Modélisation - Cours 6

Modélisation — Cours 6 : stabilité de Lyapunov (fonctions de Lyapunov, énergie) et stabilité globale

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Couverture : de 00:00:00 à 01:54:21 sur un audio de 01:54:26 (1 h 54). Ce cours est plus dense/technique que d’habitude (le profe le dit lui-même). Deux grandes parties : (1) les définitions précises de la stabilité (Lyapunov, attractivité, stabilité asymptotique/exponentielle), la fonction de Lyapunov pour étudier la stabilité quand la linéarisation ne conclut pas, et l’énergie comme fonction de Lyapunov (exemple phare du pendule inversé en théorie du contrôle) ; (2) la stabilité globale, l’estimation des bassins d’attraction par les ensembles de niveau, les systèmes gradients, la fonction de Lyapunov quadratique du linéarisé, le résultat de Barbashin-Krasovskii (global sur ${\mathbb{R}}^n$) et le principe de La Salle (application au pendule amorti). Pause : [01:01:42]–[01:07:11].

Support écrit — deux documents, à ne pas confondre :

• Syllabus = [Notes_modelisation.pdf](file:///home/andre_esdc/Documents/La%20Uni/Bac%202/Modelisation/Theorie/Notes_modelisation.pdf § 6 « Stabilité » (p. 16–19) — les notes complètes (les 4 théorèmes numérotés). C’est la vraie référence : cite-la dans les > 🎓 *syllabus :* ….
• Slides projetées = [cours6.pdf](file:///home/andre_esdc/Documents/La%20Uni/Bac%202/Modelisation/Theorie/cours6.pdf (Beamer, 12 p.) — le sous-ensemble montré à l’écran (+ énergie et pendule inversé, qui sont dans les slides mais pas rédigés au §6 du syllabus). Cite-la dans les > 📎 *El profe hace referencia a …*.

Les slides suivent le cours page à page (définitions, exemples, énoncés des théorèmes). ⚠️ Les traductions d’expressions par l’ASR sont approximatives (« la couneuf / la lapin-off / air-pouille / la pli 9 / fonction imponible » → fonction de Lyapunov ; « principe de la salle » → principe de La Salle ; « Bar-Bachin et Krasovski » → Barbashin-Krasovskii ; « le Pampule 1 » → le(s) pendule(s) inversé(s) en vidéo ; « saveways » → Segway).

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Plan de la clase

• Partie 1 — Théorie locale
  1. Introduction : de la stabilité locale aux bassins d’attraction (rappel du modèle de compétition de Volterra et de la variété stable).
  2. Cadre : systèmes en temps continu $\dot{x}=f(x)$ ; définitions de la stabilité (Lyapunov, instable, attractif, asymptotiquement stable, exponentiellement stable).
  3. Stable sans attractif (centre / pendule non amorti) et attractif sans stable.
  4. Rappel sur la linéarisation (rappel du cours 5).
  5. Fonction de Lyapunov : énoncé du théorème local.
  6. Calcul et interprétation de $\dot{V}$ (gradient $\nabla V\cdot f$, courbes de niveau).
  7. Exemple où la linéarisation est indéterminée et $V$ quadratique tranche.
  8. Difficulté de trouver une fonction de Lyapunov.
  9. Temps discret.
  10. L’énergie comme fonction de Lyapunov (systèmes conservatif / dissipatif).
  11. Application : le pendule inversé (théorie du contrôle) — contrôle $u=2g\tan \theta$.
• Partie 2 — Stabilité globale 12. Définition de la stabilité globale ; bassin d’attraction. 13. Lyapunov pour la stabilité globale (ensemble compact invariant). 14. Estimation du bassin d’attraction par un ensemble de niveau. 15. Systèmes gradients. 16. Trois pistes pour trouver $V$ ; la fonction de Lyapunov quadratique du linéarisé. 17. Stabilité globale sur ${\mathbb{R}}^n$ (Barbashin-Krasovskii). 18. Principe de La Salle (et application au pendule amorti). 19. Conclusions et annonces.

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PARTIE 1 — Définitions de stabilité et fonction de Lyapunov (théorie locale) — [00:00:00]

1. Introduction : de la stabilité locale aux bassins d’attraction — [00:00:00]–[00:01:30]

Le profe annonce d’emblée que la séance sera dense et que la suivante sera l’inverse :

« Et c’est un effort qu’on fera, mais vous pouvez vous dire que la semaine prochaine, par contre, ce sera plus descriptif, donc ça contrebalancera un petit peu. Donc accrochez-vous aujourd’hui, ce sera peut-être un peu plus dense que les autres cours, mais c’est normalement quand même assez important. » [00:00:00]

Objectif : aller au-delà de la stabilité locale vue la semaine passée.

« Donc on va parler de stabilité, et en particulier stabilité pas seulement locale, comme on avait vu la semaine passée, où on pouvait étudier la linéarisation du système. […] Mais sauf que ça c’est local, seulement valable dans un voisinage. On va essayer de voir ce qu’on peut faire pour caractériser les choses plus globalement. » [00:00:19]

• Fil rouge : on repart du modèle de compétition de Volterra (cours précédent), où l’on avait deux issues (extinction de l’une ou l’autre espèce) séparées par la variété stable d’un point de selle, laquelle délimite deux bassins d’attraction.

« On avait terminé le cours précédent avec le modèle de [Volterra] Vodka Volterra. En compétition on avait deux possibilités pour les espèces, soit l’extinction d’une espèce ou de l’autre. Et on avait vu qu’il y avait la variété stable d’un point de selle qui délimitait deux bassins d’attraction. Sauf que calculer cette variété stable, ce n’est pas si facile. Et donc, on a besoin de certaines méthodes pour arriver à estimer des bassins d’attraction. C’est ce qu’on va faire aujourd’hui. » [00:00:50] [sic : Lotka–Volterra]

• Sujet proche de la recherche du profe et de son collègue FG : « C’est aussi un sujet qui est assez lié à ce que je fais en recherche et aussi à ce que FG fait. Donc, n’hésitez vraiment pas à poser des questions. On s’y connaît quand même. » [00:01:19]

⚠️ FG désigne un collègue enseignant (celui qui a introduit les différentes notions de stabilité) — les sous-titres ASR écrivent « FG ». Identité exacte à confirmer (voir Doutes).

2. Cadre et définitions de la stabilité — [00:01:30]–[00:06:07]

Le profe rappelle que FG a déjà introduit ces notions, et qu’il va les préciser.

« Ok, alors en termes de stabilité, FG m’a dit qu’il vous a déjà un petit peu expliqué qu’il y avait différentes notions, c’est vrai que je n’ai pas été très précis jusqu’ici, donc il m’a un peu clarifié tout ça. » [00:01:30]

Cadre : systèmes en temps continu $\dot{x}=f(x)$, $x\in {\mathbb{R}}^n$, et on ne regarde (pour aujourd’hui) que des points d’équilibre $x^{\ast }$ :

« Donc on va rester principalement sur des systèmes en temps continu aujourd’hui, donc de la forme de $\dot{x}$ égale $f$ de $x$, où $x$ est un vecteur à $n$ dimensions, et on va considérer des points d’équilibre. […] à partir de la semaine prochaine, on verra ce qu’on peut avoir d’autre que des équilibres. » [00:01:43]

2.1 Stabilité au sens de Lyapunov — [00:02:06]–[00:04:10]

🎓 syllabus : Notes_modelisation.pdf § 6.1 (p. 16) — « $x^{\ast }$ est stable (au sens de Lyapunov) si, pour tout $\epsilon >0$, il existe $\delta >0$ tel que $\Vert x_0-x^{\ast }\Vert <\delta \Rightarrow \Vert x(t,x_0)-x^{\ast }\Vert <\epsilon \forall t\ge 0$. »

« On va dire que ce point d’équilibre, il est stable au sens de [Lyapunov]. Si on se fixe [un] $\epsilon$ aussi petit que l’on veut, positif, eh bien on peut trouver un $\delta$ éventuellement petit […] tel que si la condition initiale $x_0$ est à une distance $\delta$ de l’équilibre, alors la trajectoire qui en découle sera toujours à une distance $\epsilon$ de l’origine. » [00:02:06]

$$\boxed{\forall \epsilon >0,\exists \delta >0:\Vert x_0-x^{\ast }\Vert <\delta ⟹\Vert x(t,x_0)-x^{\ast }\Vert <\epsilon \forall t\ge 0.}$$

• Image : on fixe une boule de rayon $\epsilon$ centrée en $x^{\ast }$ ; on peut toujours trouver un $\delta$ (plus petit que $\epsilon$) tel que toute condition initiale $x_0$ dans la boule de rayon $\delta$ donne une trajectoire qui reste dans la boule de rayon $\epsilon$. On peut sortir de la boule $\delta$, mais pas de la boule $\epsilon$.
• Plus $\epsilon$ est petit, plus $\delta$ est petit. « L’idée, c’est que les trajectoires vont rester près de l’équilibre, dans un voisinage. »
• Historique : « C’est M. Lyapunov qui avait [dé]fini ça au début du XXᵉ siècle. » [00:04:02]

🎓 syllabus : Notes_modelisation.pdf § 6.1 (p. 17) — instable = « s’il n’est pas stable ».

Instable : « l’équilibre sera instable s’il n’est pas stable, au sens Lyapunov. Donc si on ne peut pas trouver un $\delta$, dès qu’on fixe un $\epsilon$. » [00:04:10]

2.2 Attractivité — [00:04:21]–[00:05:07]

🎓 syllabus : Notes_modelisation.pdf § 6.1 (p. 17) — « attractif s’il existe $\delta >0$ tel que $\Vert x_0-x^{\ast }\Vert <\delta \Rightarrow {\lim }_{t\to \infty }x(t,x_0)=x^{\ast }$. »

« On va dire que l’équilibre est attractif s’il existe un certain $\delta$, tel que si je prends toutes les conditions initiales qui sont à une distance plus petite que $\delta$ de l’équilibre, ma trajectoire va tendre vers l’équilibre. » [00:04:21]

• Différence clé avec la stabilité : on ne dit pas qu’on ne peut pas sortir d’une boule ; on dit seulement qu’asymptotiquement on converge. « C’est un petit peu l’idée qu’on sous-entendait dans le cours. »

2.3 Stabilité asymptotique et exponentielle — [00:05:07]–[00:06:07]

🎓 syllabus : Notes_modelisation.pdf § 6.1 (p. 17) — « asymptotiquement stable s’il est stable et attractif. »

📎 El profe hace referencia a cours6.pdf p. 2 (slides) — « exponentiellement stable s’il existe $C,\lambda >0$ tels que $\Vert x(t,x_0)-x^{\ast }\Vert \le C{e}^{-\lambda t}$. » (⚠️ La notion « exponentiellement stable » est dans les slides et, dans le syllabus, seulement en note de bas de page 4 : « En fait, l’équilibre est même exponentiellement stable dans ce cas [hyperbolique], car les trajectoires sont caractérisées par une convergence exponentielle. »)

• Asymptotiquement stable = stable + attractif :

« On peut combiner les deux, stable et attractif, ce qu’on va appeler asymptotiquement stable. Parce qu’asymptotique, ça fait penser à l’idée d’attractivité, donc quand la limite est en l’infini, c’est en l’infini stable. » [00:05:07]

• Exponentiellement stable : stabilité + attractivité avec une décroissance exponentielle de la distance.
• Remarque : l’exponentielle entraîne d’office la stabilité (on peut trouver un $\delta$ tel qu’on reste dans la boule $\epsilon$).

« Voilà un peu pour les quelques définitions. […] nous, on va surtout se concentrer finalement sur asymptotiquement stable, mais donc qui reprend stable et attractif. » [00:06:07]

3. Stable sans attractif, et inversement — [00:06:11]–[00:11:12]

« Ça [va] souvent de pair, mais pas toujours. On peut en fait être stable sans être attractif, et être attractif sans être stable. » [00:06:07]

📎 El profe hace referencia à cours6.pdf p. 3 (slides) — même énoncé, illustré par les deux exemples : centre (stable-non-attractif) et instable-attractif.

3.1 Stable mais non attractif : le centre — [00:06:41]–[00:07:51]

📎 El profe hace referencia al caso lineal visto antes: « rappelez-vous d’un centre ».

• Centre : en linéaire, valeurs propres sur l’axe imaginaire → « on est ni stable ni instable ». Les trajectoires décrivent des ellipses et tournent périodiquement autour de l’équilibre.
• Stable (pourtant) : trajectoires contenues dans un voisinage → on peut trouver $\delta$ pour tout $\epsilon$.
• Non attractif : elles ne convergent pas vers l’équilibre.
• Vocabulaire : « parfois on va dire que c’est ni stable ni instable. On va aussi parler de marginalement stable. Mais au sens de Lyapunov, c’est stable. Par contre, ce n’est pas attractif. »

🎓 syllabus : Notes_modelisation.pdf § 6.1 (p. 17) — « Un équilibre peut être stable mais non attractif (par exemple un centre), et inversement. »

📎 El profe hace referencia à cours6.pdf p. 3 (slides) — « stable mais non attractif (“marginalement stable”) : un centre (par exemple : pendule non amorti) ».

💡 Condition de la syllabus (clé, à retenir) : « Ce cas ne s’observe cependant que si l’équilibre n’est pas hyperbolique. Si l’équilibre est hyperbolique, il sera stable et attractif (donc asymptotiquement stable) si le système linéarisé est stable (toutes les valeurs propres de la matrice Jacobienne à partie réelle strictement négative). » (footnote 4 : « … car les trajectoires sont caractérisées par une convergence exponentielle ».)

• Exemple (dicté un peu plus loin) : « c’est par exemple le pendule non amorti, pendule qui [oscille] tout le temps, il reste toujours dans un certain domaine. » [00:11:04]

3.2 Attractif mais non stable (cas « tiré par les cheveux ») — [00:07:51]–[00:11:12]

📎 El profe hace referencia à cours6.pdf p. 3 (slides) — « instable mais attractif ! » (exemple en 2D avec un équilibre en $(1,0)$). (⚠️ Cet exemple est seulement dans les slides, pas dans le §6 du syllabus.)

« L’autre cas est un peu plus compliqué. Il faut vraiment aller le chercher. C’est le cas où on n’est pas stable, mais pourtant on est attractif. […] c’est quand même assez tiré par les cheveux, mais vous avez un exemple dynamique en deux dimensions. Vous avez un équilibre qui se trouve ici en 1-0. Et cet équilibre n’est pas stable. » [00:07:51]

• Pourquoi instable : si l’on prend une condition initiale avec $x_1=1$ et $x_2>0$, la trajectoire s’éloigne arbitrairement loin avant de revenir. Donc pour une petite boule autour de $x^{\ast }$, on ne trouve pas de boule de conditions initiales telle qu’on y reste.
• Pourquoi attractif : toutes les trajectoires finissent néanmoins par revenir vers l’équilibre.

Équations exactes de cet exemple non reconstituables depuis l'audio (et le PDF est illisible à cet endroit). Voir Doutes — il s'agit de l'exemple p. 3 de cours6.pdf.

Discussion / question d’un étudiant [00:09:03]–[00:11:12] : un élève demande comment la trajectoire peut s’éloigner arbitrairement loin puis revenir. Le profe avoue ne pas connaître l’exemple par cœur :

« Après je connais pas très bien cet exemple par cœur. […] Probablement que si on reste dans un voisinage de l’équilibre, on ne peut peut-être pas s’éloigner. […] je pense qu’on peut trouver des conditions initiales potentiellement arbitrairement proches de points d’équilibre mais qui vont pourtant aller arbitrairement [loin]. […] À mon avis, les conditions initiales qui sont en $x_2$ qui vaut 0 sur cet axe là, mais pour un $x_1$ qui est plus grand que 1, je pense que ça, ça doit [diverger]. » [00:09:22]

• Conclusion du profe : « Vous voyez qu’on peut quand même avoir des trucs un peu bizarres, donc il faut faire attention. » [00:10:56]

4. Rappel : étude locale par linéarisation — [00:11:16]–[00:15:38]

« Petit rappel sur ce qu’on a déjà vu la semaine passée. La façon d’étudier la stabilité, c’est de linéariser le système en calculant la matrice jacobienne. » [00:11:16]

🎓 syllabus : Notes_modelisation.pdf § 5.2 (p. 11–12) — Rappel sur la linéarisation. Soit $\dot{x}=F(x)$, $F\in C^1$, d’équilibre $x^{\ast }$, $J=\frac{\partial F}{\partial x}{|}_{x^{\ast }}$ :

• $x^{\ast }$ asymptotiquement stable si $\Re \{{\lambda }_i\}<0$ pour toutes les valeurs propres de $J$ ;
• $x^{\ast }$ instable si $\Re \{{\lambda }_i\}>0$ pour au moins une valeur propre ;
• remarque : $\Re \{{\lambda }_i\}<0\Rightarrow$ exponentiellement stable ; si $\Re \{{\lambda }_i\}=0$, on ne peut rien conclure !

• $\Re \{{\lambda }_i\}<0$ pour tout $i$ → stable, et même asymptotiquement stable (stable au sens de Lyapunov ET attractif) et en fait exponentiellement stable (« on va avoir des exponentielles des valeurs propres qui apparaissent […] c’est qu’il y a une décroissance »). [00:11:27]
• Au moins une valeur propre à partie réelle $>0$ → instable.
• Partie réelle $=0$ → indétermination (« on ne peut rien conclure ») : « On ne parle pas du linéaire là, mais vraiment du système linéarisé. »
• Exemple [00:12:34]–[00:15:02] : avec une valeur propre sur l’axe imaginaire, on obtient un foyer (spirale, valeurs propres complexes) ; selon le signe d’un paramètre $a$ on a un foyer stable ou instable, et si $a=0$ on retrouve le cas linéaire (centre). Le message : « c’était juste pour illustrer que […] la linéarisation [ne dit pas tout] ».

Enjeu du cours :

« Qu’est-ce qu’on peut faire pour étudier la stabilité du système lorsque la linéarisation ne nous [le] dit pas ? Et pour ça, on va introduire la notion suivante, qu’on appelle la fonction de Lyapunov, qui va nous servir non seulement ici, mais encore pour la suite, quand on [essaiera] d’estimer des bassins d’attraction. » [00:15:27]

5. La fonction de Lyapunov : théorème (cas local) — [00:15:38]–[00:17:20]

« Alors, on a le théorème suivant, qu’il faut vraiment que vous connaissiez bien, parce que c’est le principal résultat […] pour le [cours]. » [00:15:53]

🎓 syllabus : Notes_modelisation.pdf Théorème 3 « Théorème de Lyapunov » (p. 17) — Soit un système $\dot{x}=F(x)$, avec $F\in C^1$, possédant un équilibre $x^{\ast }$. S’il existe une fonction $V:D\to \mathbb{R}$, avec $x^{\ast }\in D$, telle que :

1. $V(x^{\ast })=0$ ;
2. $V(x)>0\forall x\in D\setminus \{x^{\ast }\}$ ;
3. $V\in C^1$ et $\dot{V}(x)\le 0\forall x\in D$ ;

alors $x^{\ast }$ est stable. Si de plus $\dot{V}(x)<0\forall x\in D\setminus \{x^{\ast }\}$, alors $x^{\ast }$ est asymptotiquement stable.

Hypothèses :

• le champ de vecteurs est $C^1$ (« principalement pour l’existence et l’unicité de la solution ») ;
• $V$ est définie sur un domaine $D$ contenant l’équilibre ;
• trois propriétés :
  1. $V(x^{\ast })=0$ ;
  2. $V(x)>0$ partout ailleurs sur $D$ ;
  3. $V$ continûment dérivable, et sa dérivée le long des trajectoires $\dot{V}\le 0$.
• Conclusion : stabilité. Et si l’inégalité est stricte ($\dot{V}<0$ sauf à l’équilibre) → stabilité asymptotique :

« Si on a une inégalité stricte, [pour] tous les $x$ sauf à l’équilibre, puisque à l’équilibre, on ne bouge plus […] la dérivée va être égale à 0 dans tous les cas. Mais sinon, en dehors de l’équilibre, il faut une inégalité stricte. Dans ce cas-là, on [a la] stabilité asymptotique. » [00:17:06]

• Stabilité locale : « il existe un $\delta$, mais typiquement, ça peut être un $\delta$ très petit. C’est juste dans un voisinage autour de l’équilibre qu’on doit converger. » [00:17:48]

🎓 syllabus : Notes_modelisation.pdf § 6.1 (p. 17) — remarques du syllabus (complètent le cours oral) :

• « La fonction $V$ doit donc décroître le long des trajectoires. On l’appelle la fonction de Lyapunov. »
• « Il n’est pas toujours facile de trouver une telle fonction, mais dans le cas de systèmes physiques, elle est bien souvent liée à une notion d’énergie. »
• « On notera que la fonction de Lyapunov n’est pas unique. »

6. Calcul et interprétation de $\dot{V}$ — [00:17:20]–[00:27:32]

6.1 Qu’est-ce que $\dot{V}$ ? — [00:17:20]–[00:22:17]

• $V$ ne dépend pas du temps ($V:D\to \mathbb{R}$) ; mais on l’évalue le long des trajectoires : on pose $V(x(t))$ (« on pose $V$ avec la trajectoire, le flot »).
• On calcule la dérivée composée au point $x_0$ (en $t=0$) :

$$\dot{V}(x_0)=\nabla V(x_0)\cdot \dot{x}(0).$$

• Question posée à la classe : « C’est quoi la trajectoire $x(t)$, mathématiquement ? » — réponse : « c’est rien d’autre que la solution de notre équation différentielle » ($\dot{x}(t)=f(x(t))$).
• Donc, en résumé :

« $\dot{V}$, en fait, c’est le gradient de $V$ [multiplié] avec le champ de vecteurs. Donc ça, on peut le calculer dès qu’on connaît notre système dynamique à partir de son champ de vecteurs $f$. » [00:22:01]

$$\boxed{\dot{V}(x)=\nabla V(x)\cdot f(x).}$$

📎 El profe hace referencia à cours6.pdf p. 5 (slides) — pour l’exemple, on calcule précisément $\dot{V}$.

6.2 Interprétation géométrique — [00:22:17]–[00:27:32]

• On imagine $V$ comme une troisième dimension au-dessus de l’espace d’état : $V$ s’annule en $x^{\ast }$ et est positive ailleurs.
• Le long d’une trajectoire, $V$ décroît ; comme $V$ doit rester positive, elle tend forcément vers sa valeur nulle, c’est-à-dire vers l’équilibre. « C’est une idée toute bête, mais c’est super utile. Merci à M. Lyapunov. » [00:24:26]
• Autre point de vue (courbes de niveau) : partant de $x_0$, on est sur une courbe de niveau de $V$ ; comme la valeur décroît, la trajectoire va à l’intérieur de cette courbe, puis dans des courbes de niveau de plus en plus petites, jusqu’à $x^{\ast }$.
• Lien avec stabilité : une courbe de niveau peut jouer le rôle de la boule de rayon $\delta$ (choisie à l’intérieur de la boule de rayon $\epsilon$ demandée) : on reste toujours dedans → stabilité. Si $\dot{V}<0$ strict, les valeurs décroissent strictement → on se rapproche → convergence (stabilité asymptotique). [00:25:54]–[00:27:32]

7. Exemple : linéarisation indéterminée tranchée par $V$ quadratique — [00:27:32]–[00:32:39]

📎 El profe hace referencia à cours6.pdf p. 5 (slides) — Exemple :

$${\dot{x}}_1=x_2-x_1^3,{\dot{x}}_2=-x_1-x_2^3,$$

fonction de Lyapunov : $V(x_1,x_2)=x_1^2+x_2^2$.

• Linéarisation inutile : la jacobienne donne des valeurs propres $\pm i$, sur l’axe imaginaire → « on ne sait rien conclure de la linéarisation ». [00:28:05]
• Candidat $V(x_1,x_2)=x_1^2+x_2^2$ : s’annule en $0$, positive ailleurs.
• Calcul de $\dot{V}$ (« attention, c’est un [$\partial$] de dérivée, ça ressemble très fortement à des 2 ») :

$$\dot{V}=\frac{\partial V}{\partial x_1}{f}_1+\frac{\partial V}{\partial x_2}{f}_2=2x_1(x_2-x_1^3)+2x_2(-x_1-x_2^3)$$ $$\dot{V}=2x_1{x}_2-2x_1^4-2x_1{x}_2-2x_2^4=-2(x_1^4+x_2^4)<0\forall (x_1,x_2)\ne (0,0).$$

• Les termes croisés $2x_1{x}_2$ se simplifient : « la magie va s’opérer ». Conclusion : stabilité asymptotique, alors que la linéarisation ne servait à rien. [00:30:02]
• Mise en garde : « on a eu beaucoup de chance » — ce sont toujours ces termes croisés qui sont embêtants, et cette simplification n’arrive pas toujours. [00:31:16]

8. Trouver $V$ est difficile — [00:32:39]–[00:33:17]

« Trouver une fonction [de Lyapunov], là c’est quand même compliqué. Rassurez-vous, on ne vous demandera pas de trouver comme [ça] vous-même. » [00:32:12]

• Contrairement à la linéarisation (jacobienne + valeurs propres → systématique), il n’y a pas de méthode garantie : « c’est un peu [heuristique] […], on doit un peu chipoter, essayer en fonction de ce qu’on obtient quand on calcule $\dot{V}$ ».
• Réflexe à garder : essayer une fonction quadratique d’abord ; si ça ne marche pas, elle sera donnée.
• « On verra vers la fin du cours d’aujourd’hui une façon de trouver une fonction [de Lyapunov] à partir du système linéarisé. » [00:32:32]

9. Retour sur le temps discret — [00:32:47]–[00:34:34]

• Mêmes conditions qu’en continu, mais on ne calcule plus $\dot{V}$ : on regarde l’évolution entre $n$ et $n+1$.
• Condition : $V(x_{n+1})<V(x_n)$ strictement, tant que $x_n$ n’est pas l’équilibre.

$$\boxed{V(x_{n+1})<V(x_n)⟺V(F(x))<V(x)}$$

(où $x_{n+1}=F(x_n)$ est le système en temps discret).

« Juste pour que vous le sachiez, même si on ne se concentrera pas là-dessus. » [00:32:57]

10. L’énergie comme fonction de Lyapunov — [00:34:37]–[00:42:35]

« Une première façon habituelle [d’essayer] de trouver une bonne fonction de Lyapunov, c’est d’en revenir un petit peu au système de départ. […] Derrière, il y a un système physique […]. Et un bon candidat […] c’est l’énergie. Parce que l’énergie, dans des systèmes qui vont être dissipatifs, elle va diminuer. » [00:34:37]

10.1 Système conservatif (stable) — [00:34:37]–[00:39:07]

📎 El profe hace referencia à cours6.pdf p. 6 (slides) — « Système conservatif (stable) : $m\ddot{x}=-\frac{dU}{dx}$ ; l’énergie $E=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2+U$ est conservée : $\dot{E}=0$. » (⚠️ L’énergie comme fonction de Lyapunov est traitée dans les slides, pas au §6 du syllabus — cf. §6.1 p. 17 : « dans le cas de systèmes physiques, elle est bien souvent liée à une notion d’énergie ».)

• Cas mécanique (généralisable) : équation de Newton $m\ddot{x}=\text{(forces)}$ ; dans un système conservatif, les forces dérivent d’un potentiel $U$ :

$$m\ddot{x}=-\frac{dU}{dx}(\text{« le signe }-\text{ est purement conventionnel »}).$$

• Énergie : $E=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2+U(x)$ (cinétique + potentielle).
• Calcul de $\dot{E}$ (dérivée de fonction composée, comme pour $V$) :

$$\dot{E}=m\dot{x}\ddot{x}+\frac{dU}{dx}\dot{x}=\dot{x}(m\ddot{x}+\frac{dU}{dx})=0.$$

• Conséquence : les courbes de niveau de $E$ sont suivies par les trajectoires → régions où les trajectoires restent confinées → on peut définir la boule $\delta$ à partir des courbes de niveau de $E$ (comme pour $V$). Système conservatif : il ne crée ni n’emmagasine d’énergie qui le ferait partir à l’infini.

10.2 Système dissipatif (asymptotiquement stable) — [00:39:15]–[00:42:35]

📎 El profe hace referencia à cours6.pdf p. 6 (slides) — « Système dissipatif (asymptotiquement stable) : $m\ddot{x}=-\frac{dU}{dx}-b\dot{x}$ ; l’énergie $E$ décroît : $\dot{E}=-b{\dot{x}}^2\le 0$. »

• Frottement proportionnel à la vitesse (vu en modélisation) : on ajoute $-b\dot{x}$ :

$$m\ddot{x}=-\frac{dU}{dx}-b\dot{x}⟹\dot{E}=-b{\dot{x}}^2\le 0.$$

• $E$ est bien positive (le potentiel est défini à une constante près, on le rend positif) et nulle à l’équilibre (on s’arrange pour que $U(x^{\ast })=0$ et $\dot{x}=0$).
• Problème : $\dot{E}=0$ dès que $\dot{x}=0$ — pas nécessairement à l’équilibre :

« Qu’est-ce qu’il fallait pour notre fonction [de Lyapunov] ? [Elle] doit être strictement décroissante pour tout $x$ sauf l’équilibre. Est-ce que c’est ce qu’on a ici ? […] Ça va être égal à 0 si $\dot{x}$ est égal à 0, et on n’est pas nécessairement à l’équilibre. Donc, il y a quand même un petit souci, et on y reviendra tout à la fin du cours. » [00:41:51]

📎 El profe hace referencia à cours6.pdf p. 6 (slides) — « Attention $\dot{E}=0$ pour tout $\dot{x}=0$ quel que soit $x$ (voir principe de La Salle) ! »

→ C’est précisément ce que résoudra le principe de La Salle (§18). « C’est déjà pas mal, mais de toute manière, ce sera traité par un résultat un peu plus poussé. » [00:42:39]

11. Application : le pendule inversé (théorie du contrôle) — [00:43:00]–[01:01:41]

« Il nous reste 15 minutes pour faire une petite application de ça. Et on a le cas vraiment très classique du pendule inversé. Je trouve que c’est un cas assez amusant. » [00:42:55]

11.1 Le problème — [00:43:00]–[00:46:51]

• Pendule inversé : un chariot sur lequel est fixé un pendule, à stabiliser en position verticale en déplaçant le chariot à gauche/droite.
• Problème typique de la théorie du contrôle (« que vous verrez dans le cours de l’année prochaine »).
• Analogies : tenir un balai en équilibre sur la main ; robots sur deux roues ; Segway (« saveways » [sic]) ; personnes sur une roue.
• Principe : mesurer l’angle par rapport à la verticale et décider comment accélérer le chariot.
• Vidéos (« pour le fun ») : pendule(s) inversé(s) qui se redressent ; un pendule triple (trois bras reliés par des rotules libres, sans moteur) que l’on arrive à stabiliser.

11.2 Équations et énergie — [00:46:51]–[00:52:36]

📎 El profe hace referencia à cours6.pdf p. 7 (slides) — Exemple : le pendule inversé

$$m{l}^2\ddot{\theta }=mgl\sin \theta -ml\cos \theta u-b\dot{\theta }.$$

• On retrouve la dynamique d’un pendule normal (vu avant), avec quelques signes qui changent (ici $\theta$ mesuré par rapport à la verticale haute).
• Termes : moment d’inertie $\times$ accélération angulaire ; couple de gravité ; accélération du chariot → dans le référentiel du chariot, une force d’inertie ($\times$ accélération, en sens opposé), ce qui fait apparaître un $\cos \theta$ (forces perpendiculaires) ; frottement $b\dot{\theta }$.

Cas $u=0$ (chariot fixe) [00:48:14]–[00:52:36] :

📎 El profe hace referencia à cours6.pdf p. 7 (slides) — « $u=0$ : $E=\frac{1}{2}m{l}^2{\dot{\theta }}^2+mgl(1+\cos \theta )$. »

• Énergie : $E=\frac{1}{2}m{l}^2{\dot{\theta }}^2+mgl(1+\cos \theta )$ (cinétique de rotation + potentiel).
• Le potentiel vaut $0$ quand $\theta =\pi$ (« la position basse »), et est toujours positif ; sa dérivée par rapport à $\theta$ redonne bien $mgl\sin \theta$.
• Avec amortissement, $\dot{E}\le 0$ → on converge vers la position basse (pendule en bas), comme attendu.

11.3 Contrôle $u=2g\tan \theta$ : gravité « inversée » — [00:52:36]–[00:57:44]

📎 El profe hace referencia à cours6.pdf p. 7 (slides) — « $u=2g\tan \theta$ : $E=\frac{1}{2}m{l}^2{\dot{\theta }}^2+mgl(1-\cos \theta )$ ; l’effet de la gravité est “inversé”. »

• On choisit $u$ en fonction de $\theta$ (accélération commandée) :

$$u=2g\tan \theta .$$

• On réinjecte dans la dynamique :

$$m{l}^2\ddot{\theta }=mgl\sin \theta -ml\cos \theta \cdot 2g\tan \theta -b\dot{\theta }=mgl\sin \theta -2mgl\sin \theta -b\dot{\theta }=-mgl\sin \theta -b\dot{\theta }$$

(car $\cos \theta \cdot \tan \theta =\sin \theta$).

• Interprétation : on est dans le même cas que $u=0$, mais le terme en $\sin \theta$ a changé de signe : « c’est comme si la gravité allait dans l’autre sens […] c’est comme si on inversait le pendule, on le mettait la tête en bas », et c’est maintenant $\theta =0$ (position haute) qui est l’équilibre. [00:54:19]
• Nouveau potentiel : $U=mgl(1-\cos \theta )$ (toujours positif, minimum en $\theta =0,\pm 2\pi ,\dots$).

📎 El profe hace referencia à cours6.pdf p. 7 (slides) — « $u=2g\tan \theta$ : $E=\frac{1}{2}m{l}^2{\dot{\theta }}^2+mgl(1-\cos \theta )$ ».

• L’énergie joue le rôle de fonction de Lyapunov → on converge vers $\theta =0$ (position verticale haute). « θ égale …, ${\dot{\theta }}^{\ast }=0$, qui est asymptotiquement [stable] », l’énergie ayant un minimum nul en $\theta =0$.

11.4 Simulation et limites de la méthode — [00:57:44]–[01:01:41]

Paramètres de la simulation : amortissement $b=1$, longueur du pendule $l=0,5$, gravité $g=9,81$.

• ⚠️ Domaine de validité : « oubliez le cas où le pendule est tout à fait inversé, ça ne fonctionnera pas » — la méthode n’est valable que si le pendule est déjà plus ou moins proche de la verticale (sinon $u=2g\tan \theta \to \infty$). [00:58:46]
• On voit les courbes de niveau de l’énergie : on en traverse une, puis on reste dedans (convergence).
• Limites selon l’amortissement :
  • très peu d’amortissement → le pendule bouge très vite, il faut réagir énormément (déplacement typique « 10 mètres ») → peu pratique ;
  • beaucoup d’amortissement → on converge assez rapidement ;
  • amortissement faible → il reste longtemps à se stabiliser (« c’est comme s’il pouvait être à l’envers, donc il [met] aussi longtemps »).
• Bilan : « c’est une méthode assez basique […] il y a des méthodes bien plus efficaces » (théorie du contrôle développée) — mais l’objectif pédagogique est de lier cette méthode aux fonctions de Lyapunov.
• Enjeu industriel : garantir la stabilité du contrôle. « Imaginez que vous contrôlez un avion avec le pilote automatique : il faut être sûr que c’est bien stable, donc il faut des garanties rigoureuses obtenues avec les [fonctions de Lyapunov]. » [01:01:22]

Pause — [01:01:42]–[01:07:11]

« Ok, je pense qu’il est l’heure de faire une petite pause. Je vous propose de prendre un [quart d’heure]. » [01:01:42] Reprise à [01:07:11].

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PARTIE 2 — Stabilité globale — [01:07:11]

12. Récapitulatif et définition de la stabilité globale — [01:07:11]–[01:14:45]

Résumé de la première partie (reprise après la pause) :

« Ce qu’on a fait jusqu’ici, c’est de définir la stabilité de manière un peu plus précise, différentes définitions, notamment le concept de stabilité au sens de Lyapunov et attractivité, ce qui donne une stabilité asymptotique. Et on a vu qu’on peut caractériser ces stabilités [par] l’existence d’une fonction de Lyapunov, et ça nous permet notamment de pouvoir établir la stabilité dans le cas où la linéarisation ne nous permet pas de l’établir. Vers la fin, on a vu que les fonctions de Lyapunov, ce n’est pas facile à obtenir, mais on peut par exemple utiliser l’énergie. » [01:07:11]

« Les fonctions de Lyapunov vont être utiles parce que non seulement elles caractérisent la stabilité d’un point de vue local, mais également de manière globale. » [01:13:34]

🎓 syllabus : Notes_modelisation.pdf § 6.2 (p. 17) — Stabilité globale. Un équilibre stable $x^{\ast }$ est globalement asymptotiquement stable dans $D\subseteq {\mathbb{R}}^n$ si ${\lim }_{t\to \infty }x(t,x_0)=x^{\ast }$ pour tout $x_0\in D$. « Par définition, un équilibre stable $x^{\ast }$ est globalement asymptotiquement stable dans son bassin d’attraction, et il l’est dans $D$ si $D$ est contenu dans son bassin d’attraction. »

« Il est globalement asymptotiquement stable dans un ensemble $D$ de mon espace d’état si, quelle que soit la condition initiale $x_0$ dans $D$, la limite de $x(t)$ partant de $x_0$ tend vers $x^{\ast }$. […] en particulier, un équilibre sera globalement asymptotiquement stable dans son bassin d’attraction. » [01:13:53]

• Interprétation : « quand on parle de stabilité globale, il s’agit finalement d’évaluer la taille / la forme du bassin d’attraction ». [01:14:38]

13. Lyapunov pour la stabilité globale (ensemble compact invariant) — [01:14:51]–[01:17:31]

🎓 syllabus : Notes_modelisation.pdf Théorème 4 « Stabilité globale » (p. 18) — Soit un système $\dot{x}=F(x)$, avec $F\in C^1$, possédant un équilibre $x^{\ast }$ et un ensemble compact invariant $D\subset {\mathbb{R}}^n$ tel que $x^{\ast }\in D$. S’il existe une fonction de Lyapunov $V:D\to \mathbb{R}$ telle que $V(x^{\ast })=0$, $V(x)>0\forall x\in D\setminus \{x^{\ast }\}$, $V\in C^1$ et $\dot{V}(x)<0\forall x\in D\setminus \{x^{\ast }\}$, alors $x^{\ast }$ est globalement asymptotiquement stable dans $D$.

• Il ne faut pas changer grand-chose par rapport au résultat local ; la différence (en rouge sur le slide) : la stabilité est maintenant globale, et il faut un ensemble $D$ compact et invariant.

  • compact = fermé borné ;
  • invariant = « les trajectoires ne peuvent pas en sortir ».

• Comment vérifier l’invariance ? En temps continu, il suffit de regarder les conditions initiales à la frontière : le champ de vecteurs $F$ sur la frontière de $D$ doit pointer vers l’intérieur :

« Ce n’est pas encore trop compliqué à vérifier, par contre ce n’est pas nécessairement facile à trouver. » [01:16:42]

• Remarque cruciale (slide) : si l’on ne trouve pas d’ensemble $D$ invariant, on peut se focaliser sur la fonction de Lyapunov — trouver $V$ donne $D$ gratuitement, car les ensembles de niveau de $V$ sont invariants (la valeur décroît le long des trajectoires, donc on reste à l’intérieur).

🎓 syllabus : Notes_modelisation.pdf § 6.2 (p. 18) — « D’un point de vue pratique, l’ensemble $D$ est une approximation du bassin d’attraction et peut être déterminé a posteriori en considérant la plus grande courbe de niveau fermée incluse dans la région où la fonction de Lyapunov satisfait effectivement $\dot{V}<0$. » 📎 El profe hace referencia a la remarque de la slide : « en fait, comme c’est expliqué dans la remarque […], si vous arrivez à trouver une fonction [de Lyapunov], vous aurez gratuitement un ensemble $D$. » [01:16:42]

14. Estimation du bassin d’attraction par un ensemble de niveau — [01:17:31]–[01:19:47]

• En pratique, on trouve un $V$ qui ne décroît peut-être pas partout : $\dot{V}<0$ seulement sur une certaine région.
• On considère alors les courbes de niveau de $V$ et on prend la plus grande courbe de niveau incluse dans la région où $\dot{V}<0$ → c’est l’ensemble $D$.

« Vous pouvez alors prendre la plus grande courbe de niveau qui est incluse dans cette région où $\dot{V}$ est négatif, et ça, ce sera votre ensemble $D$. Puisque sur cet ensemble $D$, vous savez que $\dot{V}$ est négatif, et $D$ est une courbe de niveau, donc vous êtes obligés de rester à l’intérieur. Et ceci, ce sera une estimation du bassin d’attraction. » [01:18:25]

• La fonction de Lyapunov fournit donc une approximation interne du bassin d’attraction (le vrai bassin étant un peu plus grand) : « plus on trouve une bonne fonction et plus on aura une approximation qui va coller au vrai bassin ».

15. Application : les systèmes gradients — [01:20:14]–[01:24:51]

🎓 syllabus : Notes_modelisation.pdf § 6.2 (p. 18) — « Par exemple, les systèmes gradient de la forme $\dot{x}=-\nabla V$ admettent toujours $V$ comme fonction de Lyapunov et la région $D$ est déterminée par la plus grande courbe de niveau fermée qui ne contient qu’un seul point d’équilibre. » (⚠️ Le cas des systèmes gradients est dans le syllabus ; les slides cours6.pdf § p. 9 en donnent l’illustration graphique.)

• Système gradient : un système dynamique $\dot{x}=f(x)$ où le champ de vecteurs est le gradient (avec un signe $-$) d’une fonction $V$ :

$$\dot{x}=f(x)=-\nabla V(x).$$

• Alors $V$ est candidat naturel comme fonction de Lyapunov :

$$\dot{V}=\nabla V\cdot f=\nabla V\cdot (-\nabla V)=-\Vert \nabla V{\Vert }^2\le 0,$$

strictement négatif sauf aux points stationnaires ($\nabla V=0$).

⚠️ Sur la slide, le profe hésite en direct : « on va avoir le gradient de $V$ fois le gradient de $V$ […] attendez, je pense qu’il y a un moins quand même. Oui, ça marche pas. Moins le gradient de $V$. » [01:21:46]

• Intuition (paysage en 3D) : $V$ a plusieurs minima. On prend la courbe de niveau passant par un maximum local (point stationnaire où $\dot{V}=0$, « un point qui nous pose problème ») → à l’intérieur, on a un ensemble $D$ invariant et l’on converge vers le minimum correspondant. Autre région $D^{\prime }$ → autre minimum.
• Détail : $V$ ne vaut pas forcément $0$ à l’équilibre, mais ce n’est pas grave : on peut translater $V$ pour qu’elle vaille $0$ à l’équilibre (on lui retire la valeur en trop).

« Le fait que $V$ doit être zéro à l’équilibre, en fait, ce n’est pas si grave parce qu’on peut toujours décider qu’on translate $V$. » [01:23:42]

Exemple [01:24:51]–[01:27:44] :

$${\dot{\theta }}_1=K\sin ({\theta }_1-{\theta }_2)-\sin {\theta }_1,{\dot{\theta }}_2=K\sin ({\theta }_2-{\theta }_1)-\sin {\theta }_2.$$

• C’est un système gradient : en prenant le gradient avec un signe $-$ d’une certaine $V$ (du type $V=K\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)-\cos {\theta }_1-\cos {\theta }_2$), on retrouve les deux composantes du champ. (reconstruit d’après le cours — voir Doutes)
• Le portrait montre plusieurs régions $D$ invariantes (stabilité globale), les points stationnaires étant des points de selle (« les points de sel »). En rouge, quelques trajectoires : certaines restent à l’intérieur des régions ; d’autres, en dehors, ne sont pas couvertes par le résultat (on ne peut rien dire tant qu’elles n’entrent pas dans une région).

16. Comment trouver $V$ : trois pistes — [01:24:51]–[01:28:06]

1. L’énergie : « si vous avez un système physique d’énergie, c’est une bonne solution ».
2. Système gradient : vérifier si le champ est (moins) le gradient d’une fonction (regarder s’il est « rotationnel » — détails non donnés).
3. S’inspirer du système linéarisé (slide suivante).

17. Fonction de Lyapunov quadratique à partir du linéarisé — [01:28:06]–[01:35:02]

📎 El profe hace referencia à cours6.pdf p. 10 (slides) — « On peut utiliser une fonction de Lyapunov du système linéarisé : Temps continu : linéarisation $\dot{x}=Jx$, $x^{\ast }=0$ exponentiellement stable $\iff \exists P>0$ tel que $V(x)=x^{T}Px$ est une fonction de Lyapunov sur un voisinage de $x^{\ast }$ $\iff \exists P>0$ tel que $J^{T}P+PJ<0$. Temps discret : $x[n+1]=Jx[n]$, $x^{\ast }=0$ exponentiellement stable $\iff \exists P>0$ tel que $V(x)=x^{T}Px$ est une fonction de Lyapunov au voisinage de $x^{\ast }$ $\iff \exists P>0$ tel que $J^{T}PJ-P<0$. »

🎓 syllabus : Notes_modelisation.pdf § 6.2 (p. 18) — « Par ailleurs, la linéarisation peut être utilisée afin de déterminer une fonction de Lyapunov. En effet, si pour le système linéarisé $\dot{x}=Jx$, l’équilibre est asymptotiquement stable, alors la fonction $V(x)=x^{T}Px$, avec $P>0$ et $J^{T}P+PJ<0$, est une fonction de Lyapunov dans un voisinage de l’équilibre. » ⚠️ Discrepancia entre syllabus y slides : la note 5 du syllabus (p. 18) donne pour le temps discret la condition « $J^{T}PJ>0$ », alors que les slides (cours6.pdf p. 10) donnent « $J^{T}PJ-P<0$ ». La condition des slides est la bonne (dimensionnellement et logiquement : $V(x_{n+1})<V(x_n)$ ⟹ $x^T(J^{T}PJ-P)x<0$) ; le « $>0$ » du syllabus semble une coquille (voir Doutes).

• On linéarise $\dot{x}=Jx$. Si $x^{\ast }$ est exponentiellement stable, alors il existe toujours une fonction de Lyapunov quadratique de la forme

$$V(x)=x^{T}Px,P\text{ deˊfinie positive},$$

valable dans un voisinage de $x^{\ast }$.

• Interprétation : « un polynôme avec des termes au maximum d’ordre 2 ». Un système linéaire stable admet toujours une fonction de Lyapunov quadratique.
• Il faut trouver la matrice $P$, qui vérifie une inégalité matricielle :

$$\boxed{J^{T}P+PJ\prec 0}$$

(c’est-à-dire que $J^{T}P+PJ$ est définie négative).

« Elle vérifie une équation […] une inégalité matricielle qui est telle que $J$ transposée $P$ plus $PJ$ doit être une matrice définie négative. » [01:29:21]

• Il y a une infinité de matrices $P$ possibles ; des méthodes numériques / d’optimisation permettent de résoudre l’équation (typiquement une commande MATLAB qui renvoie directement $P$ à partir de $J$).
• Démonstration du $\dot{V}<0$ [01:30:50]–[01:35:02] : on dérive $V=x^{T}Px$ le long des trajectoires.

$$\dot{V}={\dot{x}}^{T}Px+x^{T}P\dot{x}\stackrel{\text{lin.}}{=}(Jx{)}^{T}Px+x^{T}P(Jx)=x^T{J}^{T}Px+x^{T}PJx=x^T(J^{T}P+PJ)x<0.$$

• Une fois $P$ trouvée, on prend la plus grande courbe de niveau dans la région où $\dot{V}<0$ → estimation du bassin d’attraction.
• Cas discret : même raisonnement en vérifiant $V(x_{n+1})<V(x_n)$, ce qui mène à la condition $J^{T}PJ-P<0$ ; on peut aussi la résoudre numériquement.
• ⚠️ « Ce qui ne veut pas dire que ce sera une très bonne fonction de Lyapunov, puisqu’elle sera quadratique, peut-être pas suffisante, mais c’est un bon début. »

18. Stabilité globale sur ${\mathbb{R}}^n$ : Barbashin-Krasovskii — [01:35:02]–[01:38:16]

🎓 syllabus : Notes_modelisation.pdf Théorème 5 « Théorème de Barbashin-Krasovskii » (p. 18) — Soit un système $\dot{x}=F(x)$, avec $F\in C^1$, possédant un équilibre $x^{\ast }$. S’il existe une fonction de Lyapunov $V:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ telle que $V(x^{\ast })=0$, $V(x)>0\forall x\in {\mathbb{R}}^n\setminus \{x^{\ast }\}$, $V\in C^1$ et $\dot{V}(x)<0\forall x\in {\mathbb{R}}^n\setminus \{x^{\ast }\}$, et : 4. $\Vert x\Vert \to \infty \Rightarrow V(x)\to \infty$ (radialement non bornée),

alors $x^{\ast }$ est globalement asymptotiquement stable dans ${\mathbb{R}}^n$.

• On veut cette fois que $D$ soit tout ${\mathbb{R}}^n$ (plus compact, plus borné) : d’où le résultat de Barbashin-Krasovskii (« messieurs Bar-Bachin et Krasovski, les Russes aimaient beaucoup ces problèmes-là à une époque » — sic).
• Condition supplémentaire : la fonction doit être radialement non bornée :

$$\Vert x\Vert \to \infty ⟹V(x)\to \infty .$$

« Si on s’éloigne du point d’équilibre arbitrairement loin, […] la valeur de la fonction de Lyapunov va être arbitrairement [grande]. Donc, quand $x$ tend à l’infini, $V$ tend à l’infini. » [01:36:04]

• Pourquoi cette condition ? Pour éviter le cas où la fonction de Lyapunov aurait des courbes de niveau non fermées : même avec $\dot{V}<0$, une trajectoire pourrait partir à l’infini en restant dans une courbe de niveau (car $V$ converge vers une constante au lieu de tendre vers l’infini). [01:36:22]
• Avec la condition, toutes les courbes de niveau sont fermées → on est obligé de rester dedans → on converge vers des courbes de niveau de plus en plus petites jusqu’à l’équilibre. « Pourquoi est-ce qu’on n’avait pas ce problème avant ? Parce qu’avant, […] un domaine invariant […] empêchait ce genre de comportement. » [01:37:36]

19. Exemple de stabilité globale sur ${\mathbb{R}}^n$ — [01:38:16]–[01:43:02]

📎 El profe hace referencia à cours6.pdf p. 11 (slides) — Exemple :

$${\dot{x}}_1=-x_1+2x_2^3-2x_2^4,{\dot{x}}_2=-x_1-x_2+x_1{x}_2,$$

fonction de Lyapunov : $V(x_1,x_2)=x_1^2+x_2^4$. (⚠️ Cet exemple n’est pas dans le §6 du syllabus : il est seulement dans les slides.)

• Fonction de Lyapunov non quadratique : $V(x_1,x_2)=x_1^2+x_2^4$ (« subtilité » par rapport à $x_1^2+x_2^2$). Équilibre en $(0,0)$ ; $V$ s’y annule, positive ailleurs, et radialement non bornée (dans n’importe quelle direction, $V\to \infty$).
• Calcul de $\dot{V}$ :

$$\dot{V}=2x_1(-x_1+2x_2^3-2x_2^4)+4x_2^3(-x_1-x_2+x_1{x}_2).$$

• En développant, les termes croisés se simplifient (comme dans l’exemple du §7) :

$$\dot{V}=-2x_1^2\underset{=0}{\underbrace{+4x_1{x}_2^3-4x_1{x}_2^4-4x_1{x}_2^3-4x_2^4+4x_1{x}_2^4}}=-2x_1^2-4x_2^4<0.$$

• On conclut que le système est globalement stable sur tout ${\mathbb{R}}^n$ : quelle que soit la condition initiale, la trajectoire converge vers l’origine.

« Au final, on n’a bien que des termes négatifs. […] On conclut que ce système dynamique-là est globalement stable sur tout ${\mathbb{R}}^n$. » [01:41:43]

• Application (contrôle) : « si vous avez un contrôleur dans un avion, vous êtes sûr que quelle que soit la situation […] on est toujours dans le bassin d’attraction, donc ça convergera toujours vers le comportement voulu. C’est vraiment très important pour établir une forme de robustesse du système. » [01:42:25]

20. Principe de La Salle — [01:43:02]–[01:52:44]

« Dernier slide […] vous avez parlé tout à l’heure du cas où on pouvait avoir une décroissance de $\dot{V}$ […] qui s’annule alors qu’on n’est pas à l’équilibre. Et bien ça, ça va être traité par le principe de La Salle. » [01:43:02]

🎓 syllabus : Notes_modelisation.pdf Théorème 6 « Principe de La Salle » (p. 19) — Soit un système $\dot{x}=F(x)$, avec $F\in C^1$ et un ensemble compact invariant $D\subset {\mathbb{R}}^n$. S’il existe une fonction $V:D\to \mathbb{R}$ telle que $V\in C^1$ et $\dot{V}(x)\le 0\forall x\in D$, alors toute solution partant de $x_0\in D$ converge asymptotiquement vers le plus grand ensemble invariant sur lequel $\dot{V}=0$.

• Ici, pas besoin que $x^{\ast }$ soit un équilibre (mais ça peut l’être), et $\dot{V}$ peut être $\le 0$ (pas nécessairement strictement négative).
• Conclusion : les trajectoires partant de $D$ convergent asymptotiquement vers le plus grand ensemble invariant contenu dans la région $\{\dot{V}=0\}$ :

« Toutes les trajectoires qui partent de $D$ […] vont converger asymptotiquement vers le plus grand ensemble qui est invariant dans la région $\dot{V}=0$. […] Et si notamment vous pouvez montrer que cette région c’est juste un point, vous convergez alors vers ce point qui est le point d’équilibre. » [01:44:02]

Application : le pendule amorti — [01:46:03]–[01:52:44]

📎 El profe hace referencia à cours6.pdf p. 12 (slides) — Exemple : pendule amorti (systèmes dissipatifs en général)

$${\dot{x}}_1=x_2,{\dot{x}}_2=-\frac{g}{l}\sin x_1-b{x}_2,D\subset ]-\pi ,\pi [\times \mathbb{R}.$$

(⚠️ Cet exemple est dans les slides ; le syllabus §6.2 (p. 18) ne donne que l’énoncé général du principe de La Salle et le cas des systèmes gradients. Le g/l du syllabus est écrit « $gl$ » dans le texte OCR — voir Doutes.)

• On prend l’énergie comme fonction de Lyapunov : $x_1=\theta$, $x_2=\dot{\theta }$.

$$E=\frac{1}{2}m{l}^2{x}_2^2+mgl(1-\cos x_1).$$

• La région où $\dot{E}=0$ est celle où $x_2=0$ (la vitesse s’annule), c’est-à-dire l’axe $x_2=0$ (attention : $\dot{E}$ = variation de l’énergie, nulle quand $x_2=0$).
• Recherche du plus grand ensemble invariant dans $\{x_2=0\}$ : on suppose $x_1>0$ et $x_2=0$.
  • ${\dot{x}}_1=x_2=0$ → on est sur une isocline (on ne va ni à gauche ni à droite, au mieux verticalement).
  • ${\dot{x}}_2=-\frac{g}{l}\sin x_1$ : pour $x_1\in ]0,\pi [$, $\sin x_1>0$ donc ${\dot{x}}_2<0$ ; pour $x_1\in ]-\pi ,0[$, ${\dot{x}}_2>0$ → on sort de l’axe → pas invariant.
  • Le seul point invariant de $\{x_2=0\}$ est donc $x_1=0$ (l’équilibre).
• Par le principe de La Salle, on converge vers l’équilibre $0$ — à condition de bien choisir $D$ :

« Il y a juste un truc que je n’ai pas fait ici, c’est que je n’ai pas caractérisé l’ensemble invariant. Donc évidemment, toutes les trajectoires ne convergent pas vers zéro. Je peux avoir des trajectoires qui convergent vers $2\pi$, vers $4\pi$, suivant que le pendule peut faire plusieurs tours. Et donc, pour caractériser la région $D$, il faut encore considérer les courbes de niveau de $E$ » [01:51:56]

• En choisissant $D$ (dans $]-\pi ,\pi [$) délimité par une courbe de niveau de $E$ autour de l’équilibre, on est assuré de converger vers $0$ (trajectoires en spirale).

21. Conclusion et annonces — [01:52:44]–[01:54:21]

« Aujourd’hui [c’était] un peu plus technique qu’à l’habitude, vous aurez des exercices en TD. […] Il faut bien comprendre que c’est une fonction de Lyapunov. Il y a quelques résultats, mais c’est un peu toujours la même chose. Et puis, savoir l’appliquer correctement, vérifier que vous avez bien une fonction de Lyapunov. » [01:52:53]

• Ce qu’on ne demandera pas : « on ne vous demandera pas de trouver une fonction de Lyapunov, genre $x_1^2+x_2^4$. Ça peut être très difficile à trouver. » [01:53:15]
• Annonce de la semaine prochaine : « ce sera plus descriptif, un peu plus amusant. On parlera de systèmes périodiques, aussi de systèmes chaotiques, avec quelques illustrations pratiques. » [01:53:25]
• Ensuite une semaine de pause, puis on attaque le stochastique (encore technique).

🎓 syllabus : Notes_modelisation.pdf — le cours qui suit (périodique/chaotique) correspond aux § 7 « Cycles limites (de systèmes en temps continu) » (p. 19 sq.) et § 8 du syllabus : orbite fermée isolée $=\Gamma =\{x_0:x(x_0,T)=x_0\}$ (les orbites périodiques d’un centre ne sont pas des cycles limites car non isolées), cycle stable/instable, variété stable/instable, application/section de Poincaré, multiplicateurs de Floquet (${\eta }_1=1$, stabilité marginale), sensibilité aux conditions initiales et exposant de Lyapunov $\lambda$ (à ne pas confondre avec la fonction de Lyapunov). (syllabus § 7–8)

• Ressources : « il y a aussi des notes disponibles sur WebCampus ; j’envisage très sérieusement de les remettre à jour pour le stochastique puisque j’ai rajouté de la matière […]. N’hésitez pas à [les] télécharger plus tard, je vous préviendrai. » [01:53:46]

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Points clés

• Stabilité (Lyapunov) : $\forall \epsilon >0,\exists \delta >0:\Vert x_0-x^{\ast }\Vert <\delta \Rightarrow \Vert x(t,x_0)-x^{\ast }\Vert <\epsilon \forall t\ge 0$. Instable = non stable. Attractif : $\exists \delta >0:\Vert x_0-x^{\ast }\Vert <\delta \Rightarrow {\lim }_{t\to \infty }x(t)=x^{\ast }$. Asymptotiquement stable = stable + attractif ; exponentiellement stable s’il existe $C,\lambda >0$ avec $\Vert x(t)-x^{\ast }\Vert \le C{e}^{-\lambda t}$.
• Stable sans attractif : le centre (valeurs propres sur l’axe imaginaire ; pendule non amorti) — « marginalement stable ». Attractif sans stable : cas 2D tordu (équilibre en $(1,0)$).
• Linéarisation (rappel) : $\Re \{{\lambda }_i\}<0\forall i\Rightarrow$ asymptotiquement (et exponentiellement) stable ; $\Re \{{\lambda }_i\}>0$ pour un $i\Rightarrow$ instable ; $\Re \{{\lambda }_i\}=0\Rightarrow$ rien ne peut être conclu.
• Fonction de Lyapunov : $V(x^{\ast })=0$, $V(x)>0$ ailleurs sur $D$, $V\in C^1$, $\dot{V}(x)=\nabla V\cdot f\le 0$ → stable ; $\dot{V}<0$ strict → asymptotiquement stable. Les ensembles de niveau de $V$ sont invariants.
• Difficulté : pas de méthode systématique pour trouver $V$ (on essaiera une quadratique ; sinon elle est donnée).
• Temps discret : condition $V(x_{n+1})<V(x_n)$, i.e. $V(F(x))<V(x)$.
• Énergie : conservatif ($m\ddot{x}=-\frac{dU}{dx}$) → $\dot{E}=0$ (stable) ; dissipatif ($m\ddot{x}=-\frac{dU}{dx}-b\dot{x}$) → $\dot{E}=-b{\dot{x}}^2\le 0$. Attention : $\dot{E}=0$ dès que $\dot{x}=0$ hors équilibre → principe de La Salle.
• Pendule inversé : $m{l}^2\ddot{\theta }=mgl\sin \theta -ml\cos \theta u-b\dot{\theta }$. Contrôle $u=2g\tan \theta$ → gravité « inversée », $E=\frac{1}{2}m{l}^2{\dot{\theta }}^2+mgl(1-\cos \theta )$, équilibre en $\theta =0$ (haute). Valable seulement près de la verticale.
• Stabilité globale dans $D$ : besoin de $D$ compact invariant ; si pas de $D$, chercher $V$ (les ensembles de niveau donnent $D$). Estimation du bassin = plus grande courbe de niveau incluse dans $\{\dot{V}<0\}$.
• Systèmes gradients : $\dot{x}=-\nabla V$ → $\dot{V}=-\Vert \nabla V{\Vert }^2<0$ (sauf aux points stationnaires). Exemple ${\dot{\theta }}_1=K\sin ({\theta }_1-{\theta }_2)-\sin {\theta }_1$, ${\dot{\theta }}_2=K\sin ({\theta }_2-{\theta }_1)-\sin {\theta }_2$.
• Lyapunov quadratique du linéarisé : $V=x^{T}Px$, $P\succ 0$ ; continu $J^{T}P+PJ\prec 0$ ; discret $J^{T}PJ-P\prec 0$. Résoluble numériquement (MATLAB).
• Barbashin-Krasovskii (global sur ${\mathbb{R}}^n$) : ajouter la condition radialement non bornée $\Vert x\Vert \to \infty \Rightarrow V(x)\to \infty$ (courbes de niveau fermées). Exemple $V=x_1^2+x_2^4$.
• Principe de La Salle : $D$ compact invariant, $\dot{V}\le 0$ → convergence vers le plus grand ensemble invariant dans $\{\dot{V}=0\}$. Application : pendule amorti ($E$, $\{x_2=0\}$ → équilibre $0$).
• Suite : systèmes périodiques et chaotiques, puis pause, puis stochastique. Exercices en TD.

Doutes / à vérifier

• ⚠️ Exemple « instable mais attractif » (§3.2) : les équations exactes sont uniquement dans les slides (cours6.pdf p. 3), pas dans le §6 du syllabus, et le PDF des slides est illisible à cet endroit ; non détaillées oralement. Ne pas les inventer — les récupérer sur la slide p. 3.
• ⚠️ Exemple gradient (§15.2) : la fonction $V$ ($V=K\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)-\cos {\theta }_1-\cos {\theta }_2$ ?) est reconstruite d’après le cours ; le syllabus § 6.2 (p. 18) ne donne pas cet exemple (il ne donne que le cas général $\dot{x}=-\nabla V$). Les coefficients ($K$, signes) sont à vérifier sur la slide.
• ⚠️ Exemple global ${\mathbb{R}}^n$ (§19) : l’équation ${\dot{x}}_1=-x_1+2x_2^3-2x_2^4$ provient des slides (cours6.pdf p. 11), pas du §6 du syllabus ; l’OCR des exposants est incertain ; à vérifier (le calcul de $\dot{V}$ donne bien $-2x_1^2-4x_2^4<0$).
• ⚠️ Contradiction syllabus ↔ slides (temps discret) : la note 5 du syllabus (p. 18) écrit « $J^{T}PJ>0$ » alors que les slides (p. 10) écrivent « $J^{T}PJ-P<0$ ». La forme des slides est la bonne ; le syllabus semble avoir une coquille (probablement $J^{T}PJ-P<0$). À signaler au profe.
• ⚠️ Contenu absent du syllabus : l’énergie comme fonction de Lyapunov (§10), le pendule inversé (§11) et l’exemple « instable mais attractif » (§3.2) ne sont pas rédigés au §6 du syllabus : ils ne figurent que dans les slides cours6.pdf (p. 3, 6–7). La définition d’équilibre exponentiellement stable n’apparaît dans le syllabus qu’en note de bas de page 4 (p. 17).
• Noms propres (ASR à corriger) : « la couneuf / lapin-off / air-pouille / la pli 9 / fonction gap 9 / imponible / pruneuf / la Pouneuf / à point neuf / Akunov / Aponoff » → fonction de Lyapunov ; « Bar-Bachin et Krasovski » → Barbashin-Krasovskii ; « principe de la salle » → principe de La Salle ; « Pampule 1 » → vidéo de pendule(s) inversé(s) ; « saveways » → Segway.
• Références orales ambiguës à éclaircir :
  • « FG » (§1, §2) : collègue qui a introduit les notions de stabilité — identité exacte ?
  • « le cours de l’année prochaine, le 23, pour deux ans » [00:43:20] et « vous aurez l’occasion de voir en détail en 6 secondes » [01:01:20] → probablement « en BAC 3 » / un cours ultérieur ; texte ASR incertain.
  • « le pendule normal » vs « pendule inversé » : le profe signale que les signes diffèrent ; équation à confronter au cours 1/2.
• Notation pendule amorti (§20) : le syllabus écrit -\frac{g}{l}\sin x_1 - b x_2 (le g/l est écrit « gl » dans l’OCR) — à confirmer.
• Date de la séance : Modelisation - 6.m4a transcrit le 2026-10-15 (jeudi) ; à ajuster si la séquence réelle des cours diffère (la note du Modélisation - Cours 5 indique une autre date).