ALG II - Cours 2

Algèbre linéaire II — Cours 2 : unicité de la factorisation LDU, pivot nul, Cholesky et Gauss-Jordan

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Support écrit de référence : Rappels théoriques.pdf — chapitre 1, § 1.1 (méthodes de résolution, factorisation $LU$, pivotage partiel et complet, Gram-Schmidt) et chapitre 2 (valeurs propres et singulières). Ce cours suit le § 1.1 dans l’ordre du syllabus.

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1. Rappel de la factorisation $LDU$ — [00:00]

• Le cours reprend où le ALG II - Cours 1 s’était arrêté : à la variante $LDU$ de la factorisation.

• « Cette factorisation est utile pour l’épreuve, pour la théorie, mais qu’en exercice, vous vous ferez juste la factorisation $LU$. Le $LDU$, on va voir, c’est juste plus facile pour certaines preuves. »

Rappel de la structure des trois facteurs :

Facteur	Nature	Diagonale
$L$ (lower)	triangulaire inférieure	des $1$
$D$	diagonale	les pivots
$U$	triangulaire supérieure	des $1$ (« diagonale unité »)

• « $L$ : triangulaire inférieure, $L$ pour lower […] et sur sa diagonale, qu’est-ce qu’on avait comme élément ? Pensez au principe d’élimination de Gauss, l’objectif c’était d’amener quoi sur la diagonale ? Des $1$, d’accord ? »

• Rôle du facteur $D$ : c’est lui qui fait apparaître les $1$ sur la diagonale de $U$ tout en gardant les pivots.

  • « Il n’y a pas de pivots [sur la diagonale de $U$]. Des $1$, c’est pour ça qu’on mettait le $D$ justement pour faire apparaître des $1$. »

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2. Théorème 1 — Unicité de la factorisation $LDU$ — [00:01:34]

Énoncé

Soit $A$ une matrice qui admet une factorisation $LDU$ (pivots non nuls). Cette factorisation est unique : il n’y a qu’une seule façon d’écrire $A$ comme produit d’une triangulaire inférieure à $1$ sur la diagonale, d’une diagonale et d’une triangulaire supérieure à $1$ sur la diagonale.

« L’unicité, c’est se dire : j’en considère deux et je montre qu’en fait elles sont égales. »

Démonstration

On part de deux décompositions du même $A$ :

$$L_1{D}_1{U}_1=A=L_2{D}_2{U}_2,$$

où $L_1,L_2$ sont triangulaires inférieures à $1$ sur la diagonale, $D_1,D_2$ diagonales, $U_1,U_2$ triangulaires supérieures à diagonale unité.

Attention : ici « on considère qu’il n’y a pas de pivot nul. On était dans la section où on travaillait sans pivot nul. »

1. L’objectif : montrer qu’une matrice triangulaire inférieure est égale à une matrice triangulaire supérieure — « comme ça, il n’y aura pas le choix, ce sera la matrice identité ».
2. On isole en inversant dans le bon sens :

$$D_2^{-1}{L}_2^{-1}{L}_1{D}_1=U_2{U}_1^{-1}.$$

• Membre de gauche : produit de matrices triangulaires inférieures → triangulaire inférieure (sans diagonale unité, puisqu’il y a les $D$).
• Membre de droite : triangulaire supérieure avec des $1$ sur la diagonale.

• « La seule possibilité pour avoir l’égalité entre les deux, c’est que finalement, ça, ce soit l’identité et ça, ce soit l’identité. »

3. Donc $U_2{U}_1^{-1}=I_n$ ⟹ $\boxed{U_2=U_1}$.
4. Et $D_2^{-1}{L}_2^{-1}{L}_1{D}_1=I_n$ ⟹ $L_2^{-1}{L}_1=D_2{D}_1^{-1}$ (en passant le $D_2$ à droite).
   • Membre de gauche : triangulaire inférieure à $1$ sur la diagonale.
   • Membre de droite : matrice diagonale.

   • « La seule possibilité pour que cette égalité soit vérifiée, c’est que cette diagonale-là, elle soit des $1$ sur sa diagonale, et donc que ce soit l’identité. »

5. Donc $L_1=L_2$ et $D_1=D_2$. D’où l’unicité.

Complément (pour être complet) : le produit d’une matrice triangulaire inférieure (ou supérieure) par l’inverse d’une triangulaire supérieure est encore une triangulaire du même type ; sans cela on ne peut pas affirmer que $D_2^{-1}{L}_2^{-1}{L}_1{D}_1$ est bien triangulaire inférieure.

• « Si vous voulez être complet, il faut quand même justifier que ça donne bien une triangulaire inférieure avec des $1$ sur la diagonale. »

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3. Exercice annoncé (non corrigé) — [00:08:29]

Exercice à faire chez elle, sans correction :

« Vous pouvez essayer de donner la factorisation $A=LDU$ de la matrice $A$ qui est donnée par $A,B,C,D$, avec $A$ qui est non nul, et je vous demande que vaut $P_2$ et que vaut $P_1\times P_2$. »

• $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ avec $a\ne 0$ : $P_1=a$ et $P_2=\frac{ad-cb}{a}$.
• Réponse donnée : $P_1{P}_2=ad-cb$.

  • « $P_1$, c’est le pivot qui est ici, ça, vous savez, c’est $a$. Et ça, ça vous fait penser à quoi ? C’est le déterminant de la matrice $A$. Donc ça, c’est quelque chose qu’on va montrer juste après. »

• Conseil : « n’hésitez pas à utiliser ici les multiplications matricielles » pour faire l’élimination de Gauss (pré-multiplier par les bonnes matrices), et la version où l’on échange les lignes « comme il faut par les combinaisons linéaires » : « essayez les deux versions ».
• ⚠️ L’ordre de lecture des coefficients $a,b,c,d$ dans la matrice projetée n’est pas dicté (voir Doutes / à vérifier).

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4. Corollaire — Le déterminant est le produit des pivots — [00:10:11]

« Le produit des pivots, c’est le déterminant de la matrice $A$. »

Preuve, en trois lignes :

$$A=LDU⟹\det A=\det L\cdot \det D\cdot \det U.$$

• $\det L=1$ : triangulaire inférieure, diagonale unité → le déterminant d’une triangulaire est le produit de ses éléments diagonaux, ici tous égaux à $1$.
• $\det U=1$ : même raison (triangulaire supérieure à diagonale unité).
• $\det D$ = produit des éléments diagonaux de $D$ = produit des pivots.

$$\boxed{\det A=\prod _{i=1}^n{P}_i}$$

• L’exemple est fait « en dimension 2 » puis généralisé : « de façon générale, le déterminant de la matrice, c’est rien d’autre que le produit des pivots ».

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5. Résoudre $Ax=b$ en passant par la factorisation — [00:11:45]

• « Si on se replace dans le cadre de la résolution du système : si on veut résoudre $Ax=b$, lorsqu’on sait factoriser $A$ […] en fait, c’est plus rapide. Pourquoi ? Parce qu’on va procéder en deux étapes. »

• On part de $LDUx=b$, mais en résolution numérique on réécrit simplement $LU$ (« on n’a plus besoin de ça »).

Les deux systèmes à résoudre, dans cet ordre :

Étape	Système	Type	Substitution
1	$Lc=b$	triangulaire inférieure à $1$ sur la diagonale	progressive (on « remonte »)
2	$Ux=c$	triangulaire supérieure	régressive (on « descend »)

• Pourquoi cet ordre ? Parce que dans $Lc=b$ l’inconnue est $c$, qu’on trouve, puis on la place dans le second système.

  • « Si vous le faites dans l’autre sens, vous avez deux inconnus à la première équation. »

• C’est très facile dans les deux sens, car ce sont des matrices triangulaires.

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6. Exemple résolu — [00:14:30]

Données (la factorisation est donnée directement) :

$$L=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -1& 1& 0\\ 0& -1& 1\end{array}\right),U=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& 1\end{array}\right),b=\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 4\end{array}\right)$$

« On va faire ça sur un petit exemple. Je vais vous en convaincre. […] Ici, je vous donne direct la factorisation. »

Étape 1 : $Lc=b$ (substitution progressive)

• Équation 1 : $c_1=2$.
• Équation 2 : $-c_1+c_2=-3$ ⟹ $c_2=-3+c_1=-1$.
• Équation 3 : $-c_2+c_3=4$ ⟹ $c_3=4+c_2=3$.

$$c=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 3\end{array}\right)$$

Étape 2 : $Ux=c$ (substitution régressive)

• On commence par la dernière ligne, car elle est la plus simple : $x_3=3$.
• Ligne 2 : $x_2-x_3=-1$ ⟹ $x_2=2$.
• Ligne 1 : $x_1-x_2=2$ ⟹ $x_1=4$.

$$\boxed{x=\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 3\end{array}\right)}$$

• Le même $b$ que dans l’exemple précédent du cours (qui donnait une autre valeur) : « je me demande si ça ne correspond pas à l’exemple précédent ».
• Conclusion : « quand on travaille avec des matrices triangulaires, c’est quand même beaucoup, beaucoup plus facile ».

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7. Transition — § 1.4 « Le cas d’un pivot nul » — [00:18:52]

« Ça, ça termine la section 3. […] Maintenant on va se poser la question : que faire si un pivot est nul ? Encore là, on a ignoré cette partie-là, on s’est mis dans un cas tout facile. »

• 1.4 est le titre de la nouvelle section, annoncé à [00:19:07].

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8. Exemple $2\times 2$ : le premier pivot est nul — [00:19:24]

$$A=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$$

• L’algorithme d’élimination veut remplacer le $3$ par un $0$ en le combinant avec la ligne 1 : « mais comme il y a un zéro dans la première ligne, je n’y arrive pas. Qu’est-ce que je vais pouvoir faire ? Le zéro là m’embête. »
• Solution : échanger les lignes.

  • « On ne peut pas tuer le $3$ avec un multiple de $L_1$. Et donc, on ne peut a priori pas poursuivre. »

  • « Que j’aie l’équation 1 en premier ou l’équation 2 en premier, ça ne change rien. » (c’est bien un système équivalent)

$$A^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 0& 2\end{array}\right)$$

• Ici, par chance, le système équivalent est déjà triangulaire : « mais ça, c’est parce qu’on travaillait avec une matrice $2\times 2$ ».
• On peut donc écrire $A^{\prime }=LU$ avec $L=I_2$ et $U=A^{\prime }$.
  • ⚠️ Fragments audio illisibles sur ce passage ([00:19:38–00:21:18]) : « solution / échanger », « échanger $L_1$ et $L_2$ pour obtenir un système d’[équivalence] », « et là, chance… ».

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9. Interpréter l’échange de lignes : la matrice de permutation $P$ — [00:22:20]

• Question posée : « quelle opération est-ce que j’effectue pour inverser deux lignes d’une matrice ? »
• Rappel du cours 1 : pour les combinaisons linéaires, on pré-multipliait par la matrice $E$ (« presque l’identité, mais sauf qu’on mettait un $1$ au bon endroit »).
• Ici, de même, on veut écrire $A^{\prime }$ comme une pré-multiplication : $A^{\prime }=PA$, où $P$ est une matrice de permutation.

  • « Pour $P$, c’est ce qu’on appelle une matrice de permutation. »

Cas de l’échange de la ligne 1 et de la ligne 2 :

$$P=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$$

« Donc là, ça veut dire que la ligne 1 devient la ligne 2, la ligne 2 devient la ligne 1. »

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10. Matrice de permutation en dimension $n$ — [00:23:50]

Pour échanger la ligne $i$ et la ligne $j$ :

$$\{\begin{array}{l}{A}_{ji}=1\\ A_{ij}=1\\ \text{identiteˊ partout ailleurs}\end{array}$$

• « On a des zéros partout […] et l’élément $A_{ji}$ qui vaut $1$, et $A_{ij}$ qui vaut $1$. »

• Attention à bien dire zéros, puis « l’identité partout ailleurs », « sinon on n’a plus rien, on casse tout ».
• Donc $A^{\prime }=PA$, et ensuite on peut décomposer $A^{\prime }$ : « si tout va bien, dans le cas où tout le reste va bien, autrement dit s’il n’y a pas d’autres pivots nuls qui vont apparaître ».

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11. Conséquence sur le système augmenté — [00:26:40]

• Le système augmenté se note $\left[A|b\right]$ (« le système $[A|b]$ »).
• Donc, si on a un pivot nul dans $A$, au lieu de travailler avec $\left[A|b\right]$ on travaille avec :

$$\left[PA|b\right]$$

• « Ça, c’était un cas tout le temps sympa où notre problème se résolvait en échangeant la ligne. Maintenant, examinons un cas plus difficile. »

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12. Exemple $3\times 3$ : un pivot nul sans possibilité de permutation — [00:27:13]

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 2& 6& 9\\ 3& 9& 8\end{array}\right)$$

Étape 1 — éliminer sous le pivot $P_1=1$ :

• $R_2\leftarrow R_2-2R_1$ ⟹ deuxième colonne : $6-6=0$, troisième colonne : $9-4=5$.
• $R_3\leftarrow R_3-3R_1$ ⟹ deuxième colonne : $9-9=0$, troisième colonne : $8-6=2$.

$$A⟶\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 0& 0& 5\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$$

« Si je n’avais pas eu un zéro là, ce n’était pas grave : j’ai changé les deux lignes et je m’en sortais. »

Bilan : le pivot $P_2$ est nul, et en dessous du pivot nul il n’y a que des zéros.

• « Donc là, le pivot 2 est nul. Et en dessous du pivot nul, j’ai que des éléments nuls. Donc je ne sais pas avancer. $P_2$ est nul, et en dessous le coefficient est nul. Donc, aucune possibilité de résoudre la situation. »

• Aucune permutation ne peut remedy à cela : il n’y a rien d’autre que des zéros dans la colonne du pivot.

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13. Nombre de solutions : $0$ ou une infinité — [00:29:52]

Si on est dans le cas d’un système $Ax=b$, les lignes restantes donnent deux équations sur la même inconnue $z$ :

$$5z=b_2\text{et}2z=b_3$$

Cas	Condition	Nombre de solutions
1	$b_2$ et $b_3$ multiples l’un de l’autre ⟹ les deux lignes sont redondantes	une infinité de solutions
2	sinon ⟹ on obtient à la fois $z=2$ et $z=3$ : contradiction	zéro solution

• « Donc, il va y avoir un impact entre la structure ici de la matrice et le nombre de solutions qu’on va avoir à la fin de notre système. »

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14. Conséquence sur le déterminant — [00:31:20]

• La forme obtenue a un déterminant nul : « on a en fait une matrice qui est singulière ».
• Lien avec les systèmes : « pour avoir l’existence d’une solution unique, il faut que la matrice soit régulière ».

• « Ça fait bien le lien aussi avec l’existence de solution. »

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15. Cas général — [00:32:01]

• « Lorsque $A$ admet un pivot nul, tous les coefficients en dessous sont également nuls. »

• « Dans ce cas, même avec pivotage, vous allez vous arrêter très naturellement. »

• C’est aussi la situation de l’algorithme de Gauss : l’algorithme s’arrête au moment de choisir le pivot.

• « Ça nous amène à un premier théorème. »

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16. Théorème 2 — Matrice régulière et permutation — [00:33:36]

Énoncé

Soit $A$ une matrice non singulière (« régulière », c’est-à-dire $\det A\ne 0$ — l’audio dit « en déterminant et en [étant] non nul »). Alors :

1. Partie factorisation : il existe toujours une matrice de permutation $P$ qui réarrange les lignes de $A$, de sorte que $PA$ admette une décomposition $LDU$ (avec des $1$ sur la diagonale de $L$ et de $U$).

   • « Il va réarranger les lignes de $A$ de sorte que $P$ fois $A$ admette une décomposition ici $LDU$, parce qu’on est dans le terme [cadre], avec des $1$ dans l’autre [matrice]. »

2. Partie résolution : l’équation $Ax=b$ admet une existence et une unicité de solution.

   • « Il existe donc une unique solution à l’équation $Ax=b$ — mais ça, vous le savez déjà. »

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17. Nuance si $A$ est singulière — [00:35:52]

• « Maintenant, si $A$ est singulière, aucun réarrangement [ne suffit]. »

• Attention, cela ne veut pas dire qu’il n’existe pas de factorisation $LU$ :

  • « Ça ne veut pas dire qu’il n’y a pas de factorisation $LU$ […], mais l’algorithme, en tout cas, s’arrête. »

  • « On peut trouver une décomposition $LU$, parce que l’algorithme s’est arrêté, […]. Donc ça ne veut pas pour autant dire qu’il n’y a pas de factorisation. »

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18. Théorème 3 — Équivalences — [00:37:00]

Pour $A$ matrice carrée d’ordre $n$ :

$$\boxed{A\text{ non singulieˋre}⟺\det A\ne 0⟺\exists P\text{ telle que }PA=LDU}$$

Justification (par le déterminant, comme pour le § 4) :

• $\det (PA)=\det P\cdot \det A$.
• Comme $PA=LDU$ : $\det P\cdot \det A=\det L\cdot \det D\cdot \det U=$ produit des pivots (les $\det L$ et $\det U$ valent $1$).
• Donc, si $A$ est non singulière, $\det A\ne 0$ et $\det P\ne 0$ ⟹ tous les pivots sont non nuls.

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19. Exercice du syllabus, projeté — [00:38:26]

« Ici, n’hésitez pas à aller regarder, on va le compter ensemble, l’exercice du syllabus à la phase 18 [sic : « la phase 18 »], où il y a justement l’existence d’un $P$ tel que $A$ peut s’écrire comme $LU$. C’est le final. »

La prof projette l’énoncé (« je vais projeter ici ») : une matrice $A$ avec un vecteur $b$ à côté, qu’elle néglige (« on s’en fiche, nous, ici, pour le vecteur $b$ »).

Déroulement narrated ([00:39:45–00:46:42]), les seuls éléments certains de l’énoncé :

Étape	Ce que la prof dit / fait
Pivot 1	« comme le pivot est égal à $4$, il est non nul » ; première ligne $(4,2,2)$
Élimination ligne 2	$R_2\leftarrow R_2-1,5R_1$ ⟹ « on vient mettre un $0$ »
Élimination ligne 3	$R_3\leftarrow R_3-\frac{1}{4}{R}_1$
Pivot 2	« ici on a un pivot nul à la deuxième étape » — c’est exactement ce qu’on veut montrer
Permutation	« il va falloir permuter » : on échange la ligne 2 et la ligne 3
Après permutation	« vous voyez ici, on a un $1$ en ligne 2 […] on va avoir un $1$ ici et un $1$ ici »
Étape suivante	« là on met cette demi-trois-demi », puis on divise la ligne par la ligne pour obtenir la solution

• Reconstruction partielle de la matrice :

$$A=\left(\begin{array}{ccc}4& 2& 2\\ 6& 3& ?\\ 1& \frac{3}{2}& \frac{3}{2}\end{array}\right)$$

• les multiplicateurs $1,5=6/4$ et $1/4=1/4$ imposent $a_{21}=6$ et $a_{31}=1$ ; le pivot nul impose $a_{22}=3$ ; les « $1$ » après permutation imposent $a_{32}=a_{33}=\frac{3}{2}$.
• ⚠️ L’entrée $a_{23}$ n’est jamais énoncée (voir Doutes / à vérifier).
• Conséquences affirmées :

  • « Donc ici le déterminant est bien non nul, donc la matrice est bien régulière. »

  • « Comme la matrice est régulière, on va avoir une solution à la fin, et on peut avoir une factorisation $LU$. »

• Remarque de méthode : la solution projetée oublie les étapes de la première version et se contente de recopier la première ligne dans $U$ (« ils font la factorisation aussi, donc ils recopient, et ils oublient […] ce qu’on a fait ici »).

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20. Lecture de l’algorithme : remplissage itératif de $L$ et $U$ — [00:40:18]

• « Dans l’algorithme, l’idée c’est d’itérativement compléter la matrice $L$ et la matrice $U$. »

• Initialisation : « au départ vous partez avec $L$ qui vaut l’identité, $U$ qui vaut une matrice nulle ».
• Lecture des transformations dans $L$ et $U$ (première étape de l’exemple projeté) :
  • $L$ ⟶ ligne 2 : $R_2\leftarrow R_2-R_1$ ; ligne 3 : $R_3\leftarrow R_3-\frac{1}{2}{R}_1$.
  • $U$ ⟶ « vous reprenez simplement ici la première [ligne] ».
• C’est donc ainsi qu’on peut lire l’algorithme dans les matrices $L$ et $U$ affichées.

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21. Introduction : pourquoi un pivotage systématique ? — [00:46:53]

• « Par contre ce que je veux vous montrer, c’est dans les rappels : c’est le rappel pour les séances d’exercice. »

• Constat : « vous êtes arrivé à un pivot nul et du coup on se dit : ok, on va échanger des lignes où la ligne en dessous n’a pas le pivot nul ».
• Problème : « nous on aimerait bien une méthode systématique pour l’algorithme, pour que l’ordinateur puisse faire l’algorithme ».
• Deux réponses : le pivotage partiel et le pivotage complet.

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22. Pivotage partiel — [00:47:37]

• Principe : « à chaque étape, mon pivot, je ne prends pas nécessairement l’élément diagonal ».
• À l’étape $k$ : on fixe la colonne $k$ et on vient placer en position $(k,k)$ le plus grand élément en valeur absolue de la colonne, parmi les lignes $k,\dots ,n$.

  • « On ne regarde pas les éléments au-dessus [de la diagonale] : on regarde à partir de l’élément $k,k$ et tous ceux en dessous, et on regarde l’élément maximum. »

• Puis on permute la ligne $k$ avec la ligne $s$ du maximum.
• Et on remplit les matrices :
  • $L$ : « le quotient du pivot et de l’élément en cours » ;
  • $U$ : « l’élément de la ligne $k$ ».

• « Comme ça, on remplit à chaque fois notre matrice $L$ et $U$. »

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23. Pivotage complet — [00:49:03]

• Cette fois on regarde à la fois les lignes et les colonnes : « les colonnes qui suivent la $k$-ième colonne et les lignes qui sont en dessous ».
• On prend le maximum en valeur absolue dans la sous-matrice concernée — « sans regarder celles au-dessus qui ont déjà été traitées ».
• Puis on permute la ligne et la colonne pour ramener l’élément en position $(k,k)$.

• « Si je veux faire du pivotage complet […] au lieu de regarder le plus grand élément sur la colonne en cours, je regarde les colonnes et les lignes. »

Comparaison

	Pivotage partiel	Pivotage complet
On regarde	la colonne $k$, lignes $k\dots n$	la sous-matrice (lignes et colonnes $\ge k$)
On permute	les lignes	les lignes et les colonnes
Objectif	ramenée du maximum en position $(k,k)$	idem

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24. À coder en TD — [00:50:05]

• « Ça vous les coderez, ces deux algorithmes avec le MATLAB [sic : « le SG », « avec FG »] en TD. »

• Conseil : « je me demande si vous ne le faites pas une fois à la main aussi, complètement, avant de le coder […] parce que nous, on ne l’a pas trop fait. »
• Les deux algorithmes sont donnés dans Rappels théoriques.pdf, § 1.1 « Pivotage partiel » et « Pivotage complet », avec la forme générale $PAQ=LU$.

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25. Le critère de la prof vs. le critère systématique — [00:50:46]

Ce que fait la prof au tableau	Ce qu’il faut pour un algorithme performant
« Nous, dans ce qu’on prend, on prend le premier élément non nul »	pivotage partiel : à l’étape 2, « au lieu de juste inverser la ligne 2 et la ligne 3, tu vas regarder lequel de ces deux éléments est le plus grand en valeur absolue »
—	pivotage complet : « tu vas regarder ta sous-matrice […] et tu vas regarder quelle ligne et quelle colonne a le plus grand élément en valeur absolue. »

• Exemple donné : si le maximum est en position $(3,3)$, « tu permutes la colonne 3 et la colonne 2, et la ligne 2 et la ligne 3 ».

• « Comme ça, tu as un critère systématique. Ce n’est pas juste le premier élément non nul qui va être en dessous de ton niveau. Tu prends le plus grand. Donc, c’est toujours ce qui est important — et ça, c’est vraiment important de comprendre. »

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26. Le piège : l’algorithme travaille sur des sous-matrices — [00:52:15]

• « L’algorithme, il travaille étape par étape et, à chaque fois, il travaille sur des sous-matrices. »

• Pourquoi : une fois la ligne 1 traitée, sa première colonne vaut $(1,0,0{)}^T$ — « ça, tu ne veux plus y toucher ».
• Règle :

  • « Quand une étape est faite, on travaille avec la sous-matrice en dessous. »

  • « Le but, c’est de mettre des $1,0,0$ au fur et à mesure sur les sous-matrices, et donc tu ne dois pas y toucher. »

• C’est ce qui explique les « $0$ et des $0$ » du syllabus : « parce que ça, on n’y touche plus. Ça ne va plus nous être utile. »
• Question laissée ouverte à la classe ([00:52:52]) : « comment est-ce qu’on remplit cette matrice $L$, cette matrice $U$, de façon itérative ? » (reprise puis résolue au § 20).

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27. Arrêt de l’élimination : $0$ ou $\infty$ solutions — [00:53:27]

• « Si tous vos éléments sont nuls, à ce moment-là, vous devez arrêter l’élimination et vous devez passer à la substitution, et vous aurez zéro solution ou une infinité de solutions. »

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28. Les $n-1$ premiers mineurs emboîtés — [00:54:20]

• Question : « comment savoir si la factorisation $LU$ peut aller jusqu’à la fin, c’est-à-dire se terminer correctement et avoir à la fin la matrice $L$, la matrice $U$, correctement ? »
• Réponse : « on va devoir regarder les mineurs emboîtés de la matrice $A$ ».
• Rappel de cours : un mineur, c’est « le déterminant de la matrice qu’on obtient en supprimant une ligne et une colonne » (à ne pas confondre avec le cofacteur, qui est $(-1{)}^{i+j}\times$ le mineur).
• Les $n-1$ premiers mineurs emboîtés de $A\in {\mathcal{M}}_n$ : on supprime toutes les lignes et colonnes sauf les $k$ premières — le mineur emboîté d’ordre $k$ est le déterminant de la sous-matrice principale d’ordre $k$, « celle de dimension 1, puis celle de dimension 2, dans le coin en haut à gauche, etc. ».

  • « C’est pour ça qu’on les appelle les principales. »

  • Il y en a $n-1$ « parce que le $n$-ième, si vous voulez, c’est votre matrice entière ».

$$\boxed{\text{La LU va jusqu’au bout}⟺\det A_k\ne 0\text{ pour }k=1,\dots ,n-1}$$

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29. Pause et questions d’organisation — [00:56:58]

« Je vais arriver à une nouvelle section, donc je propose de faire deux minutes de pause si besoin, et puis on reprend. »

• [00:57:14] Deux occurrences de « Sous-titrage ST’ 501 » dans la transcription (artefact).
• Pendant la pause, conversation avec un étudiant (voix non identifiée) :
  • L’étudiant a cru que le cours n’était pas à l’heure habituelle ; la prof répond que « normalement tout est dans le syllabus », qu’elle a regardé dans son bureau.
  • La prof : « le cours, c’est d’office le mercredi » ; « il n’y a pas de changement d’horaire de l’année, donc c’est toujours le mercredi à cette heure-ci ».

  • « Et potentiellement je termine plus tôt pour des contraintes : je dois être de l’autre côté à 13h10. »

  • L’étudiant semble être en « soutien » (préparation/dépannage) — l’un des deux a un « contrat » signé.
• Reprise à [01:01:07] : « tout le monde est revenu là ? »

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30. Section — La formule des pivots — [01:01:07]

• « Dans cette section-ci, on va voir une formule pour les pivots. » Puis : « une autre formule pour déterminer les pivots ».

• On part de : « si $A$ admet une factorisation, alors nous on prend une $LDU$ ».
• Observation centrale : les sous-matrices principales de $A$ admettent elles aussi une factorisation $LDU$ :

$$A_K=L_K{D}_K{U}_K$$

• « c’est-à-dire qu’en fait les sous-matrices principales de $A$ admet aussi une factorisation $LDU$, donc où $A_K$ est la sous-matrice principale ».
• $L_K$, $D_K$, $U_K$ sont « la même chose » que les blocs correspondants de $L$, $D$, $U$ « et puis $B_K$ de même » (le second membre se factorise aussi).

C’est ici que l’on comprend pourquoi les mineurs emboîtés non nuls sont importants : ils apparaissent dans la formule des pivots.

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31. Preuve par blocs — [01:02:53]

• « La preuve, c’est simplement une conséquence de la multiplication matricielle par bloc. »

• On réécrit $A=LU$ sous la forme $A=LDU$ et on lit les blocs :
  • $L$ : « la matrice $L_K$ en haut à gauche », et des zéros au-dessus / à droite puisqu’elle est triangulaire inférieure.
  • $D$ : diagonale ⟹ « là vous avez potentiellement des éléments là aussi et là vous n’avez rien ».
  • $U$ : triangulaire supérieure ⟹ « vous avez ici des éléments qu’on va appeler $K$, là j’ai des éléments, là j’ai $G$ ».

• « Les matrices principales, c’est toujours en haut à gauche. Donc ça, c’est juste, j’ai mis les zéros là pour respecter les diagonales supérieures et inférieures. »

• Multiplication des deux blocs en haut à gauche :

$$(L_K{D}_K)(U_K)+(0)(0)=L_K{D}_K{U}_K=A_K.$$

• Le reste du produit contient des « éléments [qu’on] peut calculer, mais on ne s’en fiche pas ».

• « On a bien montré que la matrice $A$ […] se factorisait, [et que] la matrice principale $A_K$ se factorise bien comme $L_K{D}_K{U}_K$. C’est ce qu’on voulait démontrer. »

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32. Proposition — Formule des pivots — [01:06:19]

$$\boxed{P_k=\frac{\det A_k}{\det A_{k-1}}}\text{avec la convention }\det A_0=1$$

• Convention : $\det A_0=1$.

  • « Pourquoi comme convention égale à $1$ ? Parce que si vous regardez le pivot en position 1, c’est $\det A_1/\det A_0$ — or les $A_0$, c’est $[1]$ par convention. » Puis : « $A_1$ c’est la sous-matrice, en fait c’est l’élément $a_{11}$ ».

  • « Vous retrouvez bien que le pivot en position 1, c’est rien d’autre que l’élément en position 1 de la matrice. »

Démonstration (par récurrence, en utilisant la formule des produits de pivots) :

• On sait ${\prod }_{i=1}^{k-1}{P}_i=\det A_{k-1}$ (théorème du § 4 appliqué à $A_{k-1}$, qui se factorise aussi, cf. § 31).
• Donc $P_1\cdots P_k=\det A_k$ et, en divisant par ${\prod }_{i=1}^{k-1}{P}_i$ :

$$P_k=\frac{\det A_k}{\det A_{k-1}}.$$

• Vérification de la formule sur le produit complet : en utilisant successivement la définition, le produit se télescope :

$$\frac{\det A_1}{\det A_0}\cdot \frac{\det A_2}{\det A_1}\cdot \cdots \cdot \frac{\det A_n}{\det A_{n-1}}=\frac{\det A_n}{\det A_0}=\det A_n,$$

ce qui « nous dit qu’on peut le retrouver pas que avec la factorisation $LU$, regardez si je fais $P_1$ fois $P_n$ en utilisant successivement cette définition ».

• « $\det L_K$ c’est $1$ puisque c’est une triangulaire inférieure avec des $1$ sur la diagonale. Ça, c’est $1$ aussi. »

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33. Conséquence — quand Gauss sans pivotage est possible — [01:11:35]

« Une conséquence de ça, c’est que Gauss, sans pivotage, sera possible si et seulement si […] il y en a un […] jusqu’à $n-2$. » [sic : passage dégradé]

Avec la formule des pivots, la version exacte (telle qu’elle figure dans Rappels théoriques.pdf § 1.1) :

$$\boxed{\text{Gauss sans pivotage se termine correctement}⟺\det A_k\ne 0\text{ pour }k=1,\dots ,n-1}$$

• C’est exactement la condition énoncée au § 28 (mineurs emboîtés), et c’est la condition qui manquait à la section 1 du cours précédent.

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34. La décomposition de Cholesky — [01:12:12]

• Transition : « alors on vient de parler de la décomposition $LU$, on peut aborder une autre décomposition qui est la décomposition de Cholesky ».

• « Si vous voulez, ça, c’est une alternative à l’élimination de Gauss, mais dans le cas où vous travaillez avec une matrice symétrique et définie positive. »

Matrice symétrique

• « Une matrice symétrique, ça veut dire quoi ? Si $A$ est symétrique […] pour la forme $A=LU$, et dans ce cas-là $U=L^T$. »

• Donc, dans ce cas, on écrit :

$$A=LD{L}^T$$

• la factorisation s’écrit donc $LD{L}^T$ : « on est dans le terme [cadre] ».

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35. Preuve par unicité — [01:14:25]

• « La preuve, elle est assez immédiate. On sait que $A$ vaut $LDU$. Comme $A$ est symétrique, on n’a que $A=A^T$. Donc $LDU=LD{U}^T$. »

• Attention à la transposition d’un produit : « quand vous transposez un produit de matrices, on met le transposé en inversant le produit » :

$$A=(LDU{)}^T=U^T{D}^T{L}^T.$$

• $D^T$ est une matrice diagonale, donc $D^T=D$.
• On a donc deux décompositions $LDU$ de la même matrice $A$ : par unicité (théorème 1),

$$L=U^T\text{et}U=L^T.$$

• « On a vu que la factorisation $LU$ était unique. Donc, par unicité, si on a ça qui est égal à ça, ça veut dire que le $L$ doit être égal au $U^T$ et que le $U$ doit être égal au $L^T$. »

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36. Rappel — Matrice définie positive — [01:15:35]

• Prérequis : « pour faire des matrices définies positives, il faut que la matrice soit symétrique. Sinon, ça n’a pas de sens. »

Définition : $A$ d’ordre $n$ est définie positive si

$$\forall x\in {\mathbb{R}}^n\setminus \{0\},x^{T}Ax>0.$$

• « On regarde des $x$ qui sont dans ${\mathbb{R}}^n$ […] pardon, ${\mathbb{R}}^n$ moins $\{0\}$ si on veut que ça ait du sens, des vecteurs non nuls. »
• « Donc le $0$ là, c’est le $0$ de ${\mathbb{R}}^n$, et on regarde $x^{T}Ax$ […] on regarde sa forme hermitienne [sic : « $x$ transpose $A$ $x$ »], et $x^{T}Ax$ doit être positif. »

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37. Propriétés (et non définition) — [01:16:43]

• Discussion : est-ce que « $\det A>0$ » est la définition ? Non : « ça, c’est des propriétés, ce n’est pas la définition ».

  • « Le déterminant sera positif et sa trace aussi. Parce qu’il y a un lien avec les valeurs propres. En fait, ces valeurs propres sont positives. »

  • $\det A$ = produit des valeurs propres = produit d’éléments positifs ⟹ positif.
  • $\mathrm{tr}A$ = somme des valeurs propres = somme d’éléments positifs ⟹ positif.

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38. Exemple d’une matrice définie positive — [01:17:39]

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$$

• Vérification directe : « c’est défini positif, et déjà c’est facile : ses valeurs propres, c’est $1$ et $2$ ».
• Par la caractérisation $x^{T}Ax$ :

$$(x_1,x_2)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=x_1^2+2x_2^2.$$

• « Pourquoi on parle de forme quadratique ? Parce que vous allez voir que comme on a $x$ là et $x$ là, on se retrouve avec du $x$ carré en plus. »

• « Vous obtenez $x_1$ au carré plus $2x_2$ au carré. Et ça, vous êtes d’accord, c’est toujours strictement positif à condition que $x\ne 0$. »

• ⚠️ La matrice est dictée de façon ambiguë : l’audio donne « $1,2,0,0$ », ce qui ne serait pas définie positive ; la reconstruction cohérente avec les valeurs propres $1$ et $2$ et avec $x^{T}Ax=x_1^2+2x_2^2$ est bien $\mathrm{diag}(1,2)$ (voir Doutes / à vérifier).

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39. Proposition — Les pivots d’une matrice définie positive sont strictement positifs — [01:18:56]

« On a une première proposition, et cette proposition va être essentielle pour la décomposition de Cholesky. »

Énoncé. Si $A$ est définie positive :

1. ses valeurs propres sont positives ;
2. sa trace est positive, son déterminant est positif ;
3. ses pivots sont strictement positifs.

   • « Et c’est ça qui va être essentiel pour la suite. »

• Stratégie de preuve : « on va utiliser la formule des pivots » (§ 32) « et on utilisera aussi le fait que le déterminant, c’est le produit des valeurs propres ».

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40. Preuve — Les sous-matrices principales sont définies positives — [01:20:24]

Fixons $K$. Montrons que la sous-matrice principale $A_K$ d’ordre $K$ est elle aussi définie positive.

• On utilise la définition : on considère $x_K\in {\mathbb{R}}^K\setminus \{0\}$ et on veut montrer que

$$x_K^T{A}_K{x}_K>0.$$

• On « completed » $x_K$ en vecteur de ${\mathbb{R}}^n$ par des zéros : $x=\left(\begin{array}{c}{x}_K\\ 0\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^n$.

  • « Ici, notre $x_K$, il sera dans ${\mathbb{R}}^K$, pas dans ${\mathbb{R}}^n$, qui s’écrit comme $x_K,0$. »

• On sait que $A$ est définie positive, donc $x^{T}Ax>0$ pour tout $x\ne 0$, en particulier pour ce $x$-là.
• Et comme $x=\left(\begin{array}{c}{x}_K\\ 0\end{array}\right)$, le produit donne exactement

$$x^{T}Ax=x_K^T{A}_K{x}_K.$$

• « Notre matrice $A$, qui est $A_K$ ici, là et là [avec des zéros ailleurs], évidemment, [c’est] $x_K,0$. Et quand vous faites ça, ce produit-là, c’est quoi ? C’est $x_K^T{A}_K{x}_K$. »

• Donc $x_K^T{A}_K{x}_K>0$ ⟹ $A_K$ est définie positive.
• ⚠️ L’audio est très dégradé sur ce passage ([01:22:19–01:22:27]) : « on a que $x$ transposé à $x$ », « ça vient d’autre que $x_K,0$ ». L’argument ci-dessus est celui qu’elle énonce, l’audio ne le rend pas.

Conclusion de la preuve :

• $A_K$ définie positive ⟹ ses valeurs propres sont positives ⟹ $\det A_K>0$ (produit de valeurs propres).

  • « On ne va pas utiliser les valeurs propres : le déterminant de $A_K$ est positif. Par rapport à ce que je vous ai dit, c’est le produit des valeurs propres qui est positif. »

• Donc, par la formule des pivots :

$$P_k=\frac{\det A_k}{\det A_{k-1}}>0.$$

• « Donc on a bien que les $p_k$ sont positifs. Et ça, c’est hyper important, cette propriété, parce que ça va nous amener à la décomposition de Cholesky. »

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41. Théorème de Cholesky — [01:24:35]

Énoncé

Si $A$ est symétrique et définie positive, alors $A$ admet une décomposition de Cholesky :

$$\boxed{A=W{W}^T}$$

• « On se factorise comme un produit d’une matrice et de sa transposée. »

• « La preuve vient de la positivité des pivots et de la structure de $A$. »

Preuve

1. $A$ symétrique ⟹ sa décomposition $LDU$ s’écrit $A=LD{L}^T$ (§ 34–35).
2. $D$ est la matrice diagonale des pivots, et ces pivots sont strictement positifs.
3. On peut donc remplacer $D$ par un produit de deux matrices : au lieu de mettre les pivots sur la diagonale, on met leurs racines carrées :

$$D=\sqrt{D}\sqrt{D}$$

• « Je peux prendre cette racine carrée parce que mes pivots sont positifs. Sinon, je ne peux pas le faire. C’est pour ça que cet argument a tout son sens. »

4. Ainsi :

$$A=L\sqrt{D}\sqrt{D}{L}^T=\underset{=:W}{\underbrace{\left(L\sqrt{D}\right)}}\underset{=W^T}{\underbrace{(L\sqrt{D}{)}^T}}=W{W}^T.$$

• Notation signalée par la prof : « ce que je vais noter, $\sqrt{D}$ fois $\sqrt{D}$, c’est une notation ».

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42. Nature de la matrice $W$ — [01:27:22]

$$W=L\sqrt{D}$$

• $W$ est triangulaire inférieure et sa diagonale est strictement positive :

  • « $W$, c’est $L$ fois racine de $D$. Triangulaire inférieure, et en plus sa diagonale, elle sera positive. Donc on aura des éléments strictement positifs sur la diagonale. »

• $\sqrt{D}$ est bien une matrice diagonale, « une matrice diagonale égale à cette transposée ».

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43. Exercice pour la semaine prochaine — [01:29:09]

« Un petit exercice à faire chez vous : donner la décomposition de Cholesky. Essayez de le faire pour la semaine prochaine ; comme ça, si jamais il y a un problème, je donne une explication là-dessus. »

• Méthode recommandée : « le plus simple, c’est de passer par la décomposition $LDU$. Donc vous faites la décomposition $LDU$, et puis vous retrouvez la matrice $W$ ».

$$W=L\sqrt{D}$$

• ⚠️ La référence de l’énoncé est inaudible : « de la matrice $A$ au niveau $2-1$ moins $1$ » [sic] (voir Doutes / à vérifier).

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44. La méthode de Gauss-Jordan — [01:30:23]

• « Jusqu’à présent, on a parlé de l’élimination de Gauss. Ici, ce qu’on va faire, c’est la méthode de Gauss-Jordan : on a le prénom de Gauss dedans et on a rajouté Jordan. »

• Comparaison avec l’élimination de Gauss : « c’est le même début et la fin qui va différer un petit peu ».
  • L’élimination de Gauss : l’objectif est d’arriver à une triangulaire supérieure (« mettre des zéros sous la diagonale »), puis on faisait une substitution.
  • Gauss-Jordan : « à la fin, je vais avoir la matrice identité » — on enlève les zéros en dessous (comme Gauss) puis au-dessus.
• Deux phases :
  1. phase descendante : eliminer en dessous des pivots (comme Gauss) ;
  2. phase remontante : eliminer au-dessus des pivots.

  • « La méthode consiste à éliminer les variables en dessous et au-dessus des pivots. »

• Le mot « identité » est un choix de la prof, pas une obligation :

  • « Moi j’aime bien mettre un $1$ sur la diagonale, parce que c’est plus facile pour les calculs, mais ici on va juste diagonaliser. »

  • « Une fois qu’il est diagonalisé, il suffit de diviser $b$ par l’élément sur la diagonale et vous avez la solution. »

  • « Vous ne le faites pas dans les algorithmes, ce n’est pas grave. »

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45. Exemple fondamental (le même qu’au cours 1) — [01:32:35]

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 4& 1& 0\\ -2& 2& 1\end{array}\right)$$

Phase descendante (identique à Gauss) :

• $R_2\leftarrow R_2-2R_1$ et $R_3\leftarrow R_3+R_1$ ⟹

$$\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 0& -1& -2\\ 0& 3& 2\end{array}\right)$$

puis $R_3\leftarrow R_3+3R_2$ ⟹

$$\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 0& -1& -2\\ 0& 0& -4\end{array}\right)$$

• ⚠️ La prof se trompe puis se corrige en direct : elle écrit d’abord une matrice intermédiaire erronée ([01:33:41], « on arrive à $2,1,1/0,0,-1/0,-2,4$ »), puis dit « il manque une étape — on va refaire les calculs, les étapes sur ma feuille » ([01:35:40]) et donne la chaîne ci-dessus, confirmée par le résultat final.
• Le multiplicateur est, comme toujours, « l’élément en cours qu’on veut supprimer, divisé par le pivot ».

Phase remontante (le changement par rapport à Gauss) — eliminer au-dessus :

Cible	Opération	Effet
le $-2$ en $(2,3)$	$R_2\leftarrow R_2+\frac{1}{2}{R}_3$	ligne 2 : le $-1$ reste, le $-2$ devient $0$
le $1$ en $(1,3)$	$R_1\leftarrow R_1+\frac{1}{4}{R}_3$	le $1$ de la colonne 3 devient $0$
le $1$ en $(1,2)$	$R_1\leftarrow R_1-\frac{1}{-1}{R}_2$	le $1$ de la colonne 2 devient $0$

On obtient la matrice diagonale :

$$\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& -4\end{array}\right)$$

• « Donc, $1+\frac{1}{4}$, là, ça va faire $0$. » / « $1$ plus $1$ [= $1+(-1)$] ça fait $0$ ».

Ordre de la phase remontante :

• « L’élimination de Gauss, on commence à la ligne 1 et puis successivement on va vers les lignes inférieures. Et cette fois-ci, c’est pour ça que j’appelle ça la phase remontante : on commence à la dernière ligne et puis on remonte. »

• On commence par la dernière colonne : « vous mettez vos zéros dans la dernière colonne, et puis dans la colonne avant ».

• « Mais c’est la seule chose qui change. »

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46. Calculer l’inverse par Gauss-Jordan — [01:37:42]

• Point de départ : $Y=A^{-1}$, c’est-à-dire $AY=I$.
• Écriture colonne par colonne : chaque colonne de $Y$ est un vecteur, donc $AY=I$ équivaut à $n$ systèmes :

$$A{e}_1=e_1,A{e}_2=e_2,\dots ,A{e}_n=e_n,$$

où $e_i$ est le $i$-ième vecteur de la base canonique.

• « Résoudre ceci, qui est le calcul de l’inverse, ça revient en fait à résoudre $n$ systèmes de type $Ax=b$, avec l’inconnu qui est rien d’autre que le $e_i$ et le $b$ qui est rien d’autre que le $e_i$. »

• Donc on peut appliquer Gauss ou Gauss-Jordan.
• Mise en œuvre : on applique les transformations successives au système augmenté

$$\left[A|I_n\right]$$

• « On travaille sur les transformations du système augmenté $A$ « grand » $B$, mais ce « grand » $B$, c’est quoi ? C’est rien d’autre ici que l’identité. »

• « Ce qu’on doit faire, c’est simplement raisonner sur les transformations appliquées à $A$ et à l’identité. »

• Résultat : le bloc de droite est Directly $A^{-1}$.
  • On peut même aller plus loin que la matrice diagonale : « on n’est même pas obligé d’aller voir une matrice diagonale, on peut avoir l’identité ici » (c’est-à-dire normaliser les lignes pour obtenir directement $\left[I\mid A^{-1}\right]$).
• Application : « concrètement, si on veut utiliser Gauss-Jordan pour trouver l’inverse de $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ […] vous allez savoir revérifier notre solution. »

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47. Exercice — inverse d’une matrice $2\times 2$ — [01:41:49]

Exercice (début fait au tableau, à terminer chez soi) :

$$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right),a\ne 0\text{calculer }{A}^{-1}\text{par Gauss-Jordan.}$$

• On travaille avec $\left[A\mid I_2\right]$ : « la partie augmentée, c’est en fait plus un seul vecteur, mais la matrice identité ».
• Première étape : « la première ligne, je ne touche pas » ; « je prends la deuxième ligne, moins $\frac{c}{a}$ [fois la première] ».
  • Sur le bloc de gauche : la première colonne s’annule, et il reste $b-\frac{ca}{a}$ en $(2,1)$ et $d-\frac{cb}{a}$ en $(2,2)$.
  • Sur le bloc de droite : on obtient la première ligne $\left(1,-\frac{c}{a}\right)$.
• À faire : « vous continuez. Vous allez faire ici, là, la partie remontante, venir mettre un $0$ ici, et puis diviser par les éléments diagonaux. » (« je remonte à $H$ » [sic : fragment], « c’est du calcul, donc je ne le fais pas ici »).
• Résultat attendu : la structure de $A^{-1}$ est vérifiée par

$$\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$$

• « Ici, ça fait $1$ sur le déterminant de $A$. »

• « Les éléments diagonaux […] c’est des éléments qui s’échangent […]. Ici, je mets le déterminant de $A$ en évidence. Vous, bien sûr, vous ne l’aurez pas en évidence. »

• « Comme ça, vous pourrez voir si vous avez la bonne solution. Si vous n’avez pas réussi, on en parle au cours prochain. »

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Points clés — [résumé]

• $LDU$ : $A=LDU$ avec $L$ triangulaire inférieure à $1$ sur la diagonale, $D$ diagonale des pivots, $U$ triangulaire supérieure à $1$ sur la diagonale. Le $LDU$ sert surtout en théorie (plus pratique pour certaines preuves) ; en exercice on fait la $LU$.
• Unicité : si $A=L_1{D}_1{U}_1=L_2{D}_2{U}_2$ (pivots non nuls), alors $D_2^{-1}{L}_2^{-1}{L}_1{D}_1=U_2{U}_1^{-1}$ ; gauche triangulaire inférieure, droite triangulaire supérieure à $1$ sur la diagonale ⟹ les deux sont $I$ ⟹ $L_1=L_2$, $D_1=D_2$, $U_1=U_2$.
• Produit des pivots : $\det A=\det L\det D\det U=1\cdot \prod P_i\cdot 1={\prod }_{i=1}^n{P}_i$.
• Résolution via la factorisation : $Ax=b$ ⟹ 1) $Lc=b$ (substitution progressive) ; 2) $Ux=c$ (substitution régressive). Cet ordre évite d’avoir deux inconnues dans la première équation. Exemple : $L=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -1& 1& 0\\ 0& -1& 1\end{array}\right)$, $U=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$, $b=(2,-3,4{)}^T$ ⟹ $c=(2,-1,3{)}^T$ ⟹ $x=(4,2,3{)}^T$.
• Pivot nul : si le pivot en position $k$ est nul et que tous les coefficients en dessous le sont aussi, l’algorithme s’arrête (pivotage ou non). Deux lignes du bloc restant Redondantes ⟹ ∞ solutions ; contradiction ⟹ 0 solution. Cela impose $\det A=0$ (matrice singulière).
• Permutation : échanger les lignes $i$ et $j$ = pré-multiplier par la matrice de permutation $P$ ayant des $1$ en $(i,j)$ et $(j,i)$ et l’identité ailleurs. On travaille alors avec $\left[PA\mid b\right]$.
• Théorèmes : $A$ non singulière ⟹ il existe $P$ telle que $PA=LDU$ (pivots non nuls), et $Ax=b$ a une unique solution. Équivalences : $A$ non singulière $⟺\det A\ne 0⟺\exists P,PA=LDU$. Attention : $A$ singulière n’empêche pas l’existence d’une factorisation $LU$, mais l’algorithme s’arrête.
• Pivotage : partiel = maximum en valeur absolue dans la colonne $k$ (lignes $k\dots n$), on permute les lignes ; complet = maximum dans la sous-matrice (lignes et colonnes $\ge k$), on permute lignes et colonnes. Au tableau la prof prend simplement « le premier élément non nul » ; l’algorithme performant prend le plus grand. Forme générale $PAQ=LU$.
• Piège classique : l’algorithme travaille étape par étape sur des sous-matrices ; une fois la ligne traitée, on ne touche plus à sa colonne.
• Mineurs emboîtés : le mineur emboîté d’ordre $k$ est $\det A_k$, $A_k$ = sous-matrice principale d’ordre $k$ (coin en haut à gauche). $LU$ va jusqu’au bout $⟺\det A_k\ne 0$ pour $k=1\dots n-1$ (id. pour Gauss sans pivotage).
• Formule des pivots : les sous-matrices principales se factorisent aussi ($A_K=L_K{D}_K{U}_K$, par multiplication par blocs) ⟹ $\boxed{P_k=\det A_k/\det A_{k-1}}$, avec $\det A_0=1$. Le produit télescope et redonne $\det A=\prod P_i$.
• Cholesky : si $A$ est symétrique, $U=L^T$ donc $A=LD{L}^T$ (par unicité de la décomposition). Si $A$ est définie positive ($x^{T}Ax>0$ pour tout $x\ne 0$), les pivots sont strictement positifs (chaque $A_K$ est définie positive ⟹ $\det A_K>0$ ⟹ $P_k>0$), donc $D=\sqrt{D}\sqrt{D}$ et

$$A=L\sqrt{D}\sqrt{D}{L}^T=W{W}^T,W=L\sqrt{D}$$

avec $W$ triangulaire inférieure à diagonale strictement positive. Existence de la Cholesky ⟺ $A$ symétrique définie positive.

• Gauss-Jordan : comme Gauss (phase descendante) plus une phase remontante qui élimine aussi au-dessus des pivots, en partant de la dernière ligne / dernière colonne. But : obtenir l’identité (ou seulement une matrice diagonale, puis diviser).
• Inverse : $AY=I$ équivaut à $n$ systèmes $A{e}_i=e_i$ ⟹ on applique Gauss-Jordan à $\left[A\mid I_n\right]$ et on lit $A^{-1}$ à droite (on peut normaliser les lignes pour obtenir $\left[I\mid A^{-1}\right]$).

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Doutes / à vérifier

• § 38, exemple de matrice définie positive : l’audio donne « $A$ qui vaut $1,2,0,0$ » [01:17:50], ce qui, lu ligne par ligne, ne serait pas définie positive. Reconstruit en $\mathrm{diag}(1,2)$ car c’est la seule lecture cohérente avec « ses valeurs propres, c’est $1$ et $2$ » et avec $x^{T}Ax=x_1^2+2x_2^2$. À vérifier sur le support / en le redemandant.
• § 19, exercice projeté du syllabus : l’entrée $a_{23}$ n’est jamais énoncée dans l’audio. Les autres entrées sont imposées par ce que la prof dit ($p_1=4$, multiplicateurs $1,5$ et $1/4$, $p_2=0$, permutation des lignes 2 et 3, multiplicateur final $\frac{3}{2}$). Retrouver l’énoncé exact dans le syllabus (elle dit « à la phase 18 » [sic], probablement « page 18 » ou « exercice 18 ») — absent de Rappels théoriques.pdf.
• § 43, exercice de Cholesky : la référence de l’énoncé est inaudible — « de la matrice $A$ au niveau $2-1$ moins $1$ » [01:29:31–01:29:36]. Retrouver la matrice concernée dans le syllabus.
• § 3, exercice sur $A,B,C,D$ : l’ordre de lecture de la matrice projetée n’est pas dicté (« la matrice $A$ qui est donnée par $A$, $B$, $C$, $D$ »). Le résultat donné ($P_2=\frac{ad-cb}{a}$ et $P_1{P}_2=ad-cb$) fixe de toute façon la structure.
• § 33, « Gauss sans pivotage » : énoncé audio dégradé (« jusqu’à $n-2$ »). La version exacte a été retrouvée dans Rappels théoriques.pdf § 1.1, Remarque après l’algorithme : « les $a_{kk}$, $k=1\dots n-1$, sont appelés pivots et l’algorithme suppose qu’ils sont non nuls » + Propriété 1 : « cet algorithme se termine correctement si et seulement si les $n-1$ premiers mineurs emboîtés de $A$ sont non nuls ».
• § 40, preuve de la positivité des pivots : l’audio est dégradé au moment de poser $x=(x_K,0)$ ([01:22:19–01:22:27]) ; l’argument a été reconstitué.
• § 45, exemple de Gauss-Jordan : la prof se trompe sur la matrice intermédiaire à [01:33:41] et se corrige à [01:35:40]. Noté tel quel dans la note ; la chaîne correcte a été vérifiée à la main ($p_1=2$, $p_2=-1$, $p_3=-4$).
• § 8, exemple $2\times 2$ : fragments inaudibles à [00:19:38–00:21:18] (« solution / échanger », « un système d’équilibrage »).
• § 22–23, vocabulaire : la prof dit « pivotage partel », « pilotage complet », « la SG », « avec FG », « avec le SG » pour MATLAB et « position délai » ; corrigé ici d’après le vocabulaire du support écrit.
• Lien audio cassé dans ALG II - Cours 1 : le frontmatter et le lien pointent vers file:///home/andreesdc/Documents/La Uni/Audios/ALG II - 1pt1.m4a, or ce dossier est vide (les audios sont dans Bac 2/ALG II/Théorie/). Corriger le Cours 1 si l’utilisateur le souhaite.
• Organisation : la prof mentionne être « de l’autre côté à 13h10 » et un cours « d’agent numéro 2 » [sic, 00:59:19]. Vérifier si le cours 2 a été déplacé par rapport au mercredi habituel.