AR I - Cours 03

AR I — Cours 3 : divergence, sous-suites et algèbre des limites (théorème de l’étau)

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Couverture : audio complet 01:54:28 (durée réelle 6867 s). Le cours reprend directement après le Exemple 2.9 ($\sqrt{n}\to +\infty$) du AR I - Cours 02.

Couverture du support

• Syllabus : AnalyseI.Sylabus.pdf → §2.1 Convergence et divergence de suites réelles (p. 18–24). Traite : Déf. 2.10 (divergence), Prop. 2.12 (sous-suite d’une suite convergente), Cor. 2.13 (critère de divergence par sous-suites), Ex. 2.14 ($(-1{)}^n$), Prop. 2.15 (recollage de deux sous-suites extraites paires/impaires), Déf. 2.21 ($L^{+},L^{-}$), Prop. 2.23 (limite de l’inverse), Ex. 2.24, Prop. 2.25 (quotient), Prop. 2.26 ($|\cdot |$), Prop. 2.27 (passage à la limite dans les inégalités), Rem. 2.28 (inégalité stricte vs non stricte), Th. 2.29 (théorème de l’étau / des gendarmes / sandwich) (p. 23–24), et les tableaux de l’algèbre des limites (somme p. 19, produit p. 20, quotient p. 21–22). Voir AR I - Avance.
• Dans le syllabus mais non développé en détail en classe : certaines démonstrations des cases du tableau (sauf celles faites explicitement) sont laissées comme exercices (le prof insiste : il fait 2–3 démonstrations pour montrer le mécanisme, les autres à faire chez soi).
• Slides : chapitre 2 — en attente de réception.

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1. Retour sur le cours précédent : le mécanisme d’une preuve de convergence — [00:00:00 – 00:00:55]

Le cours commence exactement là où AR I - Cours 02 s’était arrêté : le prof reprend la notion de convergence d’une suite $(u_n)$.

• Rappel de la structure d’une preuve de convergence : « pour faire ce genre de preuve, pour prouver que $u_n$ converge vers $L$, c’est toujours le même jeu : je vous donne le $\epsilon$ quelconque, vous devez me trouver en réponse le grand $N$ à partir duquel ça devient plus petit qu’$\epsilon$. »
• C’est toujours comme ça qu’on prouve une proposition du type $\forall \exists$.
• Puis rappel rapide de la convergence vers $+\infty$ : « je peux devenir plus grand que n’importe quoi, donc quel que soit le grand $M$, je peux toujours trouver un grand $N$ tel que quand $n>N$, la suite est plus grande que grand $M$. »
• ⚠️ Attention aux lettres : « il ne faut pas s’emmêler les pinceaux avec les lettres. C’est comme avec le $\epsilon$ : je vous donne le grand $M$, vous devez trouver le grand $N$ à partir duquel la suite devient plus grande que $M$ ».

2. La convergence vers $-\infty$ : qu’est-ce qui change dans la définition ? — [00:00:55 – 00:01:18]

• Question du prof à la classe : « à votre avis, la convergence vers $-\infty$, qu’est-ce qui va changer dans la définition qui est là ? »
• Réponse d’un étudiant : « le signe de l’égalité ».
• Le prof valide : « si je veux aller vers $-\infty$, il faut que ça puisse devenir plus petit que n’importe quoi ». Donc « plus petit que grand $M$, quel que soit le grand $M$ ».

3. La convergence vers $\infty$ (sans signe) et l’exemple $(-1{)}^{n}n$ — [00:01:18 – 00:03:18]

• Il existe des suites qui « ont tendance à exploser » mais qui ne vont **ni vers $+\infty$ ni vers $-\infty$ ».
• Exemple : une suite qui descend, puis monte plus haut, puis descend plus bas, puis monte encore plus haut, puis descend encore plus bas. « Celle-là, elle ne va ni vers $+\infty$ ni vers $-\infty$, puisqu’elle alterne. »
• ⚠️ Point clé : « mais elle devient très grande en valeur absolue. Il faut en quelque sorte oublier le signe pour dire qu’elle devient très grande. »
• Exemple formel : la suite $(-1{)}^{n}n$.
  • $u_1=-1$, $u_2=2$, $u_3=-3$, $u_4=4$, etc.
• Définition : $(u_n)$ converge vers $\infty$ (sans signe) si $|u_n|\to +\infty$.
• Vérification : $\left|(-1{)}^{n}n\right|=n\to +\infty$. Donc $(-1{)}^{n}n\to \infty$.

3.1. Intuition géométrique — « oublier le signe »

« Prendre la valeur absolue, ça fait juste passer tout ce qui est en bas au-dessus : si je prends la valeur absolue de cette suite, tous ceux qui étaient en bas passent au-dessus en miroir, et donc là ça redevient positif et ça va vers $+\infty$. »

4. Récapitulatif des exemples de la séance précédente — [00:03:18 – 00:03:46]

Le prof liste les exemples déjà traités au cours précédent :

Suite	Limite
$n$	$+\infty$
$-n$	$-\infty$
$(-1{)}^{n}n$	$\infty$ (sans signe)
$\sqrt{n}$	$+\infty$
$n^2$	$+\infty$
$-n^2$	$-\infty$

5. Définition de la divergence — [00:03:46 – 00:04:38]

• Question du prof : « ce qu’on appelle une suite divergente, c’est quoi ? »
• Réponse : « c’est une qui ne converge pas ».
• Définition 2.10 (Divergence) : une suite $(u_n)$ qui ne converge ni vers un nombre, ni vers $+\infty$, $-\infty$ ou $\infty$ est dite divergente.

5.1. Note de vocabulaire — divergence vers $\pm \infty$

• Dans certains ouvrages, les suites qui convergent vers $\pm \infty$ ou $\infty$ sont déjà qualifiées de divergentes (« mon prédécesseur faisait comme ça, je crois »). Mais dans d’autres ouvrages, converger vers l’infini n’est pas une divergence.
• Le prof choisit la position du syllabus : convergence vers un nombre / vers $+\infty$, $-\infty$, $\infty$ / divergence (convergence vers rien du tout).

6. Exemples de suites divergentes — [00:04:38 – 00:06:32]

• Exemple 1 : une suite sinusoïdale (« on ne connaît pas encore le sinus, mais quand on le connaîtra, ce sera le cas »). $\sin (n)$ diverge car ça oscille, bornée entre $-1$ et $1$ : « ça ne converge pas vers un nombre non plus, puisque ça oscille tout le temps ».
• Exemple 2 : $(-1{)}^n$ — « ça va faire $-1,1,-1,1,-1,1,\dots$ ».
• Le prof résume : « il faut garder cette idée d’oscillation. C’est une suite qui doit osciller, elle ne doit pas se rapprocher d’une valeur. »

Piège de transcription dans cet exemple

Whisper transcribe « moins 1 exposant n » como « moins a exposant n » (00:05:25, 00:05:30, 00:06:09, 00:06:17…), porque con el acento del prof el 1 suena como « a ». Hay que leer $(-1{)}^n$, no $(-a{)}^n$. Lo confirma el propio contexto : « elle converge ni vers 1, ni vers moins 1 » (00:05:40), « elle est bornée, elle est [entre] moins 1 et 1 » (00:05:44) y « l’exemple typique, c’est moins 1 exposant n » (00:05:58).

6.1. $(-1{)}^n$ oscille entre deux valeurs

• $(-1{)}^n$ donne : $-1,1,-1,1,-1,1,\dots$
• Elle oscille entre deux valeurs : elle ne peut donc converger vers aucun nombre (« elle ne converge ni vers $1$, ni vers $-1$, puisqu’à chaque fois elle oscille entre les deux »).
• Elle ne converge pas non plus vers l’infini, car elle est bornée : elle reste comprise entre $-1$ et $1$.
• « Donc l’exemple typique de la suite divergente, c’est essentiellement tous les exemples élémentaires de suite divergente qui sont créés à partir de celle-là. »

Représentation graphique

On « alterne des $1$ et des $-1$ » : ça commence à $-1$ (pour $n=1$), puis $1$, puis $-1$, puis $1$, etc.

7. Comment prouver qu’une suite diverge ? L’idée des sous-suites — [00:06:32 – 00:07:22]

• Question : « comment est-ce qu’on démontrerait que ça diverge ? »
• L’idée de base :
  • Les termes pairs (ceux d’en haut, $+1$) : vont vers $+1$.
  • Les termes impairs (ceux d’en bas, $-1$) : vont vers $-1$.
• « Est-ce que j’ai le droit de juste sélectionner certains termes particuliers ? J’en prends 1 sur 2. Si j’en prends 1 sur 2, je crée une nouvelle suite. »
• Création de sous-suites :
  • $(u_{2n})=u_2,u_4,u_6,u_8,\dots$ (termes pairs) $\to 1$.
  • $(u_{2n-1})=u_1,u_3,u_5,u_7,\dots$ (termes impairs) $\to -1$.

8. Définition d’une sous-suite (suite extraite) — [00:07:22 – 00:12:57]

8.1. Intuition et exemples

• « Bon, c’est une idée fondamentale : il y a la grosse suite, j’extrais certains points particuliers, je crée une sous-suite (ou suite extraite). »
• Exemples :
  • $(u_{2n})$ : on extrait tous les rangs pairs.
  • $(u_{2n-1})$ : on extrait tous les rangs impairs.
  • $(u_{n^2})$ : on extrait les rangs $1,4,9,16,25,\dots$ (les carrés parfaits).
• « Donc en fait, en toute généralité, si je veux extraire une sous-suite, je dois prendre $u$ et je ne prends que certains $n$ particuliers. Donc je vais prendre une fonction de $n$ : $2n$, $2n-1$, $n^2$, etc. »

8.2. Notation : $u_{\phi (n)}$ et la composition de fonctions

• On note la sous-suite $u_{\phi (n)}$, où $\phi$ est la fonction qui extrait les termes.
• « Rappelez-vous que la notation en indice, ça veut juste dire $u\circ \phi \circ n$, c’est-à-dire $u\circ \phi$ évaluée en $n$. C’est une fonction, n’oubliez pas. »
• « Donc c’est vraiment comme si je composais deux fonctions : $u$ (la suite) avec $\phi$ (la fonction d’extraction). »
• Le prof fait le parallèle avec la notation $f\circ g(x)=f\circ (g\circ x)$ du secondaire (« $f$ rongé $f\circ g\circ x$ »).

8.3. Les deux conditions sur $\phi$

Le prof pose les conditions pour que $\phi$ soit une extractrice :

1. Condition 1 : $\phi (0)\ge 0$.

   • « Déjà, il faut que ça commence à $0$. Une suite, ça commence toujours à $0$. Donc il faudra que le $\phi (0)$ soit $\ge 0$. Je ne peux pas être plus bas que $0$. »
   • ⚠️ Attention : dans la notation du prof, les indices commencent à $0$ (aligné avec ${\mathbb{N}}_0$ du syllabus).

2. Condition 2 : $\phi (n+1)>\phi (n)$ pour tout $n\in {\mathbb{N}}_0$.

   • « Il faut que quand j’avance dans les $n$, j’avance de gauche à droite. Donc il faut que quand je sélectionne ma sous-suite, je prenne ce terme-là, puis celui-là, $\dots$ et je parcours de gauche à droite. »
   • « Je ne commence pas à faire des allers-retours, sinon ça complique toute l’épreuve. »
   • « C’est ce qu’on appelle une fonction croissante (stricte croissance). Donc $\phi (n+1)>\phi (n)$. »

8.4. Définition officielle

Définition 2.11 (Sous-suite) : une sous-suite de $(u_n)$ est une suite de la forme $(u_{\phi (n)})$ où $\phi :{\mathbb{N}}_0\to {\mathbb{N}}_0$ est une fonction telle que

$$\phi (0)\ge 0\text{et}\phi (n+1)>\phi (n)\forall n\in {\mathbb{N}}_0.$$

Cette fonction $\phi$ est appelée extractrice.

8.5. Corollaire immédiat : $\phi (n)\ge n$

Puisque $\phi$ est croissante et $\phi (0)\ge 0$, on déduit par récurrence que

$$\boxed{\phi (n)\ge n\forall n\in {\mathbb{N}}_0.}$$

Démonstration (le prof fait les cas $\phi (1),\phi (2),\phi (3)$ à l’oral) :

• $\phi (0)\ge 0$ par hypothèse.
• Si $\phi (n-1)\ge n-1$, alors $\phi (n)>\phi (n-1)\ge n-1$, donc $\phi (n)\ge n$ car on est dans les entiers naturels.

Exercice suggéré

Le prof suggère de faire cette preuve par récurrence en TD : « c’est un bon exercice, essayez de le faire, c’est élémentaire ».

9. Proposition 2.12 — Une sous-suite d’une suite convergente converge vers la même limite — [00:12:57 – 00:16:30]

9.1. Énoncé

Proposition 2.12 : si $(u_n)$ converge vers $L$ (resp. $+\infty$, $-\infty$, $\infty$), alors toute sous-suite $(u_{\phi (n)})$ converge aussi vers $L$.

9.2. Démonstration (cas $L\in \mathbb{R}$)

Hypothèses :

• $\forall \epsilon >0$, $\exists N\in {\mathbb{N}}_0$ tel que $\forall n\ge N$ : $|u_n-L|<\epsilon$.

Objectif : montrer que $\forall \epsilon >0$, $\exists N\in {\mathbb{N}}_0$ tel que $\forall n\ge N$ : $|u_{\phi (n)}-L|<\epsilon$.

Preuve :

• Soit $\epsilon >0$ quelconque.
• D’après l’hypothèse, il existe $N\in {\mathbb{N}}_0$ tel que $\forall k\ge N$ : $|u_k-L|<\epsilon$.
• Si $n\ge N$, alors $\phi (n)\ge \phi (N)\ge N$ (car $\phi$ est croissante et $\phi (k)\ge k$ pour tout $k$).
• Donc $|u_{\phi (n)}-L|<\epsilon$. $■$

9.3. Remarque pédagogique : le $\epsilon$ est choisi à l’avance

• Le prof : « le même grand $N$ qui marchait pour $u_n$, il marchera aussi pour $u_{\phi (n)}$. C’est fait exprès pour que ça marche ainsi. »
• « C’est pour ça qu’on impose que $\phi$ soit croissant : c’est pour que ce résultat soit vrai. »
• « C’est souvent comme ça en maths : on sait le théorème qu’on veut avoir, on pose la définition sur mesure pour que le théorème fonctionne. On pose à rebours les définitions adéquates pour que les théorèmes marchent. »

10. Corollaire 2.13 — Critère de divergence par sous-suites — [00:16:30 – 00:18:00]

10.1. Énoncé

Corollaire 2.13 : s’il existe deux sous-suites $(u_{\phi (n)})$ et $(u_{\psi (n)})$ qui convergent vers des limites différentes, alors $(u_n)$ est divergente (ou converge vers $\infty$).

10.2. Application à l’exemple $(-1{)}^n$

• $(u_{2n})\to 1$ et $(u_{2n-1})\to -1$ : les limites sont différentes $\Rightarrow$ divergence.
• « C’est vraiment notre critère de divergence principal. Dans les exercices, quand vous voudrez montrer qu’une suite est divergente, vous appliquerez ce critère-là : vous trouverez deux sous-suites qui vont vers deux résultats différents. »

10.3. Nuance avec $\pm \infty$

• Si une sous-suite $\to +\infty$ et l’autre $\to -\infty$, alors la suite principale ne peut pas converger vers un nombre.
• Elle pourrait seulement converger vers $\infty$ (sans signe).

11. Proposition 2.15 — Recollage de deux sous-suites paires/impaires — [00:18:00 – 00:19:14]

11.1. Énoncé (résultat inverse)

Proposition 2.15 : si $(u_{2n})$ et $(u_{2n-1})$ convergent toutes les deux vers une limite commune $L$ (resp. $+\infty$, $-\infty$, $\infty$), alors $(u_n)$ converge aussi vers $L$.

11.2. Note du prof

• « On ne l’utilisera jamais. Donc je ne vais pas le démontrer. Mais c’est un bon exercice d’ici vos séances de travail à domicile. »
• « C’est même pas une proposition, c’est un exercice théorique pour vérifier que vous avez compris l’histoire d’un $\epsilon$. »

12. Transition : l’algèbre des limites — [00:19:14 – 00:20:34]

• Le prof : « On va rentrer maintenant dans le dur, parce qu’on ne va pas faire des trucs en $\epsilon$ jusqu’à la fin de nos vies. »
• « En secondaire, vous ne calculez pas vos limites avec des $\epsilon$. À un moment, vous aviez des trucs pour aller plus vite. »
• « On va commencer par toutes les propriétés liées aux quatre opérations : plus, moins, fois, divisé. C’est ce qu’on va appeler l’algèbre des limites. »
• « Le mot algèbre, ça veut dire les quatre opérations. »
• Le prof écrit le symbole pour la division : « point au-dessus, point en dessous ».

13. Le tableau de la somme (Proposition 2.16) — [00:20:34 – 00:24:26]

13.1. Le tableau

$\lim v_n\backslash \lim u_n$	$L$	$+\infty$	$-\infty$
$L^{\prime }$	$L+L^{\prime }$	$+\infty$	$-\infty$
$+\infty$	$+\infty$	$+\infty$	(vide)
$-\infty$	$-\infty$	(vide)	$-\infty$

13.2. Comment lire le tableau

• Ligne horizontale : les limites possibles pour $(u_n)$ : $L$, $+\infty$, ou $-\infty$.
• Colonne verticale : les limites possibles pour $(v_n)$ : $L^{\prime }$, $+\infty$, ou $-\infty$.
• Cases complétées = théorèmes prouvés.
• Cases vides = formes indéterminées.

13.3. Formes indéterminées

• Les deux cases vides sont $(+\infty )+(-\infty )$ et $(-\infty )+(+\infty )$.
• Le prof : « en secondaire vous notiez ça entre guillemets : "$\infty -\infty$" est une forme indéterminée. »
• Définition : « forme indéterminée » signifie « qu’il n’y a pas de théorème ».

13.4. Combien de théorèmes dans ce tableau ?

• 7 théorèmes au total (chaque case complétée est un théorème).
• Le tableau est symétrique : si on prouve le cas « $u\to L$, $v\to +\infty$ », le cas « $u\to +\infty$, $v\to L$ » est immédiat.
• Il faut donc prouver au minimum 5 théorèmes (4 par symétrie + le cas diagonal $L+L^{\prime }$).

13.5. Exemple d’indétermination : $(+\infty )+(-\infty )$

• $u_n=n+1\to +\infty$ et $v_n=-n\to -\infty$ $\Rightarrow$ $u_n+v_n=1$.
• $u_n=n\to +\infty$ et $v_n=-n-1\to -\infty$ $\Rightarrow$ $u_n+v_n=-1$.
• « Au cas par cas, ça donne une réponse différente. Il n’y a pas de réponse figée pour ce cas-là. »

14. Stratégie pour démontrer une case du tableau — [00:24:26 – 00:25:20]

• « Je ne vais jamais de la vie démontrer 5 fois ce genre de choses. Je vais le faire 2 fois pour être pédagogique : une fois avec de l’infini et une fois [avec des] $100$ [nombres]. »
• « Pour les autres cas, tous les autres exercices chez vous. »
• ⚠️ À l’examen : « je pose la question d’une case que je n’ai pas faite en classe. Si je fais $+\infty$ en classe, je demanderai $-\infty$ à l’examen, pour que vous n’étudiez pas par cœur bêtement. »

15. Démonstration 1 : $u_n\to L$, $v_n\to L^{\prime }$ $\Rightarrow$ $u_n+v_n\to L+L^{\prime }$ — [00:25:20 – 00:32:07]

15.1. Construction de la preuve à l’envers

Le prof explique sa stratégie :

• « Je vais construire la preuve un peu à l’envers. »
• « Ce que je veux faire : prendre $u_n+v_n$ et montrer que ça devient aussi proche que je veux de $L+L^{\prime }$. »
• « Il faut que je montre que la différence entre les deux, l’écart, je dois le rendre plus petit que n’importe quel $\epsilon$. »
• Étape 1 : jouer avec les inégalités pour voir ce qu’on peut contrôler.
• Étape 2 : remonter en arrière pour activer les hypothèses avec les bons $\epsilon$.

15.2. Les inégalités (le cœur de la preuve)

• $|u_n+v_n-(L+L^{\prime })|=|(u_n-L)+(v_n-L^{\prime })|$
• Par l’inégalité triangulaire (Minkowski) :

$$|(u_n-L)+(v_n-L^{\prime })|\le |u_n-L|+|v_n-L^{\prime }|$$

• On veut que cette somme $<\epsilon$.
• Découpage : chacun des deux termes doit être $<\frac{\epsilon }{2}$, pour que leur somme $<\epsilon$.
  • « Je pourrais prendre $\frac{\epsilon }{3}$ et $\frac{2\epsilon }{3}$, mais pour être harmonique et symétrique, je prends $\frac{\epsilon }{2}$. »

15.3. Activation des hypothèses (le $N$)

• D’après l’hypothèse $u_n\to L$ : $\exists N_1$ tel que $\forall n\ge N_1$ : $|u_n-L|<\frac{\epsilon }{2}$.
• D’après l’hypothèse $v_n\to L^{\prime }$ : $\exists N_2$ tel que $\forall n\ge N_2$ : $|v_n-L^{\prime }|<\frac{\epsilon }{2}$.
• Le grand $N$ : $N=\max \{N_1,N_2\}$.
• « Si je suis plus grand que le $\max$ entre $N_1$ et $N_2$, je peux appliquer les deux hypothèses en même temps. »
• ⚠️ Remarque : « le $\max$ n’est pas obligatoire, on pourrait prendre $N_1+N_2$. Je veux juste trouver un majorant qui majore $N_1$ et $N_2$ simultanément. »

15.4. Démonstration rédigée

Démonstration : soit $\epsilon >0$ quelconque. Par hypothèse, il existe $N_1\in {\mathbb{N}}_0$ tel que $\forall n\ge N_1$ : $|u_n-L|<\frac{\epsilon }{2}$, et il existe $N_2\in {\mathbb{N}}_0$ tel que $\forall n\ge N_2$ : $|v_n-L^{\prime }|<\frac{\epsilon }{2}$. Soit $N=\max \{N_1,N_2\}$. Alors pour tout $n\ge N$ :

$$|(u_n+v_n)-(L+L^{\prime })|=|(u_n-L)+(v_n-L^{\prime })|\le |u_n-L|+|v_n-L^{\prime }|<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon .$$

Donc $u_n+v_n\to L+L^{\prime }$. $■$

15.5. Question d’un étudiant : pourquoi $\frac{\epsilon }{2}$ ?

• Étudiant : « c’est quoi qui a fait qu’on a pu découper les valeurs absolues comme ça ? »
• Le prof : « ah oui, ça c’est l’étape clé. C’est l’inégalité triangulaire ($|a+b|\le |a|+|b|$). C’est littéralement ce qu’on va utiliser le plus dans ce cours. »
• « C’est un résultat qu’on a démontré la semaine dernière. Vous ne ferez aucun exercice sans ça. »

15.6. Leçon sur la construction des preuves

• « Mon vieil prof disait : c’est l’art de découper les $\epsilon$ en 4. C’est exactement ça : l’art de couper les $\epsilon$ en petits morceaux. »
• « Toutes les preuves d’analyse, peu ou prou, quand on les décortique, à la fin, ça se ramène toujours à un petit jeu comme ça. »
• ⚠️ Méthode : « beaucoup de profs récitent la preuve de haut en bas. Mais si vous la lisez de haut en bas, vous ne comprenez rien. Il faut la construire à l’envers : aller en bas jouer avec les inégalités, comprendre de quoi on a besoin, puis remonter en arrière. »

16. Démonstration 2 : $u_n\to L$, $v_n\to +\infty$ $\Rightarrow$ $u_n+v_n\to +\infty$ — [00:32:07 – 00:38:29]

16.1. Construction

• « Pour montrer que ça converge vers $+\infty$, ça veut dire que ça doit être plus grand que n’importe quoi, donc plus grand que n’importe quel grand $M$. »
• Soit $M\in \mathbb{R}$ quelconque. On veut montrer $u_n+v_n>M$.
• Il faut minorer (faire des inégalités dans l’autre sens).

16.2. Les minorations

• Pour $u_n\to L$ : à un moment donné, $u_n>L-1$ (ou $L-A$ pour tout $A>0$).
  • « Si je me rapproche très près de $L$, à un moment donné je passe au-dessus de $L-1$. »
• Pour $v_n\to +\infty$ : $v_n$ peut être rendu plus grand que n’importe quoi, donc $v_n>M-L+1$.
  • « En additionnant les deux : $(L-1)+(M-L+1)=M$. »

16.3. Activation des hypothèses

• Hypothèse $u_n\to L$ : $\exists N_1$ tel que $\forall n\ge N_1$ : $|u_n-L|<1$, donc $L-1<u_n<L+1$.
• Hypothèse $v_n\to +\infty$ : $\exists N_2$ tel que $\forall n\ge N_2$ : $v_n>M-L+1$.
• Le grand $N$ : $N=\max \{N_1,N_2\}$.

16.4. Démonstration rédigée

Démonstration : soit $M\in \mathbb{R}$ quelconque. Par hypothèse, il existe $N_1\in {\mathbb{N}}_0$ tel que $\forall n\ge N_1$ : $|u_n-L|<1$, c’est-à-dire $L-1<u_n<L+1$. Par hypothèse aussi, il existe $N_2\in {\mathbb{N}}_0$ tel que $\forall n\ge N_2$ : $v_n>M-L+1$. Soit $N=\max \{N_1,N_2\}$. Pour tout $n\ge N$ :

$$u_n+v_n>(L-1)+(M-L+1)=M.$$

Donc $u_n+v_n\to +\infty$. $■$

17. Le tableau du produit (Proposition 2.18) — [00:39:13 – 00:42:23]

17.1. Lecture du tableau

$\lim v_n\backslash \lim u_n$	$L>0$	$L<0$	$0$	$+\infty$	$-\infty$
$L^{\prime }>0$	$L\cdot L^{\prime }$	$L\cdot L^{\prime }$	$0$	$+\infty$	$-\infty$
$L^{\prime }<0$	$L\cdot L^{\prime }$	$L\cdot L^{\prime }$	$0$	$-\infty$	$+\infty$
$0$	$0$	$0$	$0$	(vide)	(vide)
$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	(vide)	$+\infty$	$-\infty$
$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$	(vide)	$-\infty$	$+\infty$

17.2. La règle des signes

• $(+\infty )\times (\text{nombre positif})=+\infty$.
• $(+\infty )\times (\text{nombre neˊgatif})=-\infty$.
• $(-\infty )\times (\text{nombre neˊgatif})=+\infty$ (car $(-)\times (-)=(+)$).
• $(+\infty )\times (-\infty )=-\infty$ (car $(+)\times (-)=(-)$).

17.3. Formes indéterminées

• Les 4 cases blanches sont de la forme $0\times (\pm \infty )$.

17.4. Exemple d’indétermination : $0\times \infty$

• $u_n=\frac{1}{n}\to 0$ et $v_n=n\to +\infty$ $\Rightarrow$ $u_n{v}_n=1$.
• $u_n=\frac{1}{n}\to 0$ et $v_n=n^2\to +\infty$ $\Rightarrow$ $u_n{v}_n=n\to +\infty$.
• « Au départ c’était pareil, mais le résultat est différent. Donc il n’y a aucune règle générale pour $0\times \infty$. »

18. Démonstration 3 : $u_n\to L$, $v_n\to L^{\prime }$ $\Rightarrow$ $u_n{v}_n\to L{L}^{\prime }$ — [00:42:23 – 00:56:10]

18.1. Le problème : séparer les facteurs

• On doit contrôler $|u_n{v}_n-L{L}^{\prime }|$, mais les hypothèses $|u_n-L|<\epsilon$ et $|v_n-L^{\prime }|<\epsilon$ ne sont pas « visibles ».
• Le prof : « ici, il va falloir réfléchir à quelle astuce on va mettre en place pour faire apparaître les hypothèses. »
• Étudiant : « il faut clearer la main. »
• Le prof : « c’est ce que j’ai appelé la semaine dernière le coup classique. »

18.2. Le coup classique

• On intercale $L\cdot v_n$ : on l’enlève puis on le rajoute pour ne rien changer.
• $|u_n{v}_n-L{L}^{\prime }|=|u_n{v}_n-L{v}_n+L{v}_n-L{L}^{\prime }|$
• $=|v_n(u_n-L)+L(v_n-L^{\prime })|$
• Par Minkowski :

$$|u_n{v}_n-L{L}^{\prime }|\le |v_n|\cdot |u_n-L|+|L|\cdot |v_n-L^{\prime }|.$$

18.3. La découpe des $\epsilon$

• À gauche : $|v_n|\cdot |u_n-L|$ doit être $<\frac{\epsilon }{2}$.
• À droite : $|L|\cdot |v_n-L^{\prime }|$ doit être $<\frac{\epsilon }{2}$.

⚠️ Problème 1 (division par zéro) : pour le terme de droite, il faudrait $|v_n-L^{\prime }|<\frac{\epsilon }{2|L|}$, mais $L$ peut valoir $0$. On ajoute donc $1$ : $|v_n-L^{\prime }|<\frac{\epsilon }{2(|L|+1)}$.

⚠️ Problème 2 (le $n$ dans le majorant) : à gauche, on ne peut pas écrire $|v_n|\cdot |u_n-L|<\frac{\epsilon }{2}\cdot |v_n|$, car le majorant doit être un nombre fixé, pas contenir de $v_n$.

18.4. Résolution du problème 2 : borner $|v_n|$

• Comme $v_n\to L^{\prime }$, on a $|v_n|\le |L^{\prime }|+1$ pour $n$ assez grand.
• Donc on peut majorer $|v_n|$ par le nombre fixé $|L^{\prime }|+1$.
• Alors : $|v_n|\cdot |u_n-L|\le (|L^{\prime }|+1)\cdot |u_n-L|$.
• Il suffit donc de prendre $|u_n-L|<\frac{\epsilon }{2(|L^{\prime }|+1)}$.

18.5. Les trois hypothèses

• $N_1$ pour $|v_n-L^{\prime }|<1$ (pour borner $|v_n|$).
• $N_2$ pour $|u_n-L|<\frac{\epsilon }{2(1+|L^{\prime }|)}$.
• $N_3$ pour $|v_n-L^{\prime }|<\frac{\epsilon }{2(1+|L|)}$.

18.6. Démonstration rédigée

Démonstration : soit $\epsilon >0$. Il existe $N_1\in {\mathbb{N}}_0$ tel que $\forall n\ge N_1$ : $|v_n-L^{\prime }|<1$. En particulier, $|v_n|<1+|L^{\prime }|$. Il existe aussi $N_2\in {\mathbb{N}}_0$ tel que $\forall n\ge N_2$ : $|u_n-L|<\frac{\epsilon }{2(1+|L^{\prime }|)}$. Enfin, il existe $N_3\in {\mathbb{N}}_0$ tel que $\forall n\ge N_3$ : $|v_n-L^{\prime }|<\frac{\epsilon }{2(1+|L|)}$. Soit $N=\max \{N_1,N_2,N_3\}$. Pour tout $n\ge N$ :

$$|u_n{v}_n-L{L}^{\prime }|\le |v_n|\cdot |u_n-L|+|L|\cdot |v_n-L^{\prime }|<(1+|L^{\prime }|)\cdot \frac{\epsilon }{2(1+|L^{\prime }|)}+|L|\cdot \frac{\epsilon }{2(1+|L|)}=\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon .$$

Donc $u_n{v}_n\to L{L}^{\prime }$. $■$

19. Démonstration 4 : $u_n\to L>0$, $v_n\to +\infty$ $\Rightarrow$ $u_n{v}_n\to +\infty$ — [00:56:25 – 01:03:26]

19.1. Le problème : $L$ peut être négatif

• On voudrait faire $u_n>L-1$ et $v_n>\frac{M}{L-1}$, mais :
  • $L$ pourrait valoir $1$ (division par $0$).
  • $L-1$ pourrait être négatif (inégalité renversée si on multiplie par un négatif).

19.2. La solution : rester dans le domaine multiplicatif

• « Puisqu’on est en multiplicatif, plutôt que de faire $L-1$, je vais plutôt faire $\frac{L}{2}$ (c’est plus petit que $L$, ça). »
• On a $u_n>\frac{L}{2}$ (car $u_n\to L$ avec $L>0$).
• Il faut $v_n>\frac{2M}{L}$, car $\frac{L}{2}\cdot \frac{2M}{L}=M$.

19.3. Démonstration rédigée

Démonstration : supposons $L>0$ et $u_n\to L$, $v_n\to +\infty$. Soit $M\in \mathbb{R}$. Il existe $N_1$ tel que $\forall n\ge N_1$ : $|u_n-L|<\frac{L}{2}$, donc $\frac{L}{2}<u_n<\frac{3L}{2}$. Il existe $N_2$ tel que $\forall n\ge N_2$ : $v_n>\frac{2M}{L}$. Soit $N=\max \{N_1,N_2\}$. Pour tout $n\ge N$ :

$$u_n{v}_n>\frac{L}{2}\cdot \frac{2M}{L}=M.$$

Donc $u_n{v}_n\to +\infty$. $■$

19.4. Question : « comment est-ce que $M$ n’est pas zéro ? »

• Étudiant : « comment est-ce que $M$ n’est pas le zéro ? »
• Le prof : « c’est mis dans l’hypothèse que $L>0$. Il faut aussi que $L$ soit strictement positif. Si $L=0$, c’est $0\times \infty$, une forme indéterminée. »

20. Pause et discussion informelle — [01:03:26 – 01:10:15]

• Pause de 5 min, puis discussion informelle avec les étudiants (questions sur les copies, « y’a plein de trous un peu partout »).
• Le prof rassure : « si tu regardes le syllabus, c’est écrit comme il faut, tu peux recopier ».
• Discussion sur la notation $\phi (n)\ge n$ et sur le fait que $y^2$ n’est pas toujours supérieur à $y$ (la parabole vs la droite).

21. Remarque : le moins se ramène au plus — [01:10:15 – 01:11:01]

• « Je ne vais pas m’amuser à faire ces résultats-là pour le signe moins, pour un moins $v_n$. Parce qu’un moins, ça peut toujours se ramener à un plus. »
• « $u_n-v_n$, c’est la même chose que $u_n+(-1)\times v_n$. Donc la soustraction se ramène à une addition et puis à une multiplication par $-1$. »
• « Si je sais faire le plus et le fois, je sais automatiquement faire le moins. » → gain de temps, on ne démontre pas les cas avec un signe moins.
• ⚠️ Exception : le quotient. « Par contre, pour le quotient, là je vais devoir travailler un peu quand même », car il faut distinguer $0^{+}$ de $0^{-}$ (« quand on commence à faire des quotients, il faut vérifier si c’est $0^{+}$ ou $0^{-}$ »).

22. Définition 2.21 — $L^{+}$ et $L^{-}$ — [01:11:43 – 01:14:34]

22.1. Motivation

• En secondaire, on écrivait « $0^{+}$ » et « $0^{-}$ » pour les limites.
• « $0^{+}$ veut dire que je converge vers $0$ mais par le dessus. $0^{-}$ c’est que je converge vers $0$ mais par le dessous. »

22.2. Interprétation géométrique

• $u_n\to 0^{+}$ : au début, la suite peut osciller, mais à partir d’un certain stade elle reste au-dessus de $0$ et converge vers $0$ par le dessus.
• $u_n\to 0^{-}$ : à partir d’un certain stade, elle reste en dessous de $0$.

22.3. Définition

Soit $(u_n)$ une suite convergeant vers $L$ :

• $(u_n)\to L^{+}$ s’il existe $N\in {\mathbb{N}}_0$ tel que $\forall n\ge N$ : $u_n>L$.
• $(u_n)\to L^{-}$ s’il existe $N\in {\mathbb{N}}_0$ tel que $\forall n\ge N$ : $u_n<L$.

22.4. Exemples

• $\frac{1}{n}\to 0^{+}$ (toujours positif).
• $\frac{(-1{)}^n}{n}\to 0$ mais ni $0^{+}$ ni $0^{-}$ (car elle alterne tout le temps).
• « C’est tout comme tantôt, celle-là convergeait vers $\infty$ mais pas vers $+\infty$ ni $-\infty$. »

23. Proposition 2.23 — Limite de l’inverse — [01:14:40 – 01:26:50]

23.1. Les trois cas

1. Si $u_n\to L\ne 0$, alors $\frac{1}{u_n}\to \frac{1}{L}$.
2. Si $u_n\to 0$, alors $\frac{1}{u_n}\to \infty$. Plus précisément : si $u_n\to 0^{+}$, alors $\frac{1}{u_n}\to +\infty$; si $u_n\to 0^{-}$, alors $\frac{1}{u_n}\to -\infty$.
3. Si $u_n\to \infty$, alors $\frac{1}{u_n}\to 0$. Plus précisément : si $u_n\to +\infty$, alors $\frac{1}{u_n}\to 0^{+}$; si $u_n\to -\infty$, alors $\frac{1}{u_n}\to 0^{-}$.

23.2. Le cas difficile : $u_n\to L\ne 0$

• Le prof : « l’infini, paradoxalement, c’est toujours plus facile que les nombres, les preuves sont plus courtes. Donc avec vous, je vais faire le plus dur, c’est celui où il y a des nombres. »
• On doit contrôler $\left|\frac{1}{u_n}-\frac{1}{L}\right|$.
• Mettre au même dénominateur :

$$\left|\frac{1}{u_n}-\frac{1}{L}\right|=\frac{|u_n-L|}{|u_n|\cdot |L|}.$$

Piège de transcription dans ce passage

Le prof a un accent marqué qui fait que Whisper confond le « 1 » (un) avec le son « a » et le « L » avec le « n ». Concretement, dans le SRT :

• 01:15:56 « si UN converge vers L, A sur UN doit converger vers A sur L » → $\frac{1}{u_n}\to \frac{1}{L}$
• 01:16:08 « la démo de A » → « la démo de $\frac{1}{u_n}$ »
• 01:16:25 « 1 sur un converge vers 1 sur n » → $\frac{1}{u_n}\to \frac{1}{L}$ (le « n » est un L)
• 01:30:07 « $u_n$ multiplié par A sur VN » → $u_n\times \frac{1}{v_n}$

De même, dans tout el SRT, les occurrences de « un » / « UN » sont à lire comme la suite $u_n$ (et non comme el número $1$) quand elles apparaissent dans un contexte de suite.

23.3. Le problème au dénominateur

• Numérateur : $|u_n-L|$, c’est bien l’hypothèse. ✓
• Dénominateur : il y a $|u_n|$ qui « traîne tout seul ». Or l’hypothèse ne parle que de $|u_n-L|$ : il faut donc faire apparaître $L$.
• Premier essai du prof : écrire $|u_n|=|u_n-L+L|$ (« dans la première parenthèse, je peux mettre $u_n-L+L$ »).
• ⚠️ Problème : si on applique l’inégalité triangulaire normale au dénominateur, l’inégalité se retourne dans la fraction (minorant au lieu de majorant). « Donc en fait ça ne marche pas ce truc là. Comme c’est au dénominateur, je ne peux pas faire ça. »
• « C’est la deuxième inégalité triangulaire qu’on va devoir utiliser… celle-là qu’on connaît beaucoup moins. »
• « C’est uniquement ça, le passage difficile de la preuve. »

23.4. La solution : inégalité triangulaire inversée

• Il faut réécrire le dénominateur avec un signe moins à l’intérieur, pour qu’il soit de la forme $|A-B|$ :

$$\underset{=|L-L+u_n|=|u_n|}{\underbrace{\left|L-\left(L-u_n\right)\right|}}$$

• « Si vous distribuez le moins dans la parenthèse, ça va faire $L-L$, ça va se tuer, et puis plus $u_n$. »
• On peut maintenant appliquer la deuxième inégalité triangulaire : $\left||a|-|b|\right|\le |a-b|$, avec $a=L$ et $b=L-u_n$ :

$$|u_n|=\left|L-(L-u_n)\right|\ge ||L|-|L-u_n||=||L|-|u_n-L||.$$

• Choix : $|u_n-L|<\frac{|L|}{2}$ (première hypothèse), alors $|L|-|u_n-L|\ge \frac{|L|}{2}$, donc :

$$|u_n|\ge \frac{|L|}{2}.$$

• D’où (majoration de la fraction, car on minore le dénominateur) :

$$\left|\frac{1}{u_n}-\frac{1}{L}\right|=\frac{|u_n-L|}{|u_n|\cdot |L|}\le \frac{|u_n-L|}{|L{|}^2/2}=\frac{2|u_n-L|}{|L{|}^2}.$$

• Pour avoir $<\epsilon$, il suffit $|u_n-L|<\frac{\epsilon |L{|}^2}{2}$ (deuxième hypothèse).

Règle à retenir

« Quand on est au numérateur, il faut utiliser l’inégalité triangulaire normale ; quand on est au dénominateur, il faut utiliser l’autre. »

23.5. Les deux hypothèses

• $N_1$ pour $|u_n-L|<\frac{|L|}{2}$.
• $N_2$ pour $|u_n-L|<\frac{\epsilon |L{|}^2}{2}$.
• Le grand $N$ : $\max \{N_1,N_2\}$.

23.6. Démonstration rédigée

Démonstration : soit $\epsilon >0$. Supposons $u_n\to L$ avec $L\ne 0$. Il existe $N_1$ tel que $\forall n\ge N_1$ : $|u_n-L|<\frac{|L|}{2}$. Il existe aussi $N_2$ tel que $\forall n\ge N_2$ : $|u_n-L|<\frac{\epsilon |L{|}^2}{2}$. Soit $N=\max \{N_1,N_2\}$. Pour tout $n\ge N$, en utilisant l’inégalité triangulaire inversée :

$$\left|\frac{1}{u_n}-\frac{1}{L}\right|=\frac{|u_n-L|}{|u_n|\cdot |L|}\le \frac{|u_n-L|}{|L{|}^2/2}=\frac{2|u_n-L|}{|L{|}^2}<\frac{2}{|L{|}^2}\cdot \frac{\epsilon |L{|}^2}{2}=\epsilon .$$

Donc $\frac{1}{u_n}\to \frac{1}{L}$. $■$

23.7. Question d’un étudiant : $\frac{x}{x+1}<1$

• Étudiant : « $x>0$, est-ce que $\frac{x}{x+1}<1$ ? »
• Le prof : « $x<x+1$, c’est évident. »
• « C’est une excellente question : la plupart des preuves reposent sur ces petites inégalités qu’on utilise tout le temps sans les dire. »

24. Calcul effectif de ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{n^2}{2n^2+1}$ — [01:27:09 – 01:29:05]

• On met $n^2$ en évidence au numérateur et au dénominateur :

$$\frac{n^2}{2n^2+1}=\frac{1}{2+\frac{1}{n^2}}.$$

• $\frac{1}{n^2}\to 0$ (théorème du produit : $\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n}\to 0\cdot 0=0$).
• $2+\frac{1}{n^2}\to 2$ (théorème de la somme).
• $\frac{1}{2+\frac{1}{n^2}}\to \frac{1}{2}$ (théorème de l’inversion, Prop. 2.23).
• Conclusion : ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{n^2}{2n^2+1}=\frac{1}{2}$.

Le gain de l'université

« C’est la vraie grosse différence entre le secondaire et l’université : ici, on ne cache rien. On comprend qu’il faut payer le prix quelque part pour pouvoir faire ça. »

25. Le tableau du quotient (Proposition 2.25) — [01:29:44 – 01:31:52]

25.1. Méthode mnémotechnique

• $\frac{u_n}{v_n}=u_n\times \frac{1}{v_n}$.
• Il suffit d’appliquer l’inversion sur $v_n$, puis le produit.

25.2. Exemple : $0^{-}/(+\infty )$

• $\frac{0^{-}}{+\infty }=0^{-}\times \frac{1}{+\infty }=0^{-}\times 0^{+}=0^{-}$.
• Le prof : « $\frac{1}{+\infty }=0^{+}$, $\frac{1}{0}=\infty$ : il faut retenir ça. »

25.3. Formes indéterminées du quotient

• $0/0$ : indéterminé.
• $\infty /\infty$ : indéterminé.

26. Passage à la limite dans les inégalités (Proposition 2.27) — [01:31:59 – 01:42:49]

26.1. Énoncé intuitif

• Si $u_n\le v_n$ à partir d’un certain rang, $u_n\to L$, $v_n\to L^{\prime }$, alors $L\le L^{\prime }$.
• « On peut passer à la limite à gauche et à droite. »

26.2. ⚠️ Inégalité non stricte seulement

• Ça ne marche qu’avec des inégalités non strictes ($\le$).
• Avec des inégalités strictes, ça ne marche plus.
• Exemple : $\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}$ strictement, mais les deux convergent vers $0$ : « on a carrément l’égalité à la limite ».

26.3. Les trois résultats (Prop. 2.27)

1. Si $u_n\to L$ et $v_n\to L^{\prime }$ avec $u_n\le v_n$ pour $n\ge N$, alors $L\le L^{\prime }$.
2. Si $u_n\to +\infty$ et $u_n\le v_n$ pour $n\ge N$, alors $v_n\to +\infty$.
3. Si $v_n\to -\infty$ et $u_n\le v_n$ pour $n\ge N$, alors $u_n\to -\infty$.

26.4. Démonstration du cas 1 (par l’absurde)

Hypothèses :

• $u_n\le v_n$ pour tout $n\ge N$.
• $u_n\to L$.
• $v_n\to L^{\prime }$.

Raisonnement :

• Supposons par l’absurde que $L^{\prime }<L$.
• Prenons $\epsilon =\frac{L-L^{\prime }}{2}>0$.
• Il existe $N_1$ tel que $|u_n-L|<\epsilon$ pour $n\ge N_1$.
• Il existe $N_2$ tel que $|v_n-L^{\prime }|<\epsilon$ pour $n\ge N_2$.
• Posons $P=\max \{N,N_1,N_2\}$.
• Alors :

$$v_P<L^{\prime }+\epsilon =L^{\prime }+\frac{L-L^{\prime }}{2}=\frac{L+L^{\prime }}{2}=L-\epsilon <u_P.$$

• Ce qui contredit $u_P\le v_P$.
• Donc $L\le L^{\prime }$. $■$

27. Remarque 2.28 — Inégalité stricte vs non stricte — [01:42:49 – 01:43:42]

• Remarque : si $u_n<v_n$ (strictement) pour $n$ assez grand et que $u_n\to L$, $v_n\to L^{\prime }$, alors on peut affirmer que $L\le L^{\prime }$ mais pas que $L<L^{\prime }$.
• Exemple : $\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}$ mais les limites sont toutes deux égales à $0$.

28. Le théorème de l’étau (Théorème 2.29) — [01:43:42 – 01:48:28]

28.1. Énoncé

Théorème 2.29 (Étau) : soient $(u_n)$, $(v_n)$, $(w_n)$ trois suites réelles. Supposons qu’il existe $N\in {\mathbb{N}}_0$ tel que $u_n\le v_n\le w_n$ pour tout $n\ge N$. Alors si $(u_n)\to L$ et $(w_n)\to L$, la suite $(v_n)$ converge aussi vers $L$.

28.2. Interprétation visuelle

• Trois suites emboîtées : $u_n\le v_n\le w_n$.
• Les deux extrêmes convergent vers $L$.
• « Celui du milieu est pris en sandwich, il n’a pas le choix d converger vers $L$ aussi. »
• Ce théorème porte plusieurs noms : théorème de l’étau, théorème du sandwich, théorème des gendarmes.

28.3. Démonstration

Hypothèses :

• $u_n\to L$ : il existe $N_1$ tel que $L-\epsilon <u_n<L+\epsilon$ pour $n\ge N_1$.
• $w_n\to L$ : il existe $N_2$ tel que $L-\epsilon <w_n<L+\epsilon$ pour $n\ge N_2$.

Pour tout $n\ge \max \{N,N_1,N_2\}$ :

$$L-\epsilon <u_n\le v_n\le w_n<L+\epsilon ,$$

donc $|v_n-L|<\epsilon$. $■$

29. Utilisation pratique de l’étau — [01:48:28 – 01:54:23]

29.1. Stratégie pour prouver qu’une suite converge vers $0$

• « Prouver $u_n\to L$, c’est équivalent à prouver $u_n-L\to 0$. »
• Côté gauche : $0\le |u_n-L|$ (une valeur absolue est toujours $\ge 0$).
• Côté droit : il faut trouver une suite facile $v_n\to 0$ (par exemple $\frac{1}{n}$).
• Par l’étau : $|u_n-L|\to 0$, donc $u_n\to L$.

29.2. Exemple : $\frac{1}{n!}$

• On sait que $n!\ge n$ pour $n\ge 1$.
• Donc $\frac{1}{n!}\le \frac{1}{n}$.
• Comme $\frac{1}{n}\to 0$, l’étau donne $\frac{1}{n!}\to 0$.

29.3. Exemple : $|u_n|\to |L|$ (Proposition 2.26)

• Si $u_n\to L$, alors $|u_n|\to |L|$.
• Preuve par l’étau :

$$||u_n|-|L||\le |u_n-L|.$$

• Si $u_n\to L$, alors $u_n-L\to 0$, donc $|u_n-L|\to 0$.
• Par l’étau : $||u_n|-|L||\to 0$, donc $|u_n|\to |L|$.
• ⚠️ Attention à ne pas confondre avec la section 3 : « quand la valeur absolue d’une suite converge vers $0$, la suite elle-même converge vers $0$ » (et non vers $\pm \infty$).

29.4. Stratégie pour les exercices — « fin des preuves en $\epsilon$ »

• « En TP, quand vous aurez des exercices un peu plus durs, c’est toujours comme ça que vous allez faire : vous essayez de coincer en étau la suite qui vous intéresse entre deux suites faciles dont vous connaissez la convergence. »
• « Une fois que j’ai le théorème pour l’étau, je vais arrêter de faire des preuves en $\epsilon$ et majorer par une suite dont je sais qu’elle converge vers $0$. »
• « À partir de maintenant, je vais essayer de ne plus faire des preuves en $\epsilon$… et je pourrais conclure comme ça par l’étau. »
• « Normalement, maintenant, l’épreuve en $\epsilon$, ça va être un petit peu fini. Je vais plutôt essayer d’utiliser ce résultat-là tout le temps, l’étau. C’est beaucoup plus facile et plus pratique. »

29.5. Fin de la séance

• « Allez, c’est bon. On a bien travaillé pour aujourd’hui. »

Points clés — [résumé]

Divergence et sous-suites

• Une suite est divergente si elle ne converge vers rien : ni nombre, ni $\pm \infty$, ni $\infty$ (avec signe).
• $(-1{)}^{n}n\to \infty$ (sans signe) car $|(-1{)}^{n}n|=n\to +\infty$.
• Sous-suite : $(u_{\phi (n)})$ où $\phi :{\mathbb{N}}_0\to {\mathbb{N}}_0$ avec $\phi (0)\ge 0$ et $\phi (n+1)>\phi (n)$.
• Corollaire : $\phi (n)\ge n$ pour tout $n$ (par récurrence).
• Prop. 2.12 : toute sous-suite d’une suite convergente converge vers la même limite.
• Cor. 2.13 : deux sous-suites vers des limites différentes $\Rightarrow$ divergence.
• Prop. 2.15 : si $(u_{2n})$ et $(u_{2n-1})$ ont la même limite, alors $(u_n)$ aussi.

Algèbre des limites

• Somme : $u_n\to L$ et $v_n\to L^{\prime }$ $\Rightarrow$ $u_n+v_n\to L+L^{\prime }$.
• Forme indéterminée : $(+\infty )+(-\infty )$.
• Produit : nécessite le “coup classique” ($+L{v}_n-L{v}_n$) pour faire apparaître $|u_n-L|$ et $|v_n-L^{\prime }|$.
• Forme indéterminée : $0\times \infty$.
• Division : $\frac{u_n}{v_n}=u_n\times \frac{1}{v_n}$, les formes indéterminées sont $\frac{0}{0}$ et $\frac{\infty }{\infty }$.

$L^{+}$, $L^{-}$ et l’inverse

• $(u_n)\to L^{+}$ si $\exists N$ tel que $\forall n\ge N$ : $u_n>L$.
• $(u_n)\to L^{-}$ si $\exists N$ tel que $\forall n\ge N$ : $u_n<L$.
• $\frac{(-1{)}^n}{n}\to 0$ mais ni $0^{+}$ ni $0^{-}$ (alternance).
• Prop. 2.23 : si $u_n\to L\ne 0$, alors $\frac{1}{u_n}\to \frac{1}{L}$ (utilise l’inégalité triangulaire inversée au dénominateur).

Passage à la limite et l’étau

• Prop. 2.27 : si $u_n\le v_n$ (non stricte !) et $u_n\to L$, $v_n\to L^{\prime }$, alors $L\le L^{\prime }$.
• ⚠️ Les inégalités strictes ne sont PAS conservées au passage à la limite.
• Th. 2.29 (étau) : si $u_n\le v_n\le w_n$ et $u_n,w_n\to L$, alors $v_n\to L$.
• Stratégie pratique : pour prouver $u_n\to L$, prouver $u_n-L\to 0$ en utilisant l’étau entre $0$ et $\frac{1}{n}$.

Doutes / à vérifier

• [00:04:05 – 00:04:38] Convention divergente : le prof dit que dans certains ouvrages (et « mon prédécesseur faisait comme ça ») les suites qui convergent vers l’infini sont déjà qualifiées de divergentes, et qu’il choisit la position inverse. Lecture retenue : la convention du syllabus (converger vers $\pm \infty$ n’est pas diverger). À confirmer sur le syllabus lui-même.
• [00:13:55 – 00:14:39] « Le même grand $N$ fonctionne » : le prof affirme que le $N$ qui convient pour $u_n$ convient aussi pour $u_{\phi (n)}$. Mathématiquement exact car $\phi$ est croissante avec $\phi (0)\ge 0$, d’où $\phi (n)\ge n$. Mais la phrase est rapide : en toute rigueur il faut écrire $n\ge N\Rightarrow \phi (n)\ge \phi (N)\ge N$.
• [00:20:04 – 00:20:34] $n+\sqrt{n}$ : la transcription est incertaine sur la suite exacte posée au tableau (« $N$ plus racine de $N$ »), mais la limite est $+\infty$ de toute façon.
• [00:21:48 – 00:22:04] Segment inintelligible : le prof émet un bruit inaudible avant d’enchaîner sur les formes indéterminées. Rien à citer.
• [00:36:36 – 00:36:40] Remarque sur le signe moins à la maison : « à la maison vous ne vous exercerez que des négatifs ». À vérifier : le prof veut dire qu’il ne fera en classe que des preuves avec un signe $+$ et qu’il laisse les cas négatifs aux étudiants.
• [00:47:06 – 00:47:26] Erreur de lettre en direct : le prof dit d’abord « $u_n\to L^{\prime }$ pour le numérateur, $v_n\to L^{\prime }$ pour le dénominateur » puis se corrige. Version correcte : $|u_n-L|<\frac{\epsilon }{2(1+|L^{\prime }|)}$ et $|v_n-L^{\prime }|<\frac{\epsilon }{2(1+|L|)}$. Ne pas recopier la version initiale.
• [00:48:40 – 00:49:23] « $L$, je vais pouvoir la rendre plus petite que valeur absolue de $L^{\prime }$ plus $1$ » : transcription imparfaite. L’intention est claire : $|v_n|$ est bornée par $|L^{\prime }|+1$. La démonstration finale (§18.6) est correcte.
• [01:02:45] « $L$ égale 0, c’est un problème » : allusion au fait que la démonstration 4 exige $L>0$ ; pour $L=0$ on retombe sur $0\times \infty$, forme indéterminée. Confirmé par le transcript à 01:02:22 (« comment est-ce que $M$ n’est pas le zéro ? »).
• [01:11:10 – 01:11:41] $0^{+}$, $0^{-}$ et quotient : le prof évoque le notation ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=0^{+}$ du secondaire. Notation à normaliser dans les notes (ici on travaille avec des suites, pas avec $f$).
• [01:19:41 – 01:20:04] Inversion de l’inégalité au dénominateur : « la valeur absolue d’une somme est plus petite que la somme des valeurs absolues. Mais là c’est au dénominateur, donc ça minore au lieu de majorer ». C’est le point clé de la démonstration de la Prop. 2.23 ; la démonstration finale (§23.6) est correcte.
• [01:35:21] « des mots de A » : transcription défectueuse, sans contenu mathématique.
• [01:41:32 – 01:42:08] Étapes sautées à l’écrit : le prof saute des étapes (le passage des valeurs absolues de l’hypothèse aux inégalités sans valeur absolue) et laisse le student compléter : « c’est votre boulot ce soir de compléter le trou… il faut plus écouter que lire ». Signalé comme avertissement pédagogique, pas comme erreur.
• [Pauses] : pause de 5 min annoncée à 01:03:26, puis discussion informelle jusqu’à 01:10:15 sur les copies et la notation $\phi (n)\ge n$. Aucun contenu mathématique manqué.
• Slides : le chapitre 2 du support n’a pas encore été reçu (slides: "ch. 2 — en attente de réception").