Algèbre II

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Mazo — Algèbre II

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🟡 BORRADOR — TD4 - ALG II (à trier)

• Qu’est-ce que la factorisation $LU$ d’une matrice $A$ ? :: $A=LU$ avec $L$ triangulaire inférieure normée ($l_{ii}=1$) et $U$ triangulaire supérieure.
• Résoudre $AX=B$ une fois la factorisation $A=LU$ obtenue :: résoudre $Ly=b$ par substitution progressive, puis $Ux=y$ par substitution régressive.
• Multiplicateurs de la factorisation $LU$ :: $l_{ik}=\frac{a_{ik}^{(k)}}{a_{kk}^{(k)}}$, pour $i=k,\dots ,n$ (la colonne $k$ de $L$).
• Choix du pivot (pivotage partiel) ::: $|a_{sk}|={\max }_{l\in \{k,\dots ,n\}}|a_{lk}|$ — on permute alors la ligne $k$ avec la ligne $s$ (dans $A$ et dans $L$).
• Condition d’existence de la factorisation $LU$ sans pivotage :: elle se termine correctement si et seulement si les $n-1$ premiers mineurs emboîtés de $A$ sont non nuls.
• Unicité de la factorisation $LU$ :: si $\det (A)\ne 0$ et $A$ admet une factorisation $LU$, alors celle-ci est unique.
• Résoudre $AX=B$ avec le pivotage partiel ($PA=LU$) :: résoudre $Ly=Pb$, puis $Ux=y$.

🟡 BORRADOR — ALG II - Cours 4 (à trier)

Produit scalaire (réel) — définition :: $⟨x,y⟩={\sum }_{i=1}^n{x}_i{y}_i=x^{T}y$. Norme associée au produit scalaire — définition :: $\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}$. Orthogonalité de deux vecteurs — définition :: $x\perp y⟺⟨x,y⟩=0$. Théorème : orthogonalité $\Rightarrow$ indépendance linéaire :: Des vecteurs mutuellement orthogonaux et tous non nuls sont linéairement indépendants. Complément orthogonal — définition :: $V^{\perp }=\{x\in E\mid \forall v\in V,⟨x,v⟩=0\}$. Image de $A$ — définition :: $\mathrm{Im}A=\{Ax\mid x\in {\mathbb{R}}^n\}=\mathrm{Vect}(\text{colonnes de }A)\subseteq {\mathbb{R}}^m$. Noyau de $A$ — définition :: $\ker A=\{x\in {\mathbb{R}}^n\mid Ax=0\}\subseteq {\mathbb{R}}^n$. Coimage de $A$ — définition :: $\mathrm{coim}A=\mathrm{Im}(A^T)=\mathrm{Vect}(\text{lignes de }A)\subseteq {\mathbb{R}}^n$. Co-noyau de $A$ — définition :: $\mathrm{coker}A=\ker (A^T)\subseteq {\mathbb{R}}^m$. Dimensions des espaces fondamentaux (rang $r$) :: $\dim \mathrm{Im}A=r$, $\dim \ker A=n-r$, $\dim \mathrm{coim}A=r$, $\dim \mathrm{coker}A=m-r$. Théorème fondamental de l’algèbre linéaire (cas réel, $A^{\ast }=A^T$) :: $\mathrm{Im}(A^T)=(\ker A{)}^{\perp }$ et $\ker (A^T)=(\mathrm{Im}A{)}^{\perp }$. Existence de solution de $Ax=b$ :: $Ax=b$ admet au moins une solution $⟺b\in \mathrm{Im}A⟺\forall y\in \ker (A^T),⟨b,y⟩=0⟺\mathrm{rg}A=\mathrm{rg}[A\mid b]$. Angle entre deux vecteurs ::: $\cos \theta =\frac{⟨a,b⟩}{\Vert a\Vert \Vert b\Vert }$. Formule de Gram-Schmidt (orthogonalisation) ::: $v_i=a_i-{\sum }_{j=1}^{i-1}\frac{⟨a_i,v_j⟩}{\Vert v_j{\Vert }^2}{v}_j$. Factorisation $QR$ ::: $A=QR$ avec $Q$ à colonnes orthonormales et $R$ triangulaire supérieure à diagonale strictement positive (donc inversible).

🟡 BORRADOR — TD4 - ALG II (énoncé LU) (à trier)

• Factorisation $LU$ avec pivotage complet ::: $PAQ=LU$, avec $P=E_{n-1}\cdots E_1$ (permutation de lignes) et $Q=F_1\cdots F_{n-1}$ (permutation de colonnes).
• Choix du pivot (pivotage complet) ::: $|a_{st}^{(k)}|={\max }_{l,m\in \{k,\dots ,n\}}|a_{lm}^{(k)}|$ — on permute la ligne $k$ avec la ligne $s$ et la colonne $k$ avec la colonne $t$.
• Résoudre $Ax=b$ avec le pivotage complet ($PAQ=LU$) :: résoudre $Ly=Pb$, puis $Uz=y$, puis $x=Qz$.