TD3 - Modélisation

TD — Modélisation 3 : stabilité des systèmes dynamiques 1D en temps continu

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Couverture : de 00:00:00 à 02:05:10 sur un audio de 2 h 05. Séance « TD » (exercices) sur les systèmes dynamiques d’une dimension en temps continu : après un rappel sur la différence temps continu / temps discret (pas de valeur absolue, seuil $f^{\prime }(x^{\ast })=0$), on étudie la stabilité d’équilibres par linéarisation et par analyse globale (tableau de signes ou portrait de phase). Exercices : 1) $f(x)=-x(1+x^2)$ et un second cas à deux équilibres ; 2) un système du type $f(x)=A{x}^3$ (paramètre) ; 3) $f(n)=-3n\ln (2n)$ (croissance d’une population, résolue « à la MATLAB ») ; 4) une famille dépendant d’un paramètre $R$ (nombre d’équilibres selon $R$) ; 5) un modèle de laser (réduction rapide/lente, seuil $P_c$) ; 6) une masse glissant sur un fil horizontal avec ressort (modélisation par la loi de Newton + Pythagore, seuil $L_0=h$).

Support : la fiche (énoncés + code MATLAB du portrait de phase) est sur WebCampus ; support écrit de l’UE = Notes_modelisation.pdf §4. ⚠️ Transcription très bruitée à partir de ~00:42 (exercices 3-6) : notations et énoncés reconstruits à partir des explications orales — tout élément marqué ⚠️ est à revérifier sur la fiche WebCampus (voir ## Doutes / à vérifier).

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PARTIE 1 — Rappels : le cadre continu unidimensionnel — [00:02:30 → 00:05:25]

1. Équilibre, stabilité, et les deux approches (locale / globale) — [00:02:30 → 00:05:25]

Le prof rappelle le cadre (déjà vu en théorie) : on passe du temps discret ($x_{n+1}=f(x_n)$, TD2) au temps continu :

« Et du coup aujourd’hui on va travailler avec le système, toujours système 1D mais temps continu. » « peu de rappels. Globalement c’est étude de la stabilité des systèmes dynamiques à une dimension. » [00:02:30]

On étudie donc la représentation d’état d’un système dynamique unidimensionnel (syllabus §4, p. 6) :

$$\dot{x}=f(x),x\in \mathbb{R}.$$

Un équilibre (ou point fixe) $x^{\ast }$ est un état où le champ de vitesse s’annule :

« on aura un point fixe du système, c’est maintenant non plus $f(x^{\ast })=x^{\ast }$ [temps discret] et $f(x^{\ast })=0$ [temps continu]. » [00:03:07] [sic : le prof oppose bien les deux définitions]

Pourquoi $f=0$ ? Intuitivement : en physique $\dot{x}$ est souvent une vitesse ; si $\dot{x}=0$ alors $x(t)$ est constante et « on reste au même endroit ».

Critère de stabilité (linéarisé) — [00:03:36]

« Un point d’équilibre $x^{\ast }$ sera dit stable si la dérivée est négative au point d’équilibre, et instable si la dérivée est [positive]. » [00:03:36] [sic : l’ASR répète « négative » pour les deux cas]

$$f^{\prime }(x^{\ast })<0\Rightarrow x^{\ast }\text{ stable},f^{\prime }(x^{\ast })>0\Rightarrow x^{\ast }\text{ instable},f^{\prime }(x^{\ast })=0\Rightarrow \text{on ne peut rien conclure}.$$

« Notez ici qu’il n’y a plus valeur absolue. […] si on met une valeur absolue, ça ne va faire que croissance. » [00:03:42]

⚠️ Différence clé avec le temps discret : discret $|f^{\prime }(x^{\ast })|<1$ (stable) ; continu $f^{\prime }(x^{\ast })<0$ (stable), sans valeur absolue. Rappel discret = seuil de module ; continu = signe.

L’approche par dérivée est locale, l’analyse du signe est globale — [00:04:30]

« quand on utilise la dérivée, on a une approche qui est locale. Pourquoi locale ? […] c’est basé sur Taylor. Taylor, il est valable que dans un voisinage du point auquel j’ai évalué. » [00:04:36]

• Linéarisation = développement de Taylor au premier ordre → ne garantit le comportement que pour une condition initiale proche de l’équilibre.
• Analyse du signe de $f$ (tableau de signes, ou portrait de phase) → approche globale : on sait où va chaque condition initiale. « Si vous faites une analyse détaillée du signe […] vous avez l’approche globale. »

🎓 syllabus : Notes_modelisation.pdf §4 (p. 6) ; §4.1 « Portrait de phase, équilibres et stabilité » (p. 7). Le champ s’annule à l’équilibre : $f(x^{\ast })=0$ ; instinctivement, sur le portrait de phase (graphe de $f$) les abscisses $f(x)>0$ font croître l’état, celles $f(x)<0$ le font décroître.

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PARTIE 2 — Exercice 1 : stabilité de $x^{\ast }=0$ (linéarisé et non linéarisé) — [00:05:25 → 00:28:53]

2. Ex. 1a : $f(x)=-x(1+x^2)$ — [00:05:25 → 00:19:07]

« pour cet exercice, on vous demande d’étudier la stabilité du point d’équilibre $x^{\ast }=0$, dans le cas linéarisé et dans le cas non linéarisé. » [00:05:34]

On calcule d’abord tous les équilibres (même si l’énoncé dit que $x^{\ast }=0$ est un équilibre), pour savoir où ils se situent :

« Imaginez que vous avez un point d’équilibre en 0 mais un autre en 1 […], je peux avoir la stabilité au niveau de ces deux points d’équilibre différents. » [00:06:21]

Équilibres : $f(x)=-x(1+x^2)=0$. Comme $1+x^2>0$ pour tout $x\in \mathbb{R}$, on a un seul point fixe réel :

$$\boxed{x^{\ast }=0.}$$

(« un seul point fixe réel, étant donné que la dynamique est de base sur $\mathbb{R}$ » — sur $\mathbb{C}$ il faudrait distinguer parties réelle et imaginaire.)

Cas linéarisé : $f^{\prime }(0)=-1<0$ → stable — [00:08:34]

$$f(x)=-x-x^3⟹f^{\prime }(x)=-1-3x^2⟹f^{\prime }(0)=-1<0.$$

« c’est $-1$ […] le point d’équilibre est stable localement » [00:08:56]

On souligne que c’est local : « c’est local et pas global », comme pour la jacobienne en dimension supérieure (vue en théorie, 3ᵉ semestre).

Cas non linéarisé : tableau de signes → stable — [00:11:57]

« pour le cas non linéarisé, il y a deux possibilités : […] soit on peut tracer le portrait de phase (c’est-à-dire $\dot{x}$ en fonction de $x$), soit on peut étudier le tableau de signes. » [00:11:00]

On factorise la dynamique :

$$f(x)=\underset{\text{change de signe}}{\underbrace{-x}}\cdot \underset{>0\text{ toujours}}{\underbrace{(1+x^2)}}.$$

Dans le tableau de signes, seuls comptent les points d’équilibre ($f=0$) ; ici $x=0$. Le signe de $f$ est celui de $-x$ :

	$x<0$	$x>0$
$-x$	$+$	$-$
$1+x^2$	$+$	$+$
$\dot{x}=f(x)$	$+$ (état croît → vers $0$)	$-$ (état décroît → vers $0$)

• À gauche de $0$ ($x<0$) : $f>0$ → $x$ augmente vers $0$.
• À droite de $0$ ($x>0$) : $f<0$ → $x$ diminue vers $0$.

$$⟹x^{\ast }=0\text{ est stable},\text{ et ceci de fac¸on globale.}$$

« peu importe la condition initiale, ma dérivée est positive [à gauche], $x$ en $t+h$ c’est $x$ en $t$ plus une quantité positive […] j’ai une flèche qui va dans ce sens-là. » [00:16:18]

Insistance sur le caractère global :

« en ayant identifié tous mes points d’équilibre […] j’ai pu caractériser le comportement de toutes les conditions initiales à gauche et à droite. […] On ne regarde plus uniquement le voisinage de zéro. » [00:17:02]

Tableau de signes vs portrait de phase (méthode) — [00:18:28]

• Le tableau de signes est rigoureux et donne une conclusion globale — utile quand les fonctions « sont assez gentilles » (ici $1+x^2>0$).
• Quand $f$ devient complexe (« plein de fonctions les unes sur les autres »), on préfère le portrait de phase : approche plus qualitative que quantitative.

3. Ex. 1b : un second exemple à deux équilibres — [00:19:07 → 00:28:53]

« on va passer au deuxième exemple, du coup, au point b. » [00:19:04]

De nouveau : $x^{\ast }=0$, stabilité, $f^{\prime }(x)$, tableau de signes. ⚠️ La fonction exacte de ce point n’est pas clairement audible ; la transcription laisse voir deux équilibres ($x=0$ et $x=1$) et $f^{\prime }(0)=-1<0$. Reconstruction cohérente avec l’oral : $f(x)=x(x-1)$ (cf. Doutes).

Équilibres : $x(x-1)=0\Rightarrow x^{\ast }=0$ et $x^{\ast }=1$.

Linéarisé : $f^{\prime }(x)=2x-1$, donc $f^{\prime }(0)=-1<0\Rightarrow 0$ stable localement. [sic : ASR « plus que zéro » à [00:21:21], manifestement « moins »]

Tableau de signes (produit $x\cdot (x-1)$, « c’est pas $-x$, c’est $x$ ») :

	$x<0$	$0<x<1$	$x>1$
$x$	$-$	$+$	$+$
$x-1$	$-$	$-$	$+$
$\dot{x}=f(x)$	$+$ → vers $0$	$-$ → vers $0$	$+$ → s’éloigne de $1$

$$⟹x^{\ast }=0\text{ stable},x^{\ast }=1\text{ instable}.$$

« on avait ici 0 qui était stable, on retrouve bien le fait que 0 est stable en utilisant l’approche non linéaire. » [00:19:12]

Le message du prof : « plus fort, mais plus coûteux » — [00:26:33]

« avec le tableau de signes, on a réussi à étudier la stabilité de deux points d’équilibre au lieu d’un seul. Donc c’est beaucoup plus fort. […] c’est plus fort, mais plus coûteux. La dérivée, c’est moins fort, mais moins coûteux. » [00:26:45]

• Linéarisation : locale, d’un seul équilibre à la fois, peu coûteuse.
• Tableau de signes / portrait de phase : global, tous les équilibres, mais plus coûteux ; à réserver aux $f$ « qui se comportent bien ».
• ⚠️ Si jamais $f^{\prime }(x^{\ast })=0$ : « il faut faire le tableau de signe, ou en tout cas regarder le portrait de phase » → on passe à l’exercice 2.

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PARTIE 3 — Exercice 2 : le cas dégénéré $f^{\prime }(x^{\ast })=0$ — [00:28:53 → 00:42:25]

4. Équilibres et stabilité d’un système $f(x)=A{x}^3$ (paramètre $A$) — [00:29:39 → 00:41:45]

« Ce qui nous amène du coup à l’exercice 2. […] de calculer la stabilité du point d’équilibre $x^{\ast }=0$. » [00:28:53]

On reprend l’idée (de la semaine passée, en discret) : selon la valeur du paramètre, le nombre d’équilibres change. Ici l’équation d’équilibre est $A{x}^3=0$ :

• $A=0$ : tout $x\in \mathbb{R}$ est point fixe (« La première serait la fonction constante »). La dynamique est statique : $\dot{x}=0\Rightarrow x(t)=x_0$ pour tout $t$.
• $A\ne 0$ : $x^{\ast }=0$ est le seul point fixe.

Cas $A=0$ (dynamique constante) : en démarrant proche de $x_0$ on y reste, « sans s’éloigner, sans se rapprocher » → ni attractif ni répulsif.

« ça traduit une sorte de stabilité, pas au sens attractif du terme, mais au sens je reste assez proche de ma condition initiale de départ. » [00:32:27] « ça fait vraiment écho à l’exercice 1.a du TD2, quand on avait $a=1$ et $b=0$ : une droite de points fixes, le même comportement. » [00:34:37]

Cas $A\ne 0$ : on dérive : $f^{\prime }(x)=3A{x}^2\Rightarrow f^{\prime }(0)=0$.

« On ne peut rien conclure. […] Et il faut regarder le portrait de phase. » [00:36:40]

Portrait de phase (qualitatif) — [00:37:19]

« Pourquoi ici on peut facilement esquisser le portrait de phase ? La fonction, elle est méga facile : $A{x}^3$ […] quand vous avez $x^2$, vous savez que c’est une parabole […] on s’en fout de savoir à quel point elle est étirée. » [00:37:23]

On trace $\dot{x}=A{x}^3$ en fonction de $x$ et on lit le signe :

• $A>0$ : $x^3$ du signe de $x$ → $f>0$ pour $x>0$, $f<0$ pour $x<0$ → les flèches s’éloignent de $0$ → $x^{\ast }=0$ instable.
• $A<0$ : signe opposé → les flèches reviennent vers $0$ → $x^{\ast }=0$ stable. ⚠️ (détail du cas $A<0$ à revérifier sur la fiche)

Différence de lecture avec le discret :

« Normalement, là où on faisait l’intersection entre $f(x)$ et $x$ pour le cas système discret, ici c’est juste l’intersection entre $f(x)$ et globalement $y=0$. » [00:39:45]

C’est-à-dire : les équilibres = intersections de $y=f(x)$ avec l’axe des abscisses (et non avec la bissectrice $y=x$, propre au Cobweb discret).

« quand vous êtes sur votre feuille et que vous voulez avoir une idée du comportement […] esquissez le portrait de phase, ça met deux secondes : on met les flèches et c’est gagné. » [00:37:55]

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PARTIE 4 — Exercice 3 : $f(n)=-3n\ln (2n)$ — [00:42:25 → 00:54:37]

5. Une dynamique « pas triviale » tracée via MATLAB — [00:42:25 → 00:54:37]

« cette dynamique représente la croissance d’une [population] en [milieu fermé?] » [00:43:06] ⚠️ (terme ASR inintelligible) « il y a une certaine condition d’existence à poser : $n$ positif, sinon on ne peut pas prendre le log de quantités positives [négatives]. » [00:43:14]

Domaine : $n>0$. Dynamique (⚠️ reconstruite des indications orales « $-3n\ln (2n)$ ») :

$$\boxed{f(n)=-3n\ln (2n)},n>0.$$

Portrait de phase sous MATLAB (méthode) — [00:43:58 → 00:49:16]

« je veux tracer $\dot{n}$ en fonction de $n$ […] je veux juste tracer $-3n\ln (2n)$. » [00:44:05]

• On ne peut pas démarrer en $n=0$ ($\ln$ non défini) : on part de $n=0,01$ (voire $0,001$) : n = linspace(0.01, 1, ...).
• On crée le vecteur $\dot{n}$ avec le produit terme à terme : f = -3*n .* log(2*n) — « ce point fois permet juste de multiplier tous les $n$ de manière terme à terme ».
• On trace plot(n, f) : $n$ en abscisse, $f(n)$ en ordonnée.
• Astuce clé : pour repérer l’équilibre, on ne trace pas la bissectrice $y=x$ (c’est le discret !) mais la droite $y=0$ : plot(n, zeros(size(n))).
• Lecture : le graphe monte jusqu’à $n\approx 1/2$ (« je monte, je monte jusqu’à [1/2] ») ; c’est là que $f=0$.

⚠️ L’ASR écrit « 1,5 » là où le calcul donne $n^{\ast }=1/2$ (voir ci-dessous) : lire [sic : 1/2].

Calcul exact de l’équilibre — [00:50:25 → 00:51:50]

$$f(n)=-3n\ln (2n)=0⟺n=0(\text{exclu, }\ln 0\text{ non deˊfini})\text{ou}\ln (2n)=0⟺2n=1.$$ $$\boxed{n^{\ast }=\frac{1}{2}.}$$

« On a bien l’équilibre en [1/2], ça c’est good. » [00:51:43] [sic : ASR « 1,5 »]

Stabilité — [00:52:16 → 00:53:38]

$$f^{\prime }(n)=-3[\ln (2n)+1]⟹f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=-3[\ln 1+1]=-3<0.$$ $$⟹n^{\ast }=\frac{1}{2}\text{ est stable}.$$

« le portrait de phase nous annonçait déjà que c’était globalement stable, on l’a vérifié avec le calcul de la stabilité locale. » [00:53:42]

Portée méthodologique (à savoir refaire à l’examen) — [00:53:50 → 00:54:37]

« quand on fait [la linéarisation], c’est local […] même le portrait de phase, on l’a étendu […] sur le domaine accessible. » [00:53:50] « Vous avez une dynamique un peu compliquée […] vous esquissez le portrait de phase avec MATLAB, vous avez l’allure, vous savez caractériser la stabilité du point d’équilibre très très rapidement. Peut-être pas à 1000 % rigoureux, mais vous êtes convaincu. » [00:54:11]

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PARTIE 5 — Exercice 4 : stabilité en fonction d’un paramètre $R$ — [01:03:34 → 01:22:04]

⚠️ Zone très contaminée : le segment [00:56:22 → 01:03:34] est en grande partie un brouhaha / sous-titrage parasite (« Sous-titrage ST’ 501 », échanges inaudibles). L’exercice 4 est donné à faire seul (~10 min) puis corrigé.

6. Nombre d’équilibres et stabilité selon $R$ — [01:03:34 → 01:21:28]

« On va faire l’exercice 4, [10] minutes tout seul. […] étudier la stabilité du point d’équilibre du système en fonction de la valeur $R$. » [01:03:34]

Méthode rappelée par le prof :

« La première chose à faire, c’est de [calculer] les points fixes en regardant les points de la valeur de [l’état] […] on va distinguer [les cas de figure]. Est-ce que [le discriminant] va être positif ou nul ? Ça va avoir un impact sur le nombre de points fixes. » [01:13:41]

⚠️ Reconstruction (énoncé non audible) : une famille quadratique $\dot{x}=f(x)=x^2-Rx+1$ (le seuil « $2$ » de l’oral = $R=\pm 2$ ⇔ discriminant $R^2-4$). À revérifier sur la fiche.

Nombre d’équilibres ($x^2-Rx+1=0$, discriminant $R^2-4$) :

Cas	Points fixes
$	R
$	R
$	R

Cas $|R|=2$ — équilibre double. Pour $R=2$ : $x^2-2x+1=(x-1{)}^2$ ; pour $R=-2$ : $x^2+2x+1=(x+1{)}^2$ (« C carré plus 1 plus 2x, donc $x+1$ carré »). On calcule

$$f^{\prime }(x)=2x-R⟹f^{\prime }(\text{eˊquilibre})=0\Rightarrow \text{on ne peut rien conclure}.$$

« on ne peut rien comprendre [sic : conclure] ; du coup, on peut tracer le portrait de phase. » [01:19:40]

Comme $f(x)=\pm$-carré $(x\mp 1{)}^2\ge 0$ (« dans tous les cas, c’est positif »), au point double le signe de $f$ change de part et d’autre, ce qui rend l’équilibre instable (les flèches s’éloignent). ⚠️

« Tout le monde avait bien réussi cet exercice-là. Il y en a qui avaient fait le tableau de signes ; pour la même chose, [c’était] plus partout. » [01:21:40]

Leçon : quand le critère de linéarisation est muet ($f^{\prime }=0$), on bascule sur le portrait de phase / tableau de signes — exactement comme à l’exercice 2.

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PARTIE 6 — Exercice 5 : modèle de laser (réduction rapide/lente) — [01:22:04 → 01:31:39]

7. De deux EDO à une EDO, puis seuil critique $P_c$ — [01:22:04 → 01:31:39]

« on modélise ici un laser à l’aide d’un système d’équations différentielles. On vous donne deux équations différentielles. Le grand $N$ et le [petit] $n$ désignent [des populations] ; le paramètre [$G$]. » [01:22:17]

⚠️ Forme reconstruite du système (exposé oral bruité) — deux équations couplées :

$$\{\begin{array}{l}\dot{N}=P-N-GNn,\\ \dot{n}=GNn-kn,\end{array}$$

où $P$ est le paramètre de pompe, $G$ le gain et $k$ la perte.

Hypothèse (« dynamique rapide ») : la variable $N$ évolue beaucoup plus vite que $n$ ; elle atteint donc quasi instantanément son état quasi-stationnaire :

« en supposant que [la variable rapide] évolue vers $Npoint=0$ […] écrivez la relation qui lie grand $N$ à petit $n$. » [01:22:47]

En posant $\dot{N}=0$ :

$$P-N-GNn=0⟹N(1+Gn)=P⟹\boxed{N=\frac{P}{1+Gn}}.$$

« grand $N$, c’est $p$ sur [1] plus $gn$. » [01:24:13] [sic : ASR « $p$ sur grand $g$, plus $n$ »]

Réduction à une dimension (on réinjecte $N$ dans l’équation de $n$) :

$$\dot{n}=GNn-kn=Gn\cdot \frac{P}{1+Gn}-kn=n\left(\frac{GP}{1+Gn}-k\right)=:f(n).$$

« on repart de la deuxième équation […] je remplace grand $N$ par la fonction qui dépend de petit $n$. » [01:25:19]

Équilibre $n^{\ast }=0$ et seuil critique — [01:26:46 → 01:31:34]

On vérifie d’abord que $n=0$ est bien un équilibre : $f(0)=0\cdot (\dots )=0$ ✓.

Linéarisation (dérivée d’un quotient/produit) : en $n=0$, le terme en $n$ disparaît et

$$f^{\prime }(0)=G\cdot \underset{=P}{\underbrace{N(0)}}-k=GP-k.$$

« $f^{\prime }0=-k+[GP]$ » [01:29:29] [sic : ASR « moins $k$ plus $gt$ sur $f$ »]

$$⟹n^{\ast }=0\text{ instable}⟺f^{\prime }(0)>0⟺P>\frac{k}{G}.$$ $$\boxed{P_c=\frac{k}{G}}$$

« l’objectif, c’est de montrer que $0$ est instable pour tout $P$ plus grand que [le $P$ critique] ; donc l’objectif c’est d’isoler $P$. » [01:31:10]

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PARTIE 7 — Exercice 6 : masse sur fil horizontal + ressort — [01:31:39 → 02:03:00]

8. Modélisation (loi de Newton + Pythagore) — [01:31:39 → 01:39:15]

« on a une masse $M$ qui se déplace sur un fil horizontal ; un ressort est attaché à la masse, et un point d’attache est situé à une distance [verticale] $h$. La longueur au repos est $L_0$ ; la constante de raideur [$k$]. On freine le mouvement par une force de viscosité [amortissement]. » [01:32:08]

• Mouvement horizontal ; seule force à considérer dans le bilan : la composante horizontale $F_x$ de la force du ressort (la pesanteur, verticale, est compensée par la composante verticale du ressort).

« c’est la force du ressort, en tout cas la composante en $X$ de la force du ressort. » [01:35:06] « là-dedans, en fait, c’est juste Pythagore caché derrière […] ce que vous avez, globalement, c’est un rectangle. » [01:37:50]

Le ressort a pour longueur $\sqrt{x^2+h^2}$ (rectangle de côtés $x$ et $h$), donc tension $\propto (\sqrt{x^2+h^2}-L_0)$, et la composante horizontale vaut

$$F_x=-k\left(\sqrt{x^2+h^2}-L_0\right)\frac{x}{\sqrt{x^2+h^2}}=-kx\left(1-\frac{L_0}{\sqrt{x^2+h^2}}\right).$$

Loi de Newton (point a de l’exercice) : avec l’amortisseur,

$$M\ddot{x}=F_x-\beta \dot{x}.$$

9. Masse négligeable : système dynamique du 1ᵉʳ ordre — [01:39:15 → 01:40:03]

« Dans ce qui suit, on suppose que [la masse] est négligeable […] si $M$ vaut zéro, vous avez une équation qui fait dépendre $\dot{x}$ de $x$ : donc vous avez un système dynamique. » [01:39:15]

Avec $M\approx 0$ : $0=F_x-\beta \dot{x}$, soit

$$\boxed{\dot{x}=f(x)=-\frac{k}{\beta }x\left(1-\frac{L_0}{\sqrt{x^2+h^2}}\right)}.$$

10. Équilibres : existence conditionnée par $L_0$ vs $h$ — [01:40:03 → 01:44:23]

$$f(x)=0⟺x=0\text{ou}1-\frac{L_0}{\sqrt{x^2+h^2}}=0⟺\sqrt{x^2+h^2}=L_0⟺x=\pm \sqrt{L_0^2-h^2}.$$

Condition d’existence : $L_0^2\ge h^2$, i.e. $L_0\ge h$. Donc :

• $L_0<h$ : un seul équilibre, $x^{\ast }=0$.
• $L_0=h$ : un seul équilibre (double), $x^{\ast }=0$.
• $L_0>h$ : trois équilibres : $x^{\ast }=0$ et $x^{\ast }=\pm \sqrt{L_0^2-h^2}$.

« si $L_0$ vaut $h$, les deux points d’équilibre fusionnent pour donner le point d’équilibre $0$. » [01:43:40]

11. Stabilité — [01:44:23 → 02:01:42]

On dérive :

$$f^{\prime }(x)=-\frac{k}{\beta }\left(1-\frac{L_0{h}^2}{(x^2+h^2{)}^{3/2}}\right).$$

En $x^{\ast }=0$ :

$$f^{\prime }(0)=-\frac{k}{\beta }\left(1-\frac{L_0}{h}\right).$$

Cas	$f^{\prime }(0)$	Conclusion sur $x^{\ast }=0$
$L_0>h$	$>0$	instable
$L_0<h$	$<0$	stable
$L_0=h$	$0$	on ne peut rien conclure → tableau de signes / portrait

Aux deux équilibres symétriques (cas $L_0>h$) : comme $(x^2+h^2{)}^{3/2}=L_0^3$ en $x=\pm \sqrt{L_0^2-h^2}$,

$$f^{\prime }(\pm \sqrt{L_0^2-h^2})=-\frac{k}{\beta }\left(1-\frac{h^2}{L_0^2}\right)<0⟹\text{les deux sont stables}.$$

« Ça, c’est positif […] le tout est négatif, c’est par un moins ; donc on conclut [que ces points sont stables]. » [01:52:58]

Cas $L_0=h$ : tableau de signes — [01:55:35 → 01:59:34]

Quand $L_0=h$, $f^{\prime }(0)=0$ (critère muet). On étudie le signe : comme $\frac{h}{\sqrt{x^2+h^2}}\le 1$, le facteur $\left(1-\frac{L_0}{\sqrt{x^2+h^2}}\right)\ge 0$, donc le signe de $f$ est celui de $-x$ :

$$⟹x^{\ast }=0\text{ est stable (cas deˊgeˊneˊreˊ).}$$

Interprétation physique (à savoir raisonner) — [01:53:48 → 02:04:05]

« si $L_0$ est plus petit que $h$, c’est logique qu’on n’ait pas d’autre point d’équilibre : si au repos je ne peux pas m’accrocher au fil, il y a toujours une tension non négligeable. » [01:53:51] « si $L_0$ est plus grand que h\), au repos j'ai pu aller un peu à droite de 0$ ; par symétrie, à gauche j’ai un autre point d’équilibre. » [01:54:08]

• $L_0>h$ : deux positions de repos symétriques stables ($\pm \sqrt{L_0^2-h^2}$) ; $0$ instable (« si je l’ai tiré jusque $0$, il a tendance à s’éloigner pour revenir à sa position en $L_0) »).
• $L_0<h$ : pas de repos possible, tension permanente ; le seul équilibre $0$ est stable.
• $L_0=h$ : les deux équilibres fusionnent en $0$, qui est alors stable.

Remarque de méthode (points fixes théoriques vs physiques) : « vous devez dissocier les points fixes qui sont théoriques et ceux qui sont impossibles en physique. […] une concentration négative a un sens mathématique, pas physique. » [02:03:04]

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Points clés

• Cadre continu 1D : $\dot{x}=f(x)$, $f$ = champ de vitesse ; équilibre : $f(x^{\ast })=0$ (intersections de $y=f(x)$ avec l’axe des abscisses, pas la bissectrice du discret).
• Critère linéarisé (continu) : $f^{\prime }(x^{\ast })<0$ ⇒ stable ; $f^{\prime }(x^{\ast })>0$ ⇒ instable ; $f^{\prime }(x^{\ast })=0$ ⇒ rien à conclure. ⚠️ Pas de valeur absolue (contrairement au discret $|f^{\prime }|\lessgtr 1$).
• Linéarisation = locale (Taylor au voisinage) ; tableau de signes / portrait de phase = global. « Plus fort (tous les équilibres) mais plus coûteux. »
• Signe de $f$ : $f(x)>0$ ⇒ l’état croît ; $f(x)<0$ ⇒ l’état décroît.
• Cas dégénéré $f^{\prime }(x^{\ast })=0$ : basculer sur le tableau de signes ou le portrait de phase (ex. 2 : $A{x}^3$ ; ex. 4 : équilibre double ; ex. 6 : $L_0=h$).
• Exercice clé de méthode : $f(n)=-3n\ln (2n)$ → équilibre $n^{\ast }=\frac{1}{2}$ (⚠️ ASR « 1,5 »), stable car $f^{\prime }(\frac{1}{2})=-3<0$ ; tracé MATLAB (linspace, produit .*, droite $y=0$).
• Modèle de laser : réduction rapide/lente $N=\frac{P}{1+Gn}$ → $f(n)=n\left(\frac{GP}{1+Gn}-k\right)$ ; $n^{\ast }=0$ instable pour $P>P_c=\frac{k}{G}$.
• Masse + ressort (Pythagore) : $f(x)=-\frac{k}{\beta }x\left(1-\frac{L_0}{\sqrt{x^2+h^2}}\right)$. Équilibres $\pm \sqrt{L_0^2-h^2}$ stables si $L_0>h$ ; $0$ instable si $L_0>h$, stable si $L_0\le h$ (fusion en $L_0=h$).
• Séparer points fixes théoriques et points fixes physiquement admissibles.

Doutes / à vérifier

• ⚠️ Exercice 1b : la fonction exacte n’est pas audible. Reconstruction retenue : $f(x)=x(x-1)$ (équilibres $0$ et $1$ ; $f^{\prime }(0)=-1$). À confirmer sur la fiche WebCampus.
• ⚠️ Exercice 2 : énoncé du type $f(x)=A{x}^3$ (« $A{x}^3=0$ ») reconstitué ; détail du cas $A<0$ (stable) à revérifier.
• ⚠️ Exercice 3 : dynamique reconstruite $f(n)=-3n\ln (2n)$ (l’ASR hésite entre « $\ln n$ » et « $\log 2n$ » ; l’équilibre $2n=1$ impose le facteur $2n$). L’ASR écrit « 1,5 » là où le calcul donne $n^{\ast }=1/2$ ([sic : 1/2]). Le mot désignant la population modélisée (« croissance d’une … en … ») est inintelligible.
• ⚠️ Exercice 4 : énoncé non audible. Reconstruction : $\dot{x}=x^2-Rx+1$ (seuil $R=\pm 2$, discriminant $R^2-4$). Le cas $|R|<2$ n’a pas été traité en séance. Les valeurs de l’ASR (« 1, 2, 4, 5, 6 ») sont à ignorer.
• ⚠️ Exercice 5 (laser) : forme exacte des deux EDO reconstruite ($\dot{N}=P-N-GNn$, $\dot{n}=GNn-kn$). Le nom des variables/populations et le paramètre de gain $G$ sont à confirmer.
• ⚠️ Zone [00:56:22 → 01:03:34] : audio contaminé (brouhaha, « Sous-titrage ST’ 501 », « Société Radio-Canada ») — probablement une coupure/publicité ou un brouillage de la transcription ; rien d’exploitable n’y a été retenu.
• Numérotation des exercices (1 à 4, puis laser, puis masse-ressort) : l’ASR mélange « point b », « exercice 2 », etc. Le découpage adopté suit les transitions orales explicites.