AR I - Cours 01

AR I — Cours 1 : $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ et la propriété de la borne supérieure

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Couverture : de 00:00:13 à 01:53:38 sur un audio de 01:53:44, sans trou de plus de 90 s. Les 13 premières secondes (auto-présentation) ne sont pas sorties par la transcription automatique : elles sont reconstituées ici depuis la transcription antérieure du même audio (voir Doutes / à vérifier).

Couverture du support

• Syllabus : AnalyseI.Sylabus.pdf → §1.1 Rappels sur l’ensemble $\mathbb{Q}$ des rationnels (p. 4–6) + §1.2 Approche axiomatique de $\mathbb{R}$ (p. 7–11), soit les énoncés 1.1 → 1.27. La séance couvre ces deux sections en entier ; la suivante démarre au Théorème 1.28 ($\mathbb{R}$ est archimédien) (p. 12). Voir AR I - Avance.
• Énoncés traités : 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9, 1.10 (fin §1.1) · 1.11, 1.12, 1.13, 1.14, 1.15, 1.16, 1.17, 1.18, 1.19, 1.21, 1.22, 1.23, 1.24, 1.25, 1.26, 1.27 (§1.2).
• Dans le syllabus mais non traité en classe :
  • §5.12 — l’inversion renverse l’ordre ($s<r\Rightarrow r^{-1}<s^{-1}$) : « c’est fait dans les notes, ça prend deux lignes ».
  • §13.3 / Prop. 1.19 (p. 9) — la vérification que le $\sqrt{x}$ ainsi défini vérifie bien $(\sqrt{x}{)}^2=x$ : « je ne vais pas le faire parce que je manque un peu de temps […] ce que je ne démontre pas au cours, je ne le demande pas à l’examen non plus ». La preuve complète est dans le syllabus.
  • §17.4 / Prop. 1.27 (p. 11) — les propriétés 1, 3, 4 et 5 (inclusion, $A+B$, $A\cdot B$, $-A$) sont laissées en exercice au TP 1 (« l’assistant va en faire deux »).
• Slides : chapitre 1 — en attente de réception.
• ⚠️ Bug de numérotation du syllabus : Prop. 1.23 apparaît deux fois (p. 10 = le critère en $\epsilon$, p. 11 = l’énoncé de l’exercice). Ici, « 1.23 » désigne toujours le critère en $\epsilon$. Le syllabus ne comporte par ailleurs pas de Prop. 1.20 (la numérotation saute de 1.19 à 1.21).

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1. Présentation et organisation du cours — [00:00]

1.1. Auto-présentation

• « Je me présente, je suis le prof d’analyse cette année. » (reconstitué : non capté par la transcription automatique)
• « Je suis le professeur agrégé en expression. » (reconstitué : segment audio non capté)
• « Je suis titulaire de mes recherches en analyse. »
• « Et je remplace M. Wreckin, qui est parti à la pension. »
  • → Le syllabus officiel nomme le titulaire : Christophe Dubussy.

1.2. Un cours neuf, mêmes Building blocks

• Question du prof : « Est-ce qu’il y en a parmi vous qui doivent répéter leur année ? » — Réponse : « Pas tant que ça. »
• « Je vous conseille de considérer que c’est un nouveau cours. »
  • « C’est pas le même syllabus, c’est la même matière, mais c’est pas le même syllabus, c’est pas la même philosophie d’enseignement, c’est pas les mêmes TP, c’est repartir de zéro. »
  • Nuance : « Enfin non, n’oubliez pas tout non plus, mais c’est un nouveau cours. Donc suivez-le intégralement. »

1.3. Le syllabus est le document de travail principal

• 12 séances de 2 heures. Adresse e-mail donnée (écrite au tableau, non transcrite).
• « Le document officiel pour la préparation de l’examen, c’est le syllabus. »
  • « J’ai passé un temps de zinzin à faire ce syllabus, il est ultra complet. Plus complet que ça, ce n’est pas possible. »
  • « Il faut absolument que vous alliez l’acheter au service reprographie, vous l’imprimiez le plus rapidement possible. »
• ⚠️ Consigne didactique majeure : ne pas prendre des notes de tout.
  • « Ça sert à rien de prendre des notes de tout ce que j’écris, c’est écrit dedans. Donc vous venez avec le syllabus, vous vous concentrez sur l’écoute du cours, et quand il y a des remarques additionnelles, là vous les notez dans la marge. »
  • « Tout est écrit dans le syllabus. Concentrez-vous sur l’écoute. »
• Le syllabus est aussi en ligne sur le campus, imprimable gratuitement.

1.4. Évaluations : test à blanc et travail de groupe

• Test à blanc en novembre (facultatif) :
  • « Ça permet de vous évaluer une première fois, et de voir comment les universitaires cotent. »
  • « La façon de coter est quand même un peu plus sèche qu’en secondaire. Donc c’est bien de l’anticiper. »
  • « En général, ceux qui réussissent leur test à blanc réussissent l’examen. »
• Travail de groupe mi-novembre : obligatoire pour les mathématiciens, facultatif pour les physiciens.
  • « Il n’est pas noté, mais il est obligatoire. Et ça, ça vous entraînera beaucoup à vos futurs examens oraux. »

1.5. Quatre groupes de TP-TD — interdiction de changer

• « Il y a quatre groupes de TP-TD, deux pour les matheux et deux pour les physiciens. »
• « Interdiction de changer de groupe. » Répartition par ordre alphabétique, moitié / moitié, « peut-être 20 et 20 ».
  • Raison invoquée : « l’assistant ne me plaît pas, je vais à l’autre groupe, et qu’à la fin on se retrouve avec 5 et 35. Les locaux ne le permettent pas et la pédagogie qu’on veut mettre en place ne le permet pas non plus. »
• Exception : un échange de place est toléré « à la limite, pourquoi pas ? », à condition de garder les groupes équilibrés.
• « S’il y a des abus, on sera obligé de prendre les présences. C’est bon, c’est ennuyant. »

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2. L’organisation de l’examen : deux examens très différents — [00:03:05]

Principe : « c’est le même cours exigeant pour tout le monde. Tout le monde suit le même cours, physiciens comme matheux, en tout cas au niveau théorique. Mais par contre, les évaluations sont adaptées aux besoins de chaque groupe. »

2.1. Pour les physiciens : 1/3 théorie, 2/3 exercices

• « Ce cours n’a pas la même importance en physique qu’en maths. En physique, le but, c’est surtout de vous donner des techniques de calcul utiles dans vos autres cours. Donc c’est surtout les exercices qui comptent. »
• « Ce n’est pas le fait de maîtriser 150 démonstrations par cœur. Un physicien ne passe pas sa carrière à faire des preuves. Le plus important pour un physicien, c’est savoir faire les exercices. »

$$\text{Physique : }\frac{1}{3}\text{ theˊorie}+\frac{2}{3}\text{ exercices}$$

• « La partie théorique, en plus, je serais gentil : je limiterais l’étude à un nombre restreint de démonstrations. On en fera peut-être 60 et vous n’en aurez que 15 à étudier. »

2.2. Pour les mathématiciens : 50/50 sur tout le programme

• « Pour les matheux, ceci est littéralement le cours le plus important, puisqu’il est prérequis de l’intégralité de tous vos cours dans la suite de vos études. »
  • « Si vous ne maîtrisez pas parfaitement celui-ci, vous souffrirez tout le reste de vos études. Il interviendra tout le temps, à toutes les sauces. »
  • « On ne peut pas se faire mettre une maîtrise à trois quarts ou à moitié ici. »

$$\text{Math : }50\%\text{ theˊorie}+50\%\text{ exercices}$$

• « Et la théorie, ce sera tout. Toutes les démonstrations du cours, toutes les définitions, tous les exemples. Tout. » → « Vous n’aurez pas de liste de questions, la matière c’est de A jusqu’à Z. »

2.3. ⚠️ La note absorbante à 7

• « Si vous faites un 8 et un 12, ça va, vous aurez réussi. Mais si vous faites une note strictement inférieure à 7, la note est absorbante et vous ratez automatiquement. »
  • « Donc si vous faites 6 à la théorie et 14 aux exercices, votre note finale c’est 6. »

$$\min (\text{theˊorie},\text{exercices})<7⟹\text{note finale}=\min (\text{theˊorie},\text{exercices})$$

• La compensation : « si vous en réussissez quand même une des deux comme il faut, je vous donne la dispense. Si vous faites 15 aux exercices et 5 à la théorie, le 15 vous le gardez, vous ne repasserez que la théorie. »

2.4. Durée

• « Les matheux, il faut que je vérifie encore, mais les matheux auront un peu plus de temps : peut-être 3 heures pour les physiciens et 4 heures pour les matheux. »

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3. Conseils méthodologiques — [00:05:58]

3.1. Le cours a « la réputation d’être dur »

• « C’est toujours le cas. Ce n’est pas lié aux profs, ce n’est pas lié à l’université, c’est pareil partout. »
• « Le cours d’analyse, c’est toujours ce qu’on appelait avant le cours à fièr(e), le cours qui mofle les étudiants. » (expression-studentannerie ; cf. Doutes)
• « En plus, maintenant, il y a l’histoire de la finançabilité. C’est typiquement le genre de cours qui fait que des étudiants ne deviennent plus finançables. »
• « C’est un cours stressant pour tout le monde, et moi le premier. Moi je suis ultra stressé parce que j’ai une responsabilité de dingue ici. On va tout faire pour que vous réussissiez. »

3.2. ⚠️ Conseil n°1 : ne jamais avoir de retard

• « Ne ratez aucun cours théorique si possible. Et surtout, ne vous présentez jamais au cours suivant sans avoir parfaitement compris le cours d’avant. »
• « Dans ce cours-ci, le moindre retard, c’est la mort. Vous êtes cuit. Vous venez à un cours sans avoir compris le précédent, c’est fini, vous ne comprenez plus jamais rien. »
  • « Il y a des cours où on peut se permettre de dire je ferai ça pendant la bloc. Non, pas celui-ci. »

La méthode du jeudi soir : « Vous avez cours le jeudi. Le jeudi soir, tant que c’est frais dans votre tête, vous relisez ce qu’on a fait de A à Z et vous vous assurez que vous avez bien compris le passage de chaque ligne à la suivante. »

• « Certains étudiants il suffira qu’ils relisent une demi-heure, et certains vont travailler deux heures. Ça, c’est la vie. »
• ⚠️ « Je ne vous dis pas de l’étudier, je vous dis de le comprendre. »

3.3. Conseil n°2 : le syllabus avant le mail

• « Le syllabus, encore une fois, extrêmement complet, ça devrait être votre document de travail principal. »
• « Si vous n’avez pas compris un truc au cours oral, parce que j’aurais été un peu vite, vous avez la garantie que c’est écrit dans le syllabus. Avant d’envoyer un mail en disant je n’ai pas compris, monsieur, je vous assure que c’est écrit dans le syllabus, à chaque fois quasiment. »

3.4. Conseil n°3 : trois heures d’exercices par semaine

• « Les exercices, c’est super important, notamment pour les physiciens, pour qui ça compte à deux tiers. Donc il faut faire des heures d’exercice chaque semaine à domicile, il n’y a pas le choix. »
• « J’ai fait exprès de faire de grosses listes […] les assistants sont plus que volontaires pour les corriger. Vous les faites, vous les scannez, vous les envoyez par mail, on vous les corrigera. Vous nous les donnez même en physique, on vous les corrigera. »
• « Je sais que ça vous paraît abusé, mais pour un cours comme celui-là, je vous recommande trois heures d’exercice par semaine chez vous. »

Répartition conseillée : en semaine → cours théoriques ; le soir → comprendre ce qu’on a vu ; le week-end → les exercices.

• « Un petit peu de chaque cours. Je sais que c’est compliqué, on a envie de sortir […] Mais en première année, malheureusement, il faut un peu moins sortir et un peu plus travailler. Et après, ça se libère. »

3.5. Conseil n°4 : l’aide existe, mais c’est à vous d’initier

• « Le prof comme les assistants sont très disponibles […] prise de rendez-vous, mails, pause, après le cours, quand vous voulez. »
• ⚠️ « Mais la règle, c’est vous qui initiez. C’est ça la différence avec le secondaire : personne ne viendra vous demander est-ce que ça va. On ne vous dira jamais non, vous aurez toujours de l’aide, mais vous devez venir demander en premier. C’est comme ça que ça fonctionne à l’UNIF. »

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4. Qu’est-ce que l’analyse ? — [00:09:45]

4.1. Ce que vous avez vu au secondaire

• « Les chapitres classiques d’analyse en secondaire : les limites, les dérivées, les intégrales [et] les exponentielles et les logarithmes. »
• « Tout ce qui est lié à l’ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels et l’étude des fonctions définies sur $\mathbb{R}$. »

Définition de travail : « L’objet fondamental de l’analyse, c’est $\mathbb{R}$. On pourrait prendre vraiment ça comme définition : l’analyse, c’est l’étude de $\mathbb{R}$. »

4.2. La chronologie et les inclusions habituelles

• « Vous n’avez pas fait d’analyse avant la 3e secondaire. Avant ça, vous étudiez plutôt les nombres négatifs, les nombres entiers, les nombres rationnels. »
• « L’analyse n’est arrivée qu’en 3e, tout doucement, avec la notion de fraction / fonction ; et surtout à partir de la 5e, quand vous avez vu les limites. L’analyse, ça commence pour de vrai quand on voit les limites. »

$$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$$

Ensemble	Nom	Introduction
$\mathbb{N}$	naturels $1,2,3,4,5,6,7$	primaire
$\mathbb{Z}$	entiers : $-1,-2,-3$	primaire
$\mathbb{Q}$	rationnels = fractions d’entiers	secondaire inférieur
$\mathbb{R}$	réels	secondaire supérieur ← tout le cours

• « Nous, on va passer tout le cours à étudier ce qui se passe là. Mais pour bien se lancer, on va quand même faire quelques rappels sur $\mathbb{Q}$, parce que $\mathbb{R}$ est fondamentalement construit à partir de $\mathbb{Q}$. Si on ne comprend déjà pas les fractions, on ne comprendra jamais $\mathbb{R}$. »
• Pas de rappels sur $\mathbb{N}$ et $\mathbb{Z}$ : « j’espère que tout le monde est à l’aise avec le comptage et les nombres négatifs, je n’ai pas le temps de faire des rappels sur ces deux ensembles-là. » → Renvoi au cours d’initiation à la démarche mathématique (collègue : Anne-Sophie Libère, qui fait même les rappels sur $\mathbb{N}$).

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5. Rappels sur $\mathbb{Q}$ — [00:11:53]

5.1. Définition d’un rationnel

• « C’est quoi un nombre rationnel ? C’est une fraction d’entiers. Donc c’est un couple, fondamentalement : si je prends deux entiers, un au-dessus, un en-dessous, le numérateur, le dénominateur, et le dénominateur ne peut pas s’annuler. »

$$\frac{A}{B},A\in \mathbb{Z},B\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$$

5.2. Identifications et produit croisé

• « Quand on fait ça, souvent on procède à des identifications. On dit que $\frac{A}{B}$, c’est la même chose que $\frac{C}{D}$, s’il y a le produit croisé : $A\times D=B\times C$. »
• Exemple : « $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$, parce que $1\times 4=2\times 2$. » → « Donc je peux simplifier les fractions. »

5.3. Les trois choses sur $\mathbb{Q}$ : $+$, $\cdot$, et la comparaison

$$\mathbb{Q}\text{ est muni de }\underset{\text{structure algeˊbrique}}{\underbrace{(+,\cdot )}}\text{et de}\underset{\text{relation de comparaison}}{\underbrace{\le }}$$

• « Il faut pouvoir dire quand une fraction est plus petite ou plus grande qu’une autre. »

5.4. ⚠️ Comparer deux fractions : tout passer du même côté

• « C’est là où parfois je vois des atrocités. Par exemple, $\frac{1}{2}$ est plus petit que $\frac{2}{3}$. Comment est-ce qu’on prouve qu’une fraction est plus petite qu’une autre ? »
• « Je vois parfois des horreurs du style : ah ben, 1 est plus petit que 2 et 2 est plus petit que 3. Non, non, c’est absolument pas comme ça. »

$$\text{Proceˊdure :}\text{tout passer du meˆme coˆteˊ}\to \text{simplifier}\to \text{lire le signe du reˊsultat}$$

• Démarche sur l’exemple :

$$\frac{1}{2}-\frac{2}{3}=\frac{3\times 1-2\times 2}{2\times 3}=-\frac{1}{6}<0⟹\frac{1}{2}<\frac{2}{3}$$

• Lecture du signe : « un nombre négatif au-dessus, un nombre positif en dessous → c’est négatif. Un seul signe moins → négatif. Pas de signe moins → positif. Deux moins → ça se simplifie, ça fait plus → positif. »
• ⚠️ « Quand vous travaillerez avec des petits $x$, c’est important de faire ça. » → « Vous avez fait ça en secondaire : des inéquations rationnelles, carrément des inéquations avec des polynômes, on faisait tout passer d’un même côté, on faisait un tableau de signes. Pour ça, il faut garder ces réflexes-là, ça ne disparaît pas. »

5.5. Opérations sur les fractions (rappel)

$$\frac{A}{B}+\frac{C}{D}=\frac{A\times D+C\times B}{B\times D},\frac{A}{B}-\frac{C}{D}=\frac{AD-BC}{BD},\frac{A}{B}\cdot \frac{C}{D}=\frac{AC}{BD}$$

• « Il y a moyen d’aller plus vite si on met au même dénominateur […] mais en soi, la définition de la somme, c’est celle-là, avec le produit croisé. »
• Division : « $\frac{2}{3}÷\frac{4}{5}$ […] par définition c’est multiplié par l’inverse. L’inverse de $\frac{4}{5}$ c’est $\frac{5}{4}$. Donc il faut renverser celle du bas. »

5.6. ⚠️ Les 9 propriétés de $\mathbb{Q}$ (= champ)

« Quand on arrive avec les neuf premières propriétés, ça porte un nom : un champ. Un ensemble muni du $+$ et du $\times$ qui vérifie ces neuf propriétés-là, c’est ce qu’on appelle un champ. En Belgique on appelle ça un champ, en France on appelle ça un corps commutatif. »

Groupe additif $(+)$ — propriétés 1 à 4 :

#	Propriété	Contenu
1	commutativité	$a+b=b+a$
2	associativité	$(a+b)+c=a+(b+c)$
3	élément neutre $0$	$a+0=a$
4	opposé	$\exists -a$ tel que $a+(-a)=0$

• Sur le « signe moins » : « Je peux mettre le moins où je veux : $\frac{-1}{3}$, $\frac{1}{-3}$, ou carrément devant $-\frac{1}{3}$. »

Groupe multiplicatif $(\times )$ — propriétés 5 à 8 :

#	Propriété	Contenu
5	commutativité	$a\times b=b\times a$
6	associativité	$(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$
7	élément neutre $1$	$a\times 1=a$
8	⚠️ existence d’un inverse	$\forall a,\exists a^{-1}:a\times a^{-1}=1$

⚠️ Piège si on oublie le 1 : v1 vs v2 sur la formule — le prof dit bien « $r\times s=$ 1 » (et non pas « $=a$ »), ce qui est indispensable.

• « Comment on trouve l’inverse ? On permute numérateur et dénominateur : $\frac{B}{A}$ est l’inverse de $\frac{A}{B}$, et quand je multiplie les deux ça fait 1. »

Propriété 9 — la distributivité (le lien entre $+$ et $\times$) :

$$a\times (b+c)=a\times b+a\times c$$

• « Donc ça, les propriétés 1 à 9, vous les connaissez. »

5.7. Pourquoi s’arrêter à 9 ? L’algèbre vs l’analyse

• « Tant qu’on étudie des champs, qu’on se limite aux neuf premières propriétés, on est dans le domaine de l’algèbre. »
  • « M. Moroy [l’a] dit : vous travaillerez tout le temps avec des champs, vous n’utiliserez jamais une propriété qui va au-delà de la neuvième. »
  • « C’est pour ça que l’algèbre c’est plus simple : il y a moins de propriétés. Il n’y a même pas les inégalités — vous voyez, elles ne sont même pas présentes. Il n’y a que le $+$ et le $\times$. »

5.8. Les propriétés de l’inégalité : 10, 11, 12 → un ordre

#	Nom	Énoncé
10	réflexivité	$r\le r$
11	⚠️ antisymétrie	$r<s$ et $s<r$ ⟹ $r=s$
12	⚠️ transitivité	$r<s$ et $s<t$ ⟹ $r<t$

• Réflexivité : « Un nombre est toujours $\le$ à lui-même, puisqu’il est égal à lui-même. C’est un peu bébête, mais c’est le cas. »
• Antisymétrie (mot clé) : « Ça veut dire que pour prouver que deux trucs sont égaux, on peut le prouver par double inégalité : on prouve la première inégalité, on prouve la seconde, et on en conclut que les deux sont égaux. » → « Ça va nous aider à faire des preuves pour montrer que deux nombres sont égaux. »
• Transitivité : « Si $2<3$ et $3<4$, qu’est-ce que j’en conclue ? Que $2<4$. »

« Vous avez ces trois-là, 10, 11, 12 : ça, c’est ce qu’on appelle un ordre, ou un ensemble ordonné. Dans vos autres cours, quand le prof utilisera le mot ordre, il ne le dira peut-être pas, mais ça sous-entend que ces trois machins-là sont vérifiés. »

5.9. ⚠️ Propriété 13 — la totalité (la plus puissante)

• « Je prends deux nombres au hasard : il y en a forcément un des deux qui est plus grand que l’autre. Je ne sais pas lequel, mais il y en a forcément un. »
• Argument visuel : « Si on représente les nombres sur une droite, ce qu’on fait souvent en secondaire, prenez-en deux au hasard, $X$ et $Y$ […] en l’occurrence, ici c’est $Y$ sur mon dessin. »

$$\forall a,b\in \mathbb{Q}:a\le b\text{ ou }b\le a$$

• « C’est une propriété très forte. Ça s’appelle la propriété de totalité. On dit que l’ordre est total : ça veut dire que je peux tout comparer avec tout. »
• « Ce n’est pas vrai de tous les ensembles ordonnés : vous verrez plus tard d’autres ensembles avec des ordres où il n’y aura pas cette propriété-là. Mais dans $\mathbb{Q}$ et dans $\mathbb{R}$, il y aura ça. »

5.10. ⚠️ Propriétés 14 et 15 — le lien entre l’ordre et $+$, $\times$

14 — compatibilité avec l’addition :

$$r\le s⟹r+t\le s+t$$

• « Si j’additionne à gauche et à droite par le même nombre, je conserve l’inégalité. On a le droit d’additionner des inégalités membre à membre, et ça reste la même inégalité dans le bon sens. »

15 — compatibilité avec la multiplication : ⚠️ c’est là qu’il faut faire attention.

$$r\le s⟹\{\begin{array}{ll}rt\le st& \text{si }t>0\\ rt\ge st& \text{si }t<0\\ 0=0& \text{si }t=0\end{array}$$

• « Si le $t$ est positif, ça reste dans le même sens : $rt$ est plus petit que $st$. Si le $t$ est négatif, on vous a toujours appris que si on multiplie par un moins, ça renverse le sens : $rt$ est plus grand que $st$. »
• ⚠️ Question d’un étudiant : « Quand vous dites $t\ge 0$, ça veut dire que ça peut être $0$ ? »
  • Réponse du prof : « Ah non, parce que si $c^{\prime }estt=0$, ça marche aussi : si tu multiplies par 0 des deux côtés, ça fera $0=0$. Mais si c’est égal, c’est $\le$ [donc l’inégalité large est vraie]. Donc avec 0, ça marche aussi. »

5.11. Synthèse : les 15 propriétés → champ ordonné

Plage	Contenu
1 – 9	$+$, $\times$ → un champ (corps commutatif)
10, 11, 12	réflexivité, antisymétrie, transitivité → un ordre
13	totalité
14, 15	l’ordre est compatible avec $+$ et $\times$

• « Quand on a les 15, là on commence à rentrer dans l’analyse, parce qu’on travaille avec les inégalités. Quand on a les 15, on a ce qu’on appelle un champ ordonné. »
• ⚠️ « C’était déjà un champ parce qu’il y avait les neuf premières, et comme en plus j’ai l’ordre qui va bien avec, au total j’ai ce qu’on appelle un champ ordonné. »
• « Donc $\mathbb{Q}$ est un champ ordonné, et $\mathbb{R}$ aussi va être un champ ordonné. Vous voyez bien que $\mathbb{R}$ vérifie les 15 mêmes, c’est juste que $\mathbb{R}$ va en avoir encore en plus. On ne va pas s’arrêter à 15 — c’est ça la différence. »

5.12. Démonstration : tout se déduit des 15 propriétés

• « Je veux vous convaincre rapidement qu’à partir des 15 propriétés que nous avons énoncées — que vous ne devez même pas vraiment étudier par cœur, vous les avez tellement utilisées toute votre vie — on peut démontrer tout ce qu’on veut. Toutes les autres propriétés classiques on peut les démontrer à partir de celles-là. »

Démonstration 1 — l’intégrité (règle du produit nul)

« Une propriété que vous avez souvent utilisée, c’est ce qu’on appelle en secondaire la règle du produit nul : si $r\times s=0$, quand le produit de deux choses vaut 0, c’est forcément qu’il y en a une des deux qui vaut 0. On utilise ça tout le temps pour résoudre des équations. Quand on veut utiliser un beau langage mathématique, ça porte un nom : l’intégrité. On dit que $\mathbb{Q}$ est intègre. »

Preuve (par cas).

• Cas 1 : « Soit $s=0$. Ça pourrait arriver […] dans ce cas-là j’ai déjà terminé, parce que je voulais montrer qu’il y en a un des deux qui est nul. »
• Cas 2 : « Si $s\ne 0$, qu’est-ce que j’ai le droit de faire ? Je peux l’inverser : on peut inverser tous les nombres qui ne sont pas nuls, donc $s^{-1}$ existe. »

$$r\times s=0⟹r\times s\times s^{-1}=0\times s^{-1}$$

• À gauche : « $s\times s^{-1}$ ça fait 1 […] quand on multiplie par 1, il ne se passe rien » ⟹ $r$.
• À droite : « $0\times s^{-1}$ […] mais ça, on ne l’a pas encore démontré, ce n’était pas dans la liste des propriétés […] le fait que le $0$ est absorbant. Donc il faudrait le démontrer aussi. On va l’admettre, et puis on va le faire juste après. »

$$\boxed{r=0}$$ $$■\text{(car 0 est absorbant)}$$

• « Donc la preuve est finie : on vient bien de montrer que $r$ était égal à 0, ce qui était ce qu’il fallait démontrer. »

Démonstration 2 — $0$ est absorbant (la preuve « comique »)

« Ça a l’air tellement évident. Mais même ça, il faut le démontrer. Alors allons-y, on le fait. Comment est-ce qu’on va prouver que $x\times 0=0$ ? En fait, on ne pourrait pas le deviner soi-même, il faut le voir une fois dans sa vie. C’est le genre de preuve qui est comique. »

L’astuce : remplacer $0$ par $0+0$ (propriété 3 : élément neutre), puis distribuer (propriété 9).

$$x\times 0=x\times (0+0)=x\times 0+x\times 0$$

• « Et donc qu’est-ce que j’ai le droit de faire ? J’ai le droit de simplifier à gauche et à droite le terme commun : je vais soustraire par $x\times 0$ des deux côtés. »

$$x\times 0-x\times 0=x\times 0+x\times 0-x\times 0⟹0=x\times 0$$ $$■$$

• « Vous voyez, c’est la petite astuce : j’ai remplacé $0$ par $0+0$. Bon, il faut y penser ; une fois qu’on connaît le truc, après on ne l’oublie pas. »
• « Donc nous venons de prouver que $0$ est absorbant, et nous venons de prouver que $\mathbb{Q}$ est intègre. »

Exercice laissé (dans le syllabus)

• « On peut s’amuser à tout prouver comme ça […] toutes les petites propriétés des rationnels que vous connaissez, on pourrait toutes les prouver comme ça, en jouant avec les quinze propriétés de base. »
• L’inversion renverse l’ordre : « Si $s<r$, alors $r^{-1}<s^{-1}$ […] par exemple $2<3$, mais $\frac{1}{3}<\frac{1}{2}$ […] ça aussi on pourrait le prouver, c’est fait dans les notes, ça prend deux lignes. »

5.13. ⚠️ Les puissances (rappel)

• $r^0:=1$ — « par convention […] il y a une raison très profonde, ce n’est pas par hasard qu’on dit que ça vaut 1. Ceux qui ont le cours d’initiation à la démarche mathématique verront la raison profonde. »
• $r^1=r$ ; $r^2=r\times r$ ; $r^3=r\times r\times r$ ; $r^n=\underset{n\text{fois}}{\underbrace{r\times \cdots \times r}}$.
• « Ça, il faut les maîtriser, les histoires du style : si vous prenez $r^n$ et que vous refaites à la puissance $m$ après, ça donne $r^{n\times m}$. Toutes les propriétés que vous connaissez depuis longtemps, je ne vais pas les rappeler. »

5.14. ⚠️ Réduction au maximum d’une fraction

• « On peut réduire numérateur et dénominateur au maximum. Par exemple, si je vous donne $\frac{3}{6}$, en général vous n’allez pas le laisser comme ça, vous allez écrire $\frac{1}{2}$. »
• « Il suffit de décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et de simplifier tous les facteurs premiers communs. »

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6. Pourquoi passer de $\mathbb{Q}$ à $\mathbb{R}$ ? — [00:33:00]

6.1. La motivation : jouer avec les racines carrées

• « Qu’est-ce qui motive de passer des nombres rationnels aux nombres réels ? La motivation, c’est celle qu’on vous a donnée en 3e secondaire : c’est parce qu’on veut pouvoir jouer avec des racines carrées — racine de 2, racine de 3. Et que dans les nombres rationnels, il n’y a pas les racines. »
• « Ce n’est pas une fraction $\sqrt{2}$, ni $\sqrt{3}$, ni $\sqrt{29}$. Mais est-ce qu’on vous l’a démontré ? Que ça ne pouvait pas être rationnel ? Alors je vais le faire, parce que c’est marrant, c’est une preuve comique. »

« C’est la première vraie preuve du cours. »

6.2. Premier pas : la méthode de l’absurde

• « Ce que je vais montrer, c’est qu’il n’existe pas de nombre rationnel dont le carré vaut 2. […] Dire que $\sqrt{2}$ n’est pas dans $\mathbb{Q}$, ça veut dire que dans $\mathbb{Q}$ il n’y a pas de nombre qui au carré donne 2, donc l’équation $r^2=2$ n’a pas de solution dans $\mathbb{Q}$. Ça a des solutions dans $\mathbb{R}$ : $\sqrt{2}$ et $-\sqrt{2}$. Mais dans $\mathbb{Q}$, il n’y a pas de solution. »

Rappel — principe de la preuve par l’absurde : « Si on arrive à une contradiction à la fin, c’est que l’hypothèse de départ était fausse. »

• Hypothèse : « Supposons qu’il existe $p$ et $q$ appartenant à $\mathbb{Z}\setminus \{0\}$ tels que $\frac{p}{q}$ au carré égale 2. »

$$\frac{p^2}{q^2}=2⟹p^2=2q^2$$

6.3. ⚠️ L’hypothèse irréductible — le point que le prof « a oublié » de dire

• « Ah oui, ça c’est juste. J’ai oublié de dire un petit quelque chose, c’était évident mais je ne l’ai pas dit : ma fraction, la $\frac{p}{q}$, je peux supposer qu’elle est simplifiée au maximum. Je peux supposer que je l’ai mise sous forme irréductible, j’ai simplifié tous les facteurs communs. Quand je l’écrit tout de suite sous forme irréductible, c’est plus facile. »

$$\frac{p}{q}\text{irreˊductible},p^2=2q^2$$

6.4. Le fil de l’arithmétique (division dans $\mathbb{Z}$)

« Ce n’est pas encore de l’analyse, ça, c’est de l’arithmétique. »

1. « $2q^2$ est divisible par 2 […] donc comme c’est égal, $p^2$ est divisible par 2. »
2. ⚠️ « Est-ce que vous êtes d’accord que si $p^2$ est divisible par 2, alors $p$ tout seul est aussi divisible par 2 ? »
   • « Puisqu’en fait $p$ et $p^2$ ont les mêmes facteurs premiers. $p^2$, c’est juste que tous les facteurs premiers ont été dédoublés puisqu’on l’a mis au carré. Donc s’il y avait un $2$ présent dans la décomposition en facteurs premiers de $p^2$, il était aussi présent au départ dans celle de $p$. »
   • ⟹ $2\mid p$.
3. « $2\mid p$ ⟹ $4\mid p^2$ ⟹ $4\mid 2q^2$ ⟹ $2\mid q^2$. » (chaîne écrite au tableau, avec le petit trait vertical = « divise »)
4. « C’est la même histoire qu’avant : si le carré est divisible par 2, le nombre sans le carré était déjà divisible par 2 ⟹ $2\mid q$. »

$$\boxed{2\mid p\text{et}2\mid q}$$

• « En fait, j’ai fait tout ce cirque pour montrer que $p$ et $q$ étaient tous les deux divisibles par 2. C’est ça que je voulais montrer. »

6.5. La contradiction

• « Et là, j’ai ma contradiction. C’était une preuve par l’absurde, il fallait arriver à une contradiction à la fin. »
• « La fraction n’est pas irréductible, puisqu’il y avait encore le facteur 2 en commun. $p$ et $q$ sont tous les deux divisibles par 2, donc dans ma fraction j’aurais encore pu simplifier par 2. Sauf que j’ai supposé qu’elle était irréductible. »

$$\boxed{\text{Contradiction}⟶\nexists \frac{p}{q}\in \mathbb{Q},{\left(\frac{p}{q}\right)}^2=2⟹\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}}$$

• « Quelle est la notation pour dire que quelque chose est contradictoire ? C’est le petit P clair. » → $⋏$ / symbole de contradiction.

6.6. ⚠️ Ce que la preuve montre réellement

• « En fait, ce que cette preuve montre, c’est qu’on pourrait à l’infini toujours simplifier par 2. À chaque fois, $p$ et $q$ sont divisibles par 2, donc on pourrait faire des divisions par 2 à l’infini sans jamais s’arrêter. Mais ce n’est pas possible. »

6.7. Généralisation : toutes les racines

• « On pourrait après enchaîner et faire ça avec tous les autres nombres : $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$ […] je peux montrer que toutes les racines n’appartiennent pas à $\mathbb{Q}$, sauf s’il y a un carré parfait. $\sqrt{4}$ est dans $\mathbb{Q}$, lui, puisque $\sqrt{4}$ ça fait 2. Donc $\sqrt{5}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt{11}$, tout ça, ça ne sera pas dans $\mathbb{Q}$. »
• « Je peux même pousser le bouchon plus loin, mais là ça devient dur à écrire […] la racine cubique de 2 n’est pas dans $\mathbb{Q}$, la racine 5e de 2 non plus. On peut le faire avec toutes les puissances. »

L’idée de la preuve est à chaque fois la même : « On fait une preuve par l’absurde, on écrit ce que ça veut dire, et on montre qu’en fait il y a un facteur commun en haut et en bas, et donc c’est contradictoire. »

• « C’est pour ça que je ne l’ai pas fait. »

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7. Un nombre réel, c’est quoi ? — [00:42:22]

7.1. Les fausses définitions de l’école

Réponse d’un étudiant : « Un nombre qui ne peut pas s’écrire sur une fraction terminée. »

• « Ça ne me dit pas ce que c’est, ça me dit juste ce que ça n’est pas. Mais non, c’est faux en plus, parce que tous les rationnels vont être des réels aussi : $\frac{1}{2}$, ce sera un réel aussi. C’est juste qu’on va en rajouter d’autres en plus. Tout ce qui était dans $\mathbb{Q}$ sera dans $\mathbb{R}$, mais il faudra en rajouter des nouveaux. »

Définition scolaire (« ce que la plupart des profs de secondaire disent ») : « Un réel est un nombre à virgule, un nombre décimal, un nombre à virgule quelconque […] il n’y a aucun critère sur la virgule. »

• « Si on prend une fraction et qu’on l’écrit sous forme décimale, on sait bien que soit ça va s’arrêter quelque part, soit ça va continuer dans les virgules mais ce sera périodique : $\frac{1}{3}=0,3333\dots$, ça se répète. Tandis qu’un nombre réel, on met ce qu’on veut après la virgule. »

7.2. ⚠️ Pourquoi ça ne marche pas : l’addition est impossible

• « Intuitivement c’est vrai, on a envie de se dire : je mets ce que je veux après la virgule, il n’y a pas de limitation. Sauf que ça pose un gros problème. »
• Deux exemples de décimaux « quelconques » : $1,123456789101112\dots$ et $0,2468632\dots$ → « ça aussi c’est un nombre réel, j’ai mis une décimale absolument quelconque ».
• « Si j’ai des nombres réels, j’aimerais quand même bien faire ce que je faisais déjà dans $\mathbb{Q}$, c’est-à-dire les additionner. Je vous le demande : c’est quoi l’addition de ça ? »
• Élève : « On arrondit. »
• « Ah on arrondit, mais on n’aura pas le résultat exact. […] Le calcul écrit, on commence tout à droite et on va vers la gauche. Mais là, je ne peux pas faire ça, puisque ça va à l’infini vers la droite. Je n’ai pas d’algorithme pour additionner deux machins pareils. »

« C’est une très mauvaise définition des nombres réels, parce que je ne sais même pas faire l’addition avec ça. Je conçois que c’est une vision intuitive, et ce n’est pas faux d’avoir ça comme intuition, mais ça ne marche pas pour faire des calculs. »

7.3. L’idée de la vraie définition : un réel est la limite d’une suite de rationnels

• « La vraie définition des nombres réels, elle est à coucher dehors. Elle est extrêmement compliquée. Tellement compliquée que la plupart des gens dans leur vie ne la voient pas alors qu’ils sont diplômés de maths. »
• Exemple directeur : définir $\pi$.
  • « Vous ne pouvez pas le définir avec son développement décimal infini, c’est trop compliqué. Mais ce que vous pourriez dire : comme tu l’as dit, je tronque. Donc je commence à $3$ — ça je connais. Puis $3,1$ — ça je connais aussi, $3,1$ c’est $31$ dixièmes, c’est une fraction, donc un rationnel. Et puis $3,14$ […] $3,141$ etc. J’en rajoute une à chaque fois : je crée une suite, une suite qui va de plus en plus loin. »
  • « Et $\pi$, qu’est-ce qu’on aura envie de dire ? C’est la limite de ce processus. »

« Un réel, c’est la limite d’une suite de rationnels. »

« Je vais le mettre en guillemets, parce que ce n’est pas si simple que ça. »

7.4. ⚠️ Pourquoi cette définition est aussi problématique (le serpent qui se mord la queue)

Problème 1 — l’unicité de la suite :

• « Il n’y en a peut-être pas qu’une seule. Là j’en ai pris une particulière, $3$ ; $3,1$ ; $3,14$ […] j’aurais peut-être pu en construire une autre qui convergeait vers $\pi$ aussi. Donc déjà, il n’y a peut-être pas unicité au niveau de la suite. Il y a peut-être plusieurs suites qui vont aller vers le même réel. Donc il faut réfléchir à comment on fait s’il y en a plusieurs. »
• Objection d’un étudiant : « Comment on sait lequel chiffre on le sent ? » — « À la limite, c’est un problème concret quand on veut faire des calculs. Mais en théorie, on peut admettre qu’il existe une suite de rationnels. »

Problème 2 — le mot « limite » (le vrai problème) :

• « J’ai utilisé le mot limite dans la définition. Et c’est quoi une limite ? […] Pour pouvoir définir ce que c’est qu’une limite, j’ai besoin des nombres réels. La notion de limite se définit à partir des nombres réels. »
• « Donc là c’est vicieux : je suis en train de vouloir définir les nombres réels, et dans la définition j’utilise le mot limite, qui se définit avec les nombres réels. C’est le serpent qui se mord la queue. C’est une définition circulaire. »

Sortie du problème :

• « Qu’est-ce que c’est qu’une limite quand on ne connaît pas encore les nombres réels ? Et en fait, c’est possible. On peut définir une notion de limite où on n’utilise pas $\mathbb{R}$ dedans. Mais ça, c’est compliqué. C’est très long — pas tellement compliqué, ce n’est peut-être pas le bon mot, c’est surtout très long. Je ne vais pas consacrer 4 heures de cours à ça, ce n’est pas raisonnable. »

7.5. Pourquoi on ne donne pas la vraie définition

• « Ce n’est pas grave […] parce que dans les faits, on n’utilise jamais la définition. Ce qu’on utilise, comme dans $\mathbb{Q}$, c’est les propriétés. »
• « Tout ce qu’il faut, c’est connaître la liste des propriétés. Comme dans $\mathbb{Q}$, j’en avais 15. Dans $\mathbb{R}$, je vais devoir lister toutes les propriétés qu’on admet au départ, et puis après on pourra travailler, faire toutes les démonstrations, pas de problème. »

7.6. ⚠️ Réponse à « combien de propriétés de plus ? » → UNE

• « On va en mettre une. Une ! Ça, c’est magique. »

« C’est pour ça que l’analyse, c’est une discipline passionnante […] parce qu’en rajoutant juste un ingrédient en plus, on va tout débloquer. On va pouvoir prouver des tonnes de théorèmes qu’on n’aurait jamais pu prouver dans les rationnels. Et ça va nous ouvrir la voie aux dérivées, aux intégrales, à tout. »

« D’une certaine façon, on peut considérer que ce premier cours, c’est l’étude globale de cette fameuse propriété supplémentaire. »

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8. Maximum, minorant, borne supérieure — [00:53:25]

« Cette propriété supplémentaire de $\mathbb{R}$ est liée à l’ordre, c’est lié au symbole d’inégalité. »

8.1. Maximum et minimum

• « Dire qu’un ensemble admet un maximum, ça veut dire qu’il y a un élément dans l’ensemble qui est plus grand que tous les autres. »
• « Un minimum, c’est pareil : un élément dans l’ensemble qui est plus petit que tout le monde. »
• Exemple : « Si je prenais l’intervalle $[2,3]$ : le minimum c’est $2$, et le max c’est $3$. »

$$\exists \max A:\max A\in A\text{et}\forall x\in A,x\le \max A\exists \min A:\min A\in A\text{et}\forall x\in A,\min A\le x$$

• ⚠️ Unicité du maximum : « Vous êtes d’accord que le maximum est forcément unique ? Il ne peut pas y en avoir deux. Parce que s’il y avait deux maximums, $x$ et $y$ : le $y$ doit être plus grand que le $x$ vu que $y$ est maximum, mais le $x$ devrait être aussi plus grand que $y$ puisque $x$ est maximum. Donc ils devraient être égaux. »
  • → « Ce qui n’est pas unique, par contre, ce sont les majorants. »

8.2. Majorants et minorants

• « Un majorant, c’est n’importe quel nombre qui est plus grand que les éléments de l’ensemble. Un minorant, c’est un nombre qui est plus petit que les éléments. »
• « Il y en a plein. Par exemple, pour l’intervalle $[2,3]$ : des majorants, il y en a des tonnes — 4, 5, 6, 10 000, tout ce que vous voulez. Des minorants : 1, 0, $-5$, $-30000$. »
• ⚠️ « Le majorant n’est pas forcément à l’intérieur de l’ensemble, il peut être extérieur. »

$$\underset{\forall x\in A,x\le a}{\underbrace{a\text{est un majorant de }A}}\underset{\forall x\in A,a\le x}{\underbrace{a\text{est un minorant de }A}}$$

8.3. ⚠️ L’intervalle ouvert : ni maximum, ni « le 3 »

• Question : « Est-ce que cet intervalle-là ]2,3[ admet un maximum ? »
• « On aurait envie de dire que c’est $3$, ou $2,9$, à l’infini. Donc ça ne peut pas être 3, puisque 3 n’est pas dedans. Pour avoir un maximum, il faut être dedans, c’est dans la définition. Donc ici il n’y a pas de maximum, il n’existe pas. »
• Objection : « C’est la limite de $x$ qui tend vers 3. » — « Oui, mais on n’a pas encore vu ce que c’est qu’une limite. Ça viendra plus tard. Ici on va essayer de ne pas être circulaire. »

8.4. La définition de la borne supérieure

• « Mais pourtant, on a quand même envie de dire que le $3$ joue un rôle particulier : 3, c’est un majorant, ça c’est sûr. Et c’est le plus petit possible de l’ensemble : $3$ n’est pas dedans, mais en gros il colle, il est juste contre, c’est celui qui est le plus proche. »

$$\sup A=\min \{a\in E:a\text{ est un majorant de }A\}$$

• « La borne supérieure, c’est le plus petit de tous les majorants, c’est le minimum de l’ensemble des majorants. Et réciproquement, dans l’autre sens, la borne inférieure ce sera le plus grand de tous les minorants. »

8.5. ⚠️ Borne supérieure $\ne$ maximum : la notion est plus souple

Cas	Exemple	$\max$	$\sup$
fermé	$[2,3]$	$3$	$3$ (pareil)
ouvert	$]2,3[$	❌ n’existe pas	$3$ (existe quand même)

• « Il n’y a pas de différence pour l’intervalle fermé, car il est dedans. Mais pour l’intervalle ouvert : pas de maximum, parce que le 3 n’est pas dedans ; mais il y a quand même la borne supérieure, et on continue de dire que c’est $3$. »
• « Il n’y a pas besoin que ce soit dans l’ensemble […] il suffit, entre guillemets, que ça colle l’ensemble juste à droite. C’est plus permissif comme notion, ça existe plus souvent. »

8.6. Le troisième cas : ni max, ni sup (on va à l’infini)

• « Il y a quand même des cas où il n’y a ni l’un ni l’autre. Vous avez une idée d’un ensemble où il n’y aura ni max, ni sup, aucun des deux ? »
• « Oui, voilà : quand on va jusqu’à l’infini. » Pour $]2,+\infty [$ : « le problème c’est qu’il n’y a même pas de majorant […] s’il n’y a pas de majorant, il n’y a pas de borne supérieure non plus. Donc le max n’existe pas, et la sup n’existe pas non plus. »

Les trois cas sont possibles. « Le cas le plus simple, c’est le premier : c’est quand le nombre est dans l’ensemble, parce que là c’est un maximum et c’est réglé. »

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9. ⚠️ Démonstration : $\max A$ existe $⟹\sup A=\max A$ — [00:59:32]

Proposition 1.13 du syllabus. Si $A$ admet un maximum alors $A$ admet une borne supérieure et $\max A=\sup A$. Pareillement pour le minimum.

« On va un peu démontrer ce qu’on vient de dire sur l’exemple […] ça se fait en deux lignes. »

Objectif : « Il faut prouver que la borne supérieure de $A$ existe et que c’est égal à $\max A$. […] Il faut prouver que $\max A$ est le plus petit des majorants. »

Méthode générale annoncée (valable pour toute « borne ») : « Il faut le faire en deux étapes : il faut d’abord prouver que c’est bien un majorant, d’une part ; et puis, une fois qu’on a prouvé que c’est un majorant, il faut prouver que c’est le plus petit d’entre eux. »

9.1. Étape 1 — $\max A$ est un majorant de $A$

• « Déjà, est-ce que c’est évident que $\max A$ est un majorant ? Oui, puisque c’est le max. Il est plus grand que tous ceux de l’ensemble. C’est évident que c’est un majorant, par définition. »

$$\forall x\in A,x\le \max A(\text{deˊfinition du maximum})$$

9.2. Étape 2 — $\max A$ est le plus petit des majorants

• « Mais est-ce que c’est bien le plus petit ? Autrement dit, si je prends un autre majorant de $A$, est-ce que $\max A$ est bien plus petit que celui-là ? Soit $M$ un autre majorant de $A$, quelconque. »

$$\forall x\in A,x\le M(\text{M majorant})$$

• « C’est ça, être un majorant, c’est que je suis plus grand que tous les éléments de l’ensemble. Mais oui, sauf que […] le maximum, le $\max A$, il est dans l’ensemble : c’est ça la différence avec la sup, c’est que le max, il est dedans. »
• « Donc puisque l’inégalité $x\le M$ est vraie pour tous les $x\in A$, en particulier c’est vrai pour $\max A$, puisque $\max A\in A$. »

$$\boxed{\max A\le M}$$

• « Je suis parti d’un majorant $M$ quelconque, et j’ai montré que $\max A$ était plus petit que celui-ci ⟹ $\max A$ est bien le plus petit des majorants ⟹ c’est la $\sup$. »

$$■\max A=\sup A$$

• « Réciproquement non : on peut avoir une $\sup$ mais pas de maximum. »

À retenir : « Si l’élément est dedans, c’est le max et c’est la sup en même temps. Si l’élément n’est pas dedans, là ce ne sera plus le max, mais ce sera peut-être quand même toujours la sup. La notion de sup est plus permissive. »

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10. Pourquoi $\mathbb{R}$ est plus puissant que $\mathbb{Q}$ — [01:04:23]

10.1. Réinterprétation graphique du problème $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$

• « On va revenir à cette idée que $\mathbb{Q}$ n’était pas un ensemble suffisant […] la raison, on avait dit, c’est parce que $\sqrt{2}$ n’est pas dedans. Mais ça, on va maintenant le réinterpréter graphiquement, en termes justement de borne supérieure. »

$$A=\{r\in \mathbb{Q}:r^2<2\}$$

• « Est-ce que vous pouvez m’en citer un nombre rationnel dont le carré est plus petit que 2 ? — 1, par exemple, $1$ au carré est plus petit que $2$. Il y en a d’autres, il y en a plein. »
• « Visuellement, en secondaire, on représenterait ça avec une parabole : il faudrait représenter la parabole $x^2-2=0$. Et les nombres dont le carré est plus petit que 2, c’est tous les nombres ici qui se trouvent à l’intérieur — c’est-à-dire les nombres compris entre $-\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$. »

10.2. ⚠️ Le diagnostic : dans $\mathbb{Q}$, cet ensemble est majoré mais n’admet pas de borne supérieure

• « Est-ce que cet intervalle-là admet une borne supérieure ? Sur le dessin, on a envie de dire que ça se voit : elle est toute à droite, là. On aurait envie de dire qu’ici c’est la $\sup A$. Sauf que ce nombre, c’est quoi, normalement ? L’extrémité droite de cet intervalle, c’est censé être quoi ? $\sqrt{2}$. »
• « Sauf qu’on a dit que $\sqrt{2}$ n’était pas dans $\mathbb{Q}$. Donc si je prends l’intervalle dans $\mathbb{Q}$, il n’y a pas de borne supérieure, parce que s’il y en avait une, ça devrait être $\sqrt{2}$. »

$$\mathbb{Q}:A\text{ est majoreˊ, mais }A\text{ n’admet pas de borne supeˊrieure}$$

• « Mais évidemment, dans $\mathbb{R}$, là, il y en aurait une : ce serait $\sqrt{2}$. »

« Pourquoi est-ce que $\mathbb{R}$ est plus puissant que $\mathbb{Q}$ ? C’est parce que dans $\mathbb{R}$ on a plus de bornes supérieures : celles qui n’existaient pas dans $\mathbb{Q}$, dorénavant, vont exister dans $\mathbb{R}$. C’est super important, c’est le truc essentiel. »

10.3. Le troisième cas revisited : $\mathbb{Q}$ n’a pas de bornes sup

• « On l’avait vu dans le syllabus : l’ensemble majoré mais qui n’admet pas de borne supérieure dans $\mathbb{Q}$ […] c’est caractéristique de son incomplétude. On dit parfois informellement que $\mathbb{Q}$ a des « trous ». L’ensemble $\mathbb{R}$ a vocation à compléter $\mathbb{Q}$ en « remplissant les trous ». »
• ⚠️ « Cependant, nous nous heurtons ici à un problème de taille : l’ensemble $\mathbb{R}$ est extrêmement difficile à définir. Par conséquent, sa définition formelle ne sera pas donnée dans ce cours introductif. En revanche, on peut donner une liste exhaustive de ses propriétés, suffisantes en pratique pour démontrer l’ensemble des résultats de base. »

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11. ⚠️⚠️ La propriété de la borne supérieure — le cœur du cours — [01:07:15]

« On va admettre [le théorème suivant]. C’est le seul truc qu’on va admettre dans ce cours. »

11.1. L’énoncé (Théorème 1.17 du syllabus — Existence de $\mathbb{R}$)

Il existe un unique ensemble $\mathbb{R}\supset \mathbb{Q}$ tel que :

• $\mathbb{R}$ est muni d’une loi d’addition $+$, d’une loi de multiplication $\cdot$ et d’une relation d’ordre $\le$, étendant celles de $\mathbb{Q}$ ;
• $(\mathbb{R},+,\cdot ,\le )$ est un corps ordonné ;
• $\mathbb{R}$ vérifie la propriété de la borne supérieure.

Démonstration : admis.

$$\boxed{\text{Proprieˊteˊ de la borne supeˊrieure :}\text{Toute partie non vide et majoreˊe de }\mathbb{R}\text{ admet une borne supeˊrieure.}}$$ $$\forall A\subset \mathbb{R},A\ne \varnothing \text{et}A\text{majoreˊ}⟹\exists \sup A\in \mathbb{R}$$

• ⚠️ « Je veux que vous encadriez ça dans votre mémoire […] Il faut retenir cette phrase par cœur. »

11.2. Lecture visuelle

• « Représentons $\mathbb{R}$ par une droite. Vous prenez une partie de $\mathbb{R}$ non vide — et une partie de $\mathbb{R}$, ce n’est même pas forcément en un seul morceau, ce n’est pas forcément un intervalle. »
• « Est-ce que cette partie est bien majorée ? Dire qu’elle est majorée, en gros, ça veut dire qu’elle est limitée sur la droite, elle ne va pas jusqu’à $+\infty$. Ici en vert, il y a un majorant. Il y en avait plein, des majorants. »
• « Ce que la propriété vous dit, c’est qu’automatiquement, il y a une borne sup. Et on la voit : elle est tout à droite de l’ensemble, au plus près de l’ensemble. »

« Graphiquement, c’était une évidence. Mais le problème, c’est qu’on ne peut pas faire des preuves sur des dessins. Quand on veut faire des preuves, il faut vraiment des formules manipulables. »

11.3. ⚠️ Les deux conditions à vérifier systématiquement

• « Ça veut dire qu’il faut vérifier deux choses : il faudra vérifier qu’il est non vide — parce que si c’était vide, ce serait quoi la borne supérieure du vide ? Ça n’a pas trop de sens […] on pourrait mettre une convention, mais on va éviter. »
• « Et surtout, c’est ça qui est important : vous devez quand même prouver qu’il est majoré […] que c’est limité sur la droite. »

Protocole d’application de la propriété : (1) $A\ne \varnothing$ ; (2) $A$ majoré ; (3) ⟹ on peut écrire $\sup A$.

• « Gardons ça en tête pour le reste du cours. »

11.4. ⚠️ Pourquoi c’est un changement de philosophie

• « C’est ça qu’on ne vous a pas enseigné en secondaire […] toutes les pseudo-preuves que vous avez faites dans le chapitre sur les limites, les dérivées, les intégrales, les exponentielles, à la fin de ce cours vous comprendrez pourquoi toutes les preuves qu’on a faites avec vous étaient fausses ou incomplètes. C’est parce que le prof vous a caché ce truc-là sur le tapis. »
• « C’est logique, ce n’est pas si facile que ça, donc c’est normal qu’un prof de secondaire ne le voie pas : il n’avait pas l’outil suffisant pour tout démontrer correctement. »

« Ici, on ne va pas faire ça. Ici, on va tout décortiquer rigoureusement et on va tout démontrer comme il faut. »

11.5. Petit programme de l’année

• « Dans cette partie 1 d’analyse, on va faire tout ce qui a trait aux limites : les suites, les séries, les limites de fonction, la continuité, etc. »
• « Et le deuxième cours du second quadri, ce seront les dérivées et les intégrales. Ce qui fait qu’à la fin de l’année vous aurez le topo complet sur l’analyse classique. »

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12. ⚠️ La propriété de la borne inférieure (démo en miroir) — [01:12:22]

« Est-ce que vous êtes d’accord que si j’ai la propriété pour la $\sup$, alors automatiquement je vais l’avoir pour la borne inférieure aussi ? C’est ce qu’on appelle la propriété de la borne inférieure. »

$$\forall A\subset \mathbb{R},A\ne \varnothing \text{et}A\text{minoreˊ}⟹\exists \inf A\in \mathbb{R}$$

12.1. Stratégie : l’effet miroir

« En fait, on peut prouver la borne inférieure à partir de la borne supérieure. Et ce qu’on va faire, c’est une démo en miroir. »

• « Soit $A$ non vide et minoré. Ce que je vais faire, c’est me ramener au cas de la borne sup en faisant un effet miroir. » (dessin : $0$ au centre, $A$ à droite, $B$ à gauche)
• « Je vais prendre l’ensemble miroir de l’autre côté, qu’on appelle souvent $-A$ : je prends l’opposé de tous les nombres qui sont dans $A$. »

$$B=-A=\{-a:a\in A\}$$

• « Comme $A$ était minoré, $B$ lui est majoré. Et $B$ est non vide, puisque $A$ était non vide aussi. Donc $B$ admet une borne supérieure : $\sup B$ existe. »

$$\boxed{\inf A=-\sup B}$$

• « Si vous avez compris, dites-moi qui c’est, la borne inférieure de $A$ ? Moins $\sup B$. »

Note de méthode : « C’est toujours pareil, sur un dessin ça se voit. On comprend ce qui se passe intuitivement sur le dessin, l’effet miroir. Et après, il faut le prouver, c’est-à-dire qu’il faut l’écrire correctement. C’est ça qu’on veut vous apprendre à l’université : c’est de rédiger très rigoureusement. »

12.2. Démonstration complète

Étape 1 — $-\sup B$ est un minorant de $A$.

• « Je prends un élément $a\in A$. Alors je peux l’envoyer dans $B$ : ça veut dire que $-a\in B$, donc $-a\le \sup B$ par définition. Et là je vais renverser les inégalités : $a\ge -\sup B$. »

$$\forall a\in A,a\ge -\sup B⟹-\sup B\text{ est un minorant de }A$$

Étape 2 — c’est le plus grand des minorants.

• « Maintenant, ce qu’il faut encore prouver, c’est que c’est le plus grand de tous les minorants. Donc qu’est-ce que je dois faire ? Je dois prendre un minorant de $A$ quelconque, $m$, et montrer que $-\sup B$ est plus grand que lui. »
• « Si $m$ est un minorant de $A$, ça veut dire que $-m$ est un majorant de $B$ [effet miroir]. Et donc, si c’est un majorant, il est plus grand que le plus petit des majorants : $\sup B\le -m$. »

$$\sup B\le -m⟹-\sup B\ge m$$

• « Moins $\sup B$ est bien le plus grand de tous les minorants, donc c’est l’$\inf A$. »
• « Conclusion : $A$ admet bien une borne inférieure. » $■$

Le carré de fin de démonstration : « Quand la démonstration est terminée, le symbole universitaire pour ceci fait, c’est un petit carré. »

Métacomentaire du prof (à retenir) : « Beaucoup de blabla pour quelque chose qui est absolument évident visuellement […] Mais le truc, c’est qu’au bout d’un certain moment on ne pourra plus faire des dessins quand la situation devient plus compliquée. Et puis surtout, encore pire : parfois il y a des dessins qui sont trompeurs. Donc il faut s’habituer à faire des preuves formelles, même si un dessin aide à la réflexion. »

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13. ⚠️ Définir les racines avec la borne supérieure — [01:19:49]

« Voilà, je vais passer vite là-dessus. Maintenant, grâce à ça, on peut définir toutes les racines : racines carrées, racines troisièmes, racines cinquièmes, toutes les racines qu’on veut. »

13.1. La définition de $\sqrt{x}$

• « De la même façon que ce que j’ai fait tantôt sur le dessin : j’avais pris l’intérieur de ce qu’il y avait dans la parabole, et la racine c’était celui qui était tout à droite — c’était la borne supérieure. »

$$\text{On consideˋre l’ensemble des }y\ge 0\text{ tels que }{y}^2<x,\boxed{\sqrt{x}=\sup \{y\ge 0:y^2<x\}}$$

• « Et ça, en secondaire, on ne vous a pas défini proprement ce que c’était une racine : on vous a dit on va admettre qu’il existe un nombre dont le carré fait $x$, on va l’appeler racine de $x$. On admet. On ne vous a jamais donné la vraie construction. C’est logique : la construction fait appel à la borne supérieure, c’est pour ça que c’est possible que dans $\mathbb{R}$. »

13.2. Vérification que la définition a du sens

• « Est-ce que ça existe ? Il faut le vérifier. Pour vérifier qu’elle existe et que ça a du sens comme définition, il faut vérifier quoi ? Que c’est non vide et que c’est majoré. »
• ⚠️ Hypothèse : « Évidemment, j’ai oublié de le dire : ça n’a de sens que pour les $x$ positifs. Avec les racines cubiques, il n’y aurait pas besoin de la condition $x$ positive. »

Attention à la notation exacte : l’ensemble considéré est $\{y\ge 0:y^2\le x\}$ dans la version définitive du syllabus (Prop. 1.19) — avec $x+1$ comme majorant. Le prof le formule verbalement avec « $y^2$ plus petit que $x$ ».

(a) Non-vidité

• « Pour montrer que c’est non vide, il suffit de montrer un élément dedans. »
• ❌ Élève : « 3 ? Est-ce que $3$ au carré est plus petit que $x$ ? » — « Ah mais je pense que c’est pour ça qu’il y a un problème […] parce que $x$ pourrait être égal à 0. Si $x=0$, le seul $y$ qui tombe bien, c’est… $-1$ ? Ah non, parce que si $y=-1$, $y^2$ va faire $1$, et je n’ai pas la garantie que $1<x$, parce que $x$ peut être égal à $1,5$ par exemple. »

$$\boxed{0\in A\text{car}{0}^2=0<x}$$

• « $0$ est dedans, je suis sûr à 100 % qu’il est dedans, parce que $0^2$ est forcément plus petit que $x$ — puisque $x$ est supposé positif. C’est pour ça que j’ai besoin de le supposer positif. Donc $A$ est non vide. »

(b) Majoration

• « Est-ce que vous voyez un nombre qui est plus grand que tous les $y$ là-dedans ? Ne vous laissez pas avoir. Certains ont pensé : ben $x$, c’est mis dans l’ensemble, $x$ est plus grand. Mais non : $x$ est plus grand que $y^2$, et moi ce que je veux, c’est trouver un majorant de tous les $y$, pas des $y^2$. »
• ⚠️ Piège circulaire : « Vous pourriez dire : si $x>y^2$, c’est que $\sqrt{x}>y$. Mais ça, je n’ai pas le droit, puisque je suis en train de définir la racine carrée. Je ne peux pas l’utiliser dans la définition. »

Discussion des deux cas :

• « De deux choses l’une : il y a deux possibilités pour le $y$ […] soit le $y$ est compris entre $0$ et $1$, soit le $y$ est plus grand que $1$. »
  • Cas 1 : « Si $y$ est compris entre $0$ et $1$, $1$ est un majorant. C’est ça qui est évident. »
  • Cas 2 : « Si $y>1$, alors je peux multiplier par $y$ des deux côtés […] ça va me donner $y<y^2$, et $y^2<x$ par l’appartenance à l’ensemble. Donc $x$ est un majorant. »

$$\{\begin{array}{ll}y\in [0,1]& \Rightarrow 1\text{ est un majorant}\\ y>1& \Rightarrow x\text{ est un majorant}\end{array}$$

• « Sauf que moi, je ne peux pas faire des cas séparés. Il faut que je trouve un majorant global de tout l’ensemble d’un coup […] un nombre qui est simultanément plus grand que $1$ et que $x$. »

$$\boxed{M=x+1\text{est un majorant de }A}$$

• « $x+1$ est à la fois plus grand que $x$ et que $1$, donc il majore tout. On a bien prouvé que cet ensemble est non vide, et qu’il admet un majorant. Donc, vu la propriété fondamentale de $\mathbb{R}$, il admet bien une borne supérieure ⟹ je peux définir $\sqrt{x}$ comme étant cette fameuse borne supérieure. »

13.3. ⚠️ Ce qu’il reste à vérifier (et pourquoi il n’est pas exigé)

• « Ce qu’il faudrait encore vérifier, c’est que ce $\sqrt{x}$ ainsi défini a bien la propriété qu’on veut qu’il ait, c’est-à-dire que quand on l’élève au carré, ça redonne $x$. Sinon la définition n’a aucun intérêt. »
• « Je ne vais pas le faire parce que je manque un peu de temps, mais c’est fait dans les notes. Ce que je ne démontre pas au cours, je ne le demande pas à l’examen non plus. »
• « C’est beaucoup plus calculatoire qu’on ne peut le penser. C’est vraiment pour ça que les profs de secondaire ne le feront pas. »

La preuve du syllabus (Prop. 1.19) donne la construction complète : $A=\{t\ge 0:t^2\le x\}$ est non vide (il contient $0$) et majoré par $x+1$ ; le même raisonnement que la Prop. 1.16 montre que $y^2>x$ et $y^2<x$ mènent tous deux à une contradiction, donc $y^2=x$. Unicité : $y_1^2-y_2^2=0\Rightarrow (y_1-y_2)(y_1+y_2)=0$, le second facteur ne s’annulant jamais sauf si $y_1=y_2=0$.

13.4. Généralisation aux racines n-ièmes

• « Si je voulais faire la racine quatrième, dans la définition je remplace $y^2$ par $y^4$ ; et si je veux la racine n-ième, je remplace par $y^n$. Il suffit de remplacer l’exposant. Donc elles se définissent toutes comme ça, c’est très facile. »

$$\sqrt[n]{x}=\sup \{y\ge 0:y^n<x\}$$

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14. ⚠️ Croissance des puissances et des racines — [01:28:56]

« J’arrive à ce que je devais absolument faire pour aujourd’hui. »

Énoncé : « Si on travaille avec $u$ et $v$ positifs, si $u<v$ : est-ce que vous êtes d’accord que ça implique que $u^2<v^2$ ? Et pour les racines aussi, $\sqrt{u}<\sqrt{v}$ ? »

⚠️ Attention à la distinction : « Il faut faire la distinction entre les paires et les impaires. Parce que si on travaille avec des racines paires (racine carrée, quatrième, sixième), les nombres en dessous doivent être positifs, sinon ça n’a pas de sens. Si on travaille avec les racines impaires (racine cubique, cinquième), là il n’y a pas de condition d’existence : $u$ et $v$ peuvent être absolument quelconques. »

14.1. Démonstration pour le carré (cas $u<v$, $u,v>0$)

• « Avec les carrés c’est facile : on utilise les fameuses propriétés avec la multiplication. On peut multiplier à gauche et à droite par un positif, et ça ne change pas l’ordre. »

$$u<v\underset{\times u>0}{⟹}{u}^2<uvu<v\underset{\times v>0}{⟹}uv<v^2$$

• « Et donc maintenant, on juxtapose ces deux lignes […] qu’est-ce que je peux en conclure ? La transitivité. Le premier est plus petit que le deuxième, le deuxième est plus petit que le troisième, donc au final le premier est plus petit que le troisième. »

$$u^2<uv<v^2⟹\boxed{u^2<v^2}$$

• « Ça, c’est vrai dans $\mathbb{Q}$ : là, je n’ai pas utilisé la borne supérieure, je n’ai pas utilisé la racine carrée. »

14.2. Démonstration pour la racine (par l’absurde)

• « Par contre, si je passe aux racines, il faut prouver que $\sqrt{u}$ est strictement plus petit que $\sqrt{v}$. Autrement dit, on prouve que la fonction $\sqrt{\cdot }$ est croissante : elle préserve le sens des inégalités. »

Faites-le par l’absurde. « Supposez que ce ne soit pas le cas. Si ce n’est pas le cas, c’est que ça va dans l’autre sens : $\sqrt{v}\le \sqrt{u}$. »

• « Mais le problème, c’est que si ça va dans l’autre sens, en utilisant la propriété démontrée juste avant, quand je l’élève au carré, ça conserve l’inégalité. Donc si j’élève au carré des deux côtés, j’obtiens $v<u$. Sauf que ça, c’est contradictoire, parce qu’on a supposé que $u<v$ au départ. »

$$v<u\text{contredit}u<v$$ $$■\boxed{u<v⟹\sqrt{u}<\sqrt{v}}$$

• « La propriété qu’on utilise là sans le dire, c’est ce que j’ai appelé tantôt la totalité : si le deuxième n’est pas plus grand que le premier, alors c’est forcément que ça allait dans l’autre sens, parce que c’est forcément l’un des deux sens. »

• « Beaucoup de chipoterie pour des trucs très basiques qu’on connaît depuis très longtemps. Mais vous pouvez faire comme d’habitude : avec les puissances et les racines, on peut les mettre dans les inégalités, et ça reste dans le même sens, à condition de travailler avec des nombres positifs. »

Proposition 1.22 du syllabus (version complète) : pour $n$ pair, $u<v$ et $u,v>0$ ⟹ $u^n<v^n$ et $\sqrt[n]{u}<\sqrt[n]{v}$ ; pour $n$ impair, même conclusion sans condition de positivité. Démonstration : « même raisonnement que dans le cas $n=2$ ».

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15. ⚠️⚠️ Le critère en $\epsilon$ — « la ligne directrice du cours » — [01:33:48]

« Comment est-ce qu’on fait, en toute généralité, pour déterminer la borne supérieure d’un ensemble ? Sur un dessin, vous allez me dire, ça se voit. Mais s’il n’y a pas de dessin, comment je fais pour déterminer combien vaut la borne supérieure ? J’ai besoin d’avoir un critère théorique puissant que je peux appliquer dans les exercices. »

« Donc ça, c’est l’outil le plus important du chapitre 1. »

15.1. L’intuition

• Dessin : $A$ colorié, borne sup $M$ tout à droite, « au plus près ».
• « Autrement dit, dès que je le décale un tout petit peu en arrière, plouf, il rentre dans l’ensemble […] si je prends $M$ et que je lui soustrais un petit quelque chose, aussi petit que je veux — je peux lui soustraire $0,00001$ — il passe dans l’ensemble. »

15.2. L’énoncé (Proposition 1.23 du syllabus)

$$\boxed{\forall M\text{ majorant de }A,M=\sup A⟺\forall \epsilon >0\exists x\in A:M-\epsilon <x}$$

• « C’est une équivalence, c’est très fort, ça va dans les deux sens. »

« Pour tout $\epsilon$, il existe $x\in A$ tel que $M-\epsilon$ est plus petit que $x$. »

« Évidemment, on suppose que $M$ est déjà un majorant de l’ensemble. Ça, c’est quand même mis dans les hypothèses. Mais si on veut vérifier que c’est bien le plus petit des majorants, il suffit de faire ça. »

• « C’est littéralement ce que j’ai dessiné là : dès que vous retirez $\epsilon$, il passe dedans […] et du coup je peux trouver de nouveaux nombres $x$ plus grands intercalés entre $M-\epsilon$ et $M$. »

15.3. Le mode d’emploi dans les exercices

• « Comment est-ce que ça fonctionne, la preuve ? Chaque fois que je vous donne un $\epsilon$, vous devez, en réponse, me construire le $x$ qui convient. »
• « Puisque c’est « pour tout $\epsilon$, il existe $x$ » : chaque fois qu’on prend un $\epsilon$ quelconque, il faut pouvoir fabriquer le $x$ qui convient, qui est plus grand que $M-\epsilon$. »

Réflexe d’examen : « Quand vous voudrez montrer que quelque chose est la borne supérieure, vous ferez le petit critère avec le $\epsilon$. »

15.4. Le cas de la borne inférieure

• « Pour la borne $f$, vous avez compris, c’est dans l’autre sens : dire qu’on a la borne $f$, ça veut dire que chaque fois qu’on rajoute un petit $\epsilon$, on rentre dans l’ensemble et on devient plus grand qu’un $x$ qui est dedans. »

$$\forall m\text{ minorant de }A,m=\inf A⟺\forall \epsilon >0\exists x\in A:x<m+\epsilon$$

• « C’est un si et seulement si, donc il faut faire la démonstration dans les deux sens. »

15.5. ⚠️ Démonstration complète du $⟺$

« C’est, je pense, la première vraie preuve : tout ce qu’on a fait avant, c’était un petit peu rapide, un petit peu de la blague. Ça, c’est la première vraie preuve du cours. Pour les physiciens, je pense que ce sera la première question d’examen, en théorie. »

Sens 1 (le sens facile) — $\sup A=M$ ⟹ critère

• « Je vais faire le sens facile d’abord : supposons que $M$ est la $\sup$ de $A$. Soit $\epsilon >0$, absolument quelconque. Et je dois réussir à fabriquer le petit $x$ qui est plus grand que $M-\epsilon$. »
• « Qu’est-ce qu’on peut savoir sur $M-\epsilon$ ? $M$ c’était le plus petit des majorants. Ce machin-là est encore plus petit. Donc ça ne peut pas être un majorant. Sinon ça voudrait dire que $M$ n’est pas le plus petit. »

$$\boxed{M-\epsilon \text{n’est pas un majorant de }A}$$

• « Maintenant il faut retraduire en formule ce que ça veut dire, ne pas être un majorant. C’est de la logique élémentaire : être un majorant, c’est être plus grand que tout le monde dans l’ensemble. Du coup, si je ne suis pas un majorant, c’est qu’il existe au moins un élément dans l’ensemble qui est plus grand que moi. »

$$\exists x\in A:M-\epsilon <x■$$

Sens 2 (le sens compliqué) — critère ⟹ $\sup A=M$, par l’absurde

• « Maintenant supposons qu’on a la propriété en $\epsilon$ : $\forall \epsilon >0,\exists x\in A,M-\epsilon <x$. Ça, maintenant, devient mon hypothèse. Et ce que je veux prouver, c’est que $M$ est le plus petit des majorants. »
• « C’est toujours la même histoire : il faut que je prenne un majorant $M^{\prime }$ quelconque et il faut que je prouve que $M$ est plus petit que lui. »

$$\forall x\in A,x\le M^{\prime }$$

« Bon, c’est comme toujours avec cette preuve-là. Vous avez compris, c’est déjà la troisième fois aujourd’hui : ce sont des trucs par l’absurde. En fait en analyse on fait énormément de preuves par l’absurde, parce que visuellement c’est compliqué de comprendre ce qui se passe. Donc ce qu’on fait, c’est qu’on suppose le contraire et on montre que ça mène à des absurdités. »

• Hypothèse de l’absurde : « Supposons que c’est $M^{\prime }$ qui est strictement plus petit que $M$ : $M^{\prime }<M$. On va montrer que ça mène à une contradiction. »

$$M-M^{\prime }>0$$

• « Maintenant il faut que j’utilise mon hypothèse. C’est quoi l’hypothèse ? Quel que soit le $\epsilon >0$, il existe $x$ tel que machin. Quel que soit. Donc je peux prendre n’importe quel $\epsilon >0$. Ça tombe bien, je viens de construire un truc plus grand que 0, donc j’ai tout à fait le droit de considérer ceci comme étant un $\epsilon$. »

$$\epsilon :=M-M^{\prime }>0$$

• « D’après l’hypothèse, il existe $x\in A$ tel que $M-\epsilon <x$. Et comme j’ai pris $\epsilon =M-M^{\prime }$ : »

$$M-(M-M^{\prime })<x⟹\boxed{M^{\prime }<x}$$

• « Je peux simplifier […] si je distribue le moins dans la parenthèse, qu’est-ce qu’il me reste à la fin ? Il me reste $M^{\prime }$ : les deux $M$ vont se tuer. »

$$\underset{=M^{\prime }}{\underbrace{M-M+M^{\prime }}}<x$$

• ⚠️ « Voilà ma contradiction. Pourquoi c’est contradictoire ? Parce que $M^{\prime }$ était supposé être un majorant, donc censé être plus grand que tous les éléments de l’ensemble. Mais là je viens de montrer qu’il était plus petit que l’un d’entre eux. Donc c’est contradictoire avec le fait que $M^{\prime }$ est majorant. »

$$■\boxed{\forall M^{\prime }\text{ majorant de }A,M\le M^{\prime }⟹M=\sup A}$$

• « On a prouvé par l’absurde qu’il ne pouvait pas y avoir de $M^{\prime }$ plus petit que $M$, donc $M$ est bien le plus petit des majorants ⟹ c’était bien la borne supérieure. »

15.6. ⚠️ Le « pour tout $\epsilon$ » est la ligne directrice du cours

• « C’était la première vraie preuve du cours où on utilise le fameux “pour tout $\epsilon$”. Ceux qui ont déjà suivi le cours l’année dernière savent que le “pour tout $\epsilon$” c’est la ligne directrice du cours. »
• « Si vous vous rappelez la définition de limite que vous avez peut-être vue en secondaire, il y avait aussi un “pour tout $\epsilon$”, non ? Avec « pour tout $\epsilon$, il existe $N$ tel que […] ». Ben voilà, on y reviendra. »

15.7. Conséquence pour le TP 1

• « Quand vous allez à votre première séance de TP, il ne faut pas connaître grand-chose : vous allez travailler sur les bornes sup et les bornes $f$. »
• « Ce qu’il faut connaître, c’est la propriété fondamentale, et ce qu’il faut surtout, c’est le critère en $\epsilon$. Parce que ça, c’est ce que vous allez utiliser pour résoudre les exercices. »

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16. Notation des intervalles — [01:46:33]

« Je vous rappelle vite fait les notations pour les intervalles. Je vais aller vite dessus, vous les connaissez. »

16.1. Convention d’ouverture et de fermeture

• « Si l’égalité est non stricte, on ferme l’intervalle. Si l’égalité est stricte, on ouvre l’intervalle. Et en l’infini, on l’ouvre toujours. C’est une convention : quand il y a l’infini, on ouvre le crochet. »

$$\text{non strict }(\le )\Rightarrow \text{crochet fermeˊ }[\text{strict }(<)\Rightarrow \text{crochet ouvert }]$$

16.2. Classement des huit intervalles (Définition 1.24 du syllabus)

$$[a,b],]a,b],[a,b[,]a,b[,[a,+\infty [,]a,+\infty [,]-\infty ,b],]-\infty ,b[$$

• « Les intervalles fermés, c’est ceux où tous les nombres ont des crochets fermés. On ne regarde pas l’infini, ça ne compte pas, on ne regarde que les nombres. »
• Conventions finales (à retenir, elles sont contre-intuitives) :
  • « Et alors c’est bizarre, mais du coup $\mathbb{R}$ tout entier $]-\infty ,+\infty [$ est considéré comme fermé. »
  • « Et c’est bizarre aussi, mais $\mathbb{R}$ on considère qu’il est ouvert aussi : le $\mathbb{R}$ il est ouvert et fermé en même même. Ce sont des conventions, vous comprendrez plus tard pourquoi elles ont du sens. »
  • « Les deux du milieu, où il y en a un qui est ouvert et l’autre qui est fermé, on dit qu’ils sont semi-ouverts (ou semi-fermés). »

16.3. ⚠️ Bornes sup/inf des intervalles (Proposition 1.25)

$$\forall a<b,\sup [a,b]=\sup ]a,b]=\sup [a,b[=\sup ]a,b[=\sup ]-\infty ,b]=\sup ]-\infty ,b[=b$$ $$\inf [a,b]=\inf ]a,b]=\inf [a,b[=\inf ]a,b[=\inf [a,+\infty [=\inf ]a,+\infty [=a$$

• « Sans aucun mystère : les bornes sup et inf des intervalles, c’est facile. L’extrémité droite ⟹ la borne supérieure, c’est $b$ — « qu’il soit ouvert ou fermé, peu importe, ça peut même aller jusqu’à $-\infty$ à gauche ». Dans l’autre sens ⟹ la borne inférieure, c’est $a$ — « ou bien $]a,+\infty [$, peu importe que vous ouvriez ou que vous fermiez ». »

⚠️ Attention — ne pas confondre avec $\max /\min$ : « Si on s’intéressait aux max et aux mins, là, on l’a vu : ça n’existe que si c’est fermé. Donc si vous voulez des max ou des mins, il faut que les crochets soient fermés. Mais qu’ils soient ouverts ou fermés, la $\sup$ et l’$inf$, c’est la même chose. Ça ne change rien. »

16.4. Le mot « borné »

• « Il y a un dernier mot de vocabulaire important : borné. Ça veut dire qu’il n’y a pas l’infini dedans : il est borné à gauche et à droite, il est bien délimité. »

« Ceux qui sont bornés, ce sont les quatre premiers. »

$$\text{borneˊ}⟺\text{ni }+\infty \text{ ni }-\infty \text{ n’intervient}⟺\text{majoreˊ ET minoreˊ}$$

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17. Opérations sur les ensembles et exercices du TP — [01:49:35]

« Je vais vous quitter sur le premier gros exercice que vous ferez en TP. Quand on a des ensembles de nombres réels, on peut définir de nouveaux ensembles à partir d’eux. »

17.1. Les quatre opérations (Définition 1.26)

$$-A=\{-a:a\in A\}A+B=\{x+y:x\in A,y\in B\}$$ $$A\cdot B=\{x\cdot y:x\in A,y\in B\}cA=\{c\cdot a:a\in A\}$$

• « Celui qu’on a déjà vu tantôt, c’est le troisième : c’est l’ensemble miroir. Si j’ai un ensemble $A$, je peux définir $-A$ qui est l’opposé de tous les nombres dans $A$. »
• « Je peux aussi définir, même si ça a l’air bizarre, la somme et le produit de deux ensembles : c’est toutes les combinaisons possibles d’addition que je peux faire avec un élément du premier et un élément du deuxième. »

17.2. ⚠️ L’exemple $[2,3]+[4,5]$ — l’erreur d’intuition à traquer

• Question : « Si je prends l’intervalle de 2 à 3 et que je l’additionne avec l’intervalle de 4 à 5, ça donne quoi à l’arrivée ? »
• ❌ Élève : « De 2 à 10 » / « De 2 à… » — « Non, parce que par exemple 3 est dans le premier, 5 est dans le deuxième : si je fais $3+5$, ça fait 8, donc il faut que $8$ soit dans l’ensemble d’arrivée. »

$$[2,3]+[4,5]=[6,8]$$

• « Puisque au départ c’est plus grand que 2 et l’autre plus grand que 4 ⟹ forcément plus grand que $6$. Et réciproquement c’est plus petit que 3 et plus petit que 5 ⟹ forcément plus petit que $8$. »

17.3. La conjecture : $\sup (A+B)=\sup A+\sup B$

• « La borne supérieure de la somme, ici, c’est 8 ⟹ c’est la somme des bornes supérieures (car $8=3+5$). »
• « C’est le genre de propriété qui a l’air évident, mais qui doit se démontrer. Et comment est-ce qu’on démontre ça ? Typiquement, avec le fameux critère en $\epsilon$ qu’on a vu juste avant. C’est le fameux critère en $\epsilon$ qui vous servira à faire toutes les preuves à partir de maintenant. Ça, c’est très pratique. »

17.4. La liste d’exercices du TP 1

#	Propriété à démontrer	Commentaire du prof
1	$A\subset B\Rightarrow \sup A\le \sup B$ (et $\inf B\le \inf A$)	« Évident sur un dessin […] on fait $A$ en vert, $B$ plus gros […] c’est évident puisque $B$ va plus à droite. Mais il faut le démontrer. »
3	$\sup (A+B)=\sup A+\sup B$	avec le critère en $\epsilon$
4	$\sup (A\cdot B)=\sup A\cdot \sup B$	⚠️ « Là il faut faire attention, il faut des nombres positifs. »
5	$\inf (-A)=-\sup A$	« On l’a déjà dit tout à l’heure, c’était l’effet miroir. »

• « L’assistant va en faire deux et vous laissera faire les autres à domicile. […] Ce seront les exercices qu’il faut typiquement savoir faire pour bien s’entraîner à utiliser le critère en $\epsilon$. »

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Points clés — [résumé]

• L’analyse = étude de $\mathbb{R}$. $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$ ; les rappels portent sur $\mathbb{Q}$ car « $\mathbb{R}$ est fondamentalement construit à partir de $\mathbb{Q}$ ».
• Rappel $\mathbb{Q}$ : $\frac{A}{B}$ avec $A\in \mathbb{Z}$, $B\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$ ; identification par produit croisé ($AD=BC$) ; ⚠️ comparer deux fractions = tout passer du même côté, simplifier, lire le signe.
• Les 9 propriétés (→ champ, = corps commutatif en France) : addition (commut., assoc., neutre $0$, opposé) ; produit (commut., assoc., neutre $1$, existence d’un inverse) ; distributivité. L’algèbre s’arrête là : « il n’y a même pas les inégalités ».
• Les propriétés 10-15 : 10 réflexivité ; 11 ⚠️ antisymétrie (→ preuve par double inégalité) ; 12 transitivité (→ 10+11+12 = un ordre) ; 13 ⚠️ totalité (propre à $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ — et pas à tous les ordres) ; 14 compatibilité avec $+$ ; 15 compatibilité avec $\times$ (⚠️ le signe de $t$ change le sens, et $t=0$ est accepté car $0\le 0$). → $\mathbb{Q}$ est un champ ordonné (15 propriétés).
• Intégrité : $r\times s=0\Rightarrow r=0$ ou $s=0$. Preuve par cas (si $s\ne 0$, multiplier par $s^{-1}$), mais admet $0$ absorbant — qui est lui-même démontré après par l’astuce $\mathbf{x}\times 0=\mathbf{x}\times (0+0)=\mathbf{x}\times 0+\mathbf{x}\times 0$ puis simplification du terme commun.
• $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$ : absurde + fraction irréductible ⟹ $2\mid p^2\Rightarrow 2\mid p$ ⟹ $4\mid p^2=2q^2\Rightarrow 2\mid q^2\Rightarrow 2\mid q$ ⟹ contradiction (la fraction était irréductible). « Ce que la preuve montre vraiment : on pourrait simplifier par 2 à l’infini ». Même idée pour $\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{n}$.
• Définitions de $\mathbb{R}$ : « nombre à virgule quelconque » refusée (impossible d’additionner : le calcul écrit part de la droite, or c’est infini) ; « limite d’une suite de rationnels » = l’idée, mais circulaire (la limite se définit avec $\mathbb{R}$). ⟹ on ne donne pas la définition, on donne la liste des propriétés. Et une seule en plus : « c’est magique ».
• Maximum / minorant : $\max A$ exige $\max A\in A$ ⟹ unique. Majorants et minorants sont externes possibles et en nombre infini. Borne supérieure $=\min (\text{majorants})$, borne inférieure $=\max (\text{minorants})$ — notions plus souples que $\max /\min$ car pas besoin d’appartenir à $A$.
• Les 3 cas : (1) l’exposant est dedans ⟹ c’est à la fois $\max$ et $\sup$ ; (2) ouvert ⟹ pas de $\max$ mais $\sup$ existe quand même ; (3) jusqu’à l’infini ⟹ ni majorant, donc ni $\max$ ni $\sup$.
• Proposition 1.13 : $\max A$ existe $\Rightarrow \sup A=\max A$. Preuve en 2 étapes : $\max A$ est un majorant (définition), puis $\max A\le M$ pour tout majorant $M$ (parce que $\max A\in A$). ⚠️ La réciproque est fausse (Prop. 1.14 : il faut $\sup A\in A$).
• Pourquoi $\mathbb{R}$ est plus puissant : $A=\{r\in \mathbb{Q}:r^2<2\}$ est majoré mais n’admet pas de borne supérieure dans $\mathbb{Q}$ (Prop. 1.16) — « $\mathbb{Q}$ a des trous ». $\mathbb{R}$ comble ces trous. C’est LA différence, et un seul ingrédient supplémentaire suffit.
• Théorème 1.17 (Existence de $\mathbb{R}$) — le seul chose admise du cours : $\mathbb{R}\supset \mathbb{Q}$, corps ordonné, et toute partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$ admet une borne supérieure. À appliquer en vérifiant systématiquement (1) $A\ne \varnothing$, (2) $A$ majoré.
• Proposition 1.18 : $\inf A=-\sup (-A)$, démontré « en miroir » (2 étapes : minorant, puis le plus grand des minorants). « Beaucoup de blabla pour quelque chose d’absolument évident visuellement […] mais on ne pourra plus faire de dessins, et parfois les dessins sont trompeurs ».
• Racines : $\sqrt{x}=\sup \{y\ge 0:y^2<x\}$. Vérification : non vide grâce à $0$ (« c’est pour ça que j’ai besoin de $x>0$ ») ; majoré par $x+1$ (⚠️ $x$ n’est PAS un majorant, et on ne peut pas utiliser la racine qu’on est en train de définir). Le $(\sqrt{x}{)}^2=x$ est dans les notes, pas exigé à l’examen.
• Croissance : $0<u<v\Rightarrow u^2<v^2$ par transitivité ($u^2<uv<v^2$) — vrai dans $\mathbb{Q}$ ; $\sqrt{u}<\sqrt{v}$ par l’absurde (sinon $v<u$ en élevant au carré) + totalité. ⚠️ Racines paires ⟹ $u,v>0$ obligatoires ; racines impaires ⟹ aucune condition.
• ⚠️ Critère en $\epsilon$ (Prop. 1.23) — « l’outil le plus important du chapitre 1 » : $M=\sup A⟺\forall \epsilon >0\exists x\in A,M-\epsilon <x$ (avec $M$ déjà majorant). Sens 1 facile (« $M-\epsilon$ n’est pas un majorant ⟹ il existe $x>M-\epsilon$ ») ; sens 2 par l’absurde (prendre $\epsilon =M-M^{\prime }$ ⟹ $M^{\prime }<x$, contredit « $M^{\prime }$ majorant »). Version inf : $m=\inf A⟺\forall \epsilon >0\exists x\in A,x<m+\epsilon$. C’est la première question d’examen en théorie pour les physiciens.
• Intervalles : $\le$ ⟹ crochet fermé, $<$ ⟹ crochet ouvert, $\pm \infty$ ⟹ toujours ouvert ; $\mathbb{R}=]-\infty ,+\infty [$ est ouvert et fermé (convention) ; borné = pas de $\pm \infty$ = majoré et minoré. $\sup$ / $\inf$ des intervalles = extrémité droite / gauche que les crochets soient ouverts ou fermés ; en revanche $\max /\min$ n’existent que si c’est fermé.
• Opérations sur ensembles (Prop. 1.27, à démontrer au TP avec le critère en $\epsilon$) : $A\subset B\Rightarrow \sup A\le \sup B$ ; $\sup (A\cup B)=\max (\sup A,\sup B)$ ; $\sup (A+B)=\sup A+\sup B$ ; $\sup (-A)=-\inf A$ ; pour le produit, il faut des nombres positifs.

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Doutes / à vérifier

• ⚠️ [00:00:00 – 00:00:13] Auto-présentation tronquée : la transcription automatique ne restitue rien avant 00:00:13 (les 13 premières secondes). Le contenu des §1.1 vient de la transcription antérieure du même audio (AR 1 - 1_v1.srt), dont le début donnait : « Je me présente, je suis le prof d’analyse cette année / je suis le professeur [agrégé] en [mathématiques] / je suis [titulaire] de mes recherches en analyse / et je remplace M. Wreckin qui est parti à la pension ». Les formulations « agrégé » et « titulaire » sont reconstituées (les deux transcriptions divergeaient : « mathématicien fondamental en expérience » vs « professeur agrégé »). À vérifier sur l’audio. Le syllabus confirme le nom du titulaire : Christophe Dubussy.
• ⚠️ [01:39] Format du syllabus en ligne : « Et il est en ligne sur votre campus, si vous [le] voulez en PDF » — les deux transcriptions divergent (« en PDR rapidement » / « en payer gratuitement ») ; la lecture phonétique rend « en PDF » quasi certaine. Sans conséquence sur le contenu.
• ⚠️ [01:12] Expression argotique non transcrite : « Le cours d’analyse, c’est toujours ce qu’on appelait avant le cours à fête / cours à fait » — les deux transcriptions divergaient et le terme n’est pas reconstitué de façon fiable. À ne pas citer ni reprendre dans les flashcards : l’idée à retenir est seulement qu’il s’agit d’un synonyme familier de « cours d’analyse ».
• ⚠️ [11:45 – 11:49] Prénom de la collègue : « Anne-Sophie Libère / Liber » — la transcription ne tranche pas. À vérifier (elle donne le cours d’initiation à la démarche mathématique, avec les rappels sur $\mathbb{N}$).
• ⚠️ [17:53] Interlocuteur cité : « M. Moroy » a dit « vous travaillerez tout le temps avec des champs » — nom de l’enseignant d’algèbre, à vérifier sur l’horaire officiel.
• ⚠️ [42:24 – 42:47] Faux propos de l’étudiant : « Un nombre qui ne peut pas s’écrire sur une fraction terminée » puis « Ça ne me dit pas ce que c’est, ça me dit juste ce que ça… » — la fin de la phrase est coupée par une coupure VAD (13 s sans transcription) ; la rectification du prof (« c’est faux, parce que tous les rationnels sont des réels aussi ») est en revanche parfaitement claire.
• ⚠️ [42:42 / 45:10] Décimaux d’exemple : le prof écrit « $1,1234567891011\dots$ » puis « je ne mets que les nombres pairs » et lit « $0,2468632\dots$ ». Incohérence dans la transcription : la suite lue (« 0, 2, 4, 6, 8, 6, 3, 2 ») ne contient pas que des pairs. À vérifier sur le tableau.
• ⚠️ [48:29 – 48:38] « Comment on sait lequel chiffre on le sent ? » :(student) puis « Il y a un problème si la suite est équivalente » (prof). Le mot « équivalente » est peut-être une approximation d’un terme plus précis ; non conservé.
• ⚠️ [84:38 – 85:28] Zone muette / reconstruction : au moment de démontrer la majoration, il y a ~30 s sans transcription cohérente ([084:57] → [085:28]) — le prof semble répéter son énoncé. La version retenue combine les deux formulations (cas « $y\in [0,1]$ » et « $y>1$ »), qui est mathématiquement la seule correcte.
• ⚠️ [84:38 – 86:58] Ordre des cas, énoncés dans le désordre : l’audio enchaîne les cas sans les ordonner — d’abord « $x$ il peut être plus grand que 1 ou plus petit que 1 […] c’est égal à 1, et ça donne quoi du coup ? » ([084:26] → [084:44]), puis, après le trou, « Si $x$ est plus grand que 1, alors je peux multiplier par $x$ des deux côtés » ([085:28] → [085:37], immédiatement rectifié : « non, ce n’est pas sur le $x$, c’est sur le $y$ »), enfin le cas réellement utile ([085:52] → [086:12]) : « je prends un $y$ dans cet ensemble. Soit il est compris en 0 et 1, soit il est plus grand que 1. […] si le $y$ est compris en 0 et 1, $1$ est un majorant. […] si le $y$ est plus grand que 1, […] la fameuse propriété avec la multiplication, je peux multiplier par $y$ des deux côtés ⟹ $y<y^2<x$, vu l’ensemble ⟹ $x$ est un majorant ». Conclusion du prof : « dans le premier cas, c’est $1$ qui est un majorant, dans le deuxième c’est $x$, sauf que moi je ne peux pas faire des cas séparés, il faut que je trouve un majorant global de tout l’ensemble d’un coup » ([086:48] → [086:58]) ⟹ d’où le majorant global $x+1$ retenu au §13. La version rédigée au §13 est la seule mathématiquement correcte ; ne pas reprendre l’énoncé de [085:28] tel quel.