Mecanique - Cours 1

Mécanique du point — Cours 1 : cinématique, repères mobiles et vecteur de rotation

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1. Organisation du cours — [02:46]

• Environ 22 h 30 de cours (le professeur précise : « disons 22 h, pour la demi-heure on ne va pas faire un puriste ») + séances d’exercices avec l’assistant Charles Modéra (c’est lui qui fait les séances d’exercices du cours).
• Examen en deux parties :
  • une partie écrite : on trouvera trois petits exercices du même style que ceux faits en séance ;
  • une partie orale : on tire deux questions au sort, on a 30 minutes de préparation, puis on explique au professeur ce qu’on a fait durant ces 30 minutes.
• Formulaire autorisé (déjà sur WebCampus, sur le site du cours : les formules importantes), et ce pour l’écrit comme pour l’oral. Il y a deux ans l’examen se faisait « à livre ouvert » ; on est repassé au formulaire, car c’est aussi une aide pour l’étudiant : le livre ouvert est en réalité un piège — on a l’impression que ça va être facile parce qu’il « suffirait d’aller lire l’information à gauche ou à droite », mais ce n’est pas du tout le cas : il faut bien connaître la matière pour pouvoir retrouver l’information pertinente présente dans le cours. L’an dernier le passage en formulaire s’est très bien passé.
• Syllabus sur WebCampus : il date de quelques années et avait été rédigé par l’ancienne professeure du cours (il n’y avait plus ce cours depuis quelque temps au département) ; le professeur l’a « modifié à gauche à droite » pour le mettre à jour, mais on suit surtout la version des années précédentes.

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2. Introduction : pourquoi la mécanique ? — [00:00]

• Recherches du professeur (il étudie la rotation des satellites et des planètes — ce sont en fait des solides) :
  • Mission JUICE (ESA) vers Jupiter. Il y a quatre satellites principaux : Europe, Ganymède, Callisto et Io. La mission se focalise principalement sur Ganymède, parce qu’on s’attend à ce que Ganymède ait un océan d’eau liquide sous sa surface, contenant peut-être 26× plus d’eau que sur Terre → le professeur insiste : cet océan rend Ganymède très prometteur (« on a vraiment beaucoup, beaucoup de gens qui pourraient être là-bas », c.-à-d. il y aurait énormément de raisons/chances qu’il s’y passe quelque chose ; transcription incertaine). La sonde n’est pas encore arrivée sur place : elle n’arrivera qu’en 2032, autour de Jupiter — il reste donc encore pas mal d’années d’attente avant les résultats. En attendant, le professeur doit faire des simulations pour dire ce que la sonde pourra observer avec les instruments à bord.
  • Mission BepiColombo vers Mercure (elle va dans une direction tout à fait différente de JUICE) : elle arrivera en novembre de cette année (2026) et on en reparlera dans les médias quand la sonde arrivera sur place. Là encore, le professeur fait des simulations de ce que la sonde observera avant d’avoir les vrais résultats.
• Une planète / lune / satellite est un solide qui tourne sur lui-même → on y reviendra dans la partie « mécanique du solide ».
• Avant cela, on commence avec la mécanique du point. En mécanique du point, on revoit ce qui a été vu en physique de première année (on vous y a parlé de cinématiques et de dynamiques), mais de façon plus mathématique : en physique on donnait les équations « en gros » et on disait « débrouillez-vous avec ça » ; ici, on va voir d’où viennent ces équations.
• Trois grandes parties du cours :
  1. mécanique newtonienne (les lois de Newton et ce genre de choses — déjà vue l’an dernier en physique) ;
  2. mécanique de Lagrange (nouvelle, pas vue en physique) ;
  3. mécanique du solide (déjà annoncée).

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3. Cinématique vs dynamique — [05:27]

• Cinématique : décrire le mouvement. On a un objet qui se déplace et on veut décrire comment il se déplace.
  • Exemple 1 : objet se déplaçant à vitesse constante → on décrit le mouvement par des équations : il se déplace toujours à la même vitesse, donc à chaque intervalle de temps il parcourt la même quantité.
  • Exemple 2 : craie qu’on lâche et qui chute → on décrit sa chute par des équations avec l’accélération de pesanteur (la craie subit une accélération quand elle chute).
• Dynamique : ce qui est à l’origine du mouvement. On ne décrit plus le mouvement : on regarde ce qui est à l’origine, c’est-à-dire les forces. Ce sont les forces qui créent le mouvement / qui font bouger les objets.

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4. Rappels : produit vectoriel et produit scalaire — [07:51]

Produit vectoriel $\mathbf{a}\times \mathbf{b}$ :

• donne un vecteur $\mathbf{u}$ qui, par définition, est perpendiculaire à la fois à $\mathbf{a}$ et à $\mathbf{b}$ ;
• de norme égale à la surface (aire) définie par les deux vecteurs = aire du parallélogramme qu’ils engendrent (base × hauteur) :

$$||\mathbf{a}\times \mathbf{b}||=||\mathbf{a}||||\mathbf{b}|||\sin \theta |=\text{aire du paralleˊlogramme}.$$

Le $\sin \theta$ donne bien l’aire : base × hauteur.

⚠️ Attention : le produit vectoriel n’est pas aussi « sympa » que les autres produits :

• non commutatif : $\mathbf{a}\times \mathbf{b}=-\mathbf{b}\times \mathbf{a}$ ; on ne peut pas intervertir l’ordre des deux vecteurs ;
• distributif pour l’addition, mais en respectant toujours l’ordre : $\mathbf{a}\times (\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a}\times \mathbf{b}+\mathbf{a}\times \mathbf{c}$ (on ne peut pas mettre $\mathbf{c}\times \mathbf{a}$) ;
• non associatif : $\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c})\ne (\mathbf{a}\times \mathbf{b})\times \mathbf{c}$ ; ce n’est pas comme le produit de nombres réels, qui vérifie l’associativité et la commutativité.

Produit scalaire / produit mixte : en faisant le produit vectoriel de $\mathbf{a}\times \mathbf{b}$, puis le produit scalaire avec un troisième vecteur $\mathbf{c}$, on obtient le volume défini par les trois vecteurs = volume du parallélépipède :

$$(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\cdot \mathbf{c}=\text{base}\times \text{hauteur}=||\mathbf{a}\times \mathbf{b}||\cdot ||\mathbf{c}|||\cos \alpha |,$$

où la hauteur est la projection de $\mathbf{c}$ sur la direction perpendiculaire au parallélogramme de base (donc un $\cos \alpha$, avec $\alpha$ l’angle entre $\mathbf{c}$ et la normale au plan de base).

• Ces deux notions (surface par un produit vectoriel, volume par un produit vectoriel suivi d’un produit scalaire) réapparaîtront plus tard — c’est pour ça qu’on les donne en rappel.

Rappel des vecteurs de base : on écrit le vecteur position dans la base ${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,{\mathbf{e}}_3$ avec les coordonnées $(x_1,x_2,x_3)$ (ou $x,y,z$). Le produit vectoriel se calcule à l’aide d’un déterminant (utilisé à nouveau en §13).

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5. Description du mouvement d’un point — [15:37]

• Le mouvement d’un point, c’est une application

$$\mathbf{r}:I\subset \mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^3,t\mapsto \mathbf{r}(t)$$

qui, à chaque instant $t$ de l’intervalle $I$, associe une position dans un espace à trois dimensions (le monde qui nous entoure l’est).

• L’intervalle $I$ est l’intervalle du mouvement de l’objet. Exemple du lancer de ballon : ça va de $t=0$ (le moment où on tape dans le ballon) jusqu’à l’instant où le ballon touche le sol = le temps de chute.
• Il faut choisir une origine — arbitraire : au bureau, au sol, au centre de la Terre (on peut choisir l’origine qu’on veut) — et un repère. L’an dernier en physique, il fallait à chaque fois représenter un petit repère et écrire les équations du MRU / MRUA par rapport à ce repère.
• Décomposer le mouvement : on projette la position dans la base, ce qui permet d’étudier les directions séparément. En physique, le tir parabolique = composition d’un MRU à l’horizontale et d’un MRUA à la verticale → il était utile de décomposer dans deux directions.
• La base peut être tout à fait arbitraire. On a pris horizontal/vertical par facilité, mais il y a des cas où c’est inadapté : sur un plan incliné, un repère horizontal/vertical rend l’étude compliquée ; on prend alors un repère aligné avec le plan incliné.
• Notations : les coordonnées s’écrivent $x,y,z$, ou de façon plus générale $x_1,x_2,x_3$ (on simplifie l’expression de la position : $\mathbf{r}={\sum }_i{x}_i{\mathbf{e}}_i$) ; le professeur utilisera principalement $x,y,z$. Classiquement l’an dernier on se limitait à des mouvements en 2D (x et y), parfois 3D.
• Le repère ${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,{\mathbf{e}}_3$ est ici supposé fixe dans l’espace (un repère horizontal/vertical qui ne bouge pas).
• ⚠️ Mais attention : « ce qu’on vous a dit l’an dernier en physique, c’est faux » ! Quand je laisse tomber ma craie devant vous, elle ne tombe pas d’un repère fixe : on est sur Terre, et la Terre se déplace autour du Soleil (elle n’est pas fixe). On n’a pas l’impression de bouger parce que la Terre se déplace à vitesse constante, mais en réalité elle se déplace très très rapidement : ~30 km par seconde → chaque seconde, on est déplacé de 30 km. On n’est donc pas dans un repère fixe mais dans un repère mobile, ce qui aura des conséquences sur la cinématique (la façon dont les objets se déplacent).

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6. Vitesse moyenne — [25:00]

• Trois grandeurs de base en cinématique : position (déjà vue), vitesse, accélération.
• Un objet a une vitesse si sa position évolue en fonction du temps. Si l’objet ne bouge pas (craie posée ici), il n’a pas de vitesse — du moins pas de vitesse par rapport à la Terre (rappel : il se déplace quand même avec la Terre, à 30 km/s, car on est sur un repère mobile).
• Il y a deux vitesses différentes : la vitesse moyenne et la vitesse instantanée.

Vitesse moyenne : le déplacement effectué en un certain temps, donc le déplacement divisé par le temps :

$${\mathbf{v}}_{\text{moy}}=\frac{\mathbf{r}(t_2)-\mathbf{r}(t_1)}{t_2-t_1}.$$

• Le déplacement est une variation de la position : le vecteur ${\mathbf{r}}_2-{\mathbf{r}}_1$ (si on part de ${\mathbf{r}}_1$ et qu’on ajoute ce vecteur « bleu », on retombe bien sur ${\mathbf{r}}_2$).
• ⚠️ Déplacement ≠ distance parcourue : en physique on distingue les deux, ce n’est pas la même chose. Le déplacement (en bleu au tableau) est la distance « à vol d’oiseau » — la distance la plus courte entre les deux points (ex. en ville on ne fait jamais le plus court chemin : on doit suivre les routes, donc on parcourt une distance plus grande que la distance réelle) ; la distance parcourue (en rouge) suit la trajectoire de l’objet (les petites vagues, les méandres…).
• Pour la vitesse moyenne c’est bien le déplacement qu’on prend en compte, pas la distance parcourue. Conséquence : un objet qui part d’un endroit, se déplace où il veut, puis revient au même endroit a un déplacement nul → vitesse moyenne nulle, même si la distance parcourue est très grande.
• Unités : une vitesse est un déplacement sur un temps → en SI : m/s (mètres par seconde). N’importe quelle unité distance/temps fonctionne : les compteurs de voiture sont en km/h (ça reste une unité de vitesse), on peut aussi avoir km/jour, un kilomètre par minute, etc. ⚠️ Toujours donner l’unité avec la valeur numérique : une vitesse « 10 » sans unité ne veut rien dire (10 km/h ? 10 m/s ?).
• Anecdote NASA (1999) : les ingénieurs de la NASA ont eux-mêmes fait ce genre de bête erreur d’unité. En 1999 ils ont lancé une sonde vers Mars ; à l’arrivée autour de Mars, la sonde a disparu brutalement au lieu d’entrer sagement en orbite. On a découvert une incompréhension entre les gens qui avaient créé la sonde : Lockheed Martin (une grosse entreprise américaine du secteur spatial et militaire) avait construit la sonde et son logiciel en unités anglo-saxonnes (miles, pouces, pieds) ; les ingénieurs NASA recevaient les données et les traitaient comme des kilomètres et des heures. La sonde était donc en réalité beaucoup trop proche de Mars et a brûlé dans l’atmosphère. Pour une bête erreur d’unité, ils ont perdu des milliards de dollars. Depuis, ils ont sûrement une double vérification pour que ça ne se reproduise pas — mais rappelez-vous : si vous oubliez une unité, vous n’êtes pas les seuls.

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7. Vitesse instantanée — [35:12]

• La vitesse moyenne est définie sur un grand intervalle de temps → on ne va pas trop l’utiliser. Ce qu’on utilise tous les jours, c’est la vitesse instantanée :
  • le compteur kilométrique de la voiture : il indique la vitesse à laquelle on roule exactement à l’instant où on le regarde ;
  • le radar au bord de la route : il ne s’intéresse pas à la vitesse moyenne depuis qu’on est partis de chez soi ; il mesure la vitesse à laquelle on passe exactement devant lui — c’est si on dépasse la limite à cet instant précis qu’on reçoit une contravention/amende (par courrier).
• On ne veut donc pas une vitesse sur un intervalle $\Delta t$, mais une vitesse à un instant précis de l’intervalle. Pour y passer : on prend un intervalle de temps très très petit, i.e. mathématiquement la limite quand $\Delta t\to 0$ :

$$\mathbf{v}(t)=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\mathbf{r}(t+\Delta t)-\mathbf{r}(t)}{\Delta t}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}.$$

• C’est exactement la dérivée de la fonction position (c’est la définition de la dérivée d’une fonction : la limite de $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$…).
• Convention : par la suite on ne va jamais garder l’indice « instantané » : quand on parlera de « vitesse », ça signifiera toujours vitesse instantanée (= dérivée de la position). On utilisera toujours celle-là, plus la vitesse moyenne.
• Direction : la vitesse moyenne est alignée avec le déplacement (le vecteur bleu ${\mathbf{r}}_2-{\mathbf{r}}_1$). Quand $\Delta t\to 0$, le point $P_2$ se rapproche de $P_1$, et on obtient une vitesse tangente à la trajectoire de l’objet.

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8. Accélérations moyenne et instantanée — [41:07]

• Un objet accélère si sa vitesse varie — au sens large : on ne distingue pas l’accélération du freinage (l’an dernier en physique on faisait peut-être deux équations différentes pour ces deux types de mouvement ; ici les deux sont inclus : que la vitesse augmente ou diminue, on parlera d’accélération).
• Accélération moyenne = variation de la vitesse sur l’intervalle : ${\mathbf{a}}_{\text{moy}}=\frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t}$. Unité : une vitesse (m/s) divisée par un temps (s) → ${\text{m/s}}^2$.
• Accélération instantanée : même passage à la limite que pour la vitesse, sur un intervalle très très petit → c’est la dérivée de la fonction vitesse ; comme la vitesse est déjà la dérivée de la position, c’est la dérivée seconde du vecteur position :

$$\mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\frac{d^2\mathbf{r}}{d{t}^2}.$$

• Comme la position se décompose dans la base, on a trois composantes : la vitesse a pour composantes les dérivées premières $(\dot{x},\dot{y},\dot{z})$, l’accélération les dérivées secondes $(\ddot{x},\ddot{y},\ddot{z})$.
• Intérêt de décomposer : on peut étudier des mouvements séparés dans chaque direction (par exemple un mouvement MRU en x et un mouvement MRUA en y), ce qui simplifie l’analyse.
• ⟵ (fin de la première moitié de la séance ; le cours reprend après une pause avec le repère mobile).

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9. Repère mobile : la relation de Chasles et les vitesses — [48:08]

• On se donne un repère fixe ${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,{\mathbf{e}}_3$ (d’origine $O$) et un repère mobile ${\mathbf{f}}_1,{\mathbf{f}}_2,{\mathbf{f}}_3$ (d’origine $O^{\prime }$).
• Relation de Chasles (décomposition de la position) :

$$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{O{O}^{\prime }}+\overrightarrow{O^{\prime }M},$$

où $\overrightarrow{O{O}^{\prime }}$ positionne l’origine $O^{\prime }$ du repère mobile, et $\overrightarrow{O^{\prime }M}$ positionne le point dans le repère mobile : $\overrightarrow{O^{\prime }M}=x{\mathbf{f}}_1+y{\mathbf{f}}_2+z{\mathbf{f}}_3$ (on garde $x,y,z$ ; on pourrait mettre des « $x^{\prime }$ » si le repère était baptisé « $x$ abourdi »).

• La vitesse étant la dérivée de la position, on dérive cette expression. ⚠️ Ici les vecteurs ${\mathbf{f}}_1,{\mathbf{f}}_2,{\mathbf{f}}_3$ dépendent du temps (repère mobile) → il faut dériver des produits (coordonnée × vecteur de base) :

$${\mathbf{v}}_{\text{abs}}=\frac{d\overrightarrow{O{O}^{\prime }}}{dt}+(\dot{x}{\mathbf{f}}_1+\dot{y}{\mathbf{f}}_2+\dot{z}{\mathbf{f}}_3)+(x\frac{d{\mathbf{f}}_1}{dt}+y\frac{d{\mathbf{f}}_2}{dt}+z\frac{d{\mathbf{f}}_3}{dt}).$$

• les termes $\dot{x}{\mathbf{f}}_1+\dot{y}{\mathbf{f}}_2+\dot{z}{\mathbf{f}}_3$ sont comme dans un repère fixe (les 3 termes qu’on avait déjà « avant la pause ») ;
• des termes supplémentaires apparaissent : $\frac{d\overrightarrow{O{O}^{\prime }}}{dt}$ (1 terme) + les dérivées des axes (3 termes) → 4 termes en plus par rapport au repère fixe.
• Noms donnés à ces termes :
  • vitesse absolue = la vitesse totale de l’objet (la vitesse dans son ensemble) ;
  • vitesse relative = les termes $\dot{x}{\mathbf{f}}_1+\dot{y}{\mathbf{f}}_2+\dot{z}{\mathbf{f}}_3$ : la vitesse par rapport au repère mobile. Ex. : une craie rouge posée sur la table — elle ne se déplace pas par rapport à la Terre → les 3 derniers termes relatifs sont nuls (pas de mouvement relatif) ; dès qu’elle se déplace, ces termes deviennent non nuls ;
  • vitesse d’entraînement = $\frac{d\overrightarrow{O{O}^{\prime }}}{dt}+x\frac{d{\mathbf{f}}_1}{dt}+y\frac{d{\mathbf{f}}_2}{dt}+z\frac{d{\mathbf{f}}_3}{dt}$ (les termes « en rouge ») : la vitesse avec laquelle l’objet est entraîné par le mouvement du repère. Tous les objets — et nous tous — sont entraînés par la Terre, qui nous déplace de 30 km à chaque seconde.
• Conclusion :

$${\mathbf{v}}_{\text{abs}}={\mathbf{v}}_{\text{entraıˆnement}}+{\mathbf{v}}_{\text{relative}}\text{(somme de 2 termes)}.$$

• Deux façons dont le repère mobile peut varier :
  • il tourne : le repère tourne petit à petit par rapport au repère fixe (les axes changent de direction → ce sont les termes avec les dérivées des ${\mathbf{f}}_i$) ;
  • il subit une translation : c’est plutôt le premier terme $\frac{d\overrightarrow{O{O}^{\prime }}}{dt}$ (la différence entre l’origine fixe et l’origine mobile augmente, l’espace…). Dans les deux cas on a une vitesse d’entraînement.
• Pour la Terre, on a les deux : une translation (elle se déplace à 30 km/s dans l’espace) plus une rotation (elle ne reste pas toujours dans le même sens, elle tourne petit à petit). Toutes les planètes combinent les deux : toutes les planètes tournent sur elles-mêmes — il est impossible d’avoir un corps qui ne tourne pas.

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10. Accélérations : décomposition complète et Coriolis — [59:00]

• Pour trouver l’accélération, on redérive la vitesse : on prend la vitesse et on la redérive. Dériver $\frac{d\overrightarrow{O{O}^{\prime }}}{dt}$ donne juste la dérivée seconde de $\overrightarrow{O{O}^{\prime }}$ ; pour les autres termes, il faut dériver à la fois les coordonnées et les vecteurs ${\mathbf{f}}_1,{\mathbf{f}}_2,{\mathbf{f}}_3$ (qui dépendent du temps) → on obtient beaucoup plus de termes que pour la vitesse. Heureusement, certains termes sont « sans amers » (= se ressemblent) → on peut les regrouper (un facteur 2 apparaît).
• Regroupement en trois familles :
  • accélération d’entraînement : c’est l’objet qui est entraîné et accéléré à cause du repère. Regroupe le premier terme (lié à l’accélération de l’origine du repère) + les termes liés à l’accélération de chacun des axes ${\mathbf{f}}_1,{\mathbf{f}}_2,{\mathbf{f}}_3$ : le repère se déplace et entraîne tout avec lui ;
  • accélération relative : l’objet se déplace et accélère par rapport au repère ;
  • accélération de Coriolis : un terme supplémentaire (double terme) qui apparaît en plus.

$${\mathbf{a}}_{\text{abs}}={\mathbf{a}}_{\text{entraıˆnement}}+{\mathbf{a}}_{\text{relative}}+{\mathbf{a}}_{\text{Coriolis}}\text{(somme de 3 termes !)}$$

• Ce n’est PAS comme pour la vitesse (où il n’y avait que 2 termes : entraînement + relative). Historiquement, Clairaut (XVIIIᵉ siècle) pensait que, comme pour les vitesses, il suffirait de deux termes (accélération d’entraînement + accélération relative) ; un terme supplémentaire a surgi, qu’on appelle l’accélération de Coriolis.
• Sens physique des trois accélérations :
  • entraînement : uniquement lié aux effets de repère — mon repère bouge, je dois bouger avec la Terre, donc j’accélère à cause de l’accélération de la Terre ;
  • relative : l’objet accélère en plus, par rapport au repère qui est en mouvement ;
  • Coriolis : ce terme dépend des deux — il faut que l’objet bouge (vitesse relative) dans le repère mobile (en rotation). Une craie bleue immobile subit l’accélération d’entraînement (elle accélère avec la Terre) mais pas l’accélération de Coriolis ; dès qu’on la fait bouger, la Coriolis s’ajoute. Coriolis n’est donc pas due uniquement à la Terre : elle dépend aussi de l’objet.
• Conséquences à grande échelle — circulation océanique : c’est l’accélération de Coriolis qui est responsable du fait que la circulation dans les océans se fait dans le sens horaire dans l’hémisphère nord et anti-horaire dans l’hémisphère sud. Même chose pour les tempêtes : elles sont déviées dans le sens horaire (nord) / anti-horaire (sud). Dans les deux cas, on a des masses fluides (courants océaniques, flux d’air/masses atmosphériques) qui se déplacent sur une Terre en rotation → accélération de Coriolis présente.
• ⚠️ Mythe de l’évier : faux ! On a peut-être entendu dire que, dans l’hémisphère nord, l’évier se viderait dans le sens horaire : c’est faux. La raison : la vitesse de l’eau dans un évier est beaucoup trop faible pour que l’effet soit suffisamment important pour être visible à cette échelle. Si votre évier se vide dans un sens, c’est juste le hasard (les conditions initiales) : avec des conditions initiales un peu différentes, il se viderait dans l’autre sens. Ce n’est pas une vraie preuve de l’accélération de Coriolis, car à cette échelle il est impossible de l’observer. Par contre à très grande échelle (courants océaniques, courants atmosphériques), c’est bien dû à Coriolis. On verra plus tard, avec les petites équations écrites ici, pourquoi ça tourne dans le sens horaire ou anti-horaire.
• ↔ (Échange avec les étudiants, rien au tableau) : l’an dernier, en physique, on avait déjà parlé de la « chorégraphie des mouvements » (sic), des mouvements d’anticyclone et de pression, et de la force centrifuge. Il y avait un petit chapitre sur les repères mobiles, mais on était très vite passés dessus → ce chapitre reprend (et fait un rappel de) ce chapitre-là.

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11. Le repère galiléen — [01:10]

• Pour définir un repère mobile, on le repère par rapport à quelque chose de fixe (le repère mobile est repéré par rapport au repère ${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,{\mathbf{e}}_3$). Après, c’est difficile d’imaginer quelque chose de réellement fixe. C’est pour ça qu’en physique l’an dernier on supposait qu’un repère lié à la Terre était fixe — mais ce n’est pas le cas : la Terre se déplace dans l’espace et en plus tourne sur elle-même. C’était cependant une approximation acceptable pour les calculs de physique de première année (on trouvait quand même les temps de chute, les portées, tout ce qu’il fallait pour produire les exercices, en supposant la Terre fixe).
• Définition : un repère galiléen = un repère qui se comporte comme le repère fixe ${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,{\mathbf{e}}_3$.
• Traduction sur les accélérations : un repère sera galiléen si la seule accélération qui subsiste est l’accélération relative, c’est-à-dire que tous les effets de repère disparaissent : plus d’accélération d’entraînement, plus d’accélération de Coriolis :

$${\mathbf{a}}_{\text{abs}}={\mathbf{a}}_{\text{relative}}.$$

• Condition suffisante : si le repère est fixe (axes fixés), forcément les termes d’accélération de Coriolis et d’accélération d’entraînement disparaissent.
• Déduction de la forme du repère (démonstration « au cas par cas ») : le problème est que l’accélération de Coriolis dépend de plein de choses : de comment bouge l’objet et du mouvement des axes eux-mêmes. Il est important de noter qu’un repère galiléen doit être galiléen pour n’importe quel mouvement de l’objet — on ne veut pas dire « mon repère est galiléen si mon objet ne bouge pas » (ce serait trop facile, et dès que l’objet bouge il ne serait plus galiléen, ce qui est inutile). On peut donc vérifier sur des cas faciles :
  1. On suppose que l’objet bouge avec $\dot{x}=1$, $\dot{y}=\dot{z}=0$. Pour annuler la seule composante de Coriolis qui reste, il faut $\frac{d{\mathbf{f}}_1}{dt}=0$.
  2. On fait de même avec $\frac{d{\mathbf{f}}_2}{dt}=0$ et $\frac{d{\mathbf{f}}_3}{dt}=0$ (en prenant à chaque fois les autres dérivées nulles). → Si la dérivée première d’un axe est nulle, sa dérivée seconde est nulle également → les termes « d’axes » de l’accélération d’entraînement disparaissent : il ne reste que le terme lié à l’origine.
  3. Pour que le dernier terme de l’accélération d’entraînement s’annule, il faut $\frac{d^2\overrightarrow{O{O}^{\prime }}}{d{t}^2}=0$, c’est-à-dire que l’origine $O^{\prime }$ se déplace à vitesse constante (mouvement du type $\overrightarrow{O{O}^{\prime }}=\mathbf{a}t+\mathbf{b}$, fonction affine, dont la dérivée seconde est nulle). → Conclusion : le repère est galiléen si et seulement si ses axes restent toujours parallèles à eux-mêmes (ils ne peuvent pas se déplacer/tourner) et son origine se déplace à vitesse constante (translation uniforme).
• Cas de la Terre : elle se déplace à (quasi) vitesse constante autour du Soleil (~30 km/s — ce qui vérifie la condition sur l’origine) ; mais elle tourne sur elle-même, donc ses axes ne restent pas parallèles à eux-mêmes (ils tournent petit à petit) → le repère lié à la Terre n’est pas galiléen. En plus, le Soleil lui-même se déplace autour du centre de la galaxie à ~100 km/s et entraîne tout le reste avec lui (dont nous, autour de la galaxie ; c’est encore à vitesse constante, donc pour l’origine ça va) — mais là encore la rotation des axes empêche d’être galiléen.
• Conclusion : on aura du mal à trouver un repère rigoureusement galiléen dans la vie de tous les jours (tous les repères « bien sûr » ne le seront pas). La Terre n’en est qu’une approximation (suffisante pour les exercices de première année).

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12. Le vecteur instantané de rotation $\mathbf{\Omega }$ — [01:21]

• Motivation : à ce stade, c’est encore compliqué de visualiser ce qui se passe : dans quel sens l’accélération de Coriolis dévie les objets, à quoi correspond en pratique l’accélération d’entraînement. Pour mieux visualiser et réécrire de façon plus simple les accélérations, on introduit le vecteur de rotation.
• On garde la base mobile ${\mathbf{f}}_1,{\mathbf{f}}_2,{\mathbf{f}}_3$ et on ajoute une condition : le repère mobile est orthonormé (le delta de Kronecker, déjà vu) :

$${\mathbf{f}}_i\cdot {\mathbf{f}}_j={\delta }_{ij}=\{\begin{array}{ll}1& i=j\\ 0& i\ne j\end{array}$$

• On réécrit chacun des vecteurs de la base mobile dans la base fixe (ce sont des vecteurs comme les autres, on peut les décomposer) :

$${\mathbf{f}}_i=\sum _j{a}_{ij}{\mathbf{e}}_j,A=(a_{ij})\text{(matrice de passage / de rotation, }3\times 3).$$

• On dérive : les ${\mathbf{e}}_j$ étant fixes, la dérivée ne porte que sur les coefficients $a_{ij}(t)$ ; puis on ré-exprime cette dérivée dans le repère mobile :

$$\frac{d{\mathbf{f}}_i}{dt}=\sum _j{\Omega }_{ij}{\mathbf{f}}_j.$$

• Composantes d’un vecteur dans une base = on fait le produit scalaire (la projection) du vecteur avec chacun des éléments de la base : ${\Omega }_{ij}=\frac{d{\mathbf{f}}_i}{dt}\cdot {\mathbf{f}}_j$. Les éléments ${\Omega }_{ij}$ forment une matrice $3\times 3$ ($i,j=1,2,3$).
• ⚠️ Remarque de convention (question d’un étudiant) : dans les slides (légèrement différentes de celles du professeur), l’indice apparaît dans l’autre sens (« $ij$ » au lieu de « $ji$ ») ; cela revient simplement à transposer la matrice — rien d’important, mais il faut utiliser la bonne version (le professeur mettra l’indexation correcte dans le sens qu’il faut, c’est juste une matrice transposée).
• La matrice $\Omega$ est antisymétrique — c’est une conséquence de l’orthonormalité. Preuve : comme ${\mathbf{f}}_i\cdot {\mathbf{f}}_j={\delta }_{ij}$ est constant, on a

$$0=\frac{d}{dt}({\mathbf{f}}_i\cdot {\mathbf{f}}_j)=\frac{d{\mathbf{f}}_i}{dt}\cdot {\mathbf{f}}_j+{\mathbf{f}}_i\cdot \frac{d{\mathbf{f}}_j}{dt}={\Omega }_{ij}+{\Omega }_{ji},$$

donc

$${\Omega }_{ij}=-{\Omega }_{ji},$$

donc (i) il y a des zéros sur la diagonale principale (il faut que les éléments soient opposés l’un de l’autre) et (ii) il suffit de 3 paramètres indépendants, notés $P,Q,R$ (les éléments hors diagonale).

• Récapitulatif : on a représenté les variations des axes par la matrice $\Omega$ ; on a montré qu’elle est antisymétrique, donc paramétrée par 3 paramètres $P,Q,R$ qui apparaissent hors diagonale. On leur associe le vecteur instantané de rotation :

$$\mathbf{\Omega }=P{\mathbf{f}}_1+Q{\mathbf{f}}_2+R{\mathbf{f}}_3.$$

On peut expliciter la matrice (avec les signes qui assurent $\frac{d{\mathbf{f}}_i}{dt}=\mathbf{\Omega }\times {\mathbf{f}}_i$, voir §13) :

$${\Omega }_{\text{matrice}}=\left(\begin{array}{ccc}0& R& -Q\\ -R& 0& P\\ Q& -P& 0\end{array}\right).$$

• Conclusion : la matrice et le vecteur portent les mêmes 3 paramètres : c’est le même objet, écrit sous forme matricielle ou vectorielle.

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13. Dérivée d’un vecteur de base : $\frac{d{\mathbf{f}}_i}{dt}=\mathbf{\Omega }\times {\mathbf{f}}_i$ — [01:34]

• Objectif : réécrire la variation de chacun des axes du repère mobile de façon plus courte, pour simplifier les expressions (longues) des vitesses/accélérations d’entraînement et de Coriolis.
• Comment calculer un produit vectoriel : via le déterminant d’une pseudo-matrice $3\times 3$ : première ligne = les composantes de $\mathbf{\Omega }$ (donc $P,Q,R$), deuxième ligne = les composantes du second vecteur (par ex. ${\mathbf{f}}_1=(1,0,0),{\mathbf{f}}_2=(0,1,0),{\mathbf{f}}_3=(0,0,1)$), troisième ligne = les vecteurs de la base ${\mathbf{f}}_1,{\mathbf{f}}_2,{\mathbf{f}}_3$.
• Vérification : on calcule $\mathbf{\Omega }\times {\mathbf{f}}_i$ et on retrouve exactement la dérivée donnée par la matrice. Par exemple pour ${\mathbf{f}}_1$ :

$$\mathbf{\Omega }\times {\mathbf{f}}_1=\det \left(\begin{array}{ccc}P& Q& R\\ 1& 0& 0\\ {\mathbf{f}}_1& {\mathbf{f}}_2& {\mathbf{f}}_3\end{array}\right)=R{\mathbf{f}}_2-Q{\mathbf{f}}_3=\frac{d{\mathbf{f}}_1}{dt}.$$

(On s’assure d’écrire la matrice dans le bon ordre — ne pas mettre la matrice transposée, sinon les signes changent.) En faisant de même pour ${\mathbf{f}}_2$ et ${\mathbf{f}}_3$, on obtient la formule-clef :

$$\boxed{\frac{d{\mathbf{f}}_i}{dt}=\mathbf{\Omega }\times {\mathbf{f}}_i}(i=1,2,3)$$

• Interprétation : le produit vectoriel donne toujours un vecteur perpendiculaire aux deux vecteurs qu’on multiplie → $\frac{d{\mathbf{f}}_i}{dt}\perp {\mathbf{f}}_i$ : la variation de l’axe est toujours perpendiculaire à l’axe lui-même. L’axe ne se déplace donc pas le long de lui-même (pas de glissement) : il tourne perpendiculairement à lui-même, autour de $\mathbf{\Omega }$. C’est exactement pour ça qu’on appelle $\mathbf{\Omega }$ le vecteur (ou l’axe) instantané de rotation : tous les axes du repère mobile tournent progressivement autour de $\mathbf{\Omega }$.
• Application aux vitesses : dans la vitesse d’entraînement, les trois termes liés à la rotation se factorisent :

$$x\frac{d{\mathbf{f}}_1}{dt}+y\frac{d{\mathbf{f}}_2}{dt}+z\frac{d{\mathbf{f}}_3}{dt}=x(\mathbf{\Omega }\times {\mathbf{f}}_1)+y(\mathbf{\Omega }\times {\mathbf{f}}_2)+z(\mathbf{\Omega }\times {\mathbf{f}}_3)=\mathbf{\Omega }\times (x{\mathbf{f}}_1+y{\mathbf{f}}_2+z{\mathbf{f}}_3)=\mathbf{\Omega }\times \mathbf{r},$$

(puisque $x{\mathbf{f}}_1+y{\mathbf{f}}_2+z{\mathbf{f}}_3=\mathbf{r}$, le vecteur position). D’où :

$${\mathbf{v}}_{\text{entraıˆnement}}=\mathbf{v}(O^{\prime })+\mathbf{\Omega }\times \mathbf{r},$$

où $\mathbf{v}(O^{\prime })$ vient du mouvement de l’origine et $\mathbf{\Omega }\times \mathbf{r}$ de la rotation du repère. ⚠️ Analogie avec l’an dernier : la vitesse liée à la rotation était $R\cdot \omega$ (le rayon fois la vitesse angulaire : c’est la vitesse liée à la rotation d’un objet qui tourne) ; ici on retrouve la même idée, mais écrite avec le produit vectoriel $\mathbf{\Omega }\times \mathbf{r}$ qui représente l’entraînement par la rotation.

• Application aux accélérations :
  • Coriolis : les termes croisés se regroupent avec un facteur 2 ; on retrouve

$$\boxed{{\mathbf{a}}_{\text{Coriolis}}=2\mathbf{\Omega }\times {\mathbf{v}}_{\text{rel}}},$$

qui dépend de la vitesse relative de l’objet. Si l’objet est au repos dans le repère mobile (craie posée sur la table), ${\mathbf{v}}_{\text{rel}}=0$ → pas d’accélération de Coriolis ; dès qu’il bouge, la Coriolis apparaît, mais elle reste négligeable aux petites vitesses (ex. la craie) — il faut de grandes vitesses ou une grande échelle pour qu’elle devienne perceptible.

• Entraînement : il faut la dérivée seconde des ${\mathbf{f}}_i$. Comme la dérivée première est $\frac{d{\mathbf{f}}_i}{dt}=\mathbf{\Omega }\times {\mathbf{f}}_i$, la dérivée seconde est la dérivée de cette dérivée : à chaque fois qu’on prend une dérivée seconde, deux termes apparaissent (règle du produit) :

$$\frac{d^2{\mathbf{f}}_i}{d{t}^2}=\frac{d\mathbf{\Omega }}{dt}\times {\mathbf{f}}_i+\mathbf{\Omega }\times \frac{d{\mathbf{f}}_i}{dt}=\frac{d\mathbf{\Omega }}{dt}\times {\mathbf{f}}_i+\mathbf{\Omega }\times (\mathbf{\Omega }\times {\mathbf{f}}_i).$$

En remettant tout dans l’accélération d’entraînement :

$$\boxed{{\mathbf{a}}_{\text{entraıˆnement}}=\frac{d^2{O}^{\prime }}{d{t}^2}+\frac{d\mathbf{\Omega }}{dt}\times \mathbf{r}+\mathbf{\Omega }\times (\mathbf{\Omega }\times \mathbf{r})},$$

où l’on reconnaît un terme lié à la variation du vecteur de rotation et un double produit vectoriel.

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14. Retrouver l’accélération centripète — [01:52]

• Le terme $\mathbf{\Omega }\times (\mathbf{\Omega }\times \mathbf{r})$ est un double produit vectoriel qui fait partie de l’accélération d’entraînement. C’est exactement là que se cache l’accélération centripète vue l’an dernier en physique : $R{\omega }^2$.
• En effet, quand $\mathbf{\Omega }\perp \mathbf{r}$, on retrouve

$$a_{\text{centripeˋte}}=R{\omega }^2=\Vert \mathbf{\Omega }\times (\mathbf{\Omega }\times \mathbf{r})\Vert ,$$

(le $R{\omega }^2$ est « inclus » dans le double produit : $R\omega$ fois $\omega$ est le $R{\omega }^2$ de la physique). L’écriture correcte d’un point de vue mathématique est le double produit vectoriel ; $R{\omega }^2$ était le cas particulier où $\mathbf{\Omega }\perp \mathbf{r}$ (hypothèse simplificatrice de la physique de première année). La formule générale de cette année contient donc les cas particuliers vus en physique.

• Coriolis ne fait intervenir que la vitesse relative : une craie au repos dans le repère mobile n’est pas soumise à Coriolis ; dès qu’elle se déplace — à condition d’une grande vitesse ou d’une grande échelle — l’effet devient perceptible.
• 🎬 Fin de la séance : « on reprendra ça calmement la semaine prochaine ».

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Points clés — [résumé]

• Cinématique = décrire le mouvement ; dynamique = ce qui crée le mouvement (les forces).
• Produit vectoriel = un vecteur perpendiculaire aux deux, de norme = aire du parallélogramme ; il est non commutatif (ordre à respecter même dans la distributivité) et non associatif ; le produit mixte $(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\cdot \mathbf{c}$ = volume (= base × hauteur).
• Déplacement ≠ distance parcourue (le déplacement est la distance « à vol d’oiseau ») ; revenir au point de départ → déplacement et vitesse moyenne nuls.
• Vitesse moyenne = $\frac{\mathbf{r}(t_2)-\mathbf{r}(t_1)}{t_2-t_1}$ ; on l’utilise peu. Vitesse instantanée $\mathbf{v}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}$, tangente à la trajectoire ; convention : « vitesse » = toujours vitesse instantanée. Accélération $\mathbf{a}=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\frac{d^2\mathbf{r}}{d{t}^2}$, au sens large (accélération et freinage). Unité : m/s, m/s² — ⚠️ toujours écrire les unités (anecdote NASA 1999 : Lockheed Martin / miles vs km → sonde brûlée dans l’atmosphère de Mars, milliards perdus).
• Le passage à un repère mobile se fait par la relation de Chasles $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{O{O}^{\prime }}+\overrightarrow{O^{\prime }M}$ ; comme les ${\mathbf{f}}_i$ dépendent du temps, des termes supplémentaires apparaissent (dérivées de produits).
• Vitesse : ${\mathbf{v}}_{\text{abs}}={\mathbf{v}}_{\text{rel}}+{\mathbf{v}}_{\text{entraıˆnement}}$ (2 termes), avec ${\mathbf{v}}_{\text{entraıˆnement}}=\mathbf{v}(O^{\prime })+\mathbf{\Omega }\times \mathbf{r}$ (origine + rotation, analogue de $R\omega$).
• Accélération : ${\mathbf{a}}_{\text{abs}}={\mathbf{a}}_{\text{entraıˆnement}}+{\mathbf{a}}_{\text{relative}}+{\mathbf{a}}_{\text{Coriolis}}$ (3 termes — contrairement à ce que croyait Clairaut).
  • ${\mathbf{a}}_{\text{Coriolis}}=2\mathbf{\Omega }\times {\mathbf{v}}_{\text{rel}}$ : n’existe que si l’objet bouge dans un repère non galiléen (rotation + mouvement relatif) ; dévie océans (horaire au nord, anti-horaire au sud) et tempêtes ; le mythe de l’évier est faux (échelle trop petite, c’est le hasard).
  • ${\mathbf{a}}_{\text{entraıˆnement}}=\ddot{O^{\prime }}+\dot{\mathbf{\Omega }}\times \mathbf{r}+\mathbf{\Omega }\times (\mathbf{\Omega }\times \mathbf{r})$ — le double produit est l’accélération centripète $R{\omega }^2$ (cas particulier $\mathbf{\Omega }\perp \mathbf{r}$).
• Repère galiléen = « repère qui se comporte comme un repère fixe » : seule l’accélération relative subsiste (${\mathbf{a}}_{\text{entraıˆnement}}=0$ et ${\mathbf{a}}_{\text{Coriolis}}=0$), et ce pour n’importe quel mouvement de l’objet → on vérifie sur des cas faciles ($\dot{x}=1$, autres dérivées nulles) ⇒ axes parallèles à eux-mêmes (dérivées première et seconde nulles) + origine en translation à vitesse constante ($\ddot{O^{\prime }}=0$, $\overrightarrow{O{O}^{\prime }}=\mathbf{a}t+\mathbf{b}$). La Terre n’est pas galiléenne (elle tourne sur elle-même) — approximation seulement.
• Matrice de passage $A=(a_{ij})$ avec ${\mathbf{f}}_i={\sum }_j{a}_{ij}{\mathbf{e}}_j$ ; en dérivant (les ${\mathbf{e}}_j$ sont fixes) et en réexprimant dans la base mobile on obtient $\frac{d{\mathbf{f}}_i}{dt}={\sum }_j{\Omega }_{ij}{\mathbf{f}}_j$, avec ${\Omega }_{ij}=\frac{d{\mathbf{f}}_i}{dt}\cdot {\mathbf{f}}_j$. L’orthonormalité (${\delta }_{ij}$ constant) force l’antisymétrie (${\Omega }_{ij}=-{\Omega }_{ji}$, zéros sur la diagonale) → 3 paramètres $P,Q,R$ → vecteur $\mathbf{\Omega }=P{\mathbf{f}}_1+Q{\mathbf{f}}_2+R{\mathbf{f}}_3$.
• Formule-clé : $\boxed{\frac{d{\mathbf{f}}_i}{dt}=\mathbf{\Omega }\times {\mathbf{f}}_i}$ (vérifiée par le calcul d’un déterminant : les axes ne glissent pas le long d’eux-mêmes, ils tournent autour de $\mathbf{\Omega }$).