ALG II - Cours 4

ALG II — Cours 4 : produits scalaires, orthogonalité, espaces fondamentaux et factorisation $QR$

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Support écrit de référence : Rappels théoriques.pdf — § « Factorisation orthogonale : Gram-Schmidt » (p. 3-4) pour la factorisation $A=QR$ ; puis le syllabus principal Algèbre et Géométrie Analytique.pdf : § 4.2-4.4 (produit scalaire, orthogonalité, projection orthogonale, p. 46-51) et § 7.1.4 (théorème fondamental de l’algèbre linéaire, Théorème 7.3, p. 75-76). Ce cours ouvre le chapitre 2 (« Espaces euclidiens et géométrie métrique »).

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Plan de la clase

• Rappel : produit scalaire, norme, orthogonalité (définitions).
• Orthogonalité $⟺$ produit scalaire nul (via Pythagore généralisé).
• Lien produit scalaire ↔ angle ; $\cos \theta =\frac{⟨a,b⟩}{\Vert a\Vert \Vert b\Vert }$.
• Orthogonalité $\Rightarrow$ indépendance linéaire.
• Orthogonalité de sous-espaces ; complément orthogonal $V^{\perp }$.
• Espaces fondamentaux de $A$ : image, noyau, coimage, co-noyau.
• Théorème fondamental de l’algèbre linéaire et sa version « forte ».
• Interprétation de la condition de compatibilité du chapitre 1 comme relation d’orthogonalité.
• Bases de l’image et du noyau (colonnes-pivots, variables libres).
• Procédé de Gram-Schmidt et factorisation $QR$.

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1. Rappel — définition du produit scalaire et de la norme — [00:00:33 → 00:01:54]

• Cadre : on travaille dans les réels. Le professeur annonce d’emblée :

  • « Je rappelle les produits scalaires et l’orthogonalité. » [00:00:33]

  • « On ne parlera pas de produits scalaires, je l’appellerai PS si jamais. » [00:00:53]

• Définition du produit scalaire (en composantes) :

  • « Voilà la définition, si vous faites le produit scalaire entre $X$ et $Y$ qui sont des vecteurs dans ${\mathbb{R}}^n$ [sic : LN]. C’est la somme du produit de composants […]. Somme des $X_i{Y}_i$ pour $I$ égale 1 jusque $N$. Et d’un point de vue vectoriel, $X$ transposé fois $Y$. » [00:01:24]

$$\boxed{⟨x,y⟩=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i=x^{T}y},x,y\in {\mathbb{R}}^n.$$

• 🎓 syllabus : Algèbre et Géométrie Analytique § 4.2 (p. 46) — Définition 4.5 (métrique / produit scalaire sur un espace vectoriel réel) : application bilinéaire $V\times V\to \mathbb{R}$, bilinéaire, symétrique ($⟨x,y⟩=⟨y,x⟩$) et positive ($x\ne 0\Rightarrow ⟨x,x⟩>0$).

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2. La norme : lien longueur ↔ produit scalaire — [00:01:58 → 00:02:27]

• « Alors on sait aussi que la norme de $x$ c’est quoi : la norme de $x$ [c’est la] racine carrée de [la] produit scalaire de $x$ avec lui-même […] ça permet de faire le lien entre la longueur et le produit scalaire. » [00:01:58]

$$\boxed{\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}}$$

• 🎓 syllabus : Algèbre et Géométrie Analytique § 4.2 (p. 47) — Définition 4.9 : $\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}$ ; Définition 4.10 (distance $d(x,y)=\Vert y-x\Vert$) et Définition 4.11 (angle défini par son cosinus).

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3. Proposition — orthogonalité $⟺$ produit scalaire nul — [00:02:43 → 00:06:12]

• « Une petite proposition. Si on a deux vecteurs $x$ et $y$, ils sont orthogonaux, si et seulement si quoi ? Leur produit scalaire est nul [sic : « est n »]. » [00:02:43]

• Illustration en ${\mathbb{R}}^2$ : les vecteurs $x$, $y$ et le vecteur $x-y$ forment un triangle rectangle.

  • « Vous remarquez qu’il[s] forme[nt] un triangle rectangle. Et donc, ceci, on va voir que c’est une conséquence de Pythagore généralisé. » [00:03:40]

• Théorème de Pythagore, écrit en normes :

  • « La longueur ici au carré […] plus la longueur là au carré, c’est rien d’autre que la norme de $x$ moins $y$ au carré. » [00:04:41]

• Développement de $\Vert x-y{\Vert }^2$ :

  • « C’est la norme de $x$ au carré plus la norme de $y$ au carré moins deux fois le produit scalaire entre $x$ et $y$. » [00:05:34]

• Or Pythagore impose $\Vert x-y{\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2$, ce qui force $⟨x,y⟩=0$ :

  • « Donc ça c’est vrai […] seulement ici, le produit scalaire entre $x$ et $y$ [est] 0. » [00:05:59]

Proposition. $\forall x,y\in {\mathbb{R}}^n$ :

$$\boxed{x\perp y⟺⟨x,y⟩=0}$$

Identité de polarisation / développement de la norme (Pythagore généralisé) :

$$\Vert x-y{\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2-2⟨x,y⟩,\text{d’ouˋ}x\perp y⟹\Vert x-y{\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2.$$

• 🎓 syllabus : Algèbre et Géométrie Analytique § 4.3 (p. 48) — Définition 4.12 : $x\perp y⟺⟨x,y⟩=0$ (vecteurs non nuls) ; Théorème 4.3 (§ 4.4, p. 50, projection orthogonale / Pythagore).

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4. Lien entre produit scalaire et angle — [00:06:16 → 00:10:35]

• « Alors on peut aussi faire un lien entre le produit scalaire et la notion d’angle. Le produit scalaire entre deux vecteurs, et l’angle entre les deux vecteurs. » [00:06:16]

• On travaille dans ${\mathbb{R}}^2$ : un vecteur $a$ d’angle $\alpha$, un vecteur $b$ d’angle $\beta$, et l’angle $\theta =\beta -\alpha$ entre eux. En utilisant la trigonométrie dans les triangles rectangles (SOH-CAH-TOA) :

  • « On sait que le sinus de $\alpha$, c’est égal à l’opposé $a_2$ sur l’hypoténuse, qui n’est rien d’autre que la norme de $a$. […] le cosinus de $\alpha$, c’est la même chose avec $a_1$. » [00:07:56]

  • « [Pour $\beta$ :] $b_2$ sur la norme de $b$, [et] le cosinus de $\beta$, c’est la composante $b_1$ […] sur la norme de $b$. » [00:08:36]

• On développe $\cos \theta =\cos (\beta -\alpha )$ par la formule d’addition :

  • « Par la formule de trigonométrie, [ça] se calcule comme le cosinus de $\beta$ fois le cosinus de $\alpha$ plus le sinus de $\beta$ fois le sinus de $\alpha$. » [00:09:15]

$$\cos \theta =\cos (\beta -\alpha )=\cos \beta \cos \alpha +\sin \beta \sin \alpha =\frac{b_1}{\Vert b\Vert }\frac{a_1}{\Vert a\Vert }+\frac{b_2}{\Vert b\Vert }\frac{a_2}{\Vert a\Vert }.$$

• Le professeur se corrige sur place (au tableau, il a écrit « $b_2$ » là où il fallait « $b_1$ ») :

  • « J’ai un problème ici […] Attendez, là c’est le cosinus, donc c’est $b_1$. Et là, c’est le sinus, donc c’est $b_2$. $a_1{b}_1$ plus $a_2{b}_2$. Et là, on retrouve le produit scalaire entre $a$ et $b$. » [00:10:16]

$$\boxed{\cos \theta =\frac{⟨a,b⟩}{\Vert a\Vert \Vert b\Vert }},\text{(valable en dimension quelconque en posant cette eˊgaliteˊ comme deˊfinition de l’angle)}.$$

• 🎓 syllabus : Algèbre et Géométrie Analytique § 4.2 (p. 47) — Définition 4.11 : $\frac{⟨x,y⟩}{\Vert x\Vert \Vert y\Vert }=\cos \theta$. (Pont vers l’inégalité de Cauchy-Schwarz, traitée plus tard, § 6.5.)

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5. Théorème — orthogonalité $\Rightarrow$ indépendance linéaire — [00:10:53 → 00:15:11]

• « On a une autre propriété qui permet de mettre en évidence le lien entre l’orthogonalité de vecteurs et le caractère linéairement indépendant. » [00:10:53]

• « Si vous avez $v_1$ jusque $v_n$ qui sont mutuellement orthogonaux […] [et] non nuls, [ils sont] indépendants [sic : ASR]. » [00:11:20]

• Définitions. « Mutuellement orthogonaux » $⟺$ $v_i\perp v_j$ pour tout $i\ne j$.

Théorème. Soit $v_1,\dots ,v_m\in {\mathbb{R}}^n$ mutuellement orthogonaux et tous non nuls. Alors ils sont linéairement indépendants.

• Preuve (esquisse en cours) : on suppose ${\sum }_{i=1}^m{c}_i{v}_i=0$ et l’on prend le produit scalaire avec $v_j$ pour un $j$ fixé :

  • « Je vais exprès l’écrire comme ça, le produit scalaire entre […] ma combinaison linéaire et le vecteur $v_1$. […] Ça vaut 0. […] Je peux l’écrire comme $c_1$ fois la norme de $v_1$ au carré, plus […] $c_n$ fois le produit scalaire entre $v_n$ et $v_1$. » [00:13:00]

  • « Vu que $v_n$ est orthogonal à $v_1$ […] tous les termes […] sont nuls. Finalement, je me retrouve avec $c_1$ fois la norme de $v_1$ au carré qui vaut 0. […] $c_1$ vaut 0. » [00:14:20]

$$0=⟨\sum _{i=1}^m{c}_i{v}_i,v_j⟩=c_j\Vert v_j{\Vert }^2⟹c_j=0(\Vert v_j\Vert \ne 0).$$

• 🎓 syllabus : Algèbre et Géométrie Analytique § 4.3 (p. 48) — Théorème 4.1 : un ensemble de vecteurs mutuellement orthogonaux dans un espace métrique est libre. (Le prof souligne l’intérêt en dimension infinie, où l’orthogonalité est souvent plus facile à tester que l’indépendance.)

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6. Orthogonalité de sous-espaces — [00:15:18 → 00:19:06]

• « Donc ici, on a parlé d’orthogonalité au niveau des vecteurs. On peut aussi parler d’orthogonalité au niveau de sous-espaces. » [00:15:18]

• Exemple (donné au tableau) : un vecteur $w_1=(1,0,0)$ [sic, composantes partiellement inaudibles] et des vecteurs $v_1,v_2$ ; on vérifie que $w_1\perp v_1$ et $w_1\perp v_2$ par le calcul des produits scalaires :

  • « Le produit scalaire entre $w_1$ et $v_1$, ça me fait $1\times 0+0\times 0+$ […] ça fait 0. […] Si je fais le produit scalaire entre $w_1$ et $v_2$, $1\times 0+1\times 0+0\times 4$, ça fait 0. » [00:17:59]

• Conséquence structurante :

  • « Comme il est orthogonal à $v_1$ et à $v_2$, il est orthogonal à tout vecteur engendré par $v_1$ et $v_2$. Donc il est orthogonal au span de $v_1$ et $v_2$. » [00:18:43]

Règle. Si $w\perp v_i$ pour tout $i$, alors $w\perp \mathrm{Vect}(v_1,\dots ,v_m)$. Être orthogonal à une famille $\Rightarrow$ être orthogonal à tout le sous-espace engendré (par bilinéarité du produit scalaire).

• 🎓 syllabus : Algèbre et Géométrie Analytique § 4.3 (p. 49) — Définition 4.13 (sous-ensemble orthogonal $A^{\perp }=\{x\in E\mid \forall y\in A,⟨x,y⟩=0\}$) ; Théorème 4.2 ($A\subseteq \mathrm{span}(A)\subseteq (A^{\perp }{)}^{\perp }$).

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7. Exercice — construire un second vecteur orthogonal $w_2$ — [00:19:08 → 00:22:03]

• « On pourrait se poser une question, dans un exercice : trouver un vecteur $w_2$ tel que $W$ sera le sous-espace engendré par $w_1,w_2$ […] et sera orthogonal à $V$. » [00:19:16]

• On cherche $w_2=(a,b,c,d)$ vérifiant les deux conditions :

  • « Le produit scalaire entre $w_2$ et $v_1$ vaut 0, et le produit scalaire entre $w_2$ et $v_2$ doit être égal à 0. […] $a$ plus $b$ qui doit être égal à 0 ; donc $w_2$ je peux le prendre comme [quelque chose], c’est 0, c’est $d$. » [00:20:10]

• Contrainte de non-trivialité :

  • « Attention, pour qu’il soit [dans le]) span, […] j’aimerais bien qu’il soit linéairement indépendant. […] Je prends $c$ [qui] vaut 0 et $d$ [qui] vaut 1, donc par exemple. » [00:20:49]

Méthode. Pour trouver une base de $V^{\perp }$ (ici $V=\mathrm{Vect}(v_1,v_2)$), on écrit $w=(a,b,c,d)$, on impose $⟨w,v_i⟩=0$ pour chaque générateur — c’est un système linéaire homogène — puis on choisit des variables libres pour produire des vecteurs indépendants (mise à 1, cf. § 21-22).

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8. Propriété — $V$ orthogonal à $W$ $\Rightarrow$ $V\cap W=\{0\}$ — [00:22:07 → 00:23:47]

• « On peut aussi montrer que si $V$ est orthogonal à $W$ […] les deux ensembles ont que le vecteur nul en commun. L’intersection entre $V$ et $W$ est uniquement [le] 0. » [00:22:07]

• Démonstration (au tableau) : soit $x\in V\cap W$.

  • « Comme $V$ et $W$ sont o[r]thogonaux, […] le produit scalaire de $x$ avec $x$ vaut 0. Parce que ce $x$-là, vous pouvez considérer […] que c’est un élément de $V$ […] [et] un élément de $W$ […] donc par orthogonalité, il doit être nul. » [00:23:12]

  • « Ceci, c’est rien d’autre que […] la norme de $x$ au carré. Une quantité positive au carré qui vaut 0, la seule possibilité c’est que $x$ soit égal à 0. » [00:23:38]

$$x\in V\cap W⟹⟨x,x⟩=\Vert x{\Vert }^2=0⟹x=0.$$

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9. Passage aux matrices : les espaces fondamentaux de $A$ — [00:23:54 → 00:25:33]

• « Alors maintenant, on va retourner dans notre cadre avec les matrices. […] On va introduire des espaces fondamentaux pour notre matrice $A$ et puis regarder s’il n’y a pas des liens avec l’orthogonalité qui peuvent être faits. » [00:23:54]

• Le prof annonce la section 2 du cours :

  • « La section 2, c’est des propriétés pour les espaces fondamentaux associés à $A$. […] On va considérer $A$ qui est une matrice rectangulaire. » [00:24:16]

  • « […] l’ensemble [image], et on verra qu’il y en a deux autres, il y en a quatre. » [00:25:22]

Les quatre espaces fondamentaux de $A\in {\mathcal{M}}_{m\times n}(\mathbb{R})$ (de rang $r$) :

espace	définition	inclusion	dimension
image	$\mathrm{Im}A=\{Ax\mid x\in {\mathbb{R}}^n\}$	$\subseteq {\mathbb{R}}^m$	$r$
noyau	$\ker A=\{x\in {\mathbb{R}}^n\mid Ax=0\}$	$\subseteq {\mathbb{R}}^n$	$n-r$
coimage	$\mathrm{coim}A=\mathrm{Im}(A^T)$	$\subseteq {\mathbb{R}}^n$	$r$
co-noyau	$\mathrm{coker}A=\ker (A^T)$	$\subseteq {\mathbb{R}}^m$	$m-r$

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10. L’image de $A$ = sous-espace engendré par les colonnes — [00:25:48 → 00:28:06]

• « C’est l’ensemble des $Ax$ tels que $x$ est dans $\mathbb{R}$ [sic], et là tu as dit $\mathbb{R}$ quoi ? […] $M$ croix $N$, donc si on veut que ça ait du sens, $x$ doit être dans ${\mathbb{R}}^n$. » [00:26:36]

• Définition en extension :

  • « [Ce sont les] $y$ […] dans ${\mathbb{R}}^m$, tel[s] que vous pouvez trouver un $x$ dans ${\mathbb{R}}^n$ avec $y$ qui s’écrit comme $A$ fois $x$. Donc l’image de $A$, c’est un sous-espace de ${\mathbb{R}}^m$ [sic : l’ASR dit « ${\mathbb{R}}^n$ »]. » [00:27:05]

• Identification décisive :

  • « C’est aussi le sous-espace engendré par les colonnes de la matrice $A$. […] Quand je vais parler des colonnes de $A$, je vais écrire $a_1,\dots ,a_n$. » [00:27:30]

$$\boxed{\mathrm{Im}A=\{Ax\mid x\in {\mathbb{R}}^n\}=\mathrm{Vect}(a_1,\dots ,a_n)=\sum _i\mathbb{R}{a}_i},\mathrm{Im}A\subseteq {\mathbb{R}}^m.$$

• ⚠️ L’ASR dit « un sous-espace de ${\mathbb{R}}^n$ » : c’est bien ${\mathbb{R}}^m$ (espace d’arrivée), conformément à « vous êtes dans ${\mathbb{R}}^m$ » quelques lignes plus haut.

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11. Le noyau de $A$ — [00:28:07 → 00:29:02]

• « Alors, on a ensuite le noyau de $A$. On note [$\ker$] de $A$ [sic : « qu’R de A »], et qui est du coup un sous-espace inclus dans quoi ? ${\mathbb{R}}^n$. » [00:28:07]

• C’est l’ensemble des solutions du système homogène :

$$\boxed{\ker A=\{x\in {\mathbb{R}}^n\mid Ax=0\}},\ker A\subseteq {\mathbb{R}}^n.$$

• Rappel du chapitre 1 : $\dim \ker A=n-\mathrm{rg}A=n-r$ (lien direct avec les variables libres).

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12. Le système adjoint, la coimage et le co-noyau — [00:29:04 → 00:34:25]

• Motivation du système adjoint :

  • « [Les] deux autres sous-espaces qui sont en lien avec ce qu’on appelle le système adjoint. Pourquoi le système adjoint ? C’est quand vous avez $Ax=b$ [sic : « ax égale v »], mais l’adjoint c’est celui qui va impliquer la transposée. » [00:29:04]

• Cadre : $Ax=b$ est un système à $m$ équations et $n$ inconnues ; le système adjoint aura $n$ équations et $m$ inconnues :

  • « Le système adjoint, c’est celui qui aura $n$ équations et $m$ inconnues. » [00:30:14]

• Coimage (= image de la transposée, = espace engendré par les lignes) :

  • « On peut définir l’ensemble co-image de $A$, qui sera en fait l’image de $A$ transposée. […] c’est l’ensemble des $A^{T}y$ tels que $y$ est dans ${\mathbb{R}}^m$ [sic : « RN »]. Donc c’est le span des lignes de $A$. » [00:31:18]

• Co-noyau (= noyau de la transposée) :

  • « Le dernier qui nous reste à introduire, ce sera le co-kernel [sic : co-noyau], qui sera le noyau de $A$ transposé […]. » [00:33:07]

$$\mathrm{coim}A:=\mathrm{Im}(A^T)=\{A^{T}y\mid y\in {\mathbb{R}}^m\}=\mathrm{Vect}(\text{lignes de }A)\subseteq {\mathbb{R}}^n,$$ $$\mathrm{coker}A:=\ker (A^T)=\{y\in {\mathbb{R}}^m\mid A^{T}y=0\}\subseteq {\mathbb{R}}^m.$$

• ⚠️ Le prof dit « adjoint » et parle de transposée ($A^T$), non de l’adjointe $A^{\ast }$ : on travaille dans le réel, où $A^{\ast }=A^T$ (voir § 16 et syllabus § 7.1.3).

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13. Théorème fondamental — première partie (dimensions) — [00:34:40 → 00:37:28]

• « La première partie, vous la connaissez. […] C’est au niveau des dimensions. […] La dimension de l’image de $A$, c’est rien d’autre que le nombre de colonnes linéairement indépendantes. […] On avait dit que c’était le nombre de pivots […] qu’on avait appelé $R$. » [00:34:52]

• « Du coup, la dimension de votre noyau, c’est quoi ? $n-r$, et la dimension du co[no]yau [sic : « coquet R »] de $A$. […] La dimension de l’image et la dimension du coimage, c’est la même chose. […] la dimension du co[no]yau de $A$, ce sera quoi ? $m-r$. » [00:36:34]

$$\boxed{\dim \mathrm{Im}A=r,\dim \ker A=n-r,\dim \mathrm{coim}A=r,\dim \mathrm{coker}A=m-r}$$

avec $r=\mathrm{rg}A=$ nombre de pivots non nuls (cf. ALG II - Cours 3 § 33-36).

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14. Orthogonalité des espaces fondamentaux — [00:37:38 → 00:42:31]

• « On va introduire ces sous-espaces et regarder si on ne peut pas dire quelque chose au sujet de leur orthogonalité. » [00:37:38]

• Premier résultat :

  • « Vous avez un premier résultat qui vous dit que le noyau de $A$ est orthogonal […] à l’image de la transposée, donc à la co-image. » [00:37:44]

• Second résultat (conséquence du premier, en appliquant à $A^T$) :

  • « Et on peut aussi, et ça c’est juste une conséquence, le co[no]yau de $A$ […] est orthogonal à l’image de $A$. » [00:38:51]

$$\ker A\perp \mathrm{coim}A=\mathrm{Im}(A^T),\mathrm{coker}A=\ker (A^T)\perp \mathrm{Im}A.$$

• Preuve du premier résultat (au tableau) : soient $w\in \ker A$ (donc $Aw=0$) et $v\in \mathrm{Im}(A^T)$ (donc $v=A^{T}x$) :

  • « On doit montrer que […] le produit scalaire entre $w$ et $v$ vaut [0]. […] C’est $w$ transposé $v$. […] $v$, je sais que je peux l’écrire comme $A$ transposé $x$. Donc [c’est] égal à $w^T{A}^{T}x$. Ceci, je peux voir ça comme $Aw$, le tout transposé. […] On sait que c’est égal à 0. » [00:40:11]

$$⟨w,v⟩=w^{T}v=w^T{A}^{T}x=(Aw{)}^{T}x=0^{T}x=0.$$

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15. Définition — complément orthogonal $V^{\perp }$ — [00:42:32 → 00:44:19]

• « On a introduit une nouvelle définition. On considère $V$, un sous-espace, de ${\mathbb{R}}^n$ [sic : « PNL »]. […] On va introduire le complément orthogonal de $V$. On va noter $V$ orthogonal. » [00:42:32]

• Définition « en français » :

  • « C’est l’espace qui reprend l’ensemble des vecteurs orthogonaux à $V$ [sic : « A, B »]. Donc c’est l’espace de tous les vecteurs [orthogonaux]. » [00:43:46]

$$\boxed{V^{\perp }=\{x\in E\mid \forall v\in V,⟨x,v⟩=0\}}$$

• $V^{\perp }$ est toujours un sous-espace vectoriel (même si $V$ n’en est pas un). Pour un espace métrique $E$ de dimension finie : $E=V\oplus V^{\perp }$ et $(V^{\perp }{)}^{\perp }=V$ (théorème de projection orthogonale).

• 🎓 syllabus : Algèbre et Géométrie Analytique § 4.4 (p. 50) — Théorème 4.3 : $E=M\oplus M^{\perp }$ et $M=(M^{\perp }{)}^{\perp }$.

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16. Théorème fondamental de l’algèbre linéaire — version forte — [00:44:19 → 00:46:37]

• « On peut reprendre le résultat qu’on a fait ici, donc le théorème fondamental de l’algèbre linéaire, mais en une deuxième version qui est en fait plus forte. » [00:44:19]

• On énonce les deux identifications :

  • « [Le complément orthogonal] du co-image de $A$ […] c’est rien d’autre que […] » [00:45:14]

  • « Et le co[no]yau de $A$, c’est le complément orthogonal de l’image. […] L’image de $A$, ce sera quoi ? […] C’est le complément orthogonal du co[no]yau. C’est rien d’autre que le complément orthogonal du complément orthogonal. Si vous le faites deux fois, vous retombez sur l’image de $A$. » [00:45:29]

$$\boxed{(\mathrm{coim}A{)}^{\perp }=(\mathrm{Im}(A^T){)}^{\perp }=\ker A,(\mathrm{coker}A{)}^{\perp }=(\ker (A^T){)}^{\perp }=\mathrm{Im}A.}$$

• Équivalent en termes matriciels avec $A^T$ (cas réel : $A^{\ast }=A^T$) :
  • $\ker (A)=(\mathrm{Im}{A}^T{)}^{\perp }$ et $\mathrm{Im}(A)=(\ker A^T{)}^{\perp }$.

• 🎓 syllabus : Algèbre et Géométrie Analytique § 7.1.4 (p. 75-76) — Théorème 7.3 (théorème fondamental de l’algèbre linéaire) : $\mathrm{Im}(A^{\ast })=(\ker A{)}^{\perp }$ et $\ker (A^{\ast })=(\mathrm{Im}A{)}^{\perp }$ (formulation avec l’adjointe $A^{\ast }$ ; en réel $A^{\ast }=A^T$, ce qui redonne exactement les identités ci-dessus).

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17. Lien avec l’existence de solutions de $Ax=b$ — [00:46:49 → 00:50:46]

• Retour au chapitre 1 :

  • « Dans le chapitre 1, l’objectif, c’était de résoudre $Ax=b$. […] On avait caractérisé l’existence de solutions pour ce système. » [00:46:49]

• Deux caractérisations équivalentes :

  • « Le rang de $A$, c’est le rang de $A$ augmenté avec $b$. » [00:47:33]

  • « Et si on caractérise ça en termes d’images ? $b$ doit être dans l’image de $A$. » [00:47:51]

• Réécriture via le théorème fondamental :

  • « Mais l’image de $A$, c’est le complément orthogonal du co[no]yau de $A$. Donc en fait, il faut que $b$ soit dans le complément orthogonal du co[no]yau de $A$. […] Ça veut dire que $b$ doit être orthogonal à tout vecteur dans le co[no]yau de $A$. » [00:48:05]

• Or $\mathrm{coker}A=\ker (A^T)$ :

  • « C’est quoi les éléments dans le co[no]yau ? […] [C’est] l’idée du noyau […] de $A$ transposé. Donc c’est l’ensemble [des $y$] qui vérifie […] $A^{T}y=0$. » [00:48:50]

Théorème (existence, reformulé). $Ax=b$ admet au moins une solution si et seulement si

$$\boxed{b\in \mathrm{Im}A=(\ker A^T{)}^{\perp }⟺\forall y\in \ker (A^T),⟨b,y⟩=0⟺\mathrm{rg}A=\mathrm{rg}([A\mid b]).}$$

• Autrement dit : les conditions de compatibilité sur $b$ (les lignes nulles de $U$, cf. ALG II - Cours 3 § 29 et 35) sont exactement des relations d’orthogonalité de $b$ avec le co-noyau de $A$.

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18. Exemple — la contrainte du chapitre 1 est une orthogonalité — [00:51:16 → 00:54:45]

• « On va reprendre notre exemple du chapitre précédent. On traitait d’une matrice rectangulaire, nous avons échelonné […]. » [00:51:16]

• La matrice de départ (relue par le prof) :

  • « On était parti de la matrice $A$ qui était la matrice rectangulaire suivante : $1,3,3,2,2,6,9,5,-1,-3,3,0$. » [00:52:06]

$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 3& 2\\ 2& 6& 9& 5\\ -1& -3& 3& 0\end{array}\right),U=\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 3& 2\\ 0& 0& 3& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right),r=2.$$

• La contrainte obtenue en résolvant $Ax=b$ :

  • « On avait vu apparaître la contrainte. C’était $5b_1$ moins $2b_2$ plus $b_3$ égale à 0. » [00:53:27]

• Révélation du jour :

  • « Mais en fait, cette contrainte-là, c’est une relation d’orthogonalité. Ça, on ne le savait pas la fois passée. […] C’est orthogonal, mais par rapport au co[no]yau de $A$. » [00:53:38]

$$5b_1-2b_2+b_3=0⟺⟨b,\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{-2}\right){}_3⟩=0\text{i.e.}b\perp \mathrm{coker}A.$$

• ⚠️ La matrice $A$ de ce cours-ci diffère légèrement de celle du ALG II - Cours 3 § 20 ($A_3=\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 3& 3\\ 2& 6& 9& 7\\ -1& -3& 3& -1\end{array}\right)$) ; ici $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 3& 2\\ 2& 6& 9& 5\\ -1& -3& 3& 0\end{array}\right)$. La condition $5b_1-2b_2+b_3=0$ concorde bien avec cette nouvelle matrice (voir Doutes).

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19. Co-noyau explicite via la factorisation $A^T=\tilde{L}\tilde{U}$ — [00:54:58 → 00:59:04]

• « On veut écrire $A$ transposé, ou potentiellement une permutation de $A$ transposé, comme un $\tilde{L}$ [$\tilde{U}$] [sic : « L tilde utile »]. Ce sera plus facile de travailler sur le co[no]yau de $A$ si on écrit $A$ transposé comme $\tilde{L}\tilde{U}$. Pourquoi ? Parce qu’à ce moment-là, le [$\ker$] de $A$ transposé, ce sera le [$\ker$] de $\tilde{U}$. » [00:54:58]

• On échelonne $A^T$ (transposée de la matrice du § 18) :

  • « Vous lui faites différentes combinaisons de lignes […] et vous avez à la fin la matrice $1,2,-1,0,3,6,\dots$ » [00:55:49]

$$A^T=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 3& 6& -3\\ 3& 9& 3\\ 2& 5& 0\end{array}\right)\stackrel{\text{eˊchelonnement}}{\to }\tilde{U}=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 0& 3& 6\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right).$$

• Le co-noyau est le noyau de $\tilde{U}$ (car $\ker (A^T)=\ker (\tilde{U})$) :

  • « Résoudre $\tilde{U}y$ [égale] 0, ça vous donne $3y_2$ [plus] $6y_3$ [égale 0] [sic]. […] $y_2$ égale moins $2y_3$. Et de l’équation ici, […] $y_1$ plus $2y_2$ moins $y_3$ qui vaut 0. » [00:57:32]

$$\{\begin{array}{l}{y}_1+2y_2-y_3=0\\ 3y_2+6y_3=0\end{array}⟹y_2=-2y_3,y_1=5y_3.$$

• Base du co-noyau :

  • « Si je mets $y_3$ qui vaut 1, [j’obtiens] $5,-2,1$ [sic : ASR « 5, moins 2 »]. Regardez, $5b_1$ moins $2b_2$ plus $b_3$ égale à 0. On se retrouve bien avec une relation d’orthogonalité entre mon $b$ […] et les éléments du co[no]yau de $A$. » [00:58:40]

$$\boxed{\mathrm{coker}A=\ker (A^T)=\mathrm{Vect}\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ 1\end{array}\right)},⟨b,(5,-2,1)⟩=5b_1-2b_2+b_3.$$

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20. Interlude — organisation (logistique) — [01:00:36 → 01:06:21]

• « Une minute de pause ici. » [01:00:36]

• Séquence non mathématique : discussion sur les notes mises en ligne, l’application de notes, « Algèbres 3 », et une échéance d’astronomie (« l’astronomie, c’est 21 octobre » [01:04:04]).

  • « J’ai mis mes notes sur internet. Je suis déjà sur Algèbres et tu vas sur Algèbres 3 maintenant. […] Je dois vérifier si je rajoute des nouvelles notes, ça se met à jour automatiquement. » [01:05:04]

  • ⚠️ Passage de logistique (dates, dépôt des notes, plateforme) : à ignorer pour les révisions. Conservé ici pour la traçabilité de l’audio.

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21. Bases de $\mathrm{Im}A$ et de $\ker A$ — [01:06:21 → 01:14:54]

• « On va revenir un peu sur le [théorème fondamental] [sic : « semi-théorème »]. » [01:06:21]

• Question posée :

  • « Si je connais les dimensions, est-ce que je peux trouver facilement une base de ces sous-espaces ? […] En connaissant les dimensions, [l]‘image de $A$ [et] le noyau de $A$. » [01:07:30]

• Base de l’image : les $r$ colonnes pivots de $A$ (celles dont la colonne porte un pivot dans $U$) :

  • « C’est simplement prendre les $R$ colonnes de $U$ qui contiennent les pivots […]. Ça, c’est bien sûr les colonnes qui correspondent pour $A$. […] Quelles sont les colonnes que je garde dans $A$ pour qu’elles soient linéairement indépendantes ? En fait, c’est celles qui correspondent au pivot non nul. » [01:08:28]

  • « $R$ colonne[s] de $A$ correspondant à la base de l’image. » [01:10:22]

Bases. (avec $r=\mathrm{rg}A$)

• une base de $\mathrm{Im}A$ = les $r$ colonnes de $A$ dont la colonne correspondante possède un pivot non nul dans $U$ ;

• une base de $\ker A$ : comme $\ker A=\ker U$, on résout $Ux=0$ en écrivant les $r$ variables fondamentales en fonction des $n-r$ variables libres, et l’on construit $n-r$ vecteurs indépendants.

• Méthode de construction de la base du noyau :

  • « On cherche à créer $N-R$ vecteur[s] dans cette base […]. Il faut résoudre simplement $n-r$ fois le système […] vous mettez 1 à la position [de la variable libre]. […] Vous retrouvez que les vecteurs […] forment une base. » [01:12:34]

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22. Exemple — base du co-noyau par la technique des variables libres — [01:14:54 → 01:20:21]

• « Sur l’exemple précédent […]. On veut montrer que le co[no]yau de $A$, c’est le span de […] $5,-2,1$. Mais cette fois-ci, on va le montrer en utilisant la nouvelle technique. » [01:14:57]

• On travaille sur $\tilde{U}$ (4×3, deux pivots) ; ici $n=3$ inconnues, $r=2$ pivots $\Rightarrow$ $n-r=1$ vecteur de base :

  • « Le $N$, c’est le nombre d’inconnues. Et le $R$, c’était le nombre de pivots. […] On avait combien de pivots ? Deux. Donc il nous faudra […] un vecteur. » [01:16:31]

• On résout $\tilde{U}x=0$ avec la variable libre mise à 1 :

  • « Je prends, je mets $a,b,1$, et je mets un 1 ici […], je résous le système. Ce qui me donne $a$ plus $2b$ moins 1 égale [à] 0, et $3b$ plus 6 égale [à] 0. » [01:18:11]

  • « $b$ vaut moins 2. […] $a$ [plus] $-4$ [moins 1] [=] moins 5, [donc] $a$ qui vaut 5. Et je retrouve bien […] $5,-2,1$. » [01:18:59]

$$\tilde{U}=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 0& 3& 6\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),x=\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 1\end{array}\right):\{\begin{array}{l}a+2b-1=0\\ 3b+6=0\end{array}⟹b=-2,a=5.$$ $$\mathrm{coker}A=\mathrm{Vect}\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ 1\end{array}\right).$$

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23. Factorisation $QR$ : le lien avec Gram-Schmidt — [01:20:26 → 01:28:06]

• « On s’intéressait ici à la factorisation $QR$. Pour ça, on va faire le lien avec la procédure de Gram-Schmidt. » [01:20:26]

• But du procédé :

  • « Orthonormaliser, ça veut dire qu’ils sont mis un peu n’importe comment, et on va les mettre orthogonaux l’un par rapport à l’autre, et en plus on va les normaliser, donc on va s’assurer qu’ils aient une norme de 1. » [01:21:53]

• On part d’une famille libre $\{a_1,\dots ,a_n\}$ et on construit $\{q_1,\dots ,q_n\}$ orthonormale ($⟨q_i,q_j⟩=0$ si $i\ne j$, $⟨q_i,q_i⟩=1$).
• Première étape :

  • « Je vais dire que $v_1$, c’est $a_1$. […] Je dois le normer. […] Je vais écrire $q_1$ comme $v_1$ sur la norme de $v_1$. » [01:23:34]

• Deuxième étape (décalage / projection-retrait) :

  • « Je vais considérer $v_2$ que j’écris comme $a_2$ moins une certaine combinaison de $v_1$. […] Je le déplace de sorte que le produit scalaire entre $v_2$ et $v_1$ soit égal à 0. […] [Donc] $a_2$ avec $v_1$ moins ${\alpha }_1$ [fois] $v_1$ avec $v_1$ doit être égal à 0. » [01:25:28]

  • « ${\alpha }_1$, je le choisis de sorte que le [produit scalaire] de $a_2,v_1$ sur la norme de $v_1$ au carré, [soit] mon ${\alpha }_1$. » [01:26:35]

• Le prof se corrige : $q_2=\frac{v_2}{\Vert v_2\Vert }$ (et non sur la norme au carré) :

  • « Ah ben non […] C’est une erreur, ce $v_1$ sur la norme de $v_2$ [sic]. Ça ne change pas grand-chose, je pense que ça fait 1. » [01:27:18]

$$v_1=a_1,q_1=\frac{v_1}{\Vert v_1\Vert },v_2=a_2-\frac{⟨a_2,v_1⟩}{\Vert v_1{\Vert }^2}{v}_1,q_2=\frac{v_2}{\Vert v_2\Vert }.$$

• 🎓 syllabus : Rappels théoriques.pdf, § « Factorisation orthogonale : Gram-Schmidt » (p. 3-4) — énoncé de l’algorithme QR.

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24. Formule générale du procédé de Gram-Schmidt — [01:28:06 → 01:31:44]

• On itère l’idée ; l’étape $i$ retire les projections sur tous les vecteurs déjà construits :

  • « On va construire le suivant de la même idée, sauf que cette fois-ci, on le prendra comme combinaison linéaire des deux précédents. […] Je l’écrirai comme $a_3$ sur lequel j’applique la combinaison linéaire de moins ${\alpha }_1{z}_1$ moins ${\alpha }_2{z}_2$. » [01:28:07]

  • « Je veux que le produit scalaire entre $v_3$ et $v_1$ soit nul, et que le produit scalaire entre $v_3$ et $v_2$ soit nul. » [01:28:41]

• Formule du coefficient :

  • « Si vous devez construire $q_i$, on peut d’abord construire $v_i$ comme étant égal à $a_i$ moins la somme des ${\alpha }_j{v}_j$ pour [$j$] égale 1 […] jusque $i$ moins 1. […] L’${\alpha }_j$, c’est rien d’autre que le produit scalaire entre $v_j$ et notre fameux $a_i$ sur la norme de $v_j$ au carré. » [01:30:33]

$$\boxed{v_i=a_i-\sum _{j=1}^{i-1}\frac{⟨a_i,v_j⟩}{\Vert v_j{\Vert }^2}{v}_j,q_i=\frac{v_i}{\Vert v_i\Vert }}$$

• En réarrangeant, on exprime les $a_i$ en fonction des $(q_j{)}_{j\le i}$ :

  • « Je sais que les $v_i$ c’est rien d’autre que $q_i$ fois [la] norme de $v_i$. » [01:36:20]

$$a_i=\Vert v_i\Vert q_i+\sum _{j=1}^{i-1}⟨a_i,q_j⟩q_j.$$

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25. Interprétation matricielle de Gram-Schmidt : $A=QR$ — [01:33:38 → 01:42:42]

• « On va juste interpréter ça de façon matricielle pour découvrir la factorisation [QR] [sic : « claire »]. […] Interprétons Gram-Schmidt en termes matriciels. » [01:33:38]

• En écrivant les colonnes $a_i$ comme combinaisons de $a_1,\dots ,a_n=Q$ :

  • « [Les colonnes $a_i$] sont indépendant[s] des éléments suivants […] ce serait une matrice […] triangulaire supérieure. […] Sur la diagonale, [ce sont les] norme[s] de $v_1$, norme de $v_2$, etc. » [01:40:35]

• Résultat :

  • « Vous retrouvez, en fait, que notre matrice $A$ se réécrit comme une matrice [Q] [sic : « U »] fois une matrice $R$, où $Q$ […] toutes ces colonnes sont orthonormales […], et $R$ est une triangulaire supérieure, dont sa diagonale, comme c’est des normes […] [est] strictement positive, on va pouvoir l’inverser. » [01:41:56]

$$\boxed{A=QR}$$

avec $Q\in {\mathcal{M}}_{m\times n}$ à colonnes orthonormales et

$$R=\left(\begin{array}{ccccc}\Vert v_1\Vert & ⟨a_2,q_1⟩& ⟨a_3,q_1⟩& \cdots & ⟨a_n,q_1⟩\\ 0& \Vert v_2\Vert & ⟨a_3,q_2⟩& \cdots & ⟨a_n,q_2⟩\\ 0& 0& \Vert v_3\Vert & \cdots & ⋮\\ ⋮& & \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 0& \Vert v_n\Vert \end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{n\times n}(\mathbb{R})\text{triangulaire supeˊrieure},$$

à diagonale strictement positive (donc inversible).

• ⚠️ L’audio dit « une matrice $U$ fois une matrice $R$ » puis « où $Q$ […] » : il faut lire $A=QR$ ($Q$ = colonnes orthonormales).

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26. Dimensions et clôture — [01:42:48 → 01:43:43]

• « Si je regarde les dimensions : ici la matrice $A$, elle est de dimension $m\times n$ [sic : « M3N »]. La matrice $Q$, elle est de dimension $m\times n$ [« M3N »]. Et du coup, la matrice $R$, elle est de dimension $n\times n$ [sic : « M3A »]. » [01:42:48]

$$A\in {\mathcal{M}}_{m\times n},Q\in {\mathcal{M}}_{m\times n},R\in {\mathcal{M}}_{n\times n}.$$

• Annonce :

  • « Et la semaine prochaine, on verra toutes les propriétés liées à la factorisation $QR$ [sic : « QF »]. […] On avait un algorithme qu’on voit matriciellement, c’est un peu comme $LU$. Il y a une succession d’étapes et puis quand on regarde matriciellement, on voit que ça nous donne une factorisation avec des matrices particulières. » [01:43:19]

• Pour résoudre $Ax=b$ (cas carré), on résout $Rx=Q^{T}b$ par substitution régressive (cf. Rappels théoriques.pdf p. 4).

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Points clés

• Produit scalaire : $⟨x,y⟩=\sum x_i{y}_i=x^{T}y$ (bilinéaire, symétrique, positif) ; norme $\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}$.
• Orthogonalité : $x\perp y⟺⟨x,y⟩=0$ (conséquence de Pythagore généralisé : $\Vert x-y{\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2-2⟨x,y⟩$).
• Angle : $\cos \theta =\frac{⟨a,b⟩}{\Vert a\Vert \Vert b\Vert }$.
• Orthogonal $\Rightarrow$ libre : des vecteurs mutuellement orthogonaux et non nuls forment une famille libre ; deux sous-espaces orthogonaux sont d’intersection $\{0\}$.
• Complément orthogonal : $V^{\perp }=\{x\mid \forall v\in V,⟨x,v⟩=0\}$ ; $E=V\oplus V^{\perp }$ et $(V^{\perp }{)}^{\perp }=V$.
• Quatre espaces fondamentaux ($A\in {\mathcal{M}}_{m\times n}$, rang $r$) : $\mathrm{Im}A\subseteq {\mathbb{R}}^m$ ($\dim r$), $\ker A\subseteq {\mathbb{R}}^n$ ($\dim n-r$), $\mathrm{coim}A=\mathrm{Im}(A^T)\subseteq {\mathbb{R}}^n$ ($\dim r$), $\mathrm{coker}A=\ker (A^T)\subseteq {\mathbb{R}}^m$ ($\dim m-r$).
• Théorème fondamental de l’algèbre linéaire : $(\mathrm{Im}{A}^T{)}^{\perp }=\ker A$ et $(\ker A^T{)}^{\perp }=\mathrm{Im}A$ — soit, avec l’adjointe $A^{\ast }$ (réel : $A^{\ast }=A^T$) : $\mathrm{Im}(A^{\ast })=(\ker A{)}^{\perp }$, $\ker (A^{\ast })=(\mathrm{Im}A{)}^{\perp }$.
• Existence de $Ax=b$ : $b\in \mathrm{Im}A⟺b\perp \mathrm{coker}A=\ker (A^T)⟺\mathrm{rg}A=\mathrm{rg}[A\mid b]$. Les conditions de compatibilité (lignes nulles de $U$) sont des relations d’orthogonalité de $b$ avec le co-noyau.
• Bases : $\mathrm{Im}A$ engendrée par les colonnes-pivots de $A$ ; $\ker A=\ker U$ engendré par $n-r$ vecteurs obtenus via les variables libres (mise à 1).
• Gram-Schmidt : $v_i=a_i-{\sum }_{j<i}\frac{⟨a_i,v_j⟩}{\Vert v_j{\Vert }^2}{v}_j$, $q_i=v_i/\Vert v_i\Vert$.
• Factorisation $QR$ : $A=QR$, $Q$ à colonnes orthonormales ($m\times n$), $R$ triangulaire supérieure ($n\times n$) à diagonale strictement positive (donc inversible).

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Doutes / à vérifier

• § 1, entrée « Orthogonale de carré » [00:00:08] : phrase d’ouverture inintelligible (« orthogonale de carré, pas plus tard, on ne va pas le faire aujourd’hui ») — probable annonce de report d’un point du cours. ⚠️ À clarifier.
• § 3, « le produit-scalaire est n » : l’ASR écrit « est n » ; il faut lire « est nul ». Correction appliquée [sic : nul].
• § 10, inclusion de l’image : l’audio dit tour à tour ${\mathbb{R}}^n$ et ${\mathbb{R}}^m$ ; l’image d’une matrice $m\times n$ est bien un sous-espace de ${\mathbb{R}}^m$. À confirmer sur le support.
• § 12, « adjoint » vs « transposée » : le prof dit « système adjoint » mais travaille avec $A^T$ (on est dans le réel). Le syllabus (§ 7.1) utilise l’adjointe $A^{\ast }$ ; en réel $A^{\ast }=A^T$, les deux coïncident. Vérifier la convention notée au tableau.
• § 18-19, matrice $A$ de l’exemple : la matrice donnée ici $\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 3& 2\\ 2& 6& 9& 5\\ -1& -3& 3& 0\end{array}\right)$ diffère de celle du ALG II - Cours 3 § 20. La condition de compatibilité $5b_1-2b_2+b_3=0$ ne colle qu’avec cette nouvelle matrice (vérifié : $L_3\leftarrow L_3-2(L_2-2L_1)$ donne $5b_1-2b_2+b_3$). ⚠️ À confirmer : le prof a-t-il volontairement changé d’exemple, ou l’ASR a-t-il modifié des coefficients ?
• § 19, échelonnement de $A^T$ : l’ASR restitue « $1,2,-1,0,6,\dots$ » puis « $0,3,6$ » plus loin ; le $\tilde{U}$ reconstruit est $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 0& 3& 6\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$, cohérent avec $y_2=-2y_3$, $y_1=5y_3$. Les coefficients exacts sont à vérifier sur le support.
• § 23-24, « $q_2=v_2/\Vert v_2{\Vert }^2$ » : le prof se corrige lui-même en cours (« Ah ben non […] c’est une erreur ») ; la bonne formule est $q_i=v_i/\Vert v_i\Vert$. Correction appliquée.
• § 25-26, notations ASR : « factorisation claire » = QR ; « matrice $U$ fois $R$ » = $Q$ fois $R$ ; « $M3A$ » (dimension de $R$) = $n\times n$ ; « $QF$ » = $QR$. Corrections appliquées [sic].
• § 21, « semi-théorème » [01:06:21] : probablement « le théorème fondamental » (on le reprend juste après). ⚠️ À confirmer.
• Jargon de l’ASR : « le tiers », « le carré », « le kert », « le caire », « le care », « le pierre » de $A$ désignent tous $\ker A$ (le prof prononce « ker ») ; « coquer / coquet / coquette » = co-noyau ; « L tilde utile » = $\tilde{L}\tilde{U}$ ; « la tribo, notamment socatoire » = la trigo, notamment SOH-CAH-TOA. Zones corrigées avec [sic : …].