)\,du = dx/x pour y' = (x+y)/(x-y).
• Linéaire : soit la formule y = e^{-A}(\int e^{A}f + C), soit variation de la constante (y = K(x)e^{3x}).
• Bernoulli : u = y^{1-c} rend l’équation linéaire en u (c=3 \to u=y^{-2} ; c=2 \to u=y^{-1}).
• Domaine : restreindre à chaque opération (division par x, \ln x ⟹ x>0), le préciser systématiquement.

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Doutes / à vérifier

• ⚠️ Ex. 2.1 n°5 — solution finale (§7) : le prof ne termine pas le calcul (il s’arrête au facteur intégrant). La forme u = -\frac{2x}{3}\ln x - \frac{4x}{9} + \frac{C}{x^2} est reconstruite (marquée 📎) ; à confirmer.
• ⚠️ Ex. 2.1 n°6 — signes (§8) : la transcription ASR dit « moins \ln x… moins 1… +Cx » (u = -\ln x - 1 + Cx), mais la vérification directe donne u = \ln x + 1 + Cx. Retenu : la forme qui résout l’équation. À re-vérifier sur l’audio (≈ 01:42:49).
• ⚠️ Numérotation des chapitres (§5) : le « chapitre 2 » du prof = recueil ch. 2. Son « plan » oral (ch. 1 théorique, ch. 2 calculatoire, ch. 3 algébrique, ch. 4 qualitatif) ne coïncide pas exactement avec les chapitres du recueil (les portraits de phase y sont plutôt en ch. 6). À ne pas prendre au pied de la lettre.
• ⚠️ Prof : identifié « J. Ketcha » d’après l’horaire (même créneau/voix que TD1 - EDO/TD2 - EDO) ; non prononcé dans l’audio.
• ⚠️ ASR globalement bruitée sur cette séance (beaucoup de passages inaudibles, boucles « on n’est pas sûr » vers 01:20). Les énoncés et les solutions sont fiables car recoupés avec le recueil ; les détails de calcul dictés le sont moins.
• ⚠️ Quelques échanges étudiants (ex. la discussion « u = yx », le « troisième point par lequel passe la droite ») restent opaques — non repris ici.

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Liens

• Support écrit du TD : EDO - TDs.pdf — recueil Équations différentielles — Exercices, J. Boreux & J. Mohet, UNamur, éd. 2021 ; chapitre 2 (§2.1 p. 9–10, §2.2 p. 11–14, Exercice 2.1 p. 17).
• Cours (théorie) : Chapitre1 - Sylabus.pdf · Chapitre2 - Sylabus.pdf (problème de Cauchy) — à ne pas confondre avec le recueil d’exercices.
• Séances liées : TD1 - EDO · TD2 - EDO · EDO - Cours 5
• Index : 00 Index