TD - Méca.Point - 1

TD — Mécanique du point 1 : cinématique, repères et composition des vitesses

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1. Contexte : première séance de TD (mise en douceur) — [00:00]

• Le prof avait pensé annuler la séance («j’avais vraiment envie d’annuler une heure avant»), mais il a décidé de faire une petite séance, tout doucement, pour mettre tout le monde au même niveau — [00:04].
• Exercices faits « tout doucement » ; on n’ira pas trop loin. Plus d’exercices la semaine prochaine — [01:08].
• C’est un cours qui touche un peu plus à la physique que les autres → il y a une part d’intuition / sens physique (approche physique du problème), mais sans basculer dans la physique — [01:27].
• C’est la grosse introduction de ce qui se fera en Bac 3 ; c’est la première fois que ce prof donne ce cours-ci (son autre cours, il le donne depuis plusieurs années) — [01:59].
• Certains étudiants repassent le cours pour la 2ᵉ fois (l’ont déjà fait l’année dernière) — [02:22].
• Première partie du cours : la cinématique — les repères, les vitesses et les accélérations — [02:34].

• 📌 Avis du prof : « Arrêtez-moi si vous ne l’avez pas vu » (ces rappels ne sont probablement pas neufs pour tout le monde) — [02:51].

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2. Rappels : vecteurs, norme, vitesse et accélération — [03:01]

Écriture vectorielle

• Un vecteur s’écrit via ses composantes (projetées sur une base) : plan → 2 composantes, 3D → 3 composantes — [03:34].
• Le vecteur position peut s’appeler X, R ou A, comme on veut ; dans l’écriture générale on utilise x₁, x₂, x₃ — [03:27].
• Composantes notées x₁, x₂, x₃ par rapport à une base E₁, E₂, E₃ (ou x, y, z ; on peut aussi écrire e₁, e₂, e₃) — [03:51].
• Dans les slides les vecteurs sont en gras ; au tableau le prof met des flèches — c’est la même chose, chacun fait comme il veut — [03:54].
• Norme d’un vecteur : rappel (vous connaissez déjà) — [04:17].

Vitesse et accélération — [04:30]

• Vecteur vitesse $\vec{v}=\frac{d\vec{x}}{dt}$ : on dérive le vecteur position par rapport au temps. Concrètement : on dérive chaque composante x₁, x₂, x₃ par rapport au temps, puis on réécrit le tout dans la bonne base E₁, E₂, E₃.
• Vecteur accélération $\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d^2\vec{x}}{d{t}^2}$ : dérivée seconde de la position (ou dérivée première de la vitesse).

• C’est un rappel ; normalement tout le monde l’a déjà vu — [04:59].

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3. Mouvements absolu, relatif et d’entraînement — [05:14]

• C’est l’introduction (on fera plus d’exercices la semaine prochaine) — [05:16].
• Mouvement absolu : mouvement du point $P$ par rapport à un repère fixe (qui ne bouge pas) — [05:24].
• Mouvement relatif : le même mouvement de $P$, mais par rapport à un repère mobile — [05:36].
• Mouvement d’entraînement : le mouvement du repère mobile lui-même par rapport au repère fixe — [05:44].

Théorème de composition des vitesses — [05:54]

$${\vec{v}}_{\text{abs}}={\vec{v}}_{\text{rel}}+{\vec{v}}_{\text{entr}}$$

• $P$ bouge dans un repère mobile qui lui-même bouge par rapport au repère fixe → pour obtenir la vitesse absolue de $P$ il faut sommer les deux vitesses — [06:12].

« C’est déjà tout pour le repère ; le reste se fera par les exercices d’aujourd’hui. » — [06:29]

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4. Exercice 1 : vecteur position → vitesse et accélération — [07:07]

Énoncé (complet)

On donne un vecteur position sous deux formes équivalentes — la liste des composantes ou la somme « composante × vecteur de base » ; le prof insiste : « ces deux formes sont exactement la même chose, seule différence : on précise le repère dans lequel on travaille » — [08:19]. Exemple du cours (le vecteur de position suivant) — [17:02] :

$$\vec{r}(t)=\cos \omega t{\vec{E}}_1+\sin \omega t{\vec{E}}_2+0{\vec{E}}_3=(\cos \omega t,\sin \omega t,0)$$

L’appellation « vecteur » est la même que celle qui entrera dans la slide ; on peut écrire $\vec{x}$, $\vec{r}$, $\vec{X}$… — [07:11]

Questions du corrigé :

1. Vérifier que les vecteurs vitesse et accélération sont perpendiculaires — [18:37].
2. Vérifier que $\Vert \vec{a}\Vert \propto \Vert \vec{r}\Vert$ (produit scalaire) — [27:45].
3. Montrer que $\vec{r}\times \vec{v}$ (produit vectoriel) est un vecteur constant — [34:49].

Dérivation du vecteur (le prof dérive d’abord) — [17:02]

$$\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=\left(-\omega \sin \omega t,\omega \cos \omega t,0\right)$$ $$\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\left(-{\omega }^2\cos \omega t,-{\omega }^2\sin \omega t,0\right)=-{\omega }^2\vec{r}$$

4.1 Vérifier que vitesse et accélération sont orthogonales — [18:37]

L’outil pour vérifier l’orthogonalité de 2 vecteurs : le produit scalaire — [20:06]. On développe composante à composante :

$$\vec{v}\cdot \vec{a}=(-\omega \sin \omega t)\cdot (-{\omega }^2\cos \omega t)+(\omega \cos \omega t)\cdot (-{\omega }^2\sin \omega t)$$ $$={\omega }^3\sin \omega t\cos \omega t-{\omega }^3\sin \omega t\cos \omega t=0$$

Le produit des composantes « cosinus fois sinus » s’annule (même produit, termes opposés) → $\vec{v}\perp \vec{a}$.

4.1bis Remarque importante : accélération centrale — [24:29]

• Le vecteur position est, par définition, toujours dirigé de l’origine vers l’extérieur (quel que soit le sens) ; le vecteur accélération, lui, va vers l’origine — [25:36].
• Ici on a réécrit $\vec{a}=-{\omega }^2\vec{r}$ (toutes les composantes portent le facteur $-{\omega }^2$) → $\vec{a}$ est proportionnel au vecteur position et de sens opposé ($\vec{a}\parallel \vec{r}$ mais opposé) : pas $\vec{a}={\omega }^2\vec{r}$, la constante est $-{\omega }^2$ — [24:51].
• C’est ce qu’on appelle une accélération centrale (dirigée vers l’origine) — [24:38].

⚠️ Important : le $-$ donne le sens — c’est bien un vecteur dirigé vers l’origine. Le prof insiste : « je vous l’ai dit à l’oral, mais notez-le bien ». Très utile plus tard pour les forces centrales (Bac 3) — [27:06].

4.2 Norme de l’accélération proportionnelle à la norme de la position — [27:45]

Symbole : « ∝ » signifie proportionnel — compare $\Vert \vec{a}\Vert$ et $\Vert \vec{r}\Vert$ — [28:02].

$$\Vert \vec{a}\Vert ={\omega }^2\Vert \vec{r}\Vert$$

• La constante multiplicatrice est ${\omega }^2$ — [34:14].
• Oui, ici elle est bien proportionnelle : $\Vert \vec{a}\Vert ={\omega }^2\cdot \Vert \vec{r}\Vert$ — [34:18].

4.3 Produit vectoriel constant — [34:49]

D’abord le prof vérifie que tout le monde se souvient du produit vectoriel (certains ne venaient pas d’algèbre, d’autres l’ont fait différemment) — [35:11]. On se place dans la base E₁, E₂, E₃ et on écrit les composantes de $\vec{r}$ et de $\vec{v}$ :

	${\vec{E}}_1$	${\vec{E}}_2$	${\vec{E}}_3$
$\vec{r}$	$\cos \omega t$	$\sin \omega t$	0
$\vec{v}$	$-\omega \sin \omega t$	$\omega \cos \omega t$	0

Développement du déterminant (composante par composante) :

• ${\vec{E}}_1$ : $\sin \omega t\cdot 0-0\cdot \omega \cos \omega t=0$ → $\times {\vec{E}}_1$ — [37:27].
• ${\vec{E}}_2$ : $0\cdot (-\omega \sin \omega t)-\cos \omega t\cdot 0=0$ → $\times {\vec{E}}_2$ — [37:47].
• ${\vec{E}}_3$ : $\cos \omega t\cdot (\omega \cos \omega t)-\sin \omega t\cdot (-\omega \sin \omega t)$ — [38:02].
  • premier terme : $\omega {\cos }^2\omega t$ ;
  • deuxième terme : « moins × moins = plus » → $+\omega {\sin }^2\omega t$.
  • Total : $\omega ({\cos }^2\omega t+{\sin }^2\omega t)=\omega$ — [38:13].

Résultat :

$$\vec{r}\times \vec{v}=\omega {\vec{E}}_3$$

Ce vecteur est constant : il ne dépend que de $\omega$ (qui est une constante) et pas explicitement de $t$ — [38:44].

⚠️ Cuidado con los signos au développement du déterminant : dans la composante E₃ le terme en sin multiplie $-\omega \sin$ → « moins × moins = plus » (sinon le résultat final serait faux).

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5. Exercice 2 : dérivée de la norme (identité à toute épreuve) — [40:11]

Énoncé

On pose un vecteur $\vec{x}$ écrit par ses composantes (x₁, x₂, x₃). Montrer l’identité — [40:21] :

$$\frac{d}{dt}\Vert \vec{x}\Vert =\frac{\vec{x}\cdot \dot{\vec{x}}}{\Vert \vec{x}\Vert }$$

On doit donc écrire trois expressions puis vérifier : $d\vec{x}/dt$, $\Vert \vec{x}\Vert$, et $d\Vert \vec{x}\Vert /dt$ — [41:22]. À la fin on reconnaît un produit scalaire — [41:45].

Correction complète (pas à pas) — [48:49]

1. Dérivée du vecteur, composantes : $\dot{\vec{x}}=\frac{d\vec{x}}{dt}=({\dot{x}}_1,{\dot{x}}_2,{\dot{x}}_3)$ — [57:15].
2. Norme : $\Vert \vec{x}\Vert =\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}=\sqrt{\sum x_i^2}$ — [57:29].
3. Dérivée d’une racine (règle) : $(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ — [58:49].
4. On dérive l’intérieur (règle de la chaîne : $(x_i^2{)}^{\prime }=2x_i{\dot{x}}_i$) :

$$\frac{d}{dt}\Vert \vec{x}\Vert =\frac{1}{2\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}}\cdot \left(2x_1{\dot{x}}_1+2x_2{\dot{x}}_2+2x_3{\dot{x}}_3\right)$$

5. On simplifie le facteur 2 (×2/÷2) — [01:00:06] ; puis on simplifie la racine du dénominateur avec celle du numérateur ($1/\sqrt{}\cdot \sqrt{}$) — [01:00:13–01:00:46] :

$$\frac{d}{dt}\Vert \vec{x}\Vert =\frac{x_1{\dot{x}}_1+x_2{\dot{x}}_2+x_3{\dot{x}}_3}{\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}}$$

6. On reconnaît le produit scalaire composante à composante : $\vec{x}\cdot \dot{\vec{x}}=x_1{\dot{x}}_1+x_2{\dot{x}}_2+x_3{\dot{x}}_3$ — [01:00:50–01:01:35]. Les deux expressions sont équivalentes : l’identité est démontrée — [01:01:35].

Relation valable pour n’importe quel vecteur (pas seulement la position) — d’où les applications.

Application : vitesse de norme constante ⇒ accélération ⊥ vitesse — [01:01:48]

Le prof donne l’énoncé : « Si une particule se meut à une vitesse de norme constante, alors son accélération est constamment perpendiculaire à la vitesse. »

• L’identité est vraie pour n’importe quel vecteur, donc aussi pour $\vec{v}$ — [01:02:16].
• On applique la relation avec $\vec{x}=\vec{v}$ :

$$\frac{d}{dt}\Vert \vec{v}\Vert =\frac{\vec{v}\cdot \dot{\vec{v}}}{\Vert \vec{v}\Vert },\dot{\vec{v}}=\vec{a}$$

• $\Vert \vec{v}\Vert$ constante ⇒ sa dérivée vaut 0 : $\frac{d}{dt}\Vert \vec{v}\Vert =0$ ⇒ $\vec{v}\cdot \vec{a}=0$ — [01:03:14].
• Conclusion : $\vec{v}\perp \vec{a}$.

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6. Exercice 3 : cerceau (disque) qui roule sans glisser — [01:05:28]

Énoncé (complet) — [01:05:28]

• Un disque de rayon $a$ roule sans glisser sur l’axe OX : chaque point de la circonférence vient toucher l’axe de manière instantanée (pas de glissement) — [01:05:49].
• Condition initiale à $t=t_0=0$ : le centre M est sur l’axe O, en $(0,a)$ ; le point $P$ de la circonférence qui touche l’axe est en $O=(0,0)$ — [01:06:01].
• Objectif : trouver le vecteur position de $P$ en fonction du temps : $\overrightarrow{OP}(t)$.

⚠️ Attention : ce n’est pas $\overrightarrow{MP}$, c’est bien $\overrightarrow{OP}$ (par rapport à l’origine O) — [01:09:17]. Il faut donc passer par les vecteurs intermédiaires qui aident à déterminer OP.

Stratégie : $OP=OM+MP$ — [01:08:48]

États en $t=0$ — [01:08:40]

• $M$ : en $x\to 0$ ; en $y\to a$ → $M=(0,a)$ — [01:09:37].
• $P$ : il se situe en $O$ (le point qui touche l’axe) → $P=(0,0)$ — [01:10:05].
• $MP$ : en $t=0$, $P$ est verticalement sous $M$ → $\overrightarrow{MP}=(0,-a)$ — [01:10:18].

Paramétrage par l’angle $\theta$ — [01:12:36]

• Au cours du roulement, on définit l’angle $\theta$ entre la verticale et $\overrightarrow{MP}$ — [01:12:57].
• Difficulté : le centre M reste toujours à la même hauteur $a$ (stagnant en $y$), mais avance en $x$ ; le point P, lui, bouge aussi bien en $x$ qu’en $y$ — [01:13:12].

OM : mouvement du centre (arc déroulé) — [01:15:04]

• En $y$, M reste toujours à la hauteur $a$ ; en $x$, l’avance correspond à l’arc de circonférence déroulé (roulement sans glissement) — [01:14:50].
• Étudiant : « c’est l’angle lui-même, en radian ». Le prof complète : il manque × le rayon → $x_M=a\theta$ — [01:15:41–01:16:09].

$$\boxed{\overrightarrow{OM}=(a\theta ,a)}$$

MP : rotation du point autour du centre — [01:16:48]

• $P$ tourne autour de $M$ : sa position n’est plus simplement $(0,-a)$ ; $x$ et $y$ changent tous les deux → il faut sin et cos — [01:17:04].
• Trigonométrie (angle mesuré depuis la verticale) : l’adjacent (cos) est sur $y$, l’opposé (sin) est sur $x$ — c’est l’inverse de l’habitude (coordonnées polaires où l’angle se mesure depuis l’axe $X$) → un peu contre-intuitif — [01:17:26–01:17:56].

$$\overrightarrow{MP}=(a\sin \theta ,a\cos \theta )$$

OP (résultat final) — [01:18:01]

On somme les deux vecteurs :

$$\boxed{\overrightarrow{OP}=(a\theta +a\sin \theta ,a+a\cos \theta )}$$

(avec $\theta =\theta (t)$). C’est bien la position de $P$ par rapport à l’origine $O$, en fonction de l’angle $\theta$ — [01:18:51].

Suite de l’exercice : vitesse et accélération de P — [01:19:08]

« La suite est un peu plus simple : calculer le vecteur vitesse et le vecteur accélération. Je vous laisse le faire (~5 min), puis je mets la solution » — [01:19:16–01:19:46].

Développement complet (dériver chaque composante de $\overrightarrow{OP}$) :

• Composante $x$ : $\frac{d}{dt}\left(a\theta +a\sin \theta \right)=a\dot{\theta }+a\dot{\theta }\cos \theta$.
• Composante $y$ : $\frac{d}{dt}\left(a+a\cos \theta \right)=-a\dot{\theta }\sin \theta$.

$$\vec{v}=\frac{d\overrightarrow{OP}}{dt}=\left(a\dot{\theta }(1+\cos \theta ),-a\dot{\theta }\sin \theta \right)$$

En dérivant une 2ᵉ fois (règle du produit et de la chaîne) :

• $x$ : $a\ddot{\theta }+a\ddot{\theta }\cos \theta -a{\dot{\theta }}^2\sin \theta$ ;
• $y$ : $-a\ddot{\theta }\sin \theta -a{\dot{\theta }}^2\cos \theta$.

$$\vec{a}=\left(a\ddot{\theta }(1+\cos \theta )-a{\dot{\theta }}^2\sin \theta ,-a\ddot{\theta }\sin \theta -a{\dot{\theta }}^2\cos \theta \right)$$

Correction du signe (question d’un étudiant, fin de séance) — [01:24:19]

• Étudiant : « le dernier signe, c’est pas un moins ? le dernier terme : $-a{\dot{\theta }}^2\cos \theta$ » — [01:26:08].
• Le prof confirme : le moins est bien dans l’égalité (dans l’expression de la composante $y$ de $\vec{a}$) — [01:26:16] ; il n’avait pas vu qu’il faut dériver le terme complet entre parenthèses → dériver $-a\dot{\theta }\sin \theta$ donne $-(a\ddot{\theta }\sin \theta +a{\dot{\theta }}^2\cos \theta )$ — [01:26:20].

⚠️ Cuidado : ne pas oublier le signe $-$ qui précède le terme en $\cos \theta$ dans la composante $y$ de l’accélération (il vient de la dérivée de $\sin \theta$ → $\dot{\theta }\cos \theta$ multipliée par le $-$ déjà présent).

📌 Remarque (hors corrigé) : si le disque tourne à vitesse angulaire constante ($\dot{\theta }=\omega$, $\ddot{\theta }=0$), les termes en $\ddot{\theta }$ s’annulent et il reste des termes de type centripète dirigés vers $M$ ; la trajectoire de $P$ est une cycloïde.

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Points clés — [résumé]

• Un vecteur → composantes + base (E₁, E₂, E₃ ou x, y, z) ; 2 composantes en plan, 3 en 3D ; appelations X, R ou A ; gras dans les slides ↔ flèche au tableau ; norme.
• Vitesse = dérivée 1ère du vecteur position ; accélération = dérivée 2de (ou 1ère de la vitesse) — dériver chaque composante et la réécrire dans la base.
• Trois mouvements : absolu (repère fixe), relatif (repère mobile), d’entraînement (mouvement du repère mobile vs fixe).
• ${\vec{v}}_{abs}={\vec{v}}_{rel}+{\vec{v}}_{entr}$.
• Deux écritures équivalentes d’un vecteur : liste de composantes ou somme « composante × vecteur de base » — même chose, on précise le repère.
• Mouvement $\vec{x}=R(\cos \omega t,\sin \omega t)$ : $\vec{v}=\omega (-\sin \omega t,\cos \omega t)$, $\vec{a}=-{\omega }^2\vec{x}$ (accélération centrale, vers l’origine), $\vec{v}\perp \vec{a}$ (produit scalaire nul), $\Vert \vec{a}\Vert ={\omega }^2\Vert \vec{x}\Vert$, $\vec{r}\times \vec{v}=\omega {\vec{E}}_3$ (constant, via déterminant).
• Identité $\frac{d}{dt}\Vert \vec{x}\Vert =\frac{\vec{x}\cdot \dot{\vec{x}}}{\Vert \vec{x}\Vert }$ (dériver la racine : $\frac{1}{2\sqrt{}}\cdot 2\sum x_i{\dot{x}}_i$, simplifier 2 et racine) → valable pour tout vecteur → vitesse de norme constante ⇒ $\vec{v}\perp \vec{a}$.
• Roulage sans glissement : $\overrightarrow{OP}=OM+MP$ avec $OM=(a\theta ,a)$, $MP=(a\sin \theta ,a\cos \theta )$ → $OP=(a\theta +a\sin \theta ,a+a\cos \theta )$.
• Vitesse de P : $\vec{v}=(a\dot{\theta }(1+\cos \theta ),-a\dot{\theta }\sin \theta )$ ; accélération : $\vec{a}=(a\ddot{\theta }(1+\cos \theta )-a{\dot{\theta }}^2\sin \theta ,-a\ddot{\theta }\sin \theta -a{\dot{\theta }}^2\cos \theta )$ — attention au signe $-$ du dernier terme.