Modélisation

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Mazo — Modélisation

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🟡 BORRADOR — TD3 - Modélisation (à trier)

Point d’équilibre (temps continu) :: $x^{\ast }$ est un équilibre de $\dot{x}=f(x)$ si le champ de vitesse s’annule : $f(x^{\ast })=0$ (intersection du graphe de $f$ avec l’axe des abscisses).

Critère de stabilité d’un équilibre (1D continu) ::: Si $f^{\prime }(x^{\ast })<0$ l’équilibre est stable ; si $f^{\prime }(x^{\ast })>0$ il est instable ; si $f^{\prime }(x^{\ast })=0$ on ne peut rien conclure.

Différence des critères de stabilité temps continu / temps discret :: En temps continu $f^{\prime }(x^{\ast })<0$ (stable) / $>0$ (instable), sans valeur absolue ; en temps discret $|f^{\prime }(x^{\ast })|<1$ (stable) / $>1$ (instable).

Lecture du portrait de phase (1D continu) :: Sur le graphe de $f$ : les $x$ tels que $f(x)>0$ correspondent à un état qui augmente, ceux tels que $f(x)<0$ à un état qui diminue.

Stabilité au sens de Lyapunov ::: $x^{\ast }$ est stable si pour tout $\epsilon >0$ il existe $\delta >0$ tel que $\Vert x_0-x^{\ast }\Vert <\delta \Rightarrow \Vert x(t,x_0)-x^{\ast }\Vert <\epsilon$ pour tout $t\ge 0$.

Équilibre attractif / asymptotiquement stable :: $x^{\ast }$ est attractif s’il existe $\delta >0$ tel que $\Vert x_0-x^{\ast }\Vert <\delta \Rightarrow {\lim }_{t\to \infty }x(t,x_0)=x^{\ast }$ ; il est asymptotiquement stable s’il est stable et attractif.

Théorème de Hartman-Grobman (linéarisation) ::: Si $F\in C^1$ et l’équilibre $x^{\ast }$ est hyperbolique (aucune valeur propre de $J=\partial F/\partial x{|}_{x^{\ast }}$ de partie réelle nulle), alors le système non linéaire a, au voisinage de $x^{\ast }$, le même comportement qualitatif que le système linéarisé.

Critère de stabilité par la matrice Jacobienne :: $x^{\ast }$ est asymptotiquement stable si $\Re \{{\lambda }_i\}<0$ pour toutes les valeurs propres de $J$ ; il est instable s’il existe ${\lambda }_i$ avec $\Re \{{\lambda }_i\}>0$ ; si $\Re \{{\lambda }_i\}=0$, on ne peut rien conclure.

Fonction de Lyapunov (énoncé) ::: Soit $\dot{x}=F(x)$ avec $F\in C^1$ et un équilibre $x^{\ast }$. S’il existe $V:D\to \mathbb{R}$ telle que $V(x^{\ast })=0$, $V(x)>0\forall x\in D\setminus \{x^{\ast }\}$ et $\dot{V}(x)\le 0$ sur $D$, alors $x^{\ast }$ est stable ; si de plus $\dot{V}(x)<0\forall x\in D\setminus \{x^{\ast }\}$, il est asymptotiquement stable.