ALG II - Cours 3

Algèbre linéaire II — Cours 3 : virgule flottante, systèmes rectangulaires, factorisation $PA=LU$ et variables fondamentales

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Support écrit de référence : Rappels théoriques.pdf — chapitre 1, § 1.1 (rappel $LU$, pivotage partiel et complet) ; puis le syllabus principal Algèbre et Géométrie Analytique.pdf pour la théorie des systèmes rectangulaires, $PA=LU$ et les variables fondamentales. Ce cours clôt le chapitre 1.

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1. Reprise : arithmétique exacte de la factorisation — [00:00]

• Le cours reprend là où le ALG II - Cours 2 s’était arrêté : la toute fin de la résolution par factorisation d’un exemple numérique.
• On remonte par substitution à partir du dernier pivot :

  • « Comment je fais apparaître le zéro, on prend la ligne 2, moins l’élément sur la colonne fois la ligne 1, je fais apparaître un zéro ici, j’applique la même chose sur ma matrice. Je me retrouve du coup avec le système comme ceci, et donc ici on a moins un 47ème de [quelque chose] égale un quarante-septième, mais pour trouver la valeur de $x_2$, c’est du coup de la substitution, on retrouve moins 1. On injecte dans l’équation 1, et donc dans l’équation 1, on peut penser que ça va nous faire 1. »

• • « Ça c’est de l’arithmétique exacte, ça veut dire qu’on a pu conserver un quarante-septième avec tous les nombres à virgule, toute la précision. »

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2. Rappel — virgule flottante et précision finie — [00:02:12]

• « Alors en réalité, vous savez que dans un ordinateur, on n’a pas une précision infinie. Donc, les nombres, en fait, sont conservés en virgule flottante. »

• • « Donc ici, je vous le fais en base 10. Alors, bien sûr, dans votre ordinateur, c’est en binaire, c’est un peu fort. Et donc ici, en base 10, on retrouve en fait la notation scientifique et la précision. Mais en fait, c’est le nombre de chiffres significatifs. »

• Donc ici, sur les nombres :

$$x=\underset{\text{mantisse}}{\underbrace{0,x_1{x}_2\dots x_p}}\times 10^e,$$

avec $p$ = précision (nombre de chiffres significatifs) et $e$ = exposant. En pratique l’ordinateur travaille en base $2$, mais la pédagogie se fait en base $10$.

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3. Exemple $\frac{3}{81}$ : une première erreur de troncature — [00:02:42]

• « Donc, si vous calculez, par exemple, 3 sur 81 en virgule flottante, là, j’ai pris… Si vous prenez 3,81, si vous calculez ça, c’est 0,3777777, je crois. […] Ah non, c’est un peu 3 divisé par 80, non ? Ah non, c’est 0,370, 370, 370, etc., etc. »

• « Et donc, si je veux garder simplement une précision de 3, j’écris ça en écriture scientifique, c’est 0,37370 fois 10 exposant moins 1. Donc, vous vous doutez bien que là, déjà, il y a une première erreur qui arrive parce qu’on a mis les 0,37370. »

• Le nombre réel est $\frac{3}{81}=\frac{1}{27}=0,037037\dots$ ; en ne gardant que $3$ chiffres significatifs, on écrit une mantisse tronquée $\to$ erreur de troncature/arrondi.
  • ⚠️ La transcription hésite (3,81 / 3/80 / 0,3777…) : le professeur se corrige en passant à « 0,370, 370, 370 » ; c’est bien $\frac{3}{81}$ qui est traité. (voir Doutes / à vérifier).

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4. Le même calcul en précision 3 : les erreurs se propagent — [00:03:47]

• On reprend un calcul du cours précédent en imposant une précision $3$ à chaque étape :

  • « Si je reprends mon calcul ici, ce calcul-ci, mais en utilisant une précision 3 : le 89 sur 47, en flottant, ça me donne 0,189 fois 10 exposant [quelque chose]. Et puis, après, on multiplie ça par 28. […] Finalement, quand vous tronquez chaque fois en gardant une précision 3, l’élément que vous avez en position [2,2], c’est 0,1. Pour $b_2$, vous obtenez 0,1. Et donc, la solution de $x_2$, c’est simplement $b_2$ sur $a_{22}$ : on obtient du coup 0,1 sur 0,1 qui nous donne 1. Or, en arithmétique exacte, la vraie solution, c’était moins 1. »

  • « Vous voyez que la précision, comme on a le travail en précision finie, on va avoir des erreurs qui vont se propager. Et si les erreurs se propagent trop, on obtient un résultat qui est complètement erroné. »

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5. Deux remèdes : augmenter la précision… ou changer de méthode — [00:04:59]

• « Une solution qu’on pourrait faire, c’est au lieu de garder trois chiffres significatifs, c’est en garder cinq ou en garder dix et donc augmenter la précision. […] Mais du coup, comment savoir à quel point il faut augmenter la précision, jusqu’où aller, combien de chiffres significatifs ? »

• « Et donc, parfois, le problème, ce n’est pas la précision, mais la méthode employée. Il y a des méthodes qui vont justement engendrer cette propagation d’erreurs beaucoup plus que d’autres méthodes. »

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6. Le pivotage partiel contre la propagation d’erreurs — [00:05:56]

• « Une façon de voir, d’appliquer ça, de corriger ça, ça peut être d’utiliser le pivotage partiel. Donc on a vu que le pivotage partiel pouvait être utile quand, par exemple, on avait des pivots qui étaient nuls. […] Une autre utilité du pivotage partiel, c’est qu’il va éviter cette propagation d’erreurs. »

• Exemple : une matrice déjà triangulaire dont les deux pivots sont d’échelles très différentes.

  • « Les pivots, ici, il y a un premier pivot qui est 0,001 et un autre pivot qui est 1000. Et donc là, on voit que l’échelle entre nos deux pivots est vraiment très, très différente. […] on va avoir des nombres qui sont de l’ordre du millième avec des nombres de l’ordre de $10^3$. Et donc quand on va les mettre ensemble, en fait, celui-là, il va être absorbé. »

• On échange alors les lignes 1 et 2 :

  • « On pivote la ligne 1 et la ligne 2. […] Vous appliquez l’algorithme en faisant la ligne 2 moins $\frac{1}{1000}$ fois la ligne 1. Et là, qu’est-ce qu’on retrouve ? On retrouve des pivots qui ont le même ordre de grandeur. Et donc, on a moins ce problème de propagation des erreurs. »

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7. Rappel — pivotage partiel vs complet — [00:07:45]

• « La méthode de pivotage partiel ou la méthode de pivotage complet : pivotage partiel, c’est je prends le plus grand élément sur les lignes qui n’ont pas encore été considérées. Pivotage complet, c’est je prends le plus grand élément en valeur absolue, bien entendu, sur toutes les lignes et colonnes qui n’ont pas été considérées. »

• « L’avantage de faire ça, c’est qu’on va éviter cette propagation de l’erreur et on va améliorer la précision. »

• À retenir :

  • « Le pivotage, ça peut être utile pour l’apparition de pivot nul, mais c’est aussi utile pour une question de précision et propagation. »

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8. Grand point 2 : les systèmes rectangulaires — [00:09:22]

• Jusqu’ici, tout était établi « avec des systèmes carrés » :

  • « Si vous vous souvenez, ça, je vous ai mis un “etc.” avec des systèmes carrés. Mais la question qu’on va aborder dans ce cours-ci, c’est : qu’est-ce qui se passe si on travaille avec des systèmes qui sont cette fois-ci rectangulaires ? Comment est-ce qu’on peut caractériser l’existence de solution dans le cas de tels systèmes ? Donc ça va être notre grand point 2. »

• Cadre de travail :

  • « On considère $Ax=b$, mais avec $A$ qui est rectangulaire. Et on va dire que $A$ est dans ${\mathbb{R}}^{m\times n}$, c’est-à-dire qu’on considère qu’il va y avoir $m$ lignes et $n$ colonnes. Alors, on va généraliser la décomposition $LU$ dans ce cas-là. »

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9. Proposition — Existence : $b\in \mathrm{Vect}$ (colonnes de $A$) — [00:09:58]

• Question posée à la classe : quand $Ax=b$ ($A$ rectangulaire) a-t-il au moins une solution ?

  • « S’il y a moins d’équations que d’inconnues ? […] Là, on aura en fait un système qui sera surdéterminé [sic : sous-déterminé], et donc il y aura des solutions. […] Point de vue algébrique : le rang de $A$ soit égal au rang de $A$ augmenté à $B$ ? C’est ça, tout à fait. Donc il faut que $b$ soit une combinaison linéaire des colonnes de $A$. »

• Proposition (existence). Pour $A\in {\mathcal{M}}_{m\times n}(\mathbb{R})$, le système $Ax=b$ admet au moins une solution si et seulement si

$$b\in \mathrm{Vect}(\text{colonnes de }A)⟺\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}([A\mid b]).$$

• • « Ça, c’est l’existence des solutions, et la question c’est : tiens, qu’est-ce qu’on peut dire sur l’unicité ? »

• Le cas « moins d’équations que d’inconnues » évoqué en début de question est repris à la section 14 comme conséquence du théorème du rang.

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10. Les systèmes homogènes $Ax=0$ — rappel + lien EDO — [00:12:36]

• Définition :

  • « C’est simplement le système $Ax=0$, c’est-à-dire que vous n’avez pas de second membre. Enfin, le second membre est nul. »

• Lien avec l’EDO (rappel de la structure des solutions d’un système différentiel linéaire) :

  • « Vous verrez que pour résoudre certaines équations particulières en EDO […], vous aurez les solutions qui sont en fait les solutions du système homogène plus une solution particulière. […] mais donc, c’est $y^{\prime }=0$, en fait. […] Ça vous aidera pour EDO. »

  • 🎯 À rapprocher de la théorie des systèmes différentiels linéaires (solution générale = solution homogène + solution particulière).

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11. Cas carré : règle de Cramer — [00:14:16]

• Dans le cas carré, la solution $x=0$ est toujours solution (« solution triviale ») :

  • « Quand vous avez ce système-là, vous avez une solution triviale, $x=0$. On sait que $x=0$ est toujours une solution du système. »

• Peut-il y avoir d’autres solutions ?

  • « Pensez à la règle de Cramer. […] Pour trouver la $i$-ème composante de la solution, il fallait remplacer la $i$-ème colonne par [le second membre $b$]. Donc c’est 0 sur le [déterminant]… Et donc ici, vous avez une colonne qui a 0 dedans. Donc le déterminant de votre matrice, il est 0. Et donc il n’y a qu’une seule solution, la solution où chacune des composantes vaut 0. »

• Retenir : en carré, $Ax=0$ n’a que la solution triviale dès que $\det A\ne 0$.

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12. L’ensemble des solutions homogènes = $\ker A$ — [00:16:09]

• « L’ensemble des solutions du système homogène, c’est l’ensemble des $x$ tels que $Ax=0$. Et ça, pensez à votre cours d’algèbre : c’est le $\ker A$ […] C’est la définition du noyau de $A$. Et le noyau de $A$, c’est un sous-espace vectoriel. »

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13. Théorème du rang — dimension du noyau — [00:17:49]

• « Et donc, on peut appliquer le théorème du rang. […] le rang de $A$, c’est la dimension de l’image, plus la dimension du noyau de $A$, égale […] à $n$. Autrement dit, la dimension du noyau de $A$, ça n’est rien d’autre que $n$ moins le rang de $A$. »

$$\boxed{\dim \ker A=n-\mathrm{rg}(A)}$$

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14. Solution non triviale $⟺\mathrm{rg}(A)<n$ — [00:18:39]

• « Pour avoir une solution au système homogène $Ax=0$ qui ne soit pas la solution triviale […], il faut en fait que $n-\mathrm{rg}(A)$ soit positif. Autrement dit, que $\mathrm{rg}(A)$ soit plus petit strictement que $n$. »

• Retour sur le cas « plus d’inconnues que d’équations » ($m<n$) :

  • « Si j’ai $m$ lignes, $n$ colonnes, le rang de $A$ au maximum, si toutes mes colonnes sont linéairement indépendantes, au maximum c’est le plus petit entre $m$ et $n$. Et comme on sait que $m$ est plus petit que $n$, ce sera donc $m$ qui est strictement plus petit que $n$. On voit donc que le rang de $A$, dans ce cas-là, est inférieur à $n$. Et donc on a bien une solution non-triviale. »

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15. Cas général : systèmes consistants — solutions $=\bar{x}+\ker A$ — [00:22:08]

• Notion de système consistant (rappel du premier cours) :

  • « Ça veut dire quoi un système consistant ? […] c’est avec les droites là, c’était au premier cours […] une solution, ou une infinité ; il y en a une au moins. »

• La structure des solutions est la même qu’en EDO :

  • « C’est un petit peu la même idée qu’en EDO : les solutions, je vais les retrouver en prenant une solution particulière (ici que j’ai appelée $\bar{x}$), plus $y$, et $y$ ce sera la solution du système homogène. »

• En termes d’ensembles :

  • « Et donc, si on parle en termes d’ensemble, on a que $X$, l’ensemble des solutions du système, s’écrirait comme la solution particulière $\bar{x}$ plus le noyau de $A$. »

$$X=\bar{x}+\ker A=\{\bar{x}+y\mid y\in \ker A\}$$

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16. Démonstration : une égalité d’ensembles en deux étapes — [00:25:55]

• « Montrons que $x$ s’écrit comme $\bar{x}$ plus le [noyau] de $A$. On va le faire en deux étapes. »

• 1ʳᵉ étape — $X\subset \bar{x}+\ker A$ :

  • « Pour tout élément qui est dans cet ensemble-là, on est bien dans cet ensemble-là. […] On va utiliser un hocus-pocus : on va écrire $x$ comme $\bar{x}$ plus $x-\bar{x}$. […] Est-ce que $A(x-\bar{x})=0$ ? $Ax$, c’est $b$ ; $A\bar{x}$, c’est $b$ aussi. Et donc, ceci est bien dans le noyau de $A$. Donc $x$ s’écrit bien comme $\bar{x}$ plus un élément du noyau de $A$. »

• 2ᵉ étape — $\bar{x}+\ker A\subset X$ :

  • « On va poser un $y$ dans le noyau de $A$, et on va considérer $\bar{x}+y$. Nous, on veut montrer que $\bar{x}+y$ est dans $X$, c’est-à-dire qu’il faut être solution du système. […] $A(\bar{x}+y)=A\bar{x}+Ay$. $A\bar{x}$, c’est $b$ ; $Ay$ : $y$ est dans le noyau de $A$, donc $Ay=0$. Donc c’est bien égal à $b$. »

• Conclusion : c’est l’existence de toutes nos solutions possibles.

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17. Proposition — Unicité $⟺\ker A=\{0\}$ — [00:30:45]

• « Maintenant on peut se poser la question : quand est-ce qu’on a l’unicité ? […] Une petite proposition : considère toujours un système consistant (donc $\mathrm{rg}[A\mid b]=\mathrm{rg}A$). Et on veut montrer qu’il existe une unique solution si et seulement si la dimension du noyau de $A$ vaut $0$. »

• Justification :

  • « Toutes nos solutions s’écrivent comme $\bar{x}+y$, où $y$ est dans le noyau de $A$. Donc si la dimension du noyau de $A$ c’est 0, il n’y a plus qu’une solution, $x$ qui vaut $\bar{x}$ : le noyau de $A$ se réduit à l’élément 0, et $y$ n’a qu’une possibilité, qui est 0. »

• Par le théorème du rang, ceci équivaut aussi à $\mathrm{rg}(A)=n$.

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18. Preuve : la solution particulière est unique — [00:32:46]

• « Est-ce qu’il existe bien une seule solution particulière ? […] Pour ça, on va en supposer deux. […] Ça veut dire que ${\bar{x}}_1-{\bar{x}}_2$ est dans le noyau de $A$ : $A({\bar{x}}_1-{\bar{x}}_2)=b-b=0$. Mais comme le noyau de $A$ est réduit à l’élément 0, ${\bar{x}}_1$ va être égal à ${\bar{x}}_2$. »

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19. Gauss sur une matrice rectangulaire : vers la forme échelonnée — [00:33:40]

• « La question maintenant, c’est : comment va se passer l’algorithme d’élimination de Gauss sur une matrice rectangulaire ? […] On peut appliquer le même processus que celui de l’élimination de Gauss, mais cette fois-ci sur une matrice rectangulaire. Rien ne nous empêche de dire : OK, cette ligne-là moins celle-là. »

• Différence essentielle :

  • « Mais la seule chose, c’est qu’on va avoir une matrice qu’on appelle échelonnée. Parce qu’à un moment donné, ça va s’arrêter, soit dans un sens, soit dans l’autre : on n’aura plus assez de lignes ou plus assez de colonnes. »

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20. Exemple $3\times 4$ : échelonnement pas à pas — [00:36:29]

Soit (reconstruit, $A\in {\mathcal{M}}_{3\times 4}$) :

$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 3& 3\\ 2& 6& 9& 7\\ -1& -3& 3& -1\end{array}\right)$$

• Étape 1 (pivot $p_1=1$) :

  • « La ligne 2, on va faire la ligne 2 moins 2 fois la ligne 1. Le pivot ici vaut 1, et la ligne 3, c’est rien d’autre que la ligne 3 plus la ligne 1. […] On a donc le premier pivot qui vaut 1, le deuxième pivot qui vaut 0. »

• Étape 2 — différence avec le cas carré :

  • « Si vous permutez les lignes, ça ne va rien changer. Donc, si vous êtes dans le cas carré, là, vous devez arrêter. Mais en réalité, comme on a une matrice rectangulaire, on va pouvoir continuer avec cet élément-ci et mettre le zéro ici en dessous. […] Pas de permutation possible, pourquoi ? Parce que l’élément qui est en dessous, c’est 0 aussi. Donc, dans le cas rectangulaire, on ne s’arrête pas, on va juste aller à la colonne suivante. »

  • On passe à la colonne suivante : pivot $3$ sur la ligne 2.

  • « Que vous mettez dans la ligne 3 : $L_3$ moins 2 fois $L_2$. Le 2 qui correspond simplement à 6 divisé par 3. […] Troisième ligne : 3 zéros, et l’élément là, ça va être aussi un zéro. »

• Résultat :

  • « On retrouve vraiment cette idée d’escalier. Et bien, c’est ça qu’on appelle une matrice échelonnée. […] 2 pivots non nuls : le 1 ici, qui a été utilisé comme pivot, et le 3 qu’on a utilisé comme pivot ici. »

$$U=\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 3& 3\\ 0& 0& 3& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right),r=2\text{ pivots non nuls}$$

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21. Le motif d’escalier et les cas limites $m-1$ étapes — [00:41:13]

• « Ici, on est dans un cas rectangulaire où on avait plus de colonnes que de lignes. Je vais juste vous montrer dans le syllabus que ça marche aussi dans d’autres cas. […] Ce cas-là, c’est après $m-1$ étapes, donc ça veut dire qu’on n’a plus de ligne. […] Nous, ici, on a de la chance, ça s’est annulé, mais on aurait pu avoir encore un élément. Ou alors, on s’arrête après $m-1$ étapes. »

• « Vous voyez vraiment cette matrice échelonnée, c’est quand vous avez ce motif d’escalier. »

• Dans l’exemple, tous les éléments sous les pivots se sont annulés par combinaisons de lignes, d’où la troisième ligne toute nulle.

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22. Généraliser la $LU$ : $U$ = matrice échelonnée — [00:44:54]

• « Nous, on pouvait factoriser la matrice $A$ comme $L$ fois $U$. Mais qu’est-ce qui se passe quand on fait ça sur une matrice rectangulaire ? C’est quoi notre $L$, c’est quoi notre $U$ ? […] il n’y a pas de diagonale ici. »

• « En fait, cette matrice échelonnée-là, ce sera la généralisation de notre $U$ du $LU$. Donc, on a $U$ qui généralise les matrices triangulaires supérieures. »

• La question : existe-t-il $L$ qui relie $A$ à $U$ ?

  • « Oui, il y a bien une matrice $L$ qui permet de passer de $A$ à $U$. C’est logique : qu’est-ce que vous faites ? Vous faites simplement des permutations de lignes, ou des combinaisons linéaires de lignes. Et on a vu que ça se traduisait en fait par une prémultiplication par une matrice [élémentaire]. »

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23. La matrice $L$ de l’exemple — [00:48:40]

• On lit les multiplicateurs dans $L$ :

  • « On a chaque fois repris la ligne 1 avec la ligne 1 […] donc sur la diagonale, on a des 1. […] ici, on combinait avec 2 fois la ligne 1, donc […] un 2. Là, on combinait avec moins une fois la ligne 1, donc on aura un moins 1. Et ici, on avait fait […] plus 2 fois la ligne 2, donc on va se retrouver avec un 2. Vous pouvez, en exercice, vérifier que $A$ est bien égal à $L$ fois $U$. »

$$L=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 1& 0\\ -1& 2& 1\end{array}\right)$$

• Vérification (à faire à la main) : $A=LU$ pour $A$ et $U$ de la section 20.

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24. Théorème — $PA=LU$ (rectangulaire) — [00:49:20]

• « Alors ici, on n’a pas eu de permutation de ligne, mais si le pivot là avait été non nul, avant de passer à la colonne suivante, on aurait d’abord permuté les lignes, annulé les éléments en dessous, et puis passé à la colonne suivante. Donc, même si vous êtes dans le cas rectangulaire, potentiellement on pourrait faire des permutations. Et donc, on va avoir un théorème qui nous dit que $P$ fois $A$ est égal à $L$ fois $U$ , avec les permutations nécessaires. »

• Théorème. À toute matrice $A\in {\mathcal{M}}_{m\times n}(\mathbb{R})$, on peut associer :
  • une matrice de permutation $P$ ($m\times m$, « carrée, son ordre c’est le nombre de lignes de $A$ »),
  • une matrice triangulaire inférieure unitaire $L$ ($m\times m$, « unitaire = avec des 1 sur la diagonale »),
  • une matrice échelonnée $U$ ($m\times n$),
  • telles que :

$$\boxed{PA=LU}$$

• • « Pour la mise en contexte, on factorise $A$ ou $PA$ comme $LU$. »

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25. Résoudre $Ax=b$ via $PA=LU$, en deux étapes — [00:50:41]

• « Si je veux résoudre le système $Ax=b$, je peux résoudre le système $PAx=Pb$ en deux étapes. En faisant $LUx=Pb$ : d’abord je résous $Lc=b$, je trouve le vecteur $c$, et puis je l’injecte dans $Ux=c$. »

  • ⚠️ L’audio dit « résoudre le système $PAX$ égale $B$ » : c’est en fait $PAx=Pb$ (le second membre est permuté avec les lignes).

• • « L’avantage, c’est que, comme je travaille avec une matrice triangulaire, ce vecteur $c$ que je vais trouver de façon intermédiaire, je l’ai immédiatement calculé. »

• La prof insiste sur la notation :

  • « Attention, c’est bien $c$, c’est un $c$ pas un $p$. Regardez comment je l’ai noté là : c’est $c$, c’est $c$. »

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26. Variables fondamentales et libres — [01:00:12]

• On revient à l’exemple : trois lignes, deux pivots non nuls. L’influence sur les solutions :

  • « Mais ça, ça va avoir une influence sur la façon dont on va écrire nos solutions à la fin. […] on va nommer nos variables en deux types. On aura des variables qui vont être dites fondamentales. […] Ici, comme on a une ligne dans laquelle il y a des zéros, vous vous doutez bien que la solution finale, il y aura une infinité de solutions. Eh bien, nos variables fondamentales s’exprimeront en fonction de nos variables libres. »

• Lecture directe sur la matrice échelonnée :

  • « On va voir que $x_1$ et $x_3$ sont les variables fondamentales, parce qu’elles sont associées à des pivots qui sont non nuls. Et $x_2$ et $x_4$ seront dites les variables libres. Et on exprimera $x_1$, $x_3$, en fonction de $x_2$, $x_4$. »

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27. Mise en place de la résolution générale, $b=(b_1,b_2,b_3)$ — [01:02:30]

• « Si on s’intéresse maintenant à la résolution du système, on reste dans l’exemple précédent, mais cette fois-ci on se met dans le cas où on veut résoudre le système : $Ax=B$, où le $A$ c’est la matrice $A$ de l’exemple précédent et $B$ on va simplement l’appeler le vecteur $b_1,b_2,b_3$ ; on va travailler ça de façon générale. »

• « Pour résoudre ce système, comme on a notre matrice $L$ et notre matrice $U$, ce sera plus facile de directement travailler avec la forme $LU$. »

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28. Étape 1 : résoudre $Lc=b$ — [01:04:53]

• $L=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 1& 0\\ -1& 2& 1\end{array}\right)$, substitution progressive :

  • « $c_1$ vaut $b_1$. […] $c_2$ vaut $b_2$ moins 2 fois $c_1$, donc $b_2$ moins $2b_1$. Et […] $c_3$, c’est $b_3$ plus $c_1$ moins 2 fois $c_2$ : donc $b_3$ plus $b_1$ moins 2 fois ($b_2-2b_1$). […] ça fait $b_3$ moins $2b_2$, et là j’ai $b_1$ plus $4b_1$, plus $5b_1$. »

$$c_1=b_1,c_2=b_2-2b_1,c_3=b_3-2b_2+5b_1$$

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29. Étape 2 : résoudre $Ux=c$ — condition de compatibilité — [01:07:35]

• Système $Ux=c$ (la prof le lit « $b$ », mais il s’agit bien de $c$ [voir 00:50:41]) :

  • « $x_1$ plus $3x_2$ plus $3x_3$ plus $3x_4$ égale $c_1$ [elle dit "$b_1$"]. Ensuite, on se retrouve avec $3x_3$ plus $x_4$ égale $c_2$ [elle dit "$b_2$"]. Et ensuite, on se retrouve avec $0$ égale $c_3$ [= $b_3-2b_2+5b_1$]. »

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+3x_2+3x_3+3x_4=c_1\\ 3x_3+x_4=c_2\\ 0=c_3\end{array}$$

• C’est la ligne $0=c_3$ qui fait apparaître une condition sur le second membre, pas sur les variables :

  • « À cette étape-ci, vous voyez déjà une condition. Regardez, ici, c’est une condition sur $b$, ce n’est plus une condition sur nos variables. Donc, pour avoir au moins une solution, il faut que ça soit vérifié. […] Tous les seconds membres ne sont pas admissibles. »

• Un.e étudiant.e demande :

  • « Justement, la deuxième ligne, ce n’est pas $b_2-2b_1$ qu’il faut mettre ? — Si. »

$$\boxed{0=c_3=b_3-2b_2+5b_1}\text{(condition de compatibiliteˊ)}$$

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30. Variables libres : exprimer $x_3$ puis $x_1$ — [01:10:17]

• De $3x_3+x_4=c_2$ :

  • « On se retrouve avec $x_3=\frac{c_2-x_4}{3}$. Ici, j’ai rassemblé le terme indépendant et le terme en $x$. »

• Puis $x_1$ à partir de la première ligne, en remplaçant $x_3$ :

  • « $x_1$ est égal à $c_1$ moins $3x_2$ moins $3x_3$ moins $3x_4$ ; $x_3$ c’était ça, donc ça fait $b_1$ moins $3x_2$ moins $c_2=b_2-2b_1$, plus… $b_1$ plus $2b_1$, j’ai $3b_1$ moins $b_2$ […] moins $3x_2$ moins [coefficient] $x_4$. »

$$\begin{array}{rl}{x}_3& =\frac{b_2-2b_1}{3}-\frac{x_4}{3}\\ x_1& =3b_1-b_2-3x_2-2x_4\end{array}$$

• ⚠️ La transcription fait entendre « moins $x_4$ » (et donne le vecteur homogène $(-1,0,-\frac{1}{3},1)$) ; le recalcul direct depuis $Ux=c$ donne un coefficient $-2$ devant $x_4$ (voir Doutes / à vérifier).

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31. La solution générale = particulière + solutions homogènes — [01:13:11]

• « Ce qui est intéressant, c’est que finalement, votre solution, vous allez voir, on va pouvoir la réécrire où on va faire apparaître une solution particulière plus les solutions du système homogène. »

• « Vous pouvez l’écrire comme $x_2$ fois un vecteur, plus $x_4$ fois un vecteur, plus votre terme indépendant. […] $x_2$, c’était quoi ? C’est $(-3,1,0,0)$. $x_4$, c’est $(-1,0,-\frac{1}{3},1)$. »

$$x=\left(\begin{array}{c}3b_1-b_2\\ 0\\ \frac{b_2-2b_1}{3}\\ 0\end{array}\right)+x_2\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+x_4\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -\frac{1}{3}\\ 1\end{array}\right),x_2,x_4\in \mathbb{R}$$

• Identification des deux blocs :

  • « En fait, ceci, c’est les solutions de $Ax=0$, qui sont en fait aussi les solutions de $LUx=0$, c’est-à-dire les solutions de $Ux=0$. […] Je retrouve bien $x_3$ moins un tiers de $x_4$. […] Et ça, c’est simplement une solution particulière. Ici, on avait une infinité de solutions. »

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32. Gros théorème de synthèse — [01:16:15]

• « Vous voyez que c’est vraiment la forme de vos pivots, le nombre de pivots non nuls, qui caractérise finalement vos solutions à la fin. Mais ça, on peut le résumer dans un gros théorème, qui fait le lien entre les pivots, les dimensions des noyaux, etc. »

• Théorème (factorisation/préparation) :

  • « Par un jeu d’opérations élémentaires, on peut factoriser la matrice, potentiellement en la permutant, mais en $L$ fois $U$. […] soit réduite sous forme échelonnée, c’est-à-dire que $PA$ s’écrit comme $L$ fois $U$. »

• • « Le théorème, comme il est assez long, je ne vais pas vous l’expliquer [la preuve intégrale n’est pas développée au cours]. »

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33. Conséquences : $r$ pivots, variables, dimension du noyau — [01:18:28]

• Le point clé : noter $r$ = nombre de pivots non nuls de $U$.

  • « Pour caractériser nos solutions finales, c’est lié au pivot de la matrice $U$. […] on va supposer, et ça c’est important de le garder en tête, que $r$, c’est rien d’autre que le nombre de pivots non nuls. Supposons que $U$ admette $r$ pivots non nuls. »

• Conséquences (en supposant $U$ de taille $m\times n$) :
  1. Lignes nulles :

     • « Si vous avez $r$ pivots non nuls et que vous aviez ici $m$ lignes, ça veut dire que les lignes qui restent sont toutes nulles : on a $m-r$ lignes nulles. »

  2. Variables fondamentales : par définition, une variable est fondamentale si sa colonne porte un pivot ⟹ $r$ variables fondamentales.
  3. Variables libres :

     • « On sait qu’on a combien d’inconnues en tout ? $n$. Donc, s’il y en a $r$ qui sont fondamentales, il y en a $n-r$ qui sont libres. »

  4. Dimension du noyau :

     • « Les éléments du noyau de $A$ sont exprimés en fonction des variables libres. Et donc, sa dimension, ce sera le nombre de variables libres : le noyau de $A$ a dimension $n-r$. »

$$\boxed{r\text{ pivots}⟹\{\begin{array}{l}m-r\text{ lignes nulles de }U\\ r\text{ variables fondamentales}\\ n-r\text{ variables libres}\\ \dim \ker A=n-r\end{array}}$$

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34. Cas particulier $r=n$ : solution unique — [01:22:31]

• Si $n-r=0$, i.e. $\dim \ker A=0$ :

  • « Si on s’arrêtait là […] $\ker A$ qui vaut $\{0\}$ […] ça veut dire, en termes d’existence de solution, qu’il y a une seule solution, une solution unique, qui est la solution particulière par rapport au théorème précédent. »

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35. Des solutions pour tout $b$ : pas de ligne nulle ($r=m$) — [01:25:43]

• Dans l’exemple, la ligne nulle a imposé une condition sur $b$ (la condition de compatibilité $c_3=0$).
• Question : quand a-t-on des solutions quel que soit $b$ ?

  • « Si je veux avoir des solutions, peu importe mon $b$, qu’est-ce qu’il faut ? […] Il faut que j’aie autant de pivots non nuls que j’ai d’équations. »

  • ⚠️ L’audio dit d’abord « il faut que $r$ soit égal à $n$ » puis corrige aussitôt : « il faut que j’aie autant de pivots non nuls que j’ai d’équations » ⟹ c’est $r=m$ (voir Doutes / à vérifier).
• Explication :

  • « Cette ligne-ci, pourquoi elle est apparue ? Parce qu’elle vient de mes pivots nuls. […] dans votre matrice $U$, vous n’aurez pas de ligne complètement avec des zéros, ce qui nous embête ici, où vous mettez une condition sur le $b$. Dans ce cas, $U$ ne contient pas de ligne nulle, et $Ux=c$ se résout par substitution, comme on l’a fait. »

• Infinité de solutions :

  • « Essentiellement, vous avez quand même une infinité de solutions [si $r<n$]. Un autre cas qui peut nous intéresser : qu’est-ce qui se passe si $r$ est plus petit que $n$ ? C’est-à-dire qu’on a moins de pivots, comme on a eu ici : on avait deux pivots non nuls, pourtant on avait trois équations. »

• Dénombrement des contraintes :

  • « Dans ce cas-là, on a combien de lignes nulles qui vont apparaître ? $M$ moins $R$. […] vos $n$, ici, ça c’est pour vos solutions, et vos $m$, c’est vos contraintes. Donc ici, on avait une contrainte sur $b$. Si on avait eu d’autres lignes nulles, c’était d’autres contraintes à vérifier pour notre $b$. »

$$m-r=\text{nombre de conditions de compatibiliteˊ sur }b$$

• Récapitulatif des cas :
  • $r=n$ : solution unique (si consistant) ;
  • $r<n$ : une infinité de solutions (si consistant), décrite par $n-r$ variables libres ;
  • $r=m$ : aucune condition sur $b$ (pas de ligne nulle) ⟹ des solutions pour tout $b$ ;

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36. $r$ = le rang de la matrice — [01:29:39]

• « Pensez un petit peu à ce qui se passe quand vous faites ces histoires de pivots nuls, pivots nuls, nuls. […] Vous pouvez faire un lien entre ça et la matrice : en fait, $r$, ça représente quelque chose de bien particulier de la matrice $PA$. »

• Le nombre de pivots non nuls de $U$ (donc de $PA$, la matrice échelonnée) est précisément le rang de $A$ — relier aux sections 13-14 (théorème du rang).

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37. Exercice d’application (corrigé fourni) — [01:32:04]

• « Ce que je vous propose ici, c’est de [clôturer] par un exemple. C’est un exercice plutôt. […] Je vais juste vous donner la solution finale, comme ça vous pouvez vous autocorriger. À quoi ressemble la matrice ? […] Donnez la matrice $U$. »

• Éléments de corrigé (la matrice exacte était projetée — non restituée par l’audio) :

  • « Ça va être quoi les variables fondamentales, et les variables libres ? Les variables fondamentales, ce ne sera rien d’autre que $x_1$ et $x_2$ [⟹ pivots sur les colonnes 1 et 2]. […] Résoudre $Ax=0$ : on l’a évoqué tout à l’heure, quand vous avez fait votre factorisation $LU$, $Ax=0$ ça revient en fait à faire $Ux=0$. […] Le rang de $A$, ça va être combien ? $2$, on a 2 pivots non nuls. Donc, le rang de $A$, rien d’autre que 2. »

$$\mathrm{rg}(A)=2=r\text{(nombre de pivots non nuls)}$$

• • ⚠️ L’audio « on vous demande de donner le rendement » [01:33:46] est probablement « le rang » (la question suivante réclamait le rang, réponse 2). Voir Doutes / à vérifier.

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38. Fin du chapitre 1 et organisation — [01:37:07]

• « Si on a fini le chapitre 1, avez-vous des questions sur ce chapitre ? »

• Annonces d’organisation :

  • « Par contre, il faudra trois heures pour faire le travail de groupe. […] LG est en train de regarder. Quand est-ce que vous me cacerez [sic : caserez] trois heures dans votre travail ? […] Vous avez Astro ? Il y en a qui [ont] Astro ? C’est obligatoire. […] Ça démarre un peu plus tard, mais ça va démarrer. Et après, c’est toute la semaine. On va trouver, on va s’arranger. »

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Points clés — [résumé]

• Virgule flottante : l’ordinateur garde les nombres en précision finie (base $2$ ; base $10$ en pédagogie) : nombre $=\text{mantisse}\times 10^e$, la précision = nombre de chiffres significatifs. Tronquer à chaque étape fait se propager les erreurs (ex. précision 3 : on obtient $x_2=1$ au lieu de $-1$).
• Pivotage : utile non seulement pour un pivot nul, mais aussi contre la propagation d’erreurs (ex. pivots $0,001$ et $1000$ : après échange, pivots de même ordre de grandeur). Partiel = plus grand élément sur les lignes restantes ; complet = plus grand élément en module sur lignes et colonnes restantes.
• Systèmes rectangulaires $A\in {\mathcal{M}}_{m\times n}$ : $Ax=b$ admet une solution $⟺b\in \mathrm{Vect}$(colonnes de $A$) $⟺\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}[A\mid b]$.
• Systèmes homogènes $Ax=0$ : ensemble des solutions $=\ker A$ (sous-espace vectoriel) ; théorème du rang : $\dim \ker A=n-\mathrm{rg}(A)$ ; solution non triviale $⟺\mathrm{rg}(A)<n$ (automatique si $m<n$).
• Cas général (consistant) : $X=\bar{x}+\ker A$ (preuve par double inclusion) ; unicité $⟺\ker A=\{0\}⟺\mathrm{rg}(A)=n$ ; la solution particulière est alors unique.
• Matrice échelonnée : motif « escalier », généralise la triangulaire supérieure au rectangulaire ; on s’arrête quand il n’y a plus de lignes ou plus de colonnes.
• Théorème $PA=LU$ : $\forall A\in {\mathcal{M}}_{m\times n}$, $\exists P$ (permutation $m\times m$), $L$ (triangulaire inférieure unitaire $m\times m$), $U$ (échelonnée $m\times n$) : $PA=LU$.
• Résolution en deux étapes : $Lc=b$ (substitution progressive), puis $Ux=c$ (substitution régressive). Ne pas confondre le vecteur intermédiaire $c$ avec $p$.
• Variables fondamentales / libres : fondamentales = colonnes avec pivot non nul (ex. $x_1,x_3$) ; libres = les autres ($x_2,x_4$). Exemple complet : $c_1=b_1$, $c_2=b_2-2b_1$, $c_3=b_3-2b_2+5b_1$ ; condition $c_3=0$ ; $x_3=(c_2-x_4)/3$ ; $x_1=3b_1-b_2-3x_2-2x_4$.
• Gros théorème ($r$ = nb de pivots non nuls de $U$) : $m-r$ lignes nulles ($m-r$ conditions de compatibilité sur $b$), $r$ fondamentales, $n-r$ libres, $\dim \ker A=n-r$ ; solution unique $⟺r=n$ ; des solutions pour tout $b$ $⟺r=m$ (aucune ligne nulle).
• $r$ = $\mathrm{rg}(A)$ (nombre de pivots non nuls = rang). Fin du chapitre 1.

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Doutes / à vérifier

• § 35, critère « des solutions pour tout $b$ » : l’audio dit « il faut que $r$ soit égal à $n$ » [01:26:07] puis aussitôt « il faut que j’aie autant de pivots non nuls que j’ai d’équations » — le critère correct est $r=m$ (aucune ligne nulle dans $U$). À confirmer.
• § 35, nombre de contraintes : l’audio rend « on se retrouve avec $n$ moins $r$ contraintes » [01:29:13] ; d’après la phrase précédente (« $M$ moins $R$ » lignes nulles, « vos $m$, c’est vos contraintes »), c’est $m-r$ conditions de compatibilité. À vérifier.
• § 30–31, coefficient de $x_4$ dans $x_1$ : le calcul direct à partir de $Ux=c$ (avec $x_3=(c_2-x_4)/3$) donne $x_1=c_1-c_2-3x_2-2x_4$, donc un vecteur homogène $(-2,0,-\frac{1}{3},1)$ ; la professeure énonce pourtant « moins $x_4$ » et le vecteur $(-1,0,-\frac{1}{3},1)$. Possibilité d’erreur au tableau ; recalculer et confirmer.
• § 3, valeur de $\frac{3}{81}$ : l’audio hésite (« 3,81 », « 3 divisé par 80? », « 0,3777… » puis « 0,370 370… »). $\frac{3}{81}=\frac{1}{27}=0,037037\dots$ ; avec précision 3 la prof écrit $\approx 0,37370\times 10^{-1}$. Les chiffres exacts de la mantisse sont à confirmer sur le support.
• § 37, exercice final : le texte « on vous demande de donner le rendement » [01:33:46] est probablement « le rang » ; la matrice exacte de l’exercice (projetée au tableau) n’est pas restituée par l’audio. Résultats donnés : variables fondamentales $x_1,x_2$ et $\mathrm{rg}(A)=2$.
• § 25, second membre : l’audio lit « résoudre $PAX=B$ » alors que c’est $PAx=Pb$ (les lignes de $b$ doivent suivre les permutations). Confirmé par « d’abord je résous $Lc=b$ ».
• Portée du cours vs syllabus : la théorie des systèmes rectangulaires ($PA=LU$, variables fondamentales/libres, théorème des pivots) n’apparaît pas dans le chapitre « Rappels théoriques.pdf » (qui ne traite que les systèmes carrés) ; elle est dans le syllabus principal (le prof renvoie à « la page 30 » [00:43]). Lien exact § à retrouver.
• Jargon de l’ASR : « quai R de A », « le carré de A », « le pierre de A » désignent tous $\ker A$ (le professeur prononce « kernel ») ; « matrice Passe-Prod », « le serrement », « re-terminer » = mots d’arrivée dégradés, corrigés ici.