AR I - Cours 02

AR I — Cours 2 : propriété d’Archimède, valeur absolue et début des suites

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Couverture du support

• Syllabus : AnalyseI.Sylabus.pdf → §1.3 La propriété d’Archimède et ses conséquences (p. 12–13) + §1.4 Valeur absolue d’un nombre réel (p. 14–15), puis l’ouverture de §2.1 Convergence et divergence de suites réelles (p. 16, jusqu’à la Prop. 2.3 — unicité de la limite). Reprend exactement où s’arrêtait le AR I - Cours 01 (au Théorème 1.28). Voir AR I - Avance.
• Énoncés traités : 1.28 (Archimède), 1.29 (partie entière), 1.30, 1.31, 1.32 (densité de $\mathbb{Q}$), 1.33 (densité de $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$) · 1.34, 1.35, 1.36 (inégalités triangulaires), 1.37, 1.38 (distance), 1.39, 1.40 (borné) · puis 2.1, 2.2, 2.3 (unicité de la limite).
• Dans le syllabus mais non traité en classe :
  • p. 13 (§1.3) — la notion de décimale : « on pourrait d’ailleurs définir proprement la notion de décimale avec cette notion-là. C’est fait dans le syllabus, je ne vais pas le faire ici. » ⚠️ À noter : le syllabus lui-même ne developpe pas la formalisation complète (« nous ne présenterons pas ici la formalisation complète des écritures décimales ») — il se contente de la définir via l’Archimède.
  • Prop. 1.36 (p. 14) — la 4ᵉ inégalité triangulaire (celle où $|x|>y$ ⟹ $x>y$ ou $x<-y$, « la version à l’extérieur ») : « je ne vais pas la faire […] ça, vous le ferez en exercice. C’est écrit dans le syllabus. »
  • Th. 1.28 (p. 12) — la correction de l’exercice d’Archimède : « vous pouvez essayer de le faire chez vous en exercice, et vous avez la correction dans le syllabus ».
• Slides : chapitre 1 — en attente de réception.

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1. Retour sur le TP et programme de la séance — [00:01:30]

• Les étudiants ont eu le premier TP : « ça s’est bien passé », des exercices de bornes sup avec des $\epsilon$.
• ⚠️ Très important : les TP sont presque plus importants que le cours théorique « si on veut bien comprendre ce qui se passe ».
• Aujourd’hui : la deuxième partie du chapitre 1, qui s’appelle la propriété d’Archimède.
• Argument d’autorité / méthode (insiste plusieurs fois) :
  • C’est une propriété que la plupart des profs ne font pas, mais qu’ils présupposent tout le temps dans leurs cours : « ils l’utilisent tout le temps, mais sans le dire. Et ça, ça ne va pas. »
  • « Nous, ici, on fait des maths sérieuses. Il faut que tout soit explicite, il n’y a pas d’ambiguïté, on explicite tout — même les choses qui ont l’air les plus bébêtes, parce que même les plus bébêtes doivent être démontrées. »
• Origine : Archimède, grec de l’Antiquité, « moins 300, moins 400 avant Jésus-Christ, quelque chose comme ça ».
• Annonce : « On ne s’en rend pas compte, mais c’est très très utile. On va voir aujourd’hui. »

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2. Intuition : la propriété d’Archimède — [00:02:48]

• « Si je prends deux longueurs $X$ et $Y$, une grande et une petite… »
• L’idée : il y a moyen de subdiviser la grande de telle façon que les morceaux soient plus petits que la petite.
  • Pour l’instant $X>Y$. Mais si on accepte de le couper en suffisamment de pièces, les petits morceaux deviennent plus petits que $Y$.
  • Exemple du schéma : on découpe $X$ « 1, 2, 3, 4 » → « maintenant, tous les morceaux sont devenus plus petits que $Y$ ».
  • « Vous êtes d’accord ? Ça a l’air évident. J’ai un grand, mais si je le découpe, ça devient petit. »
• Formulation équivalente : « il existe un découpage, il existe un $N$, tel que quand je découpe $X$ — donc quand je le fractionne — ça devient plus petit que $Y$. Autrement dit, $X$ est plus petit que $N$ fois $Y$. Si je fais passer le $N$ de l’autre côté. »

Énoncé (propriété d’Archimède)

$$\forall x\in \mathbb{R},\forall y\in \mathbb{R},y>0⟹\exists n\in \mathbb{N},x<ny$$

• Précision du prof sur les hypothèses :
  • « Soit $X$ et $Y$ appartenant à $\mathbb{R}$, donc quelconque. Il faut quand même supposer que le $Y$ est positif. »
  • « Chez Archimède, le $X$ aussi était positif, mais en fait, si $X$ est négatif, ça marche trivialement : il suffit de prendre $N$ égal à 1. Donc, prenons un $Y$ positif, $X$ quelconque. »
• C’est une propriété de $\mathbb{R}$ : « on a une propriété de la borne supérieure » (il veut dire : une propriété de $\mathbb{R}$, obtenue grâce à la borne supérieure).

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3. Démonstration de la propriété d’Archimède (par l’absurde) — [00:05:07]

3.1. Mise en place de l’absurde

• « En analyse, on fait souvent des preuves par l’absurde. »
• On suppose que ce n’est pas le cas : $x$ ne peut jamais être plus petit que $ny$.
  • « Ça veut dire que le contraire se passe : quel que soit $n$, $ny$ est plus petit ou égal à $x$. Donc, pour tout $n\in \mathbb{N}$, on a $ny\le x$. Ça, c’est le contraire. »
• « Et on va montrer que ça mène à une absurdité. Et là, tout de suite, je vois apparaître la propriété de la borne supérieure. Rappelez-vous : tout ensemble majoré et non vide admet une borne sup. »
• Quel ensemble majoré ? « C’est majoré par $x$ — plus petit que $x$. Donc, je vais considérer l’ensemble de tous les $ny$. Posons $A$ qui est l’ensemble de tous les $ny$ : »

$$A=\{ny:n\in \mathbb{N}\}$$

3.2. Vérification des hypothèses de la borne supérieure

• $A$ est non vide : « $A$ contient plein de trucs. Il contient $0$ quand $n$ vaut 0, il contient $y$, il contient $2y$, il contient $3y$… Il en contient une infinité. Donc, il est clairement non vide. »
  • Remarque du prof : « Je ne sais même pas pourquoi je mets $n_0$. Le $n$ peut valoir 0, il n’y a rien qui l’empêche. »
• $A$ est majoré par $x$ : « C’est l’hypothèse d’absurdité. »
• Donc $\beta =\sup A$ existe, par la propriété de la borne supérieure.

3.3. Application du critère en $\epsilon$ avec $\epsilon =y$

• « Maintenant, je vais utiliser le fameux critère en $\epsilon$, celui dont on se sert tout le temps. Rappelez-vous : si je retire un petit quelque chose, j’atterris dans l’ensemble. »
• Quel $\epsilon$ choisir ? « Qu’est-ce qui est strictement positif dans l’énoncé ? $y$. Donc, je ne vais pas réfléchir longtemps : je vais prendre $\epsilon$ qui vaut $y$. »

$$\exists a\in A:\beta -y<a$$

• « C’est le fameux critère en $\epsilon$, où j’ai pris $\epsilon$ qui valait $y$. »

3.4. Contradiction

• « $a$ appartient à $A$. Or $A$, c’est tous les multiples de $y$. Ce machin-là, on peut l’écrire $n_0$ fois $y$. »
• On fait passer le $y$ de l’autre côté (attention, on obtient $n_0+1$) :

$$\beta -y<n_{0}y⟹\beta <(n_0+1)y$$

• « $(n_0+1)y$, c’est un multiple de $y$ aussi, donc ça appartient à $A$. »
• « Je viens de montrer que $\beta$ était strictement inférieure à un élément de $A$. Ça, c’est une contradiction. La borne sup, c’est censé être un majorant, donc plus grand que tous les éléments de $A$. »

$$■\text{(La borne supeˊrieure de }A\text{ n’a pas pu eˆtre strictement infeˊrieure aˋ un eˊleˊment de }A\text{.)}$$

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4. Note de style : « t.q. » et le syllabus — [00:09:11]

• Question d’un étudiant sur ce qu’il a écrit après : « il n’existe $a$ qui appartient à $A$, tq… »
• Réponse : « tq, c’est l’abréviation de tel que. »
• « Je rappelle, comme à chaque fois, que j’écris les preuves ici en style télégraphique, je vais vite. »
  • « Si vous voulez des belles rédactions de bonne qualité, bien écrites, elles sont dans le syllabus. Je vous conseille de le lire aussi pour vous abreuver de cette bonne rédaction. »
  • « Mais ici, comme il y a toujours beaucoup de choses à faire en deux heures, je me permets d’aller un peu vite. Ce n’est pas très joli d’écrire une preuve en écrivant donc, donc, donc, donc, donc. C’est un petit peu basique comme façon de rédiger. Dans le syllabus, c’est mieux écrit, ce n’est plus littéraire. »
• « Bon, c’est amusant comme preuve, ce n’est pas très compliqué. »

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5. Conséquence n°1 : l’encadrement par deux entiers — la partie entière — [00:09:52]

5.1. L’énoncé

• « Qu’est-ce que je peux faire après avec ça ? Je peux énoncer un fait très basique : si je prends un nombre réel au hasard sur la droite, il est forcément compris entre deux entiers. »
• « Ça me semble évident, ça. Je fais une droite, je partitionne avec les entiers, et puis je choisis un nombre réel au hasard. Il est forcément compris entre deux entiers : un en dessous et un au-dessus. Vous êtes d’accord ? »

$$\forall x\in \mathbb{R},\exists k\in \mathbb{Z},k\le x<k+1$$

• « Celui qui est en dessous, ça porte un nom : c’est ce qu’on appelle la partie entière de $x$. On le note $\lfloor x\rfloor$ — la partie entière, ou le plancher, certains disent le plancher. C’est celui qui est juste en dessous. »
• « Et celui qui est juste au-dessus, on le note avec les crochets au-dessus $\lceil x\rceil$, et les gens l’appellent parfois le plafond. Il y a le plancher, il y a le plafond. »
• « Moi, en général, je ne vais parler que de celui qui est en dessous, parce que l’autre, c’est plus 1, donc c’est facile. »

5.2. Exercice d’instauration (30 secondes) — [00:11:34]

Le prof pose trois questions et laisse écrire :

1. La partie entière de $3$, c’est combien ?
2. La partie entière de $3,14$, c’est combien ?
3. Et la partie entière de $-3,14$, c’est combien ?

⏸️ Pause de transcription 00:11:58 → 00:14:38 (~2 min 40). Le signal est une répétition en boucle de la consigne « Prenez juste 30 secondes, écrivez les trois réponses sur votre feuille pour voir si vous avez compris » : c’est une pause de travail des étudiants, le professeur se tait. Les trois réponses attendues : $\lfloor 3\rfloor =3$, $\lfloor 3,14\rfloor =3$, $\lfloor -3,14\rfloor =-4$.

• Reprise du prof : « C’est des entiers. Quand il y en a un qui est plus grand que l’autre, il y a au moins une unité d’écart entre les deux. »

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6. Unicité de l’entier $k$ — [00:14:56]

• Hypothèse : on a deux entiers qui conviennent, $k$ et $l$. Le prof combine les deux inégalités :

$$k\le x<k+1\text{et}l\le x<l+1$$

• « C’est des entiers, donc il y a au moins une unité entre les deux : $k+1$ est plus grand ou égal à $l$ » (dans le cas $k\le l$).
• « Et donc, si je combine mes deux inégalités au-dessus, ça veut dire que $x$ est strictement plus petit que… $x$ est strictement plus petit que $l+1$, qui lui-même est plus petit ou égal à $k$, qui lui-même est plus petit ou égal à $x$. »
• Donc $x<l+1\le k\le x$, d’où $x<x$ : « on ne peut pas être strictement plus petit que soi-même. C’est contradictoire. »
• « Et si $k$ est strictement plus petit que $l$, idem : la même preuve, avec les trucs dans l’autre sens. Donc on a bien montré que c’est unique. »

$$■\text{(L’encadrement par deux entiers est unique.)}$$

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7. Existence de l’entier $k$ : les trois cas — [00:16:16]

• « Maintenant l’existence. Bon. Je vais le faire de nouveau en 3 cas. On a bien vu qu’il y avait une différence entre les positifs et les négatifs, que ce n’est pas la même façon de fonctionner. »

7.1. Cas $x=0$ — [00:16:38]

• « Est-ce que c’est vrai pour 0 ? Est-ce qu’il y a une partie entière ? Quel est le petit $k$ entre lequel $0$ est compris, entre $k$ et $k+1$ ? $0$. Il est clair que $0$ est compris entre $0$ et $1$. Ça, c’est clair. Donc ça c’est bon. »

$$k=0:0\le 0<1✓$$

7.2. Cas $x>0$ : c’est ici qu’on utilise Archimède — [00:16:58]

• Dessin : « on est dans les naturels, il est strictement positif, donc je suis uniquement dans la partie positive ».
• « Qu’est-ce que ça va être le $k$ ? Ici ça va être 2 sur mon exemple. Mais comment je le définis ? Et bien je vais utiliser la propriété d’Archimède. Parce que c’est ça l’intérêt de la section. »
• « Que me dit Archimède ? Il existe $n\in \mathbb{N}$ tel que $x$ est plus petit que $n$ fois $y$. Or $y$, je le prends celui que je veux : je peux le prendre égal à 1. Donc $x$ est plus petit que $n$. »
  • ⚠️ C’est exactement là que la propriété d’Archimède sert : « Ah donc il y a un majorant pour $x$. »
• Posons donc

$$A=\{n\in \mathbb{N}:n>x\}$$

• « $3$ par exemple, il y a toujours un majorant. Et bien $3$, c’est quoi ? C’est le plus petit parmi tous ceux qui sont plus grand que $x$. Il y a tous ceux qui sont plus grands que $x$, $3$ c’est le plus petit d’entre eux. Donc en fait c’est le minimum de tous les $n$ plus grands que $x$. »

7.2.1. Question : est-ce que ce minimum existe ? — [00:18:14]

• « Est-ce que ce minimum existe ? Archimède me dit que cet ensemble-là est non vide : il y a au moins un $n$ dedans. C’est ça que me dit Archimède. »
• ⚠️ « Ça, il faut réfléchir. Parce que ce n’est pas la propriété fondamentale de $\mathbb{R}$ — ce n’est pas l’histoire qu’un ensemble majoré admet une borne sup. C’est autre chose ici. D’ailleurs on ne parle pas de borne sup ou de borne inf, on parle d’un minimum. Minimum, c’est plus fort que borne inf. On l’avait vu la fois passée. »
• La propriété utilisée (fondamentale de $\mathbb{N}$) :

Tout ensemble non vide de $\mathbb{N}$ admet un minimum.

• Démonstration (le prof la donne oralement, par récurrence) :
  • « Les naturels c’est très fort, puisque ça s’arrête à 0. On ne peut pas aller en dessous de 0 dans les naturels. Donc les nombres naturels ont un minimum absolu qui est 0. »
  • « Soit c’est 0 le minimum : si c’est le cas, c’est bon. Si c’est pas le cas, j’enlève 0 mais ça devient 1. Si c’est 1, c’est bon. Si c’est pas 1, je l’enlève, ça devient 2. Et donc par récurrence, en continuant comme ça, je vais forcément finir par en trouver un qui est le minimum. »
  • « Donc dans les naturels, tout ensemble non vide admet un minimum. C’est une propriété fondamentale, beaucoup plus forte que la borne sup. C’est vrai dans $\mathbb{N}$. Donc ça, ça existe. »

7.2.2. Conclusion du cas $x>0$ — [00:19:46]

• « Bon bah du coup, ce minimum là… je vais poser $A$ qui est l’ensemble, et le minimum de $A$ existe. »
• « Sur mon dessin, c’est le nombre 3, là. Donc le minimum de $A$, c’est celui qui joue le rôle du $k+1$, celui qui est juste au-dessus. Donc du coup… ⚠️ le prof bredouille et dit textuellement « petit $k$, c’est quoi ? C’est ce minimum-là » — la formulation est contradictoire sur le moment ; mathématiquement, $k=\min A-1$ (voir Doutes). »

7.3. Cas $x<0$ : l’effet miroir — [00:20:40]

• « Bah là, on va faire l’effet miroir, comme d’habitude. Quand je sais faire les positifs, je sais faire les négatifs : parce que si $x$ est négatif, $-x$ est positif, et donc comme j’ai déjà démontré le résultat pour les positifs, je sais qu’il est vrai pour $-x$, qui est positif. »

$$\exists l\in \mathbb{N},l-1\le -x<l$$

• « Il faut multiplier par $-1$ et renverser les inégalités. Donc, ça va donner : strictement plus grand que $-l-1$ et plus petit ou égal à $-l$ », i.e.

$$-l\le x<1-l$$

• ⚠️ Le piège — le prof insiste : « Est-ce que c’est bon, ça ? Là, il faut faire attention, parce qu’on pourrait vite croire qu’on a fini de conclure. Et certains pourront dire : “Bah oui, c’est évident, du coup, le petit $k$ qu’il faut prendre, c’est $-l-1$, c’est lui qui est juste en dessous de $x$.” Sauf que non ! Parce que, quand vous regardez l’énoncé, il faut une inégalité stricte à droite. Et là, je ne l’ai pas : je n’ai pas l’inégalité stricte à droite, c’est une non-stricte. Donc, de deux choses l’une. »
  • Premier cas : si $x$ est strictement compris entre $-l-1$ et $-l$, il suffit de poser $k=-l-1$ et $x$ est bien compris entre les deux.
  • Second cas : si $x$ vaut $-l$ tout pile. « $-l$, c’est déjà un entier lui-même : $l$ appartenait à $\mathbb{N}$, donc $-l$ c’est déjà un entier. Donc c’est comme tantôt le cas de la partie entière de 3 : la partie entière d’un entier, c’est lui-même. Donc là, il suffit de poser $k=-l$, puisque $x$ est déjà un entier. »

7.4. Bilan de la démonstration — [00:24:02]

• « J’ai bien traité tous les cas. Le cas positif se traite en prenant un minimum — ce qui est la caractéristique des nombres naturels. Et le cas négatif se traite par effet miroir : je passe à $-x$ qui va dans les positifs, et lui, je sais le faire. »
• « C’est comme ça qu’on étudie une démo. On n’étudie pas des machins comme ça par cœur. Dans les positifs, c’est la propriété du minimum ; dans les négatifs, on fait le miroir. J’ai résumé toute la démo en une phrase. C’est ça qu’il faut retenir, c’est l’idée essentielle — ce n’est pas retenir tous les détails techniques. »
• « Beaucoup de blabla pour un truc qui est évident visuellement. »

$$■\text{(Pour tout }x\in \mathbb{R}\text{, il existe un unique }k\in \mathbb{Z}\text{ tel que }k\le x<k+1.)$$

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8. Notation, partie fractionnaire, graphique — [00:24:36]

• Notation : « On la note partie entière de $x$, $\lfloor x\rfloor$, avec des crochets vers le bas. »
• Autre notation : « parfois, on introduit aussi cette notation-là : $\{x\}$, c’est $x$ moins sa partie entière. Du coup, c’est quoi ? C’est la partie fractionnaire, c’est la partie décimale. Si vous enlevez la partie entière, il ne reste que la partie décimale. »
• Exemple : « La partie décimale de $3,14$, c’est quoi ? C’est $3,14$ moins la partie entière de $3,14$, c’est-à-dire $3,14-3$, c’est-à-dire $0,14$. Donc c’est vraiment là, je ne récupère que la partie après la virgule. »

$$x-\lfloor x\rfloor$$

• « On pourrait d’ailleurs définir proprement la notion de décimale avec cette notion-là. C’est fait dans le syllabus, je ne vais pas le faire ici. »

8.1. Représentation graphique de $\lfloor \cdot \rfloor$ — [00:25:50]

• « Si on essayait de la représenter visuellement, on va faire comme en secondaire un petit graphique. Vous pourriez essayer de le faire d’ailleurs. »
• Réponse d’un étudiant : « Des escaliers. » → « Oui, oui. »
• Construction commentée :
  • « Entre 0 et 1, ça vaut 0 : $0,\dots$, la partie entière ce sera 0. »
  • « Le 1, je ne dois pas le prendre avec : parce que la partie entière de 1, c’est 1. Donc là, je mets un point vide. »
  • « Et puis entre 1 et 2, c’est $1,\dots$, donc la partie entière ce sera 1. La partie entière de 2, ce sera 2. Et je continue comme ça. »
• « C’est donc une fonction en escalier. C’est intéressant de retenir le graphique de cette fonction. »

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9. La densité — [00:27:42]

• « On va parler d’une notion qui va surtout vous être utile plus tard, dans des cours ultérieurs : la notion de densité. »
• « $\mathbb{R}$, je peux le décomposer en deux parties : les rationnels $\mathbb{Q}$ et les irrationnels $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$. Et les deux ensembles, ça redonne $\mathbb{R}$ tout entier. »
• « On dit souvent que les rationnels et les irrationnels, l’un comme l’autre, sont denses dans $\mathbb{R}$. C’est une expression qu’on entend parfois, et qui deviendra très utile dans les cours ultérieurs. »

9.1. Ce que « dense » veut dire (intuition) — [00:27:54]

• « “Denses”, ça veut dire essentiellement qu’ils sont là partout. C’est-à-dire, je prends n’importe quel passage de la droite réelle, je zoome dessus : il y a forcément des rationnels dedans. Et il y a forcément aussi des irrationnels dedans. Les deux sont présents partout, il n’y a pas de trou. Il n’y a pas de zone dans $\mathbb{R}$ où il n’y aurait pas de rationnel, ou où il n’y aurait pas d’irrationnel. »
• « Les irrationnels, on s’en doute : ce sont les nombres à virgule quelconques, entre guillemets. Ceux-là, on les trouve partout, ça semble évident. Mais les rationnels, donc les fractions d’entiers, elles sont présentes partout aussi. Vous pouvez zoomer où vous voulez, elles sont là. »
• « Donc ça veut dire que si je prends la droite réelle et que je prends deux nombres réels au hasard, $x$ et $y$, aussi proches que je veux — aussi proches que je veux — je vais forcément trouver au milieu un rationnel quelque part. Forcément, il y en a au moins un dedans. Je ne sais pas qui, mais il y en a un dedans. »

9.2. Théorème : les rationnels sont denses dans $\mathbb{R}$ — [00:29:24]

Énoncé :

$$\forall x,y\in \mathbb{R},x<y⟹\exists r\in \mathbb{Q},x<r<y$$

Toute cette heure-ci, on ne fait que des conséquences de la propriété d’Archimède. Le prof le rappelle explicitement.

9.2.1. Qui joue le rôle de $x$ et de $y$ dans Archimède ?

• « Rappelez-vous, dans la propriété d’Archimède, le $y$ devait être strictement positif. »
• « Ici, l’énoncé me parle de $x$ et $y$, mais ce n’est pas ceux-là, parce que dans l’énoncé le $x$ et le $y$ ne sont pas forcément positifs. Qu’est-ce qui est positif alors ? $y-x$ : $x$ est plus petit que $y$, donc $y-x$ est strictement positif. »
• ⚠️ « Il ne faut pas s’en mêler les pinceaux avec les lettres, d’accord ? » (le $y$ d’Archimède, c’est $y-x$ ici)
• Pour le rôle de $x$ : « Je peux prendre ce que je veux comme $x$. Je vais me sacrifier la vie, je vais faire comme tout à l’heure : je vais prendre 1. Si ça ne marche pas, je prendrai un truc plus compliqué, mais je vais commencer avec 1. »

$$\exists n\in \mathbb{N},1<n(y-x)\text{(encadreˊ 1)}$$

• « Distribuons tout ça et remettons du même côté : $1<ny-nx$, donc $nx+1<ny$. »
  • ⚠️ Notation : dans la suite de la séance, le produit $n\times y$ est souvent dicté/abrévié ; la lecture correcte de « $n-y$ » dans ces passages est « $n\times y$ ».

9.2.2. Application de la partie entière

• « Maintenant, je vais utiliser l’autre, la deuxième qu’on a démontrée, l’histoire de la partie entière. J’ai besoin d’utiliser les deux ici. »
• « Il existe un petit $k$ tel que $n\times x$ est compris entre $k$ et $k+1$ (encadré 2) : »

$$k\le nx<k+1$$

9.2.3. Combinaison des deux encadrés

• « Il s’agit maintenant de jouer avec ces deux trucs-là, de les combiner entre eux. Suivez-moi. On part de $nx$. Il est plus petit que $k+1$ (encadré 2). »
• « $k<nx$ \Longrightarrow $k+1$ est plus petit que $nx+1$. »
• « Mais $nx+1$ (encadré 1) est plus petit que $ny$, strictement. »
• « Donc, par transitivité, $k+1$ est strictement plus petit que $ny$. J’oublie celui du milieu qui ne me sert plus à rien. J’ai presque fini là. »

$$k+1<ny$$

9.2.4. Division par $n$ — [00:34:00]

• « Je n’ai plus qu’à diviser par $n$. On divise par le même nombre positif partout, les inégalités sont préservées. »
• ⚠️ Vérification — le prof s’arrête sur ce point : « Est-ce que j’ai le droit de diviser par $n$ ? Est-ce que $n$ est bien non nul ? S’il est nul, je n’ai pas le droit, il faut revenir au début. Est-ce que $n$ est non nul ? Forcément, parce qu’il faut que $1<n(y-x)$ : si $n$ valait 0, ça ne serait pas strictement plus grand que 1. Donc clairement, $n$ est non nul. »

$$\underset{\text{de }nx<k+1}{\underbrace{x<\frac{k+1}{n}}}<y\text{(de }k+1<ny\text{)}$$

• « Ce machin-là est bien rationnel : $k+1$ est entier, $n$ est entier, c’est une fraction d’entiers, donc c’est un nombre rationnel. Et donc nous avons bien démontré ce qu’il fallait. »

$$■$$

9.3. Théorème : les irrationnels sont denses dans $\mathbb{R}$ — [00:36:06]

• « L’autre est un peu plus facile. Entre deux nombres réels, on peut toujours trouver un irrationnel. »

Énoncé :

$$\forall x,y\in \mathbb{R},x<y⟹\exists s\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q},x<s<y$$

9.3.1. Construction

• « Je prends le rationnel au milieu et j’en fais un irrationnel. Je vais me servir d’un nombre irrationnel qu’on connaît tous bien, qu’on a vu la semaine passée : $\sqrt{2}$. »
• « Vu la proposition précédente, appliquée à $x\sqrt{2}$ et $y\sqrt{2}$ — je ne l’applique pas à $x$ et $y$, je l’applique avec la division par $\sqrt{2}$ — il existe un rationnel $r$ tel que $x\sqrt{2}<r<y\sqrt{2}$. »
• « Et du coup, maintenant, je n’ai plus qu’à multiplier tout ça par $\sqrt{2}$ : $x<r\sqrt{2}<y$. »

9.3.2. ⚠️ Le piège : $r$ peut être nul — [00:39:02]

• « Normalement on pourrait se dire : ”$r\sqrt{2}$, lui, il est irrationnel, parce que $r$ était rationnel.” Mais est-ce que c’est bien le cas ? Faut le vérifier — on vérifie tout ici. »
• Lemme : si $r\ne 0$ et $r\in \mathbb{Q}$, alors $r\sqrt{2}$ est irrationnel.
  • « Par l’absurde : sinon $r\sqrt{2}$ serait rationnel, ça veut dire que $r\sqrt{2}$ peut s’écrire $q$ avec $q\in \mathbb{Q}$. Et donc $\sqrt{2}=q/r$. Et ça, ce serait un rationnel aussi, puisque le quotient de 2 rationnels est un rationnel. D’où une contradiction, puisque $\sqrt{2}$ on sait qu’il est irrationnel. »
  • ⚠️ Un étudiant fait remarquer le vice : « Je pense qu’on a utilisé le truc… » → le prof répond : « Non, on n’a pas utilisé ça ici. » puis il rectifie : « On peut préciser que $r$ devait être différent de 0 — eh oui, on ne peut pas diviser par 0. Donc ce raisonnement est valide si $r$ est non nul. Attention à ça. »
• Donc le cas $r=0$ n’est pas traité : « Si $r$ vaut 0, $r\sqrt{2}$ c’est toujours 0 quand même puisque 0 est absorbant. Et donc là, je n’ai pas prouvé ce que je voulais, parce que 0, ça reste rationnel. Je n’ai pas réussi à trouver un irrationnel coincé entre les deux dans ce cas-là. »

9.3.3. Traitement du cas $r=0$ — [00:40:28]

• « Si $r=0$, ça veut dire que $x\sqrt{2}$ est strictement compris entre 0 et $y\sqrt{2}$, donc que $x$ est strictement compris entre 0 et $y$ (en divisant par $\sqrt{2}>0$). »
• « Qu’à cela ne tienne, je refais la propriété précédente, cette fois-ci avec $x$ et 0 : il va forcément exister un rationnel entre $x$ et 0. Et en l’occurrence, je vais le faire avec les racines de 2 pour que ça marche : il existe forcément un rationnel $q$ tel que $\frac{x}{\sqrt{2}}<q<0$. »
• « Là, je suis sûr que ça marche, parce que maintenant le $q$ est strictement négatif, donc il ne peut pas être égal à 0. Donc là, le raisonnement va marcher : $q\sqrt{2}$ est irrationnel. Et $x<q\sqrt{2}<0<y$. »

$$■$$

• « Nous en avons fini avec les petites conséquences de la propriété d’Archimède, et nous la réutiliserons encore de nombreuses fois par la suite, parce que c’est basique mais c’est tellement utile, ça intervient souvent. »

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10. Section 2 du chapitre : la fonction valeur absolue — [00:42:26]

• « On n’a pas encore parlé de ce que c’était, la valeur absolue d’un nombre réel. Les autres fonctions — le sinus, le cosinus, ces machins-là — beaucoup plus compliqués : on fera ça bien plus tard. Pour l’instant, je fais que les fonctions basiques. La dernière fonction basique qu’on doit avoir, c’est la valeur absolue. »

10.1. Définition — [00:42:54]

• Rappel du secondaire : « On dit que c’est quoi, en général ? » → « C’est la distance entre $x$ et 0. » « La distance entre 3 et 0, c’est 3 ; la distance entre $-3$ et 0, c’est 3 aussi. »
• « Moi, je pense qu’il y a beaucoup de gens qui ont dû entendre que la valeur absolue, c’était le nombre sans son signe. $|3|=3$ et $|-3|=3$ aussi. Donc on enlève le signe. C’est souvent ça qu’on entend dire. C’est quoi le signe ? On peut le définir. »

$$\mathrm{signe}(x)=\{\begin{array}{ll}1& \text{si }x>0\\ 0& \text{si }x=0\\ -1& \text{si }x<0\end{array}$$

• « La valeur absolue, du coup, c’est quoi ? C’est $x$ multiplié par le signe de $x$. »

$$|x|=x\cdot \mathrm{signe}(x)⟺|x|=\{\begin{array}{ll}x& \text{si }x\ge 0\\ -x& \text{si }x<0\end{array}$$

• « Dit autrement : la valeur absolue de $x$ c’est égal à $x$ si $x$ est positif, et c’est égal à $-x$ si $x$ est négatif. Il y en a beaucoup qui sont perturbés de voir le moins à la deuxième ligne. Mais le $x$ déjà lui-même est négatif : il a déjà un moins en lui. Donc quand vous remettez un moins devant, ça devient positif. C’est exactement ça qu’on veut. »
• Vérification : « la valeur absolue de $-3$ : $-3$ est négatif, donc c’est $-(-3)$, ça donne 3. On obtient bien le nombre sans le signe. »
• Graphiquement : « Qui se rappelle le dessin de la valeur absolue ? » → « Un V. »

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11. Les propriétés de la valeur absolue — [00:45:12]

• « Bon alors, les petites propriétés. Je ne suis pas sûr à toutes les faire, c’est tellement évident. »

Propriété 1 et 2

$$|x|\ge 0|x|=0⟺x=0$$

• « La valeur absolue est toujours positive. Ben oui, c’est fait pour. » « La valeur absolue vaut 0 si et seulement si $x$ vaut 0. Ben oui. Ça c’est trivial, je ne sais même pas comment démontrer ça, tellement c’est évident. »

Propriété 3 — ⚠️ la plus souvent oubliée — [00:45:34]

$$|x|=\sqrt{x^2}$$

• « Plus intéressant, la troisième. La valeur absolue de $x$ c’est la racine de $x^2$. Ça c’est tellement important. »
• ⚠️ Avertissement le plus violent du cours : « Je ne veux jamais voir sur une copie : si vous écrivez ça, vous aurez 0 à tout l’exercice directement, je vous le dis. »
  • « $\sqrt{x^2}$, ce n’est pas $x$. On ne peut pas simplifier racine et carré comme ça. Si vous prenez la racine de $-3^2$, ça ne donne pas $-3$ : ça va donner la racine de 9, et la racine de 9 c’est 3, parce que la racine est définie comme le nombre positif dont le carré donne ce qu’il y a en dessous. »
  • « Donc $\sqrt{x^2}$ ce n’est pas $x$, c’est la valeur absolue de $x$. Il ne faut jamais faire cette faute-là, parce que ça va arriver tout le temps. »
• « Par contre, dans l’autre sens, c’est vrai : le carré de la valeur absolue, là on peut simplifier, par définition de la racine. Donc oui, par contre. »

$${\left(|x|\right)}^2=x^2\text{mais}\sqrt{x^2}=|x|\text{et non}x$$

Démonstration (faite « sur le côté ») : la racine de quelque chose est, par définition, l’unique nombre positif dont le carré donne le « quelque chose ». Il suffit de vérifier que $|x|$ convient : $|x|\ge 0$ et $|x{|}^2=x^2$. Donc $|x|$ est bien la racine de $x^2$.

• « Est-ce que la valeur absolue de $x^2$ est égale à $x^2$ ? Est-ce que quand on met un carré, en gros, la valeur absolue elle disparaît ? Ben oui : la valeur absolue c’est soit $x$, soit $-x$. Si c’est $x$, c’est bon ; et si c’est $-x$, $(-x{)}^2$ — le $-$ au carré disparaît, ça fait $x^2$. »

Propriété 4 (produit) et 5 (quotient) — [00:47:50]

$$|xy|=|x||y|\left|\frac{x}{y}\right|=\frac{|x|}{|y|}$$

• « Avec les fois, la valeur absolue d’un produit, c’est le produit des valeurs absolues. Est-ce qu’on peut le faire facilement ? C’est la 4. Boum ! »
• « Maintenant, je vais utiliser la propriété avec la racine, c’est encore le plus simple : la valeur absolue de $xy$ c’est $\sqrt{(xy{)}^2}$ ; le carré d’un produit c’est le produit des carrés ; la racine d’un produit c’est le produit des racines (on le sait depuis très longtemps) ; et donc effectivement $|xy|=|x||y|$. »
• « Avec le quotient, c’est le même… [mot indistinct], « comme dirait l’autre » : le carré d’un quotient c’est le quotient des carrés, et la racine d’un quotient c’est le quotient des racines. »

Propriété 6 — ⚠️ l’inégalité triangulaire — [00:49:34]

$$|x+y|\le |x|+|y|$$

• « La sixième, c’est de très loin la plus importante. S’il y a un truc que vous devez retenir aujourd’hui, c’est celle-là. »
• « C’est ce qu’on appelle l’inégalité triangulaire : à savoir que la valeur absolue d’une somme n’est pas égale, mais est plus petite que la somme des valeurs absolues. »
• « Je crois que ceci est l’inégalité que nous allons utiliser le plus dans tout le cours. Je pense qu’il n’y a pas un cours où je ne vais pas utiliser ça au moins cinq ou six fois. C’est le truc le plus basique pour générer des inégalités. On va l’utiliser tout le temps. Vous savez, il faut la retenir. »
• ⚠️ Alias : « Il n’y a pas d’inégalité triangulaire — certains appellent ça Minkowski, l’inégalité de Minkowski. C’est le nom d’un mathématicien, Minkowski. »

Démonstration (en passant par le carré) — [00:50:26]

• « Comme toutes les autres, je vais le faire en passant par le carré, puisqu’en passant par l’élévation au carré, j’enlève les valeurs absolues. »
• L’ingrédient utilisé : « Un nombre est toujours plus petit que sa valeur absolue : $3<3$, et $-3<|-3|=3$. La valeur absolue c’est toujours positif, donc c’est forcément plus grand. Parce que si $x$ est positif, c’est même égal ; et si $x$ est négatif, $x$ est plus petit puisque la valeur absolue est positive. »
  • « Graphiquement ça se voit aussi : la fonction $x\mapsto x$ c’est la droite, la valeur absolue c’est le V, le rouge est toujours en dessous du blanc. »
• Application : « Dans ma majoration, je peux majorer tout par la valeur absolue. Donc $x^2\le |x^2|$ et $2xy\le 2|x||y|$. Forcément, je fais une inégalité, et là je peux refaire le produit remarquable dans l’autre sens : »

$$(x+y{)}^2\le (|x|+|y|{)}^2$$

• « Je n’ai maintenant qu’à passer à la racine carrée. Parce que, si on l’a vu la fois passée, la racine carrée est croissante : on garde l’inégalité dans le même sens. »

$$\sqrt{(x+y{)}^2}\le \sqrt{{\left(|x|+|y|\right)}^2}$$

• ⚠️ Piège du passage à la racine : « Est-ce que je peux simplifier la racine avec le carré ? On a dit que non. Ça donne la valeur absolue. »

$$|x+y|\le |x|+|y|$$

• « Et là, il y a un peu trop de valeur absolue, ça ne sert à rien, la prendre deux fois ça ne sert à rien. Quand on l’a prise une fois, on est déjà devenu positif ; la reprendre une deuxième fois n’a plus aucun effet. Quand il y en a deux d’affilée, je peux supprimer une des deux. Ça ne change plus rien. »

$$■$$

Propriété 7 — ⚠️ la seconde inégalité triangulaire — [00:54:28]

$$||x|-|y||\le |x-y|$$

• « Allez, dans l’autre sens maintenant. Ça c’est la version avec le plus : la première inégalité triangulaire. La version avec le moins : la deuxième inégalité triangulaire. Cette fois-ci, ça va dans l’autre sens : c’est plus grand que la différence des valeurs absolues. »
• « Attention : ce truc-là peut être négatif, par contre : $|y|$ peut être plus grande que $|x|$. Donc ce machin-là peut être négatif. Donc je remets encore un coup de valeur absolue, comme ça. »
• Alias : « Certains disent aussi que c’est la versée (inégalité inversée), ou bien Minkowski numéro 2. Tous les noms sont possibles. »

Démonstration (à partir de la première) — [00:55:32]

• « Évidemment, celle-là va se démontrer à partir de la première. Si j’ai la version avec le plus, c’est facile d’obtenir celle avec le moins. »
• Le « coup classique » : « Je vais faire ce qu’on appelle le coup classique : rajouter et enlever. C’est le truc qu’on va faire aussi un nombre incalculable de fois. Je vais soustraire quelque chose et puis le rajouter juste après, ce qui ne changera rien : $x=x-y+y$. Si je fais $-y+y$, j’ai fait $+0$, donc ça ne change strictement rien. »

Premier sens (on part de $|x|$) :

$$|x|=|(x-y)+y|\le |x-y|+|y|⟹|x|-|y|\le |x-y|$$

• « Ça aussi, vous n’imaginez pas le nombre de fois qu’on va faire ça cette année. Ça intervient dans quasiment toutes les preuves avec des valeurs, enfin quasiment tout le temps. Donc c’est une astuce que vous allez vite retenir, de faire $-$ et $+$. »

Second sens (on part de $|y|$) :

$$|y|=|(y-x)+x|\le |y-x|+|x|=|x-y|+|x|⟹|y|-|x|\le |x-y|$$

• « Dans une valeur absolue, on peut changer le signe, ça ne change rien : la valeur absolue de $3$ ou de $-3$, c’est la même. Donc $|y-x|=|x-y|$. »
• « Quand vous remettez ces deux-là ensemble, vous obtenez bien l’énoncé : la valeur absolue de $x-y$ peut valoir soit $|x|-|y|$, ou bien $|y|-|x|$ ; mais dans les deux cas, j’ai montré que c’était plus petit que $|x-y|$. »

$$■$$

Propriété 8 — encadrement par une valeur absolue — [00:58:42]

$$|x|<y⟺-y<x<y$$

• « Si une valeur absolue de $x$ est majorée par $y$ — $|x|$ majorée par $y$ — ça c’est équivalent à dire que $x$ est compris entre $-y$ et $y$. »
• « L’inégalité qu’on a écrit à gauche, on la verra souvent dans le cours. Ça se voit sur le dessin : si je mets un majorant $y$, donc un plafond ici à $y$, j’impose que la valeur absolue soit plus petite que $y$ : c’est la zone qui va de là à là, celle qui va de $-y$ à $y$. Donc dire que la valeur absolue est plus petite que $y$, c’est dire que le $x$ se balade entre le $-y$ et $y$. »

Démonstration (« il faut le faire dans les deux sens, il n’y en a pas un qui a l’air plus dur que l’autre ») :

• ⚠️ Remarque préalable : « le $y$ doit être positif, il n’a pas le choix, puisqu’il est plus grand qu’une valeur absolue, donc il est plus grand qu’un truc positif. »
• Sens direct :
  • Si $x\ge 0$ : $|x|=x<y$, et comme $y>0$ on a $-y<0\le x$. Donc $-y<x<y$. ✓
  • Si $x<0$ : $|x|=-x<y$ \Longrightarrow en renversant, $x>-y$ ; et $x<0<y$ donc $x<y$. ✓
• Réciproque : « Si $x$ est compris entre $-y$ et $y$, je casse les inégalités en deux morceaux. D’une part, par hypothèse, $x<y$. Et puis celle de gauche : $-y<x$. Comme d’habitude, je multiplie par $-1$, ça va renverser, et ça va me donner que $-x<y$. »
• « Puisque la valeur absolue de $x$ ça vaut soit $x$, soit $-x$, de toute façon, dans les deux cas, c’est plus petit que $y$. »

$$■$$

• « C’est vraiment des chipotries, ces propositions-là. Ce n’est pas dur, mais c’est plein de chipotries. »

Propriété 9 — laissée en exercice — [01:03:28]

$$|x|>y⟺x>y\text{ou}x<-y$$

• « Par contre, il ne faut pas abuser : la dernière, je ne vais pas la faire, parce que c’est la même que celle-là, mais dans l’autre sens. Là, par contre, ça, je vous la ferai vraiment en exercice. La dernière, c’est quand la valeur absolue de $x$ est plus grande que $y$, ça veut dire que $x$ est plus grand que $y$, ou bien que $x$ est plus petit que $-y$. C’est la version à l’extérieur. Sur mon dessin, ce n’est pas la partie du milieu en vert, c’est la partie à l’extérieur. Ça, vous le ferez en exercice. C’est écrit dans le syllabus. »

Ce qu’il faut absolutely graver — [01:04:04]

• « Parmi toutes les propriétés qui sont là, les neuf, elles sont toutes très naturelles. J’insiste sur celle qu’il ne faut jamais oublier, qu’on utilisera tout le temps : la troisième — $|x|=\sqrt{x^2}$ — par pitié, et les deux inégalités triangulaires, par pitié, celle avec le plus et celle avec le moins. Ces trois-là, il faut les graver dans sa mémoire, et on les utilise à longueur de journée. »

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12. Pause et retour sur les slides — [01:04:32]

⏸️ Pause de 5 minutes (jusqu’à ~01:07:20), puis retour sur les diapositives.

• « Est-ce que vous pourriez remettre les slides ? Il y a des trucs que je n’ai pas eu le temps de montrer. »
• Question d’un étudiant sur la diapo de la propriété d’Archimède : « Le zéro, il n’y a pas besoin ici ? »
  • Réponse : « Ben, il y en avait besoin si je voulais écrire la division. Mais si je veux le faire juste avec la multiplication, là il n’y a pas besoin. Si je l’écris en version multiplicative, je n’ai pas besoin de supposer qu’il est non nul. »
• « Il faut coller la présentation et ensuite j’écris. » (Pb d’affichage)
• Chercheuse de la diapo du corollaire, le diaporama (Advance) est planté (~01:06:18, « Le corollaire, là » répété) → passe à la suite.
• Notes de lecture :
  • « Ce n’est pas divisé, c’est la notation pour dire $\mathbb{R}$ sans les $\mathbb{Q}$ : c’est la notation en théorie des ensembles, c’est $\mathbb{R}$ dont j’ai enlevé les rationnels. »
  • À propos du $\mathbb{R}$ : « La notation pour les nombres réels, c’est avec une double barre. » — « Ah, moi j’écris comme un cochon. C’est pour ça qu’il faut lire les notes, parce qu’elles, elles sont bien propres. »
  • « On devrait tous suivre des cours de calligraphie. » (à un camarade qui a une bien meilleure écriture)
  • « Sinon $\ne$ : est-ce que $r\ne 0$ ? » — « Oui, c’est un « égal Parallèle », ça. »

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13. La distance entre deux points — [01:11:20]

• « Alors, je vais reprendre. Quelqu’un m’a dit quelque chose d’intéressant : tantôt, il m’a dit, la valeur absolue, c’est la distance de $x$ à l’origine. Et si je voulais définir ce que c’est que la distance quelconque entre deux points, je devrais m’y prendre comment ? »

13.1. Définition

• « Souvent, on vous a dit qu’il fallait faire la soustraction : $x-y$ ou $y-x$. Alors là, en l’occurrence, $y-x$ marche, parce que $y$ est plus grand que $x$ : c’est l’écart entre les deux. Si $x$ valait 3 et $y$ valait 5, l’écart serait 2, c’est $5-3$. »
• « Mais si ça va dans l’autre sens, si je faisais $x-y$, j’obtiendrais un truc négatif, ça n’irait pas : une distance, c’est une grandeur positive. Donc, au lieu de me casser la nénette avec le signe, je vais prendre la valeur absolue. Comme ça, je suis sûr que c’est tout le temps positif. »

$$d(x,y)=|x-y|$$

• Exemple : « Prenez $-5$ et 2 : je dois rajouter combien pour aller de l’un à l’autre ? 7. Faites la valeur absolue de la différence : $|2-(-5)|=|-7|=7$. On est sûr qu’on a vraiment bien fait : une distance. »

13.2. Les trois propriétés de la distance — [01:13:15]

• « Alors, en maths, le mot distance il apparaît souvent. Il y a d’autres distances que celle-là : c’est la distance la plus basique, celle qu’on appelle la distance euclidienne, le plus court chemin pour aller de l’un à l’autre. Il y a d’autres types de distances : la distance géodésique, la distance Manhattan, la taxidistance. Il y a plein de types de distances en maths. »
• « Mais toutes les notions de distance vérifient les trois mêmes propriétés essentielles. Pour parler de distance, il faut avoir accès à trois propriétés. »

$$(D_1)d(x,y)=d(y,x)(D_2)d(x,y)=0⟺x=y$$ $$(D_3)d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$$

• $(D_1)$ : « À l’aller et au retour, on fait le même trajet, la même distance. C’est logique, non ? De Paris à Rome et de Rome à Paris, c’est la même distance. C’est raisonnable. »
• $(D_2)$ : « Ah oui, le seul moyen qu’il y ait une distance de zéro, c’est que je ne bouge pas du point de départ, donc que $x$ soit égal à $y$. »
• $(D_3)$ : « La plus importante : l’efficience du plus court trajet. Aller directement de Paris à Rome, c’est plus rapide que de faire Paris-Bruxelles puis Bruxelles-Rome. Le trajet direct, c’est plus court que de faire deux trajets intermédiaires. »

Vérification pour $d=|\cdot |$

• « Il y en a deux qui sont triviales : la valeur absolue de $x-y$ c’est la même que celle de $y-x$ (on peut permuter), et la valeur absolue vaut 0 si et seulement si le truc à l’intérieur vaut 0. Les deux premières, honnêtement, il n’y a rien à démontrer. »

Démonstration de $(D_3)$ — [01:15:20]

• « Ce que je dois prouver, c’est qu’en gros : aller de $x$ à $z$, c’est plus court que de faire $x$ à $y$ et puis $y$ à $z$. Tout le monde le voit. »
• « On écrit la définition : la distance de $x$ à $z$ c’est la valeur absolue de $x-z$. Je dois faire apparaître le petit $z$ : il n’est pas là pour l’instant, mais je dois le faire apparaître pour obtenir le membre de droite dans l’inégalité. Comment est-ce qu’on le fait apparaître ? On fait le coup classique que j’ai dit qu’on va faire un milliard de fois : on va intercaler ce qui n’existe pas, on intercale $+z$ et $-z$. Ça ne change rien, n’est-ce pas ? »

$$|x-z|=|(x-y)+(y-z)|\le |x-y|+|y-z|$$

• « Et puis j’applique Minkowski : la valeur absolue d’une somme, c’est plus petit que la somme des valeurs absolues. Et puis, c’est déjà fini. Ça, c’est la distance de $x$ à $y$, et ça, c’est la distance de $y$ à $z$. »

$$■$$

• « La plupart des profs du NIF dans les autres universités — parce que je sais ce qu’ils font aussi, ce genre de choses là — ils ne le font même pas. Tout ça, c’est exercice. Les étudiants font ça chez eux, on ne fait pas ça. Moi, je trouve quand même que pour commencer l’année, on commence par des bêtises, mais on s’habitue tout doucement. »

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14. Les ensembles bornés — [01:17:20]

• « Ça, en vert, c’est un ensemble qui est borné. Il est limité par la gauche et par la droite. Il existe un gros intervalle qui contient l’ensemble. Et je peux même supposer que l’intervalle est symétrique : le même nombre à droite et à gauche, quitte à le prendre suffisamment en grand. »

$$\exists C\in \mathbb{R},C>0,A\subset ]-C;C[$$

• « Sur mon exemple, on voit bien que l’ensemble est un petit peu plus à droite qu’à gauche, donc il n’est pas symétrique. Mais quitte à prendre un intervalle suffisamment grand, je peux l’inclure dans un intervalle symétrique. Du côté gauche, ce n’est pas très efficace, il y a beaucoup de vide, mais ce n’est pas grave. »
• Réécriture en valeur absolue : « Pour tout $x$ qui est lié à mon ensemble $A$ qui est borné, le $x$ il est compris entre $-C$ et $C$… Réexprimer en termes de valeur absolue, ça donne quoi ? Ça donne que la valeur absolue de $x$ est plus petite que $C$. C’est ce qu’on a démontré tantôt : valeur absolue plus petite que $C$ ça veut dire que c’est compris entre $-C$ et $C$. On l’a fait tout à l’heure. »

Définition

$$\boxed{A\text{ est borneˊ}⟺\exists C>0:\forall x\in A,|x|<C⟺A\subset ]-C;C[}$$

• « Autrement dit, l’ensemble $A$ est inclus dans l’intervalle $]-C;C[$. Et évidemment, ça, je vous laisse le voir par vous-même. »
• « Dire qu’un ensemble est borné, ça veut dire qu’il est majoré et minoré, qu’il est limité à gauche et à droite. Donc il admet une borne sup et une borne inf — il admet les deux, puisqu’il est borné des deux côtés. »

Pourquoi ça compte

• « Ce sont les ensembles les plus gentils, les plus agréables, les ensembles bornés, parce que ça ne déconne pas, ça ne va pas à l’infini. Donc on comprend ce qui se passe à gauche et à droite. »
• « Preuve, quand on a affaire à un ensemble borné, en général, on est content : la preuve sera plus facile. Si l’ensemble n’est pas borné, il faudra gérer le fait que ça va à l’infini, ce sera toujours plus compliqué. Donc il y aura des théorèmes qui ne seront vrais que sur les ensembles bornés. On verra des exemples de ça : les théorèmes qui seront vrais pour ceux-là, mais qui seront faux si on s’autorise à aller à l’infini. »

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15. Bilan du chapitre 1 et lancement du chapitre 2 (les suites) — [01:20:14]

• « Ceci clôture le chapitre 1. On a vu les rationnels, on a vu les réels, on a vu la propriété fondamentale de la borne supérieure — que vous avez utilisée tout le temps en exercice déjà. Aujourd’hui, on a vu la propriété d’Archimède, qui est fondamentale pour démontrer des petites choses évidents comme l’histoire de la partie entière ; et on a vu la fonction la plus essentielle de base, qui est la valeur absolue. Donc, avec ça, j’ai tous les ingrédients de base sur les nombres réels. Et maintenant, je peux rentrer dans le dur. »
• « Qu’est-ce qu’on va faire avec les nombres réels ? On peut le faire un peu dans l’ordre qu’on veut, mais j’ai décidé que, comme chapitre numéro… on va faire les suites. »
• « Vous avez vu en cinquième année. Allez, je vous écoute. C’est quoi une suite ? »

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16. Qu’est-ce qu’une suite ? — [01:21:05]

16.1. L’intuition (niveau secondaire) — [01:21:20]

• Un étudiant : « Arithmétique, géométrique, ça c’est des exemples de base. » → « Non, ça c’est déjà une suite arithmétique, c’est déjà trop particulier. Une suite en général. » (Il n’est même pas arithmétique ou géométrique.)
• « Voilà : il y a plusieurs nombres à la chaîne. C’est comme ça qu’on le notait en secondaire : $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_4$. On fait des nombres à la chaîne, chacun appartenant à $\mathbb{R}$. »
• « Il y a des gens qui commencent à compter à 0, avec $u_0$. Moi, je commence à compter à 1. Mais ce sont des conventions, ça ne change pas grand-chose. »

16.2. Ce que ça modélise — [01:22:13]

• Économie : « $u_1$, c’est mon argent sur le compte bancaire après un an ; $u_2$, c’est mon argent après deux ans. Je modélise l’évolution des choses (avec les intérêts compounds qu’on a vus en économie). »
• Biologie : « $u_1$, c’est le nombre de bactéries après une seconde ; $u_2$, après deux secondes, etc. »
• « Donc, ça modélise des phénomènes discrets. Ce qu’on appelle discret, ça veut dire qu’on compte sur les naturels : 1, 2, 3, 4, 5. C’est ça que ça veut dire discret en maths : c’est sur le naturel. »
• « On peut modéliser des phénomènes économiques, biologiques, temporels : après un an, après deux ans, etc. »
• Programmation : « C’est évidemment très utile quand on programme. L’ordinateur ne reconnaît pas les nombres réels — c’est trop compliqué pour lui. Donc l’ordinateur va discrétiser les choses : il va dire, je regarde ce qui se passe après une milliseconde, deux millisecondes, trois millisecondes. Étape 1, étape 2, étape 3, étape 4. »

16.3. La définition mathématique — [01:23:31]

• « Mais si je veux une définition mathématique, ce n’est pas juste des nombres à la chaîne, ce n’est pas une définition de maths, ça. »
• « J’essaie de me raccrocher à des concepts de maths qu’on connaît. Donc : je me mets au cran numéro 1 et j’y associe le premier terme de ma suite, qui est $u_1$ ; je me mets au cran numéro 2, j’associe $u_2$ ; etc. »
• « En fait, qu’est-ce que je suis en train de construire ? Là, je fais des associations. C’est une fonction. C’est une fonction : à tout petit $n$ j’associe $u_n$, le $n$-ième terme de la suite. »

$$\boxed{u:{\mathbb{N}}_0^{\ast }\to \mathbb{R},n⟼u_n}$$

• « Son domaine de définition, c’est $\mathbb{N}\setminus \{0\}$ parce que je commence à 1. Les réels, ils sont à l’arrivée, ils ne sont pas au départ. »
• Notation : « Normalement la notation pour une fonction, c’est en parenthèse : on note $f(x)$. Donc ici, je devrais noter $u(n)$. Techniquement, il faudrait écrire ça : à $n$ j’associe $u(n)$, comme ça, pour mimer la notation avec $f(x)$. »
  • « Mais historiquement, la convention de notation fait que pour les suites, on met le petit $n$ en dessous : on n’écrit pas $u(n)$, ce qu’on devrait normalement écrire, on écrit $u_n$. Mais c’est la même chose : c’est l’image de $n$ par $u$, c’est le $n$-ième terme. »

$$u(n)=u_n$$

• Exemple : « Je vous donne une suite : la suite $u$ définie par $u_n=\frac{1}{n}$. C’est comme avec les $x$ : ce n’est pas des $x$, mais ce sont des $n$. Mais c’est une fonction : $\frac{1}{n}$ est une fonction, c’est juste que le $n$ se balade uniquement dans les naturels, pas dans les réels. »
  • Écriture en liste : $1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\frac{1}{6},\dots$
  • « Je pourrais mettre $u_n=n^2$, $u_n=n^3$, $u_n=\sqrt{n}$ : je peux mettre des formules comme je fais avec les fonctions. Sauf que ce n’est pas avec des $x$, c’est avec des $n$. »

16.4. Pourquoi $\mathbb{N}$ plutôt que $\mathbb{R}$ ? — [01:26:37]

• « Le gros changement, c’est que le domaine de définition ce n’est pas $\mathbb{R}$, ce sont les naturels. Ça va énormément simplifier la vie. Pourquoi c’est beaucoup plus simple de travailler avec les naturels au départ qu’avec les réels ? »
  • « Il n’y a pas le zéro — mais on aurait pu le mettre, c’est une question de convention, je commence à 1 ou à 0, ça ne change pas grand-chose. »
  • « C’est des points bien séparés. Il n’y a pas de virgule. »
  • « Ce sera toujours positif — même si $u_n$ lui peut être négatif, le $n$ sera positif. »
  • ⚠️ « Et il y a un truc, mais vous n’y pensez pas encore parce que vous n’avez pas encore assez suivi le cours de Madame Liber : il y a une chose magique qu’on peut faire dans $\mathbb{N}$ qu’on ne peut pas faire dans $\mathbb{R}$. Ça s’appelle la récurrence. Et ça, ça change toute la vie. »

16.5. ⚠️ La récurrence — [01:27:24]

• « La récurrence, c’est la technique de démonstration quasiment la plus forte en maths. Vraiment. Plus vous allez avancer dans vos études, plus vous allez tout démontrer par récurrence. C’est la technique de démonstration la plus essentielle. »
• « Et pour pouvoir démontrer par récurrence, il faut être sur les naturels : je passe de $n$ à $n+1$. C’est ça, la récurrence. Donc, nous pourrons faire des suites définies par récurrence, ce que nous ne pouvons pas faire avec des fonctions sur $\mathbb{R}$. Ça va être une grosse utilité. »

16.6. Notation : $u_n$ vs $u(n)$ — [01:28:15]

• « Si je veux désigner la fonction dans sa globalité, c’est-à-dire tous les termes d’un coup, je mets des parenthèses : $u(n)$, $n\in {\mathbb{N}}_0$. Soit, pour aller plus vite, je laisserai tomber l’indice : $u(n)$. »
• « Il faut bien faire la différence entre $u_n$ sans parenthèse et avec la parenthèse :
  • $u_n$ sans la parenthèse, c’est juste un nombre réel : c’est le $n$-ième terme de la suite.
  • $u(n)$ avec la parenthèse, c’est la notation pour désigner la fonction totale, c’est-à-dire tous les termes de la suite. »
• « C’est comme avec les fonctions, il ne faut pas confondre $f$ et $f(x)$ : $f$, c’est la fonction totale ; $f(x)$, c’est la valeur spéciale, l’image de $x$ par $f$. Ici, ce n’est pas $f$ mais $u(n)$, qui désigne la fonction complète. »

16.7. Représentation graphique — [01:29:42]

• « Graphiquement, c’est comme avec les fonctions, sauf qu’il y a des trous partout, puisqu’on définit uniquement sur les naturels : j’ai seulement l’image de 1, de 2, de 3, de 4, de 5. Je n’ai pas ce qu’il y a au milieu. »
• « Pour la suite $u(n)=\frac{1}{n}$ : là vous êtes à 1, là vous êtes à $\frac{1}{2}$, là à $\frac{1}{3}$ — je parle en hauteur, évidemment — là $\frac{1}{4}$, etc. Vous représentez votre suite $u_n$ comme une succession de points qui évalue en fonction de $n$. Donc, c’est vraiment comme une fonction, mais avec des trous au milieu. »

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17. La convergence — [01:30:30]

17.1. L’intuition — [01:30:36]

• « Quand vous voyez ce graphique-là, à quoi ça vous fait penser ? Il y a une notion que vous avez déjà dû voir en secondaire : la droite horizontale. L’histoire que la suite va tendre vers zéro, elle se rapproche de plus en plus de zéro. »
• « C’est évidemment ce qui intéresse les gens en pratique : qu’est-ce qui se passe sur le long terme ? Combien est-ce que j’aurai d’argent sur mon compte en banque dans le long terme ? Si je laisse des bactéries dans des boîtes pendant trois ans, c’est-à-dire énormément de secondes, qu’est-ce qui se passera ? La question du long terme est essentielle en biologie, en économie, en physique. Donc, on veut avoir cette notion de comportement asymptotique : qu’est-ce qui se passe quand je vais très, très, très loin à droite ? »
• « Sur l’exemple, on a envie de dire que ça va vers 0. On aura envie d’écrire : ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{1}{n}=0$. »
• ⚠️ Pourquoi « se rapprocher » ne suffit pas : « Dire que la suite se rapproche de plus en plus de zéro, ce n’est pas assez précis. C’est vrai, elle se rapproche de plus en plus de zéro. Mais elle se rapproche aussi de plus en plus de $-2$ — comme elle baisse de plus en plus, elle se rapproche aussi de plus en plus de $-2$. Ce n’est pas juste se rapprocher de plus en plus, ce n’est pas assez fin, ça comme notion. »
• « Je veux qu’elle devienne arbitrairement proche. Aussi proche que je veux. C’est-à-dire que l’écart entre la suite et zéro devient aussi petit que je veux, à mesure que j’avance. »
• « Ce n’est pas assez précis de dire que la suite elle décroît : elle pourrait décroître sans se rapprocher de zéro. »

17.2. Première tentative de définition (et pourquoi elle échoue) — [01:33:17]

• « L’écart entre $\frac{1}{n}$ et zéro devient aussi petit que l’on veut — mais évidemment, aussi petit que je veux, à condition d’avancer suffisamment loin à droite du graphique. Au début, ils ne sont pas proches. C’est à condition d’aller très loin vers la droite que c’est vrai. Donc, à condition de prendre $n$ suffisamment grand. »
• « Maintenant, il faut que j’exprime ça par une formule. Pour toute $\epsilon$, l’écart entre $u_n$ et $L$… Et ça, on vient de le voir, c’est la distance entre les deux, c’est la valeur absolue. Donc, la distance entre $u_n$ et $L$ doit être aussi petite que je veux : je dois pouvoir la rendre plus petite que n’importe quelle $\epsilon$ — plus petite que $\frac{1}{2}$, que $\frac{1}{4}$, que $\frac{1}{8}$, que $\frac{1}{1000}$. »
• L’énoncé naïf : $\forall \epsilon ,|u_n-L|<\epsilon$. « Pour l’instant, ce n’est pas encore complet, c’est un blanc exprès. »
• ⚠️ Pourquoi c’est faux : « Ce n’est pas une bonne définition, ce n’est pas très intéressant. Parce que quel est le seul nombre réel qui est plus petit que tous les $\epsilon$ en même temps ? Il n’y en a qu’un, qui est plus petit que tout simultanément : c’est $0$. Donc là, ce que je viens d’écrire, c’était que $u_n$ est égal à $L$. Ce n’est pas ça la définition que je veux. »

17.3. Ce qui manquait : le seuil — [01:35:01]

• « En fait, il me manque une notion essentielle : c’est que ça va être plus petit qu’$\epsilon$ à condition de prendre $n$ suffisamment grand. »
• « Regardez sur mon dessin : si je place mon $\epsilon$ ici, je trace la verticale. À partir de quand est-ce que je deviens plus petit qu’$\epsilon$ ? Uniquement à partir du quatrième point — les trois premiers sont encore au-dessus. Donc on passe en dessous d’$\epsilon$, mais uniquement à partir d’un certain stade, à partir d’un certain seuil. En l’occurrence, ici, c’est à partir de 4. »
• « Et si je prends un $\epsilon$ encore plus petit, eh bien là, ce sera beaucoup plus loin sur la droite qu’on commencera à passer en dessous. Donc : quel que soit l’$\epsilon$ que je choisis, il existe un certain seuil à partir duquel je passe en dessous. »

17.4. Définition (convergence vers un point) — [01:35:44]

$$\boxed{u_n\underset{n\to +\infty }{⟶}L⟺\forall \epsilon >0,\exists N\in {\mathbb{N}}_0:\forall n>N,|u_n-L|<\epsilon }$$

• « Donc, quel que soit $\epsilon$ (aussi petit que je veux), il existe un certain $N$ appartenant au naturel sauf 0, tel que pour tout $n$ plus grand que $N$, on ait l’inégalité $|u_n-L|<\epsilon$. »
• « Cette formule là, elle retraduit l’idée que $u_n$ devient aussi proche de $L$ que je veux : plus petit que $\epsilon$, à condition d’être suffisamment loin sur la droite. »
• « Toutes les définitions de notions de convergence ou de limites ressemblent à ça, c’est tout le temps pareil. Il faut vraiment retenir ça. Et donc, toutes 100 % des démonstrations sur les suites vont se faire en utilisant cette définition : ne vous inquiétez pas que ça va rentrer, parce qu’on va faire que ça. »
• « C’est comme l’histoire de la borne supérieure : rappelez-vous, c’est un petit jeu de pour tout $\epsilon$, il existe $N$. Chaque fois que je vous donne un $\epsilon$, vous devez trouver le $N$ qui convient — c’est ça le jeu. »

Notations acceptées :

$$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=L\text{ou}{u}_n\underset{n\to +\infty }{\to }L$$

⚠️ Le prof a pris le temps sur cette définition (« je l’ai réécrite ici proprement ») parce que c’est la définition centrale du chapitre.

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18. Théorème : la limite est unique — [01:38:11]

• « Premier théorème absolument essentiel : la limite est unique. Je ne peux pas converger vers deux machins différents : je ne peux pas à la fois me rapprocher de 2 et de 3. Il faut faire un choix. C’est unique. Il n’y en a qu’une. »

Démonstration (par l’absurde) — [01:38:27]

Hypothèses : $(u_n)$ converge vers $L_1$ et vers $L_2$. On veut montrer $L_1=L_2$.

• Étape 1 — le choix Vicieux du $\epsilon$ (anticipation du facteur 2) :
  • « Si $L_1\ne L_2$, il faut que j’utilise la définition, donc il me faut un $\epsilon$ plus grand que 0. Alors $L_1-L_2$ est non nul. Si je veux que ce soit positif, il faut que je mette des valeurs absolues. Donc $|L_1-L_2|$ est bien strictement positif (puisque $L_1\ne L_2$, ça ne peut pas valoir 0). »
  • ⚠️ L’astuce du prof, annoncée : « Et là souvent, c’est ça qu’on a envie de faire : vous allez faire la preuve avec ce $\epsilon$-là, et quand vous allez écrire la suite de la preuve, vous allez dire : “Eh merde, j’ai un facteur 2 qui me manque.” Il y a un 2 qui va apparaître quelque part. Donc j’anticipe et je le mets déjà au départ : je pose $\epsilon =\frac{|L_1-L_2|}{2}$. Vous vous dites : “Mais il sort d’où le divisé par 2 ?” Mais en fait, on s’en rend compte après : j’aurais pu écrire la preuve et puis dire “ah, il faut corriger, il faut mettre le divisé par 2 au début”. »

$$\epsilon =\frac{|L_1-L_2|}{2}>0$$

• Étape 2 — application de la définition aux deux limites :

$$\exists N_1\in \mathbb{N}:\forall n>N_1,|u_n-L_1|<\epsilon \text{(car un→L1)}$$ $$\exists N_2\in \mathbb{N}:\forall n>N_2,|u_n-L_2|<\epsilon \text{(car un→L2)}$$

• Étape 3 — choisir un $n$ qui fonctionne pour les deux :
  • « Si je veux m’en servir simultanément, je dois prendre un $N$ qui est à la fois plus grand que $N_1$ et à la fois plus grand que $N_2$. Puisque je veux utiliser les deux lignes en même temps, il faut être plus grand que les deux seuils en même temps. Ça, j’ai l’embarras du choix. Quel nombre est plus grand en même temps que $N_1$ et $N_2$ ? Leur maximum. Ou bien même la somme des deux, par exemple : $N_1+N_2$, ça marche aussi. »

$$N=\max (N_1,N_2)$$

• Étape 4 — le coup classique et Minkowski :

$$|L_1-L_2|=|L_1-u_n+u_n-L_2|\le |L_1-u_n|+|u_n-L_2|$$

• « Et pourquoi est-ce que j’ai fait ça ? Parce que maintenant, en intercalant ce $u_n$, j’ai fait apparaître ces deux quantités-là, et ces deux quantités-là sont précisément celles qui interviennent dans mes deux hypothèses. Ces deux quantités que j’ai soulignées en rouge sont chacune d’entre elles plus petites qu’$\epsilon$ — puisque j’ai pris $N$ qui était supérieur à $N_1$ et $N_2$, j’ai le droit d’utiliser les deux hypothèses. »

$$<\epsilon +\epsilon =2\epsilon$$

• Étape 5 — contradiction :

$$|L_1-L_2|<2\epsilon =2\cdot \frac{|L_1-L_2|}{2}=|L_1-L_2|$$

• « Donc, à la base, j’ai $|L_1-L_2|$ qui est strictement inférieure à lui-même. Et non, on ne peut pas être strictement inférieur à soi-même. Ce n’est pas possible. Donc on a bien la contradiction. Donc $L_1$ et $L_2$ ne sont pas différents : ils sont les mêmes. »

$$■\text{(La limite est unique.)}$$

⚠️ Le canevas universel — [01:44:53]

• « Très important de relire cette preuve chez vous, parce que c’est vraiment le canevas d’à peu près toutes les preuves qu’on fait avec les suites :
  1. on a des hypothèses ;
  2. puis on veut démontrer quelque chose ;
  3. on utilise la fameuse astuce de : je rajoute, j’enlève, je casse en plusieurs morceaux, je fais apparaître des $\epsilon$ de tous les côtés.
• « C’est littéralement ce schéma de démonstration-là qui va tout le temps se répéter. Donc, une fois qu’on a bien compris comment ça fonctionne, après, ça roule tout seul. »

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19. Premiers exemples de convergence — [01:45:22]

19.1. Suite constante — [01:45:24]

• « Imaginons une suite qui vaut 2 tout le temps. Une suite constante, elle ne bouge jamais, tout le temps la même hauteur. À votre avis, elle converge vers quoi ? Ben, vers le même nombre. »

$$\forall c\in \mathbb{R}:u_n=c⟹\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=c$$

• « Je ne sais même pas si j’ai besoin de le démontrer, ça : $u_n=c$ et la limite $L=c$ aussi, $c-c$ ça fait 0. On est d’accord que le 0 sera plus petit que tout $\epsilon$. Donc là, c’est clair que ça marchera. D’accord ? Je n’ai rien besoin d’écrire. »

19.2. ⚠️ Exemple majeur : $\frac{1}{n}\to 0$ — [01:46:16]

• « C’était celle de mon exemple de départ. Comment est-ce qu’on montre que $\frac{1}{n}$ converge vers 0 ? Ça avait l’air évident. $\frac{1}{n}$, c’était la branche d’hyperbole, hop, ça converge vers 0. »
• ⚠️ Critique à la plupart des cours d’analyse : « C’est là que je trouve qu’il y a un manque dans beaucoup de cours d’analyse. Beaucoup de gens disent que c’est évident — oui, ça se voit, c’est clair — mais il faut le prouver. »

Ce qu’il faut prouver :

$$\forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb{N}:\forall n>N,\frac{1}{n}<\epsilon$$

• « Par chance, $\frac{1}{n}$ c’est positif. Vous êtes d’accord ? $\frac{1}{2}$, tiens, donc je n’ai pas besoin des valeurs absolues. C’est positif. Donc, je peux simplement montrer que $\frac{1}{n}$ est plus petit qu’$\epsilon$. »
• « Il y a des gens qui disent que c’est évident, mais ça ne l’est pas du tout. Mais ça va le devenir beaucoup plus si je réécris comme ça : $\frac{1}{n}<\epsilon$, c’est pareil que de dire que $1<n\times \epsilon$. »

Application d’Archimède — [01:48:12]

• « C’est encore écrit au tableau ? Notre bon vieil ami Archimède. Avec $x$ qui va être le 1, et le $y$, $\epsilon$. Ça tombe bien, il fallait que le $y$ soit positif pour appliquer Archimède — le $\epsilon$, il est censé être… donc je peux appliquer Archimède. »

$$\exists N\in \mathbb{N}:1<N\times \epsilon \text{(Archimeˋde avec x=1, y=ε)}$$

• « C’est lui qui va me donner l’existence du grand $N$ qui fait que ça marche. »
• ⚠️ « C’est pour ça qu’il fallait qu’on le fasse, ce truc-là. La plupart des gens ne le font pas. Mais si vous ne faites pas Archimède, vous ne saurez jamais montrer que $\frac{1}{n}$ tend vers 0. Or c’est quand même l’exemple le plus bébête qu’il soit : on serait bien embêtés de ne pas l’avoir. Donc c’était très important de faire Archimède avant, vous voyez ? »

Vérification pour $n>N$ — [01:49:18]

• « Et de nouveau, le grand $N$, il est non nul, parce que s’il était nul, on aurait $0$ qui est plus grand que 1 : ce n’est pas possible. »
• « Ce qu’il me reste à montrer maintenant, c’est la partie importante : il faut que je montre que pour tout $n$ plus grand que $N$, $\frac{1}{n}$ est plus petit que $\epsilon$. »
  • ⚠️ « Vous voyez, c’est un peu compliqué, les lettres. Il ne faut pas s’en mêler les pinceaux. »

$$\text{Soit }n>N:\frac{1}{n}<\frac{1}{N}<\epsilon$$

• « Quand on inverse, l’inégalité va dans l’autre sens ; et $\frac{1}{N}$ est strictement plus petit que $\epsilon$, c’est ça que Archimède me disait. Donc, j’ai bien démontré ce que je voulais. »

$$■\text{et donc}\frac{1}{n}\underset{n\to +\infty }{⟶}0$$

⚠️ La stratégie de ce genre de preuve — [01:50:32]

1. On se donne un $\epsilon$ quelconque. 2. Il faut trouver le moyen de construire le $N$ associé. (Ici, c’est Archimède qui nous l’a donné, mais parfois, ce sera d’autres arguments.) 3. Une fois qu’on l’a, il faut montrer qu’à partir de ce $N$-là, donc pour tous les $n$ plus grands que lui, on a bien l’inégalité désirée.

• « On va montrer que quelque chose converge : on va prendre un $\epsilon$ quelconque au départ, et il faudra construire le $N$ associé, à partir duquel on passe en dessous. »
• « Je vous rassure : démontrer ce genre de choses, on va uniquement le faire pour des exemples de base. Et puis on aura des théorèmes forts qui nous permettent de calculer des limites de grosses fonctions à partir de petites. Mais les exemples de base, il faut les faire à la main, il n’y a pas le choix. »

19.3. Exercice à faire à la maison — [01:51:22]

$$\text{Deˊmontrer que}\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2}{2n^2+1}=\frac{1}{2}$$

• « Là, vous allez dire : “Ça se voit, monsieur, c’est du carré sur du carré, on prend les coefficients dominants : au-dessus c’est $1\times n^2$, en dessous c’est $2\times n^2$, donc ça fait $\frac{1}{2}$. J’ai vu ça en secondaire.” Mais on n’a pas encore démontré qu’on pouvait le faire, prendre le coefficient dominant. À l’heure actuelle, on ne le sait pas qu’on peut faire ça. »
• « Donc, dans l’exercice, j’aimerais bien que vous essayiez de le démontrer à la main, donc avec l’$\epsilon$, comme je viens de le faire. Ce que vous devez faire : montrer que $\frac{n^2}{2n^2+1}-\frac{1}{2}$ peut être rendu plus petit que n’importe quel $\epsilon$, en construisant le $N$ associé. Ça va de nouveau être la propriété d’Archimède. »
• « Tant qu’on fait des choses à la main comme ça, c’est tout le temps la propriété d’Archimède. Si vous voulez vous assurer que vous avez bien compris tout ce qu’on a fait aujourd’hui, vous pouvez essayer de le faire chez vous en exercice, et vous avez la correction dans le syllabus. »

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20. La convergence vers $\pm \infty$ — [01:52:34]

• « Ça, c’était la définition de convergence vers un point, une suite qui se rapproche d’un nombre réel. On pourrait avoir un autre phénomène : une suite qui explose, une suite qui grandit de plus en plus et qui va vers l’infini mais en hauteur. Par exemple on pourrait avoir une suite avec des points qui explosent comme ça : ça monte, ça monte, ça monte de plus en plus et ça ne s’arrête jamais. Donc là, une exponentielle par exemple. »

20.1. Définition — [01:53:03]

• « Donc on aura envie de dire que la suite converge, mais pas vers un nombre : elle va vers $+\infty$. »
• « Dire qu’on converge vers $+\infty$, ça veut dire qu’en hauteur, on peut devenir aussi grand qu’on veut. Quel que soit le seuil vertical que je me mets, forcément, à partir d’un moment, je vais passer au-dessus. »
• « Ici, c’est pas $\epsilon$, c’est une autre lettre, mais peu importe, on pourrait mettre $\epsilon$ aussi. Donc : quel que soit le seuil que je prends — on l’appelle plutôt souvent $M$ — il existe un certain stade à partir duquel je deviens plus grand que $M$. Ici, c’est à partir du stade numéro 3 ; si je prenais le $M$ qui était là, ce serait à partir du stade numéro 5 que je passe au-dessus. »

$$\boxed{u_n\underset{n\to +\infty }{⟶}+\infty ⟺\forall M\in \mathbb{R},\exists N\in \mathbb{N}:\forall n>N,u_n>M}$$

• « Et pareil, la version où ça va vers le bas, vers $-\infty$ : c’est la même, mais plus petit que $M$. Faut pas s’emmêler les pinceaux avec les $M$ et les $N$. »
• ⚠️ « La seule difficulté du chapitre, c’est pas s’emmêler les pinceaux avec toutes les lettres en simultané. Je pense que c’est la seule difficulté. »

$$\boxed{u_n\underset{n\to +\infty }{⟶}-\infty ⟺\forall M\in \mathbb{R},\exists N\in \mathbb{N}:\forall n>N,u_n<M}$$

• « Convergence vers $+\infty$, convergence vers $-\infty$. Il y en a une troisième (qui est la divergence / l’oscillation), mais faisons d’abord un exemple bébête. »

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21. Exemple : $\sqrt{n}\to +\infty$ — [01:55:15]

21.1. Les exemples immédiats — [01:55:27]

• Un étudiant propose « exponentielle » → « on ne la connaît pas encore, la fonction exponentielle, on la verra plus tard. »
• « Racine carrée. $n+1$, même déjà $n$ tout seul. Ça, c’est vraiment la plus bébête. Si $n$ tend vers $+\infty$, alors $n$ tend vers $+\infty$ : il suffit de prendre le grand $N$ qui est le même que $M$. C’est la suite qui fait une diagonale, celle-là. Mais, tu l’as dit, $n+1$ aussi, $\sqrt{n}$ aussi. »

21.2. Démonstration : $\sqrt{n}\to +\infty$ — [01:56:07]

• « Celle-là, si on la représente, ça va donner quelque chose qui monte, mais qui monte de plus en plus doucement… mais il n’empêche qu’elle va vers $+\infty$ quand même. Elle y va très doucement, mais elle y va quand même. Ça, on pourrait essayer de le montrer, parce que ça, c’est déjà moins évident. »

Ce qu’il faut montrer :

$$\forall M,\exists N\in \mathbb{N}:\forall n>N,\sqrt{n}>M$$

• Construire $N$ en fonction de $M$ : « Vous me donnez le $M$, vous devez construire le $N$ en réponse. Donc le $N$, évidemment, il va s’exprimer en fonction du $M$. Il faut trouver lequel prendre. »
• « Au brouillon, je me dis : $\sqrt{n}>M$, c’est ça que je veux à la fin. Donc, au carré, ça me donnerait qu’il faut que $n$ soit strictement plus grand que $M^2$. Est-ce qu’on peut me donner un exemple d’un $n$ qui est strictement plus grand que $M^2$ ? Je vais prendre celui qui vient après : $M^2+1$. Donc, je vais tester avec ça : posons $N=M^2+1$. »

$$N=M^2+1$$

Vérification : soit $n>N$.

$$\sqrt{n}>\sqrt{N}=\sqrt{M^2+1}>\sqrt{M^2}=|M|\ge M$$

• « Là, maintenant, le $+1$, je l’avais introduit pour obtenir un strictement plus grand. Donc, ça, c’est bel et bien strictement plus grand que $\sqrt{M^2}$. Et puis, la racine de $M^2$, c’est combien ? On va faire la faute. La racine de $M^2$ c’est la valeur absolue de $M$. On y est presque. Et la valeur absolue d’un machin est toujours plus grande que le machin. Donc, ça, c’est bel et bien plus grand ou égal à $M$. »

$$■\text{et donc}\sqrt{n}\underset{n\to +\infty }{⟶}+\infty$$

21.3. Bilan de la séance — [01:59:44]

• « C’est très fastidieux pour prouver des évidences graphiques. Mais avec les fonctions de base, on peut toujours dire que ça se voit. Mais très vite, ça ne se verra plus. Donc, j’ai besoin d’avoir des outils théoriques comme ceux-là pour pouvoir démontrer des phénomènes de convergence même qu’on n’arrive pas à observer. C’est ça l’intérêt. »
• « Et c’est bien de s’arrêter sur cet exemple. »

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Points clés — [résumé]

• Propriété d’Archimède : $\forall x\in \mathbb{R},y>0,\exists n\in \mathbb{N}:x<ny$. Démontrée par l’absurde en posant $A=\{ny:n\in \mathbb{N}\}$ (non vide, majoré par $x$ sous l’hypothèse d’absurdité), puis en appliquant le critère en $\epsilon$ avec $\epsilon =y$ : on obtient $\beta <(n_0+1)y$ avec $(n_0+1)y\in A$, ce qui contredit que $\beta$ est un majorant.
• Encadrement par deux entiers : $\forall x\in \mathbb{R}\exists !k\in \mathbb{Z},k\le x<k+1$. Unicité par l’absence d’unité possible entre deux entiers distincts ; existence en 3 cas : $x=0$ (trivial), $x>0$ (minimum de $\{n\in :N:n>x\}$, grâce à la propriété fondamentale de $\mathbb{N}$), $x<0$ (effet miroir via $-x>0$, avec le piège de l’inégalité stricte à droite → 2 sous-cas).
• Minimum vs borne inf : minimum est plus fort que borne inf ; c’est une propriété de $\mathbb{N}$, pas de $\mathbb{R}$. Ne se démontre pas par la borne supérieure.
• Densité de $\mathbb{Q}$ : $x<y\Rightarrow \exists r\in \mathbb{Q},x<r<y$. Preuve en combinant Archimède et la partie entière : Archimède sur $(1,y-x)$ donne $1<n(y-x)\Rightarrow nx+1<ny$ ; partie entière de $nx$ : $k\le nx<k+1$ ; d’où $k+1\le nx+1<ny$, donc $\frac{k+1}{n}\in \mathbb{Q}$ avec $x<\frac{k+1}{n}<y$ (légitime car $n\ne 0$).
• Densité de $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ : même principe, appliqué à $x\sqrt{2}<y\sqrt{2}$ puis multiplication par $\sqrt{2}$. ⚠️ Piège : le rationnel $r$ trouvé peut être nul, et le lemme « $r\ne 0,r\in \mathbb{Q}\Rightarrow r\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$ » échoue si $r=0$ → il faut refaire un second passage avec $\frac{x}{\sqrt{2}}<q<0$ (donc $q<0$, $q\ne 0$).
• Valeur absolue : $|x|=x\mathrm{signe}(x)=\{\begin{array}{ll}x& x\ge 0\\ -x& x<0\end{array}$, graphically un V, et c’est la distance de $x$ à $0$.
• Les 9 propriétés, dont les 3 à graver : ⚠️ $|x|=\sqrt{x^2}$ (jamais $x$ !), ⚠️ $|x+y|\le |x|+|y|$ (Minkowski 1), ⚠️ $||x|-|y||\le |x-y|$ (Minkowski 2). Aussi : $|x|=0\iff x=0$ ; $|xy|=|x||y|$ ; $\left|\frac{x}{y}\right|=\frac{|x|}{|y|}$ ; $|x|<y\iff -y<x<y$ (avec $y>0$ necessarily) ; $|x|>y\iff x>y$ ou $x<-y$.
• Les deux outils de démonstration : le « coup classique » (rajouter/enlever : $x=x-y+y$, pour faire apparaître une lettre) et la transparence des doubles valeurs absolues ($\left||z|\right|=|z|$ quand $z\ge 0$).
• Distance : $d(x,y)=|x-y|$ ; c’est la distance euclidienne (la plus basique ; il existe géodésique, Manhattan, taxi…) et toutes vérifient $(D_1)$ symétrie, $(D_2)$ séparation, $(D_3)$ inégalité triangulaire. La 3 se démontre avec Minkowski + coup classique.
• Borne : $A$ borné $\iff \exists C>0,\forall x\in A,|x|<C\iff A\subset ]-C,C[$ $\iff$ $A$ majoré et minoré $\Rightarrow$ $\sup A$ et $\inf A$ existent. Travailler sur un ensemble borné, c’est facile ; sinon il faut gérer l’infini.
• Suite = fonction $u:{\mathbb{N}}_0\to \mathbb{R}$ (⚠️ pas « des nombres à la chaîne »). $u_n$ = image (le terme), $u(n)$ = la fonction. Pourquoi $\mathbb{N}$ : points séparés (pas de virgule), toujours positif, et surtout la récurrence ($n\to n+1$), « la technique de démonstration la plus forte ».
• Convergence : $u_n\to L\iff \forall \epsilon >0\exists N\forall n>N:|u_n-L|<\epsilon$. ⚠️ Le $\epsilon$ dépend de $N$ ; sans le seuil $N$, l’énoncé $\forall \epsilon |u_n-L|<\epsilon$ ne dirait que $u_n=L$.
• Unicité de la limite : $u_n\to L_1$ et $u_n\to L_2\Rightarrow L_1=L_2$. Le canevas : prendre $\epsilon =\frac{|L_1-L_2|}{2}$ anticipant le facteur 2, prendre $N=\max (N_1,N_2)$, intercaler $u_n$, appliquer Minkowski → $|L_1-L_2|<2\epsilon =|L_1-L_2|$.
• Stratégie de preuve de convergence : (1) $\epsilon$ quelconque, (2) construire $N$, (3) vérifier pour tout $n>N$.
• $\frac{1}{n}\to 0$ : grâce à Archimède (sans lui, impossible !), $\frac{1}{n}<\frac{1}{N}<\epsilon$.
• $u_n\to \pm \infty$ : $\forall M\exists N\forall n>N:u_n\gtrless M$. Exemple $\sqrt{n}\to +\infty$ avec $N=M^2+1$ (le $+1$ donne le strict, et $\sqrt{M^2}=|M|\ge M$).

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Doutes / à vérifier

• ⚠️ [01:19:46 – 01:20:18] Cas $x>0$, choix de $k$ : le prof dit textuellement « le minimum de $A$, c’est celui qui joue le rôle du $k+1$ […] donc du coup petit $k$, c’est ce minimum-là », ce qui est contradictoire. Mathématiquement, avec $A=\{n\in \mathbb{N}:n>x\}$ et $m=\min A$, c’est $m$ qui est « juste au-dessus » et donc $k=m-1$ (car $m\notin A$ exclué par minimalité \Longrightarrow $m-1\le x$). À vérifier sur le slide du syllabus.
• ⚠️ [01:22:58] Valeur de $k$ dans le cas négatif : la transcription donne « $k$ qui vaut $-l-a$ » (coupure audio juste après « $-l-$ », la transcription est en boucle sur ce segment). Le seul choix qui marche mathématiquement est $k=-l-1$ (cas $-l<x<1-l$) ; le cas $x=-l$ donnant $k=-l$. Retenu tel quel, mais à confirmer sur le support.
• ⚠️ [01:26:24 – 01:26:40] Choix de $x,y$ dans la preuve de la densité : le transcript dit « je vais appliquer la propriété à $n$ moins $x$ ». Lecture retenue : $n\times x$ (le même que le « $n$ moins $y$ » = $n\times y$ quelques secondes plus bas, qui est cohérent avec le calcul). Vérifier sur le slide.
• [01:22:26 – 01:22:52] Contre-exemple annoncé : le prof dit « Donc, de deux choses l’une : » puis 26 s de « … » (aucun signal exploitable) avant d’enchaîner sur les deux cas. Il manque peut-être une phrase (une numérotation de cas ?).
• [01:28:26] Notation $u(n)$ : le prof dit « je noterai $u(n)$ en parenthèse avec $n\in {\mathbb{N}}_0$ », puis « pour aller plus vite, je laisserai tomber l’indice, je noterai ça ». La 2ᵉ notation n’est pas verbalisée clairement (probablement $u$ tout court pour la suite complète).
• [01:33:10] « $1/n$ plus petit que $\epsilon$ est la même chose que $1$ plus petit que $n\epsilon$ » : la transcription mélange $n$ et $n\cdot \epsilon$ ; le raisonnement est correct (multiplier par $n>0$).
• [01:35:44] et [01:40:00] ${\mathbb{N}}_0$ vs ${\mathbb{N}}^{\ast }$ : le prof écrit alternativement ${\mathbb{N}}_0$ et $\mathbb{N}\setminus \{0\}$ selon qu’il commence à 0 ou à 1 (« je commence à compter à 1 », mais la notation du slide est ${\mathbb{N}}_0$). Sans conséquence sur les preuves.
• [01:48:12] Note : le prof dit « C’est encore écrit au tableau ? » puis « Notre bon vieil ami Archimède » — la question de l’étudiant porte sur le tableau ou sur le slide, sans réponse explicite dans la transcription.
• Pauses : 00:11:58 → 00:14:38 (loop de transcription sur silence, ~2 min 40) et 01:04:32 → 01:07:20 (pause de 5 min). Aucun contenu(mathématique) n’est manqué, mais les questions/réponses des étudiants pendant ces fenêtres peuvent ne pas avoir été captées.