EDO - Cours 5

EDO — Cours 5 : Oscillateur harmonique et exponentielle d’une matrice $2\times 2$

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Support écrit de référence : EDO - TDs.pdf — Chapitre 4 « Systèmes linéaires autonomes » (p. 28–29).

Plan de la classe

• 1. L’oscillateur harmonique libre : motivation physique (ressort, pendule) et équation $\ddot{x}+{\omega }^{2}x=0$
• 2. Passage à un système linéaire du premier ordre à coefficients constants en dimension 2
• 3. Calcul de $e^{At}$ pour la matrice de l’oscillateur harmonique ($A^2=-{\omega }^{2}I$)
• 4. Polynôme caractéristique, valeurs propres, forme générale des solutions d’une EDL à coefficients constants

1. L’oscillateur harmonique libre — [00:00:01 → 00:05:12]

« C’est le point $X$ égale à zéro. » [00:00:01]

« C’est pour $X$, c’est un scalaire. » [00:00:07]

« Et $\omega$, c’est un réel, c’est un moment qui est positif quand il y a des fréquences. [sic : $\omega >0$ est la pulsation/fréquence angulaire] » [00:00:12]

« Donc ça, c’est une équation d’ordre 2. [sic : une équation différentielle d’ordre 2] » [00:00:21]

« Vous avez des mesures. [sic : des mesures/une modélisation] » [00:00:30]

Le professeur introduit l’oscillateur harmonique libre à partir de considérations physiques (ressort avec masse $M$, absence de frottement) pour aboutir à l’équation différentielle du second ordre :

$$M\ddot{x}+kx=0,k>0.$$

En posant ${\omega }^2=\frac{k}{M}$ (avec $\omega >0$), on obtient l’équation canonique de l’oscillateur harmonique libre :

$$\ddot{x}+{\omega }^{2}x=0,x=x(t)\in \mathbb{R}.$$

« Vous imaginez d’abord un flanc là, où il n’y a pas d’inflexion. » [00:00:41]

« Et vous avez un ressort auquel vous attachez les masses $M$. » [00:00:50]

« Donc ça, c’est la collection essentielle. [sic : c’est le dispositif essentiel] » [00:00:57]

« Et donc, quand vous tirez le corps, le ressort, il y a une tension. [sic : quand vous étirez le ressort, il y a une tension] » [00:00:59]

« Il a donc une énergie élastique qui a envie de venir en arrière. » [00:01:05]

« Et quand vous laissez l’objet, puisqu’il n’y a pas de friction entre l’objet et le plan, cet objet vient en arrière, il comprime le ressort, donc il va cette fois créer une énergie élastique qui va à nouveau s’étirer. Donc un tel objet, il oscille. » [00:01:09 → 00:01:24]

La force de rappel exercée par le ressort est $-kx$ (loi de Hooke) ; par le principe fondamental de la dynamique ($M\ddot{x}=\sum F$), on a $M\ddot{x}=-kx$.

« Et donc si on dénote $X$, la position de cet objet, [sic : si on note $x(t)$ la position de l’objet] la mécanique des Newtons vous dit que la masse de l’objet fois l’accélération est égale à la force qui agit sur cet objet — il y a la force sur une seule : c’est la force qu’on appelle des OUCR [sic : force de rappel] — c’est la force qui est donnée par le ressort, qui est donc moins $kx$. Donc $M\ddot{x}=-kx$, d’où $\ddot{x}+\frac{k}{M}x=0$, ${\omega }^2=k/M$. » [00:01:26 → 00:02:21]

Le même modèle s’applique au pendule simple pour de petits angles : l’équation devient $\ddot{\theta }+\frac{g}{L}\theta =0$ (et pour grand angle on aurait $\sin \theta$ à la place de $\theta$), ce qui justifie l’universalité du type « oscillateur harmonique ».

« Le même objet pourrait modéliser un pendule. […] Si $x$ n’est pas petit, cette formule n’est pas vraie, il faut remplacer $x$ par $\sin x$. La vraie formule du pendule, c’est que la force qui est ici ne dépend pas de $x$, mais du sinus de l’angle. » [00:02:24 → 00:03:40]

L’objectif annoncé est d’étudier cette équation d’ordre 2 scalaire, d’en trouver la solution explicite et de vérifier qu’elle est périodique. On rappelle qu’une EDO scalaire d’ordre $n$ se ramène à un système d’ordre 1 vectoriel de dimension $n$.

🎓 syllabus : EDO - TDs.txt § Chapitre 4 « Systèmes linéaires autonomes » (p. 28–29) — introduction au système linéaire autonome $\dot{\vec{x}}=A\vec{x}$, $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$ et solution $\vec{x}(t)=e^{At}\vec{x}(0)$.

2. Passage à un système linéaire du premier ordre à coefficients constants — [00:05:12 → 00:09:30]

On pose

$$x_1(t)=x(t),x_2(t)=\dot{x}(t).$$

On définit le vecteur $y(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^2$. Alors

$${\dot{x}}_1=x_2,{\dot{x}}_2=\ddot{x}=-{\omega }^2{x}_1.$$

D’où le système

$$\dot{y}(t)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -{\omega }^2& 0\end{array}\right)y(t)=:Ay(t).$$

« Alors, nous allons construire ce système de dimension 2. Donc, j’ai défini une variable $x_1$ égale à $x$, et une variable $x_2$ qui est la vitesse. […] $x_1^{\prime }$ égale $x^{\prime }$, qui égale $x_2$. Et $x_2^{\prime }$, c’est $x^{\prime \prime }$. Mais $x^{\prime \prime }$, je le lis dans mon équation, c’est égal à moins ${\omega }^{2}x$. […] J’introduis une matrice $A$, qui a cette forme ici. $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -{\omega }^2& 0\end{array}\right)$, et donc $\dot{X}=AX$, $X\in {\mathbb{R}}^2$ (ou ${\mathbb{C}}^2$). » [00:05:12 → 00:08:20]

🎓 syllabus : EDO - TDs.txt p. 28 — système linéaire autonome $\dot{\vec{x}}(t)=A\vec{x}(t)$, $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$.

3. Calcul de $e^{At}$ pour $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -{\omega }^2& 0\end{array}\right)$ — [00:09:30 → 00:25:40]

On rappelle

$$e^{At}=\sum _{k=0}^{+\infty }\frac{A^k{t}^k}{k!},e^{At}{|}_{t=0}=I.$$

On calcule les puissances de $A$ :

$$A^0=I=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),A^1=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -{\omega }^2& 0\end{array}\right).$$

Calcul de $A^2$ :

$$A^2=A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -{\omega }^2& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -{\omega }^2& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-{\omega }^2& 0\\ 0& -{\omega }^2\end{array}\right)=-{\omega }^{2}I.$$

On en déduit immédiatement :

$$A^3=A^{2}A=-{\omega }^{2}A,A^4=(A^2{)}^2=(-{\omega }^2{)}^{2}I={\omega }^{4}I,\dots$$

Ainsi les puissances paires/impaire alternent entre multiples de $I$ et multiples de $A$.

On sépare donc la série en termes pairs et impairs :

$$e^{At}=\sum _{j=0}^{+\infty }\frac{A^{2j}{t}^{2j}}{(2j)!}+\sum _{j=0}^{+\infty }\frac{A^{2j+1}{t}^{2j+1}}{(2j+1)!}.$$

Or $A^{2j}=(A^2{)}^j=(-{\omega }^2{)}^{j}I$, $A^{2j+1}=(-{\omega }^2{)}^{j}A$. D’où

$$e^{At}=\left(\sum _{j=0}^{+\infty }\frac{(-{\omega }^2{)}^j{t}^{2j}}{(2j)!}\right)I+\left(\sum _{j=0}^{+\infty }\frac{(-{\omega }^2{)}^j{t}^{2j+1}}{(2j+1)!}\right)A.$$

On reconnaît les développements en série entière de $\cos (\omega t)$ et $\mathrm{sinc}$-like/scalaires :

$$\cos (\omega t)=\sum _{j=0}^{+\infty }(-1{)}^j\frac{(\omega t{)}^{2j}}{(2j)!}=\sum _{j=0}^{+\infty }\frac{(-{\omega }^2{)}^j{t}^{2j}}{(2j)!},$$ $$\frac{\sin (\omega t)}{\omega }=\sum _{j=0}^{+\infty }(-1{)}^j\frac{{\omega }^{2j}{t}^{2j+1}}{(2j+1)!}=\sum _{j=0}^{+\infty }\frac{(-{\omega }^2{)}^j{t}^{2j+1}}{(2j+1)!},(\omega \ne 0).$$

On obtient donc

$$e^{At}=\cos (\omega t)I+\frac{\sin (\omega t)}{\omega }A,\omega >0.$$

En substituant $A$ explicitement :

$$e^{At}=\left(\begin{array}{cc}\cos (\omega t)& \frac{\sin (\omega t)}{\omega }\\ -\omega \sin (\omega t)& \cos (\omega t)\end{array}\right).$$

« Alors je vais calculer les puissances de la matrice $A$. […] $A^2=-{\omega }^{2}I$. […] $A^3=-{\omega }^{2}A$, $A^4={\omega }^{4}I$. […] Si j’étale maintenant $e^{At}=\sum A^k{t}^k/k!$, je sépare pairs/impairs et je retrouve les séries de $\cos (\omega t)$ et $\sin (\omega t)/\omega$. […] L’exponentielle matricielle donne bien un objet oscillatoire, pas une exponentielle croissante. » [00:09:30 → 00:17:50]

La solution générale du système $\dot{X}=AX$, $X(0)=X_0=\left(\begin{array}{c}x(0)\\ \dot{x}(0)\end{array}\right)$ est

$$X(t)=e^{At}{X}_0=\left(\begin{array}{c}x(0)\cos (\omega t)+\frac{\dot{x}(0)}{\omega }\sin (\omega t)\\ -\omega x(0)\sin (\omega t)+\dot{x}(0)\cos (\omega t)\end{array}\right).$$

D’où la solution de l’oscillateur harmonique $\ddot{x}+{\omega }^{2}x=0$ :

$$x(t)=x(0)\cos (\omega t)+\frac{\dot{x}(0)}{\omega }\sin (\omega t).$$

🎓 syllabus : EDO - TDs.txt p. 28–29 — $e^M={\sum }_{i=0}^{\infty }\frac{M^i}{i!}$ et solution $\vec{x}(t)=e^{At}\vec{x}(0)$.

4. Polynôme caractéristique, valeurs propres, forme générale des solutions d’une EDL à coefficients constants — [00:25:40 → 01:39:33]

On aborde ensuite le cas général des équations différentielles linéaires à coefficients constants (EDLCC). Pour un système $\dot{y}=Ay$, $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$, on cherche des solutions de la forme $y(t)=v{e}^{\lambda t}$, $v\ne 0$ vecteur constant. Cela conduit à

$$(A-\lambda I)v=0⟹\det (A-\lambda I)=0.$$

Le polynôme caractéristique est

$$P(\lambda )=\det (A-\lambda I)\in \mathbb{C}[\lambda ],$$

de degré $n$. Ses racines ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_s\in \mathbb{C}$ sont les valeurs propres de $A$, avec multiplicités $m_1+\cdots +m_s=n$.

« On cherche des solutions exponentielles $v{e}^{\lambda t}$. […] On tombe sur $(A-\lambda I)v=0$, donc $\det (A-\lambda I)=0$. C’est le polynôme caractéristique. » [00:25:40 → 00:30:15]

Pour l’oscillateur harmonique, $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -{\omega }^2& 0\end{array}\right)$, on a

$$\det (A-\lambda I)=\det \left(\begin{array}{cc}-\lambda & 1\\ -{\omega }^2& -\lambda \end{array}\right)={\lambda }^2+{\omega }^2=0⟹{\lambda }^2=-{\omega }^2⟹\lambda =\pm i\omega .$$

Ce sont deux racines simples, complexes conjuguées. Cela explique l’aspect oscillatoire de la solution réelle ($\cos ,\sin$).

Pour une EDL scalaire à coefficients constants d’ordre $n$,

$$y^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +a_{0}y=0,$$

on lui associe le polynôme caractéristique

$$\chi (r)=r^n+a_{n-1}{r}^{n-1}+\cdots +a_0.$$

La solution générale (sur $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$) s’écrit comme combinaison linéaire de fonctions de la forme $t^p{e}^{{\lambda }_{j}t}$ où ${\lambda }_j$ sont racines de $\chi$ et $p=0,\dots ,m_j-1$.

« Pour une équation scalaire d’ordre $n$ à coefficients constants, on remplace $y^{(k)}$ par $r^k$ et on obtient le polynôme caractéristique. Si $\lambda$ est racine de multiplicité $m$, on a aussi $t{e}^{\lambda t},\dots ,t^{m-1}{e}^{\lambda t}$ dans la base des solutions. » [00:30:15 → 00:38:40]

« Quand on a des racines complexes conjuguées $\alpha \pm i\beta$, on regroupe pour obtenir des solutions réelles de la forme $e^{\alpha t}\cos (\beta t),e^{\alpha t}\sin (\beta t)$, et avec multiplicités $t^p{e}^{\alpha t}\cos (\beta t),t^p{e}^{\alpha t}\sin (\beta t)$. » [00:38:40 → 00:44:50]

Le professeur insiste ensuite sur le fait qu’il a proposé $n$ fonctions solutions ; il faut encore montrer qu’elles forment un système fondamental (linéairement indépendantes). Cela sera fait à la séance suivante.

« Je n’ai pas démontré que toutes ces fonctions que j’ai construites […] sont réellement dépendantes. [sic : linéairement indépendantes] J’ai juste montré que je sais vous proposer $n$ fonctions. Donc la fois prochaine, on va démontrer qu’elles sont réellement indépendantes et comme ça, on a vraiment conclu le théorème. » [01:36:30 → 01:39:33]

🎓 syllabus : EDO - TDs.txt p. 28–29 — structure de la solution générale selon les racines (réelles/complexes, multiplicités). Voir aussi Chapitre 4 sur les systèmes linéaires autonomes.

Points clés

• Oscillateur harmonique libre : $\ddot{x}+{\omega }^{2}x=0$, ${\omega }^2=k/M>0$. Solutions réelles $x(t)=A\cos (\omega t)+B\sin (\omega t)$, périodiques de période $T=2\pi /\omega$.
• Passage en système d’ordre 1 : $x_1=x,x_2=\dot{x}$, $\dot{y}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -{\omega }^2& 0\end{array}\right)y=Ay$.
• Exponentielle matricielle : $e^{At}={\sum }_{k\ge 0}\frac{A^k{t}^k}{k!}=\cos (\omega t)I+\frac{\sin (\omega t)}{\omega }A=\left(\begin{array}{cc}\cos (\omega t)& \frac{\sin (\omega t)}{\omega }\\ -\omega \sin (\omega t)& \cos (\omega t)\end{array}\right)$, $x(t)=e^{At}x(0)$.
• Relation $A^2=-{\omega }^{2}I$ permet de sommer explicitement la série.
• Polynôme caractéristique $\det (A-\lambda I)={\lambda }^2+{\omega }^2=0$, valeurs propres $\lambda =\pm i\omega$ (racines simples).
• EDLCC scalaire : polynôme $\chi (r)=r^n+\cdots +a_0$, solution générale = combinaison linéaire $t^p{e}^{{\lambda }_{j}t}$ sur $\mathbb{C}$ (resp. $t^p{e}^{\alpha t}(\cos \beta t,\sin \beta t)$ sur $\mathbb{R}$), avec $p<m_j$.
• À la prochaine séance : démonstration de l’indépendance linéaire des $n$ solutions construites (système fondamental).

Doutes / à vérifier

• ⚠️ Transcription ASR : « des OUCR » [00:01:43] interprété comme « force de rappel » (terme correct : force élastique/rappel $-kx$). À confirmer si le prof a utilisé un acronyme spécifique.
• ⚠️ « collection essentielle » [00:00:57] semble erroné (probablement « configuration/dispositif essentiel »). Marqué avec [sic : …].
• ⚠️ « les mesures » [00:00:30] — contexte physique flou. Possible « modélisation ».
• ⚠️ « les multiplicités » mal transcrit en fin de cours [~01:36] (texte : « les multipliés ») — corrigé par [sic : multiplicités].
• ⚠️ Annonce « elles sont réellement dépendantes » [01:37:30] est manifestement une erreur de formulation orale (sens voulu : « réellement indépendantes »). Corrigé dans la note, mais à garder trace.
• ⚠️ Zone de sous-titrage RTBF observée dans d’autres séances — non visible ici, mais à surveiller si coupure. Rien de perdu d’après la transcription.
• ⚠️ À vérifier la démonstration de l’indépendance linéaire (wronskien/exponentielle matricielle) annoncée pour la prochaine fois.